Representacin algebraica de una circunferencia
La representacin algebraica se realiza con la ecuacin:
C: (x a)2 + (y b)2 = r2
donde C:(a,b) corresponde al centro y r a la medida del radio
Determine la ecuacin de la circunferencia de cada una de las siguientes
situaciones:
Una circunferencia cuyo centro es (1,2) y dimetro mide 12.
Una circunferencia cuyo centro es el origen y radio mide 4
3.
Una circunferencia cuyo radio es 3 y su centro es el origen.
Una circunferencia centrada en el punto (3,5) y es tangente al eje x.
Representacin Grfica Representacin Algebraica
Una circunferencia centrada en el punto ( 2, 1) y es tangente al
eje y.
Representacin Grfica Representacin Algebraica
Una circunferencia con centro en el punto ( 1, 5) y es tangente al
eje x.
Representacin Grfica Representacin Algebraica
La ecuacin de la circunferencia d, e y f.
Obtener la medida del radio a partir de dos puntos
El radio es la distancia que hay del centro a un punto de la circunferencia,
si se tienen esos dos puntos, es posible obtener su medida con la frmula
de distancia entre dos puntos.
d = (1 2)2 + (1 2)2
Ejercicio
Determine la medida del radio de una circunferencia que pasa por el
punto (6,1) y cuyo centro est en el punto (4,7).
Determine la ecuacin de la circunferencia de centro (1,0) y que pasa por
el punto (3,4).
Puntos interiores, exteriores o pertenecientes a una circunferencia
Para determinar algebraicamente si un punto se ubica en el interior,
exterior o pertenece a una circunferencia es necesario conocer dos
distancias:
Del centro a un punto de la circunferencia: radio
Del centro al punto que se quiere ubicar.
Para esto se aplica la frmula de distancia entre dos puntos
d = (1 2)2 + (1 2)2
Teniendo las dos distancias, se realiza una comparacin entre las medidas
obtenidas.
Si la distancia entre el centro y el
punto que se quiere ubicar es
Tipo de punto
Menor que el radio Interior
Igual al radio Perteneciente a la circunferencia
Mayor al radio Exterior
Ejercicio
Considere la circunferencia con ecuacin ( 7)2 + ( + 1)2 = 6 ,
clasifique los siguientes puntos en interiores, exteriores o pertenecientes a
esa circunferencia.
(0,0) (1,5) (2,3)
(5
2, 4) (
;1
3, 0) (
;3
2, 5)
Rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia
Para determinar si una recta es tangente, secante o exterior a una
circunferencia se procede a:
1. Sustituir la ecuacin de la recta secante, tangente o exterior en la
circunferencia, realizando procedimientos (frmulas notables, sumas,
restas, despejes) hasta obtener una ecuacin cuadrtica.
2. Resolver la ecuacin cuadrtica con MODE 53.
3. Se clasificar dependiendo de la cantidad de soluciones que tenga.
Cantidad de soluciones Tipo de recta
0 soluciones Exterior
1 solucin Tangente
2 soluciones Secante
Ejercicio
A continuacin se presentan varios sistemas de ecuaciones en dos
incgnitas. Una de las ecuaciones de cada sistema corresponde a la
ecuacin de la circunferencia y la otra representa la ecuacin de una
recta. En cada caso indique si la recta es exterior, tangente o secante a la
circunferencia respectiva.
a) {4 = ( 1)2 + 2
= + 1 b) {
3 = ( + 1)2 + ( + 3)2
= 5 c) {
5 = 2 + 2
= 2
d) {3 = ( 2)2 + ( + 3)2
= + 2 e) {
1 = ( 2)2 + 2
= f) {
6 = 2 + 2
= 3
Representacin algebraica de rectas secantes, tangentes y
exteriores a una circunferencia Dado que las rectas secantes, tangentes y exteriores son lineales la forma
algebraica que tendrn ser
Se pueden presentar dos casos para formar la ecuacin.
1. Tener dos puntos (pares ordenados) pertenecientes a la recta (esto
se da generalmente en rectas secantes)
Si se tienen dos pares ordenados de esa recta se colocan en el
MODE 51 de la calculadora en el siguiente orden:
A B C
X1 1 Y1
X2 1 Y2
La primera respuesta ser el valor de la m (pendiente) y la segunda
el valor de la b.
y = x +
pendiente
Interseccin eje y
Ejercicio
Determine la ecuacin de la recta secante AB a la circunferencia C.
