8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
1/38
Clase 1.Tercera solemne.
FMM112
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas.
Septiembre 2015
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 1 / 1
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces gof es derivable en x 0 y además
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Ejemplo:
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Ejemplo:
Sea f (x ) =
sen(3x ) + x 2
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),
Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Ejemplo:
Sea f (x ) =
sen(3x ) + x 2
Entonces
f (x ) = 1
2
sen(3x ) + x 2
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),
Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Ejemplo:
Sea f (x ) =
sen(3x ) + x 2
Entonces
f (x ) = 1
2
sen(3x ) + x 2· (3cos(3x ) + 2x ) =
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
A ti id d 1 A ti id d d t l
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Actividad 1: Actividad de tres alumnos
Teorema : Sean f g dos funciones tales que Im( f ) ⊆ Dom(g ) y consideremos lafunción compuesta gof .
Si f es derivable en x 0 ∈ Dom( f ) y g es derivable en f (x 0) ∈ Dom(g ),
Entonces gof es derivable en x 0 y además
(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)
Ejemplo:
Sea f (x ) =
sen(3x ) + x 2
Entonces
f (x ) = 1
2
sen(3x ) + x 2· (3cos(3x ) + 2x ) = 3cos(3x ) + 2x
2
sen(3x ) + x 2
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 2 / 1
A ti id d 2 A ti id d d t l
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Actividad 2: Actividad de tres alumnos
A continuación disponen de 15 minutos para resolver las siguientes derivadas
1 f (x ) = cos (ln(x ) + 3x + 1)
2 f (x ) = tan2(2x +√
2x + 1)
3 f (x ) =
1
ln(x 2 + 2x )
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 3 / 1
A ti id d 3 A li ió A ti id d d t l
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Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos
A continuación disponen de 10 minutos para resolver las siguientes Aplicaciones
1 Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
f (x ) =√
4x + 9 + 2x
x + 5
que pasan por el punto (x 0 f (x 0)) tal que x 0 = 4
Solución.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 4 / 1
Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos
A continuación disponen de 10 minutos para resolver las siguientes Aplicaciones
1 Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
f (x ) =√
4x + 9 + 2x
x + 5
que pasan por el punto (x 0 f (x 0)) tal que x 0 = 4
Solución.
2 P (t ) = 10√ x 2 + 16 · e x 2+x +1 Representa el lanzamiento de un proyectil
balistico.
donde P (t ) : kilometros y t : en minutos
Entonces determine la velocidad del proyectil a los 3 minutos de su
lanzamientoSolución.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 4 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
F x + F y · f (x ) = 0
Es decir, que la derivada buscada es f (x ) = −F x F y
.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
F x + F y · f (x ) = 0
Es decir, que la derivada buscada es f (x ) = −F x F y
.
Ejemplo: Derivar implícitamente
x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8 = 0
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
F x + F y · f (x ) = 0
Es decir, que la derivada buscada es f (x ) = −F x F y
.
Ejemplo: Derivar implícitamente
x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8 = 0
Solución.
(3x 2 − 2y ) + (−4xy + 2y ) f (x ) = 0
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
F x + F y · f (x ) = 0
Es decir, que la derivada buscada es f (x ) = −F x F y
.
Ejemplo: Derivar implícitamente
x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8 = 0
Solución.
(3x 2 − 2y ) + (−4xy + 2y ) f (x ) = 0
f (x ) = −(3x 2 − 2y )
(2y − 4xy )
Observación.
1 F x : corresponde a la derivada de F (x y ) = 0 con respecto de x
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos
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p
Dada una función de manera implícita F (x y ) = 0, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x dy
dx = f (x ),debemos considerar a y = f (x ) como una función
en términos de la variable independiente x .Si derivamos con respecto a x la ecuación
F (x y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
F x + F y · f (x ) = 0
Es decir, que la derivada buscada es f (x ) = −F x F y
.
Ejemplo: Derivar implícitamente
x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8 = 0
Solución.
(3x 2 − 2y ) + (−4xy + 2y ) f (x ) = 0
f (x ) = −(3x 2 − 2y )
(2y − 4xy )
Observación.
1 F x : corresponde a la derivada de F (x y ) = 0 con respecto de x
2 F y : corresponde a la derivada de F (x y ) = 0 con respecto de y
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 5 / 1
Actividad 5:: Actividad de tres alumnos
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A continuación disponen de 15 minutos para resolver las siguientes derivadas im-
plicitas
1 xy + sen(xy ) + x + y = 100
Solución.
2 tan (x 2 + y 2) + e x 2+y
2+1 = 20
Solución.
3√
2x + 3y + xy + y 2 = 0
Solución.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 6 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
23/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
24/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
25/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
26/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
27/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Ejemplo:
i.y =
4x 2 + 1
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
28/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Ejemplo:
i.y =
4x 2 + 1
y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
29/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Ejemplo:
i.y =
4x 2 + 1
y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x
f (x ) = 4x y
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
30/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Ejemplo:
i.y =
4x 2 + 1
y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x
f (x ) = 4x y
f (x ) = 4x √
4x 2 + 1
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
31/38
Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función
inversa f −1(x ) se obtine com sigue.
( fof −1)(x ) = x
f ( f −1(x ))·
[ f −1(x )] = 1
Así la derivada de la función inversa es:
[ f −1(x )] = 1
f ( f −1(x ))
Ejemplo:
i.y =
4x 2 + 1
y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x
f (x ) = 4x y
f (x ) = 4x √
4x 2 + 1
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 7 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
32/38
ii.
y = arctg(x )
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
33/38
ii.
y = arctg(x )
tan(y ) = x
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
34/38
ii.
y = arctg(x )
tan(y ) = x
sec2(y ) f (x ) = 1
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
35/38
ii.
y = arctg(x )
tan(y ) = x
sec2(y ) f (x ) = 1
f (x ) = 1
sec2(y )
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
36/38
ii.
y = arctg(x )
tan(y ) = x
sec2(y ) f (x ) = 1
f (x ) = 1
sec2(y )
f (x ) = 1
1 + tan2(y )
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 6: Actividad de tres alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
37/38
ii.
y = arctg(x )
tan(y ) = x
sec2(y ) f (x ) = 1
f (x ) = 1
sec2(y )
f (x ) = 1
1 + tan2(y )
f (x ) = 1
1 + x 2
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 8 / 1
Actividad 7:Derivada de la función inversa : Actividad de tres
alumnos
8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112
38/38
alumnos
A continuación disponen de 15 minutos para derivar las siguientes funciones
1 y = arcsen(3x )
Solución.
2 y = arctg(e −x )
Solución.
3 y = e 2√ x
Solución.
Coordinación fmm112 Septiembre 2015 Clase 2. Regla de la cadena 9 / 1
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