7/25/2019 Clase 2010 - Autovalores
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Autovalores y AutovectoresAutovalores y Autovectores
Generalidades
Crculos de Gerschgorin
Mtodo de las Potencias
Transformaciones Similares
Prof. Dra. Nlida eatri! rignol
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Definici"n del Pro#lemaDefinici"n del Pro#lema
ticocaractersPolinomioIA
xIA
AdeEspectroPniP
xxxA
i
$%det&
'$(deadem)ssoluci"notratengasistemael*ue+ara
$%&
',-/
$
==
=
===
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Teorema de GerschgorinTeorema de Gerschgorin
Sea
con autovaloresSean los crculos
Entonces
n(nCA
{ } nii -.=
{ }
===
n
ijj
ijiii arrxZ
iia6(7C
n
i
ii ZD
.=
=
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01em+lo01em+lo
{ }
{ }
{ }28
2
24
8$22$
4
3
2
=
=
=
=
zquetalCzR
zquetalCzR
zquetalCzR
A
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Demostraci"nDemostraci"n
kkjkij
n
ijj
ikii
kik
ikkjkij
n
j
k
T
ikk
T
i
kkk
xxAxA
xx
xxA
xexAe
xxA
9:9:9:9:9:
9:eli1o
9:9:9:
.
.
=+
=
=
=
=
=
=
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Demostraci"n &cont.%Demostraci"n &cont.%
( )
.9:9:
9:9:9:9:
9:9:9:9:
cqdrAA
AxxAAx
xAAx
i
n
ijj
ijiik
n
ijj
ijkjk
n
ijj
ijiikk
jk
n
ij
j
ijiikik
=
=
=
=
=
=
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Mtodo de las PotenciasMtodo de las Potencias
{ }
+==
+===
=
>=
=
===
=
i
n
i
ii
i
n
i
iii
n
i
iii
n
i
i
i
n
i
i
niiii
xxAvv
xxxxAAv
xv
xxxA
2
$
2
$
$
2;.5.
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Mtodo de las Potencias &cont.%Mtodo de las Potencias &cont.%
+=
+=
+===
=
=
=
ii
n
i
i
i
n
i
iii
i
n
i
ii
xx
xxvA
xAxAvAAvv
2
2
2
2 $
2
2 $
22
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Mtodo de las Potencias &cont.%Mtodo de las Potencias &cont.%
converge lentamente
2
2 $
2
$
2
2
lim lim
$ $
ni i
i
i
knk k i i
k i
i
k
k
k kk
k
v Av A v A x A x
v A v x x
v x x
x
x
=
=
= = = +
= = +
= =
<
>
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Algoritmo' Mtodo de las PotenciasAlgoritmo' Mtodo de las Potencias
+
=
=
=
=
k
kk
kk
n
z
zv
vAz
k
vv
$$
re+etirconverg.hasta$+ara
conDado
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0fecto del 0scalado0fecto del 0scalado
+
+
+
+
====
===
$.
$
.
.2
.
2
.
..
.
.
.
.
.
vAvA
vAvA
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z
zA
z
zA
Av
Av
z
zv
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
k
k
k
k
kk
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0fecto del 0scalado &cont.%0fecto del 0scalado &cont.%
.
.
. . .
2 . .
. .
.
. . .
2 . .
.
. . . .. .
. .. .
lim lim .
kn
k i ii
i
k kn
k i ii
i
k
k kk k
x x
v
x x
x xv
x x
+
+
=+ +
+
=
+
+ +
+
=
+
= = =
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C)lculo del Autovalor DominanteC)lculo del Autovalor Dominante
2
2x
xAx
xx
xAx
xxxAx
xxA
T
T
T
TT
==
=
=
Cociente de ?ayleigh
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C)lculo del Mnimo AutovalorC)lculo del Mnimo Autovalor
kkkkk
kkkk
vxPzLxPzPA
xzAxAz
xAx
xAxAA
xxA
===
==
>
>
=
=
=
...
si
.
.
..6nn
n.6n2.
.
..
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Algoritmo MP 5nversoAlgoritmo MP 5nverso
xx
xAx
vPx
z
zv
vzL
k
LPA
xx
T
T
n
mm
k
kk
kk
n
=
=
=
=
=
=
=
+
re+etirfin
re+etir
converg.hasta$+ara
factori!ar
conDado
$$
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Mtodo de las Potencias con CorrimientoMtodo de las Potencias con Corrimiento
@
AAAAAA
%@&%@&
%@&%@&
@@
jjnn
jj
j
jjj
jjjjj
jjj
xIAx
xxIA
xxxIxA
xxA
+
=
=
=
=
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ShiftingShifting
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Algoritmo MP5 con CorrimientoAlgoritmo MP5 con Corrimiento
@%@&
re+etirfin
re+etir
converg.hasta$+ara
%@&factori!ar
@-conDado
$$
+
=
=
=
=
=
=
=
+
xx
xIAx
vPx
z
zv
vzL
k
LIAP
xx
T
T
mm
k
kk
kk
n
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?esumen?esumen
Mtodo Ecuacin Computa
Potencias Mximo autovalor
InversoPotencias
Mnimo autovalor
Consi!tin"
Autovalor msle#ano a $
Consi!tin"inverso
Autovalor mscercano a $
%&%.& kk Axx =+
%&%& kk xAx =+
%&%&%&
kkxIAx =+
%&%&%&
kkxxIA = +
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Conclusiones' Mtodo de las PotenciasConclusiones' Mtodo de las Potencias
%enta#a
Simplicidad
&esventa#as
Calcula los autovalores individualmente
'e(uiere un autovalor dominante Sur"en pro)lemas con autovalores comple#os
'e(uiere )uena distancia entre el autovalor dominante * su vecino
La iniciali+acin del autovector a!ecta la velocidad de conver"encia
erramienta para propsitos especiales
Mu* )uena si se conoce )ien el pro)lema -ecesidad de erramientas de propsito "eneral ...
