CIRCUNFERENCIA
Jaime Mayhuay Castro
Instructor
DEFINICION
Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C(h;k): es el centro de la circunferencia.
P(x;y): un punto cualquiera de la circunferencia.
r: se le conoce como radio.
P (x, y)
C(h, k)El CENTRO se ubica en el origen de coordenadas
r
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C(h;k): es el centro de la circunferencia.
P(x;y): un punto cualquiera de la circunferencia.
r: se le conoce como radio.
P (x, y)
C(h, k)El CENTRO se ubica en un punto diferente del origen de coordenadas
r
ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Cuando el centro coincide con el origen de coordenadas, su ecuación es:
Su ecuación : x2 + y2 = r2
ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Cuando el centro es cualquier punto(h;k)
Su ecuación : (x – h)2 + (y – k)2 = r2
ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
De la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2
Desarrollando los cuadrados y obtenemos:x2 + y2 –2hx –2ky+ h2 + k2– r2 =0
Si reemplazamos D=-2h E=-2k F = h2 + k2 - r2 Tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
PROBLEMA 1
Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, si su centro es (0,0) y tiene un radio de longitud 7
Su centro (0,0) es el origen de coordenadas, y radio 7Entonces su ecuación : x2 + y2 = r2
Rpta : x2 + y2 = 49
PROBLEMA 2
Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, si su centro es (4,-5) y tiene un radio de longitud 6
Su centro (4,-5) y radio 6Entonces su ecuación : (x – h)2 + (y – k)2 = r2
Rpta : (x – 4)2 + (y + 5)2 = 36
PROBLEMA 3
De la ecuación de la circunferencia: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 16.Hallar su centro y su radio
La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x – 5)2 + (y – 3)2 = 16.C(5; 3) y radio es 4
Rpta :
C(5; 3) y radio es 4
PROBLEMA 4
De la ecuación de la circunferencia: (x – 2)2 + (y +1)2 = 5.Hallar su centro y su radio
La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x – 2)2 + (y + 1)2 = 5.C(2; -1) y radio es
Rpta :
C(2; -1) y radio es
5
5
PROBLEMA 5
De la ecuación de la circunferencia: (x +5)2 + y 2 = 36.Hallar su centro y su radio
La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x +5)2 + y2 = 36.C(-5; 0) y radio es 6
Rpta :
C(-5; 0) y radio es 6
PROBLEMA 6
Hallar la ecuación general de la circunferencia, si su centro (2,-3) y su radio es 5
La ecuación corresponde a (x – 2)2 + (y +3)2 = 25 resolviendo, x2 + y2 – 4x + 6y - 12= 0
Rpta :
x2 + y2 – 4x + 6y - 12= 0
PROBLEMA 7
De la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0Hallar el centro y el radio
La ecuación corresponde a D = 6 = – 2h h = – 3 E = – 8 –8=– 2k k = 4El centro (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42– r2 r = 6La ecuación :
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Rpta :
C(–3,4) r = 6
PROBLEMA 8
Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto común de las rectas L1: x + 3y – 6 = 0 y L2: x – 2y – 1 = 0.
Pasa por (0,0)El C(h,k) es la intersección de L1y L2 x + 3y – 6 = 0 x= 3
x – 2y – 1 = 0. y = 1 …..C(3,1)
(0,0)
L1 L2
Hallo el radio, es la longitud entre los puntos (0,0) y (3, 1) es:
(3,1)
10)01()03( 22
Su ecuación:(x-3)2 + (y-1)2 = 10
PROBLEMA 9
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-1, 2) y tangente a la recta 4x + 3y -12 = 0.
El radio, la longitud es la distancia del punto (-1,2) a la recta 4x+3y = 12
tan
(-1,2)
234
12)2(3)1(422
d
Su ecuación:(x + 1)2 + ( y - 2)2 = 4
PROBLEMA 10
Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1,3) y que es tangente al eje X.
El radio, la longitud es la distancia del punto (-1,2) a la recta 4x+3y = 12
radio
(-1,3)
234
12)2(3)1(422
d
Su ecuación:(x + 1)2 + ( y - 3)2 = 4
PROBLEMA 11
Hallar la circunferencia que pasa por los puntos A(-3,2), B(0,0) y C(7, 4)
Tenemos la ecuación general
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Pasa por (-3,2) (-3)2 + (2)2 + D(-3) + E(2) + F = 0 .. (1)Pasa por (0,0) (0)2 + (0)2 + D(0) + E(0) + F = 0 .. (2)Pasa por (7,4) (7)2 + (4)2 + D(7) + E(4) + F = 0 .. (3)
De (2) F= 0 De (1) -3D+2E = -13De (3) 7D +4E = -65Resolviendo D= -3 E= -11
Su ecuación:x2 + y2 -3x -11y + 0 = 0