2. Tener la pendiente m o la interseccin con el eje y b y un par
ordenado (este caso se presenta generalmente en la recta
tangente)
En este caso se sustituyen los valores dados en la frmula de la ecuacin
y=mx+b y se procede a despejar, para obtener el valor faltante.
Ejercicio
Determine la ecuacin de la recta cuya pendiente es 5 y que es tangente
a una circunferencia en (1,4).
A
B
1 4
3
7
2
Posicin relativa entre rectas en el plano
Si dos rectas son paralelas tienen la misma inclinacin y nunca se
intersecan, por lo tanto el valor de la pendiente ser el mismo.
Ejercicio
Determine si las siguientes parejas (ver hacia abajo) de rectas son paralelas.
y=4x+2 y=3
2 + 2 4x-2y=1 y=6x+3
y=4x+3 y=2
3 + 5 y=2x+3 y= 15+6x
Cul es el criterio de una recta que pasa por el punto (5,3) y es paralela a
la recta determinada por y=6x?
La pendiente de y=6x, es m=6, dado que la otra recta es paralela a sta, la
pendiente de ella tambin ser 6.
Por lo tanto se tiene m=6 y el punto (5,3), solamente faltara obtener el valor
de b (interseccin con y), entonces se realiza el procedimiento donde se
sustituye la frmula de la funcin lineal y=mx+b
3=65+b
b=27
Ya se tiene m=6 y b=27, estos se sustituyen de nuevo en la ecuacin
y=mx+b
y=6x27
Ejercicio
Cul es la ecuacin de una recta paralela a la recta determinada por
y=7x+4 y que pasa por el punto (0,1)?
Determine la ecuacin de la recta paralela al dimetro de la
circunferencia ( 1)2 + ( 2)2 = 4 y que pasa por el punto (4,5)
Determine la ecuacin de la recta
paralela a l y que pasa por el punto
(2,3).
Posicin relativa de una recta: perpendicularidad
Rectas tangentes a la circunferencia AC es una recta tangente a la circunferencia de centro O.
Existe una propiedad que indica que todas las rectas tangentes a una
circunferencia sern perpendiculares al radio de la circunferencia en el
punto de tangencia.
Para obtener la ecuacin de la recta tangente:
Se obtiene la pendiente de la ecuacin del radio.
Como el radio y la tangente son perpendiculares, la m de la
tangente ser igual al opuesto inverso de la m del radio.
Ejemplo: Si la pendiente del radio es ;9
8 la pendiente de la tangente
ser 8
9
Teniendo los datos de la m de la tangente y un par ordenado que
sea parte de ella, se puede obtener la b con la frmula =
Ejercicio
Determine la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia C
definida por ( 2)2 + ( + 3)2 = 9
Considere la circunferencia de centro Q( 2, 3) tal que la recta y=14x 7
es tangente en un punto P. Determine la ecuacin del dimetro que pasa
por el punto T.
La recta P es tangente a la circunferencia C centrada en el origen. El
punto de tangencia es (5,12). Determine la pendiente y la ecuacin de la
recta P.
Perpendicularidad entre radio y recta tangente: Formacin de tringulos rectos
Dado que todas las rectas tangentes a una circunferencia son
perpendiculares al radio de la misma, se pueden formar tringulos
rectngulos.
De esta forma se pueden calcular distancias o medidas de ngulos,
aplicando el teorema de Pitgoras o la Ley de Senos en esos tringulos.
Teorema de Pitgoras
Se utiliza para determinar la medida de algn lado.
Hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Cateto Cateto
Hipotenusa
Ley de senos
Se utiliza para determinar la medida de algn lado, conociendo slo un
lado y dos ngulos.
O para determinar cul es la medida de un ngulo.
En la figura la recta AB es tangente a la circunferencia de centro O. Con
base en la informacin brindada, calcule lo que se le solicita.
