Aulas sin fronteras 1
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 1
Esta clase tiene video
Actividad 1
Algunas funciones cuadráticas se representan con la expresión f(x) = x2 y su correspondiente gráfica recibe el nombre de parábola. 1
1 Observe la parábola que representa la función: f (x) = x2
Tema: Funciones cuadráticas
Clase 1
f (x) = –x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y
En las siguientes imágenes se pueden ver arcos cuya forma se aproxima a una parábola.
Escriba en qué otros ejemplos de la vida real encuentra formas que se parecen a la gráfica de las funciones cuadráticas.
1
2 Lea con atención las características de la parábola que representa la función f (x) = x2. Verifique cada característica en la gráfica dada al inicio de la actividad.
La gráfica de f (x ) = x 2 se conoce con el nombre de parábola normal.
Es simétrica al eje y . La ecuación del eje y es x = 0.
En este caso, el punto (0; 0) es el punto de corte de la parábola normal con el eje de simetría y se llama vértice.
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x
y
(2, 4)(–2, 4)
(0, 0)
C
u
Vértice
Actividad 2
La siguiente tabla establece algunos valores correspondientes a la función f (x) = x2.
1 Complete la tabla realizando el cálculo y verifique con la gráfica de la actividad 1 los puntos encontrados.
Bimestre: III Número de clase: 1
2 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9
2 Elabore una plantilla de la parábola normal. Para ello necesita papel milimetrado y cartulina; dibuje un plano cartesiano en el papel milimetrado con unidad de 1 cm y ubique los puntos de la tabla anterior y trace la parábola. Guíese con la gráfica que se presenta en la actividad 1a, y copie este plano sobre un acetato. Podrá usar la plantilla para examinar los cambios de la parábola. Observe las imágenes que muestran el procedimiento. 1–1 0–2–3 2 3
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x
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–2–3 2 3x
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x
y
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–2–3 2 3x
y
f (x) = –x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y
Actividad 3
1 Complete la tabla de valores de la función f (x) = –x2.
2 Ubique cada una de las coordenadas (x, y) obtenidas de la tabla en el plano cartesiano. Luego una estos puntos en el orden establecido por los valores de x; la unión entre los puntos debe conservar un trazo curvo.
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x
y
Puede usar la plantilla que elaboró para ubicar los puntos de la parábola.
Aulas sin fronteras 3
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 1
f (x) = x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y
f (x) = 2x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y
f (x) = 12
x2
x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y
Actividad 4
Complete las siguientes tablas de valores correspondiente a las funciones
f (x) = x2 ; f (x) = 2x2 ; f (x) = 12
x2
3 ¿Qué diferencias observa entre las tablas de valores de las funciones f (x) = x2 y f (x) = –x2?
4 ¿Cómo es la gráfica de f (x) = –x2 con respecto a f (x) = x2?
5 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola que representa la función f (x) = –x2?
6 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de f (x) = –x2?
7 En conclusión, ¿qué efecto tiene el signo menos sobre la parábola f (x) = x2?
Bimestre: III Número de clase: 1
4 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9
1 Según las coordenadas obtenidas en las tablas de valores, escriba la función que representa cada una de las siguientes parábolas. 2
2 ¿Qué le ocurre a la grafica de la parábola normal cuando la ecuación es multiplicada por 2?
3 ¿Cuál es el vértice de la parábola que representa la función f (x) = 2x2?
4 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de esta función?
5 ¿Qué le ocurre a la gráfica de la parábola normal cuando la ecuación es multiplicada por 12
?
6 ¿Cuál es el vértice de la parábola que representa esta función f (x) = 12
x2?
7 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de esta función?
Para la función cuadrática f (x) = ax2, se tiene que:
Si 0 < a < 1 la parábola es una dilatación con respecto a la parábola normal.
Si a > 1, la parábola se contrae con respecto a la parábola normal
Si a < 0, la parábola es un reflejo en el eje x de la parábola normal.
Grafique en el programa Geogebra tres funciones cuadráticas que ejemplifiquen lo anterior.
2
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x
y
f (x) =
f (x) =
f (x) =
Aulas sin fronteras 5
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 1
Actividad 5
Escriba una función de la forma f (x) = ax2 para cada una de las parábolas.
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Bimestre: III Número de clase: 2
6 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9
Actividad 6
Observe las siguientes gráficas de funciones cuadráticas y la expresión algebraica que las describe.
Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = x + e
Clase 22
1 Describa cómo se obtienen las gráficas anteriores partiendo de la gráfica representada por la función y = x2
2 ¿Qué representa el número 2 en cada una de las expresiones de las funciones?