(ue exi#an tomar menos decisiones
(ue calculen todo el espectro a la ve+
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Transformaciones SimilaresTransformaciones Similares
Las matrices
se denominan SIMILA'ES si
no sin"ular tal (ue
Las trans!ormaciones similarespreservan los autovalores
nxnnxn !A Bnxn
" "!"A .=
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TeoremaTeorema
##!
x"x"!
xx"!"
xxA
=
=
=
=
Demostraci"nDemostraci"n!deautovectores"x#!deautovalores
Adeautovectorxsea#Adeautovalor"ea
"!"A!asimilarA"ea nxnnxn
= .
B
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actori!aci"n Sucesivaactori!aci"n Sucesiva
Pro+"sito' Generar una sucesi"n de matrices similares-
tendiendo a lograr una forma es+ecial
kkkkk
kkkk
"""A"""A
"A"A
+
=
=
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Diagonali!aci"nDiagonali!aci"n
[ ] [ ]
[ ]
D$A$D$$A
xxx$A
xxxxxxA
nixxA
n
n
nnn
iii
==
=
=
==
.
2
.
2.
22..2.
$$
$$
$$
-.
Autovalores distintos EF Autovectores ;.5. EF 0(iste inversa de
Si A es simtrica EF Sus autovalores son reales
es ortogonal
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Es una buena idea emplear rutinasEs una buena idea emplear rutinas
prefabricadas?prefabricadas?
Pre"unta crucial (ue nos emos eco desde el principio.
/&ia"onali+ar matrices es un campo mu* comple#o de lamatemtica, * a exi"ido "ran cantidad de tiempo * de
tra)a#o desarrollar * veri!icar todas las rutinas reali+adas0
/Li)ros de tanta reputacin * calidad como el NumericalRecipesrecomiendan usar pa(uetes de rutinas. &e eco,existen "ran cantidad de rutinas de calidad * (ue sonaceptadas por la comunidad cient!ica, como es el caso de
EISPACK, IMSLo NAG. /
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0(+eriencia0(+eriencia
/Sin em)ar"o, al e#ecutar el cdi"o veri!icamos (ue elpro"rama comen+ a !allar * a "enerar datos errneos. 1rasvarias semanas de veri!icacin del cdi"o, lle"amos a laconclusin (ue el cdi"o esta)a mal2 eran las rutinas de
autovalores. 3 estudiando en pro!undidad dicas rutinasperci)imos (ue, por su implementacin interna, tenacomentado un escalado para (ue !uera ms deprisa.Eliminado el comentario del escalado, s volvi a darresultados correctos. Sin em)ar"o, esto *a sent las dudasso)re (u esta)amos empleando para resolver nuestrasecuaciones. Por otro lado, anali+amos los lmites internos
de las rutinas./
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?utinas +refa#ricadas?utinas +refa#ricadas
/Emplear rutinas *a pre!a)ricadas es, en nuestra opinin, una )uenaopcin para cuando no es un clculo (ue a"amos con !recuencia o (uesupon"a peso en los clculos para nuestro al"oritmo.0
/En caso de (ue la dia"onali+acin sea una parte importante de nuestro
tra)a#o, slo podemos emplear rutinas pre!a)ricadas para las primeras!ases de prototipado o para "enerar )ateras de prue)as para ase"urarnosde la correccin de nuestras rutinas, * sin tomar como axiomas losresultados numricos de nin"una de las dos rutinas.0
/Como rutinas pre!a)ricadas emos empleado las IMSL, (ue son )astante)uenas. Estn en 4ortran, lo (ue !u una venta#a en las primeras !ases delpro*ecto 5en las (ue el 4ortran !u nuestro len"ua#e de pro"ramacin5 * uninconveniente en las 6ltimas !ases 5(ue portamos todo el cdi"o a C,!undamentalmente por la "estin de memoria dinmica, de la (ue 4ortran77 carece *, en 4ortran 89 * posteriores, es menos e!iciente (ue en C./
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Matrices TriangularesMatrices Triangulares
nia
atrian%ularesA"i
IA%eneralEn
ii
n
iii
-
$%&
$%det&-
===
=
=
HC"mo transformar matrices ar#itrarias
en matrices triangulares con los mismos autovaloresI
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Teorema de SchurTeorema de Schur
Sea
0ntonces e(iste una matri! unitaria tal *ue
donde es triangular su+erior.
;os elementos diagonales de son los autovalores de
nxnCA
AAT > ==
TT A
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orma ?eal de Schurorma ?eal de Schur
Tdeconju%adoscomplejosautoval
deparunsonautovalsusT&ieno
TderealautovalorunesTdondeT
TT
TTT
TTTT
T
conATquetal
orto%onalEntoncesA"ea
xii
xii
kk
k
k
k
T
nxnnxn
.
.
$$$
$$
$
-.
22
333
22322
32
=
=
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34/34
;ectura o#ligatoria;ectura o#ligatoria
'ao p"s :795:8;
'ao p"s