1. S mBOA = 39, mABO, = _________
2. Si AB=8 cm, BO=10 cm, radio=______
3. Si = 60, OA=7 cm, BO=_______
4. Si OB=24 cm, dimetro=14 cm, AB=______
5. Si = 34, AB=9 cm, radio=_______
A
B
C
BC
sen =
AC
sen =
AB
sen
O
A B
Traslaciones de una circunferencia
La traslacin consiste en un cambio de posicin de una circunferencia sin
que el radio se vea alterado.
Para trasladar una circunferencia se cambian los valores del centro (a,b)
aplicando la traslacin a las coordenadas solicitadas.
Ejercicios
Determine las coordenadas del nuevo centro de las siguientes
circunferencias al aplicarle la traslacin solicitada en cada una de ellas.
Ecuacin de la circunferencia Traslacin Nuevo centro
3 = ( + 2)2 + ( 5)2 (x + 1, y 6)
16 = 2 + ( 7)2 (x + 2, y)
4 = ( + 1)2 + 2 (x, y 5)
1 = ( + 2)2 + ( + 5)2 (x 7, y 9)
Represente algebraicamente las siguientes circunferencias despus de
haber trasladado su centro al punto mencionado.
Ecuacin de la circunferencia Nuevo centro
3 = ( + 1)2 + ( + 3)2 (2,4)
16 = 2 + ( 5)2 (3,2)
4 = ( 5)2 + 2 (0,3)
Prctica 1. La ecuacin de una circunferencia cuyo dimetro es 12 y las coordenadas de
su centro estn dadas por el punto (0,2) es
A) (x 2)2 + y2 = 6
B) (x 2)2 + y2 = 12
C) x2 + (y 2)2 = 12
D) x2 + (y 2)2 = 36
2. La ecuacin de la circunferencia cuyo centro est dado por las coordenadas
(3,4) y que pasa por el punto (2,3) corresponde a
A) (x 3)2 + (y + 4)2 = 2
B) (x + 3)2 + (y 4)2 = 2
C) (x 3)2 + (y + 4)2 = 2
D) (x + 3)2 + (y 4)2 = 2
3. La ecuacin de una circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas
(3, 2) y es tangente al eje x corresponde a
A) (x 3)2 + (y + 2)2 = 2
B) (x 3)2 + (y + 2)2 = 4
C) (x + 3)2 + (y 2)2 = 4
D) (x 3)2 + (y + 2)2 = 4
4. Considere la siguiente figura.
De acuerdo con los datos de la figura, la ecuacin de la circunferencia con
centro en A y que pasa por el punto B es
A) (x 2)2 + y2 = 2
B) (x 2)2 + y2 = 4
C) (x + 2)2 + y2 = 4
D) x2 + (y 2)2 = 4
5. Considere la siguiente figura
De acuerdo con los datos de la figura. La ecuacin de la circunferencia con
centro en A y que pasa por el punto B corresponde a
A) ( + 4)2 + ( 6)2 = 25
B) ( 4)2 + ( + 6)2 = 25
C) ( + 4)2 + ( 6)2 = 20
D) ( 4)2 + ( + 6)2 = 20
6. El radio de la circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas (1
2, 1) y
que contiene el punto (3
2, 1) corresponde a
A) 1
B) 2
C) 2
D) 4
7. Sea x2 + y2 8x + 16 = 4 la ecuacin de una circunferencia. Cules son las
coordenadas del centro esa circunferencia?
A) (0,4)
B) (4,0)
C) (0, 4)
D) (4,0)
8. Sea x2 + 6x + y2 = 10 la ecuacin de una circunferencia. Cules son las
coordenadas del centro esa circunferencia?
A) (0,3)
B) (3,0)
C) (0, 3)
D) (3,0)
9. Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia de
ecuacin ( + 5)2 + ( 3)2 = 5.
I. Su centro est dado por las coordenadas (5, 3)
II. Su radio es 5.
Cules de ellas son verdaderas?
A) Slo la I.
B) Slo la II.
C) Ambas.
D) Ninguna.
10. Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia de
ecuacin 2 4 + 2 = 0.
I. Las coordenadas de su centro son (2,0)
II. La medida de su radio es 2.
Cules de ellas son verdaderas?
A) Slo la I.
B) Slo la II.
C) Ambas.
D) Ninguna.