3 Escriba las coordenadas del vértice de cada una de las parábolas.
V ( ; ) V ( ; )
4 ¿Qué le pasa a la gráfica de la función y = (x – 100) x 2 – 100 en relación con la gráfica de la función y = x2?
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y = x2 +2
y = x2 -2
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x
y
y = x2 +2
y = x2 -2
Aulas sin fronteras 7
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 2
Actividad 7
Elabore la tabla de valores y dibuje la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas en el mismo sistema de coordenadas. Identifíquelas con un color diferente. 3
1 Parábola: y = x2 + 3 2 Parábola: y = x2 – 3 3 Parábola: y = x2 + 2,5
4 Escriba el vértice de cada una de las parábolas anteriores.
Vértice de la parábola 1: Vértice de la parábola 2: Vértice de la parábola 3:
Las gráficas de las funciones cuadráticas de la forma
y = x2 + e
Son parábolas normales trasladadas en el eje y.
Su vértice es V ( 0 ; e)
Su eje de simetría es el eje y. Es decir, la recta x = 0.
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Bimestre: III Número de clase: 2
8 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9
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f (x) =
V ( , )
f (x) =
V ( , )
f (x) =
V ( , )
f (x) =
V ( , )
f (x) =
V ( , )
f (x) =
V ( , )
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Actividad 8
Escriba las expresiones algebraicas de las funciones representadas en cada gráfica. Escriba también las coordenadas del vértice de la parábola.
Aulas sin fronteras 9
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 3
Actividad 9
Actividad 10
1 Complete las siguientes tablas de valores correspondientes a las funciones
f (x) = (x + 2)2 y f (x) = (x – 2)2
Compare las tres parábolas que se obtuvieron en la gráfica anterior y responda.
1 ¿Qué le ocurre a la parábola de la función y = (x + 2)2 con respecto a la parábola y = x2?
2 Escriba las coordenadas del vértice de la parábola y = (x + 2)2. V( , )
2 Teniendo en cuenta los valores de las tablas realice la gráfica de cada una de las funciones cuadráticas en el plano cartesiano.
Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = (x + d)
Clase 32
f (x) = (x + 2)2x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
f (x) = (x – 2)2x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
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x
y
y = x2
10 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 3
Actividad 11
Escriba la expresión algebraica que describe cada una de las funciones cuadráticas representadas. Luego, escriba su vértice.
3 ¿Qué le ocurre a la parábola de la función y = (x – 2)2 con respecto a la parábola y = x2?
4 Escriba el vértice de la parábola de la función y = (x – 2)2. V ( , )
5 En general, qué le ocurre a la parábola de la función y = (x + d)2 y y = (x – d)2
6 Escriba el vértice de cada una de las parábolas.
y = (x + d)2 V ( , ) y = (x – d)2 V ( , )
1 2 3
–3–4–5 0–6 –2 –1
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430 21 5 6
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x
y
430 21 5 6 7 8
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x
y
Aulas sin fronteras 11
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 3
Actividad 12
Actividad 13
Observe la gráfica de la función cuadrática y su correspondiente expresión algebraica.
Escriba la expresión algebraica de la función y el vértice de la parábola que la representa.
1 La parábola normal se trasladó 4 unidades hacia la derecha del eje x.
y = V( , )
2 La parábola normal se trasladó 3,5 unidades hacia la izquierda del eje x.
y = V( , )
3 La parábola normal fue reflejada en el eje x y se trasladó hacia la derecha del mismo eje 2 unidades.
y = V( , )
1 2 3 4 50
–1
1
–1
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–3
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–5
–6
–7
–8
–9
–11
–10
x
y
y = –(x – 2)2
1 ¿Qué cambio tuvo la parábola y = x2 en relación con y = –(x – 2)2?
2 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola?
V ( , )
3 ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la parábola y = –(x – 2)2?
4 Lea la siguiente información
Las gráficas de las funciones de la forma y = (x – d )2 y y = (x + d )2 se pueden obtener haciendo una traslación en el eje x de la parábola y = x2. Dicha traslación será de d unidades a la derecha (si d es negativo) o d unidades a la izquierda (si d es positivo).
Si d es negativo, el vértice de la parábola está en el punto V (d , 0) y el eje de simetría es la recta x = d.
Si d es positivo, el vértice está ubicado en el punto V (–d, 0) y el eje de simetría es la recta de ecuación x = – d
12 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 4
Actividad 14
Actividad 15
1 La parábola normal fue trasladada unidades a la izquierda del eje x.
2 La parábola normal fue trasladada unidades hacia abajo del eje y.
3 El vértice de la parábola de la función es V ( –1, )
4 El eje de simetría es la línea paralela al eje y cuya ecuación es:
Observe la gráfica de la función cuadrática y la expresión algebraica que la representa y complete cada enunciado de acuerdo a la información dada en la gráfica.