11. La longitud del dimetro de la circunferencia cuyo centro tiene coordenadas
(4,2) y que contiene al punto (2, 1) corresponde a
A) 13
B) 26
C) 13
D) 213
12. Si los extremos del dimetro de una circunferencia tiene coordenadas (1,5) y
(1, 1) entonces, la longitud de esa circunferencia corresponde a
A) 9
B) 6
C) 3
D) 12
13. De acuerdo con los datos de la figura adjunta en la cual A es el centro de la
circunferencia que contiene al punto B, la longitud de esa circunferencia es
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
14. De acuerdo con los datos de la figura adjunta en la cual A es el centro de la
circunferencia que contiene el punto B, el rea del crculo es
A) 5
B) 10
C) 25
D) 25
15. Considere la circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas (2, 3)
y que tiene 3 unidades de radio. Cul de las siguientes coordenadas
corresponde a un punto exterior de esa circunferencia?
A) (0,0)
B) (0, 3)
C) (2,0)
D) (3, 2)
16. Un punto en el interior de la circunferencia de ecuacin ( + 3)2 + ( 3)2 = 1
tiene como coordenadas
A) (-3,2)
B) (;1
2, 3)
C) (;9
2,
9
2)
D) (;5
2,
5
2)
17. Sea (x 2)2 + (y 1)2 = 4 la ecuacin de una circunferencia. Cul es un
punto que pertenece al interior de esa circunferencia?
A) (1,3)
B) (0,1)
C) (2,2)
D) (2, 1)
18. Las coordenadas de un punto que pertenece a la circunferencia de ecuacin
( 1)2 + 2 = 3 corresponde a
A) (0,0)
B) (5,1)
C) (4,0)
D) (1,1)
19. Sea 36 = x2 + y2 la ecuacin de una circunferencia. Cul corresponde a la
ecuacin de una recta exterior a esa circunferencia?
A) y = 4
B) y = 4
C) y = 6x
D) y = 6x
20. Considere la siguiente figura
De acuerdo con los datos de la figura, la ecuacin de la recta secante AB con la
circunferencia es
A) y =x;8
3
B) y =x:8
3
C) y =;x;8
3
D) y =8x:1
3
21. La ecuacin de la recta tangente a la circunferencia de ecuacin 2 + 2 = 9
en el punto (3,0) corresponde a
A) x = 0
B) y = 0
C) x = 3
D) y = 3
22. Cul es la ecuacin de una recta tangente a una circunferencia de centro
(3,5) en el punto (2,4)?
A) y = 5x 6
B) y = 6x 5
C) y = 22x 1
D) y =;x:22
5
23. En la figura, AB es una recta secante a la circunferencia. Cul es la ecuacin
de la recta AB?
A) y = x +1
3
B) y =;3x
4
1
4
C) y =x
3 1
D) y =;x
4
3
4
24. Considere la siguiente figura de una circunferencia con centro en A.
De acuerdo con los datos de la figura. Cul es la ecuacin de una recta
paralela a la recta secante BD?
A) y = x + 5
B) y = x + 3
C) y = 3x 1
D) y = 3x + 1
25. Considere la siguiente figura de una circunferencia de centro O y en la cual la
recta AB es tangente a ella en el punto A.
De acuerdo con los datos de la figura anterior, si OB=15 cm y = 35. Cul
es aproximadamente la medida, en centmetros cuadrados, del dimetro de esa
circunferencia?
A) 8,60 cm.
B) 17,21 cm.
C) 12,29 cm.
D) 24,57 cm.
26. Sea (x 4)2 + (y + 5)2 = 6 la ecuacin de una circunferencia, si el centro de
esa circunferencia se traslada a las coordenadas (1,0). Cul corresponde a
la ecuacin de la circunferencia trasladada?
A) (x 1)2 + y2 = 6
B) (x + 1)2 + y2 = 6
C) x2 + (y 1)2 = 6
D) x2 + (y + 1)2 = 6
27. Las coordenadas del centro de una circunferencia son (2,5), si al centro de
esa circunferencia se le aplica la traslacin (x + 3, y 6) . Cules son las
coordenadas del centro de la circunferencia trasladada?
A) (1, 1)
B) (1, 1)
C) (5, 11)
D) (2,5)
O
A B
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