1 Complete la tabla escribiendo el vértice o la expresión algebraica de la función según corresponda en cada caso.
Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = (x + d) + e
Clase 42
–1 0–2–3–4–5 21 3
7
8
6
5
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1x
y
y = (x + 1)2 – 2
Todas las funciones cuadráticas de la forma
y = (x + d)2 + e
Tienen como vértice V(–d ; e)
Expresión Vértice
a) y = (x – 4)2 + 6 V ( , )
b) y = V(–2 , 5)
c) y = (x – 7)2 – 9 V ( , )
Aulas sin fronteras 13
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 4
2 Escriba la expresión algebraica correspondiente a cada parábola.
10–1–2 432 5
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3 2 31
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3–4–5 1
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
10–1–2 432 5
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3 2 31
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3–4–5 1
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
10–1–2 432 5
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3 2 31
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
–1 0–2–3–4–5 1
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
y
Actividad 16
1 Observe la gráfica y las expresiones algebraicas de la función que representan. Luego, lea la información del Cuadro de diálogo. 4
Cuando una función cuadrática se representa como y = (x – d)2 + e se dice que está expresada en forma del vértice.
También esta función cuadrática se representa como y = x2 + bx – c y se dice que está expresada en forma general.
¿Por qué una de las expresiones que representa las funciones cuadráticas recibe el nombre de forma del vértice?
4
10–1 432 5 6
7
8
9
10
6
5
4
3
2
1
–2
–1
x
yy = (x – 3)2 + 1y = x2 – 6x + 10
a) b) c)
14 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 4
2 Escriba las siguientes expresiones de forma del vértice a forma general.
a) y = (x – 3)2 + 1
b) y = (x + 4)2 – 5
c) y = –(x + 5)2 + 7
Para escribir la expresión de forma del vértice a la forma
general de una función cuadrática, se debe resolver el
paréntesis y simplificar términos.
Aulas sin fronteras 15
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 5
Actividad 17
Actividad 18
Escriba la expresión algebraica de la función que representa cada transformación de la gráfica de una función cuadrática.
1 Lea la información.
En las parábolas cuya expresión algebraica tiene la forma y = a (x – d)2 + e, se pueden identificar características como:
Tema: Funciones cuadráticas de la forma a (x + d) + e
Clase 52
1–1 0–2–3 2 3
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
x
y
10 2 3 4 5 6
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
x
y
10 2 3 4 5
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
x
y
10 2 3 4 5
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
x
y
4
42
3
30 21–1 5 6 7 8
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
x
y
Parábola normal Tiene un factor de 2Se traslada 3 unidades hacia derecha
Se traslada 1 unidad hacia arriba
1 y = 2 y = 3 y = 4 y =
y = 3(x – 4)2 + 2
La parábola se contrae, por el
factor 3.
La parábola se traslada 4
unidades hacia la derecha del eje x.
La parábola se traslada 2
unidades hacia arriba del eje y.
16 Aulas sin fronteras
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 5
2 Escriba la expresión algebraica de la función y su correspondiente vértice en cada una de las parábolas.
1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
6
7
8
9
5
4
3
2
1
–1
–5
–6
–7
–8
–9
–3
–2
–4
x
y
a
e
f
c
b
d
a) V ( , ) y = b) V ( , ) y =
c) V ( , ) y = d) V ( , ) y =
e) V ( , ) y = f ) V ( , ) y =
Actividad 19
1 Observe la gráfica y las expresiones algebraicas de la función que la representan.
y = 3x2 + 6x + 1 y = 3(x + 1)2 – 2
Aulas sin fronteras 17
Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 5
2 Escriba de la forma general a la forma del vértice las siguientes funciones cuadráticas.
a) y = 4x2 – 16x + 2 b) y = 32
x2 + 3x – 6 c) y = 0,3x2 + 0,2x – 1,5
Por ejemplo para la función y = 3x2 + 6x + 1 se tiene que:
xvértice = – 6
2 · 3 ; xvértice = –1 Usando la formula xvértice = – b
2a
y =3·(–1)2 + 6·(–1) + 1 = –2 Reemplazando x en y = 3x2 + 6x + 1
V (–1, –2) Coordenada del vértice
y = 3(x + 1)2 – 2 Se tiene en cuenta que a es 3.
Para escribir la expresión de la parábola de la forma general a la forma del vértice, se tiene en cuenta lo siguiente:
–1 0–2–3–4 21 3
7
8
6
5
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
x
y
Forma general: y = ax2 + bx + c
Fórmula del vértice: xvértice = – b2a
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