1-.Expresar limn→∞
∑i=1
n
(cos x i+x i tan x i) ∆ x como una integral en el intervalo [0 , π ]
El límite lo podemos escribir como sigue:
limn→∞
∑i=1
n
f (x i )∆ x=∫a
b
f (x )dx
Por lo tanto:
limn→∞
∑i=1
n
(cos x i+x i tan x i) ∆ x→∫0
π
(cos x+x tan x)dx
2-.Expresarlimn→∞
∑i=1
n
¿¿¿ como una integral en el intervalo [3,9]
El límite lo podemos escribir como sigue:
limn→∞
∑i=1
n
f (x i )∆ x=∫a
b
f (x )dx
Por lo tanto:
limn→∞
∑i=1
n
¿¿¿
3-.Expresar limn→∞
∑i=1
n (x i12+ln x i
3)∆ x como una integral en el intervalo [0,3]
El límite lo podemos escribir como sigue:
limn→∞
∑i=1
n
f (x i )∆ x=∫a
b
f (x )dx
Por lo tanto:
limn→∞
∑i=1
n (x i12+ln x i
3)∆ x→∫0
3
(x12−ln x3)dx
4-.Evaluar las siguientes sumas de Riemann.
a) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=5 x−6en el intervalo [2,5]
Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:
∆ x=b−an→siendoa=2 y b=5→sustituyendoen la formulatenemos :
∆ x=5−2n→3n
Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:
x i=a+ i∆ x→2+3ni
Conociendo que la suma de Riemann está dada por:
∑i=1
n
f (x i )∆ x→∑i=1
n
f (2+3n i) 3n→sustituyoen la funcion f (x)
∑i=1
n [5(2+ 3n i)−6] 3n→ [10+ 15n i−6] 3n→[4+15n i ] 3n
Por la siguiente identidad de la sumatoria
∑i=1
n
ca i=c∑i=1
n
ai
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
∑i=1
n
[4+15n i] 3n→ 3n∑i=1
n
[4+ 15n i]→ 3n [∑i=1
n
4+ 15n∑i=1
n
i ]
Por la siguientes identidades de la sumatoria
∑i=1
n
c=nc y∑i=1
n
i=n(n+1)2
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
3n [4n+ 15n . n(n+1)2 ]→ 3
n [4n+ 15(n+1)2 ]→12+ 45 (n+1)2n→12+ 45
2+ 452n
Usando límite en la anterior expresión nos queda:
limn→∞ (12+ 452 + 45
2n )→ limn→∞ (12+ 452 + 452∞ )
Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:
12+22.5=34.5u2 y esta esel area bajo lacurva deesa funcion
Ahora la realizamos mediante la integral definida:
∫2
5
5 x−6 dx→[ 52 x2−6 x ]25
→ [ 52 (5 )2−6 (5 )]−[ 52 (2 )2−6 (2 )]
1252
−30−10+12→34.5u2
b) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=x3−7 en el intervalo [3,4]
Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:
∆ x=b−an→siendoa=3 y b=4→sustituyendoen la formulatenemos :
∆ x= 4−3n→1n
Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:
x i=a+ i∆ x→3+1ni
Conociendo que la suma de Riemann está dada por:
∑i=1
n
f (x i )∆ x→∑i=1
n
f(3+ 1n i)
3
∗1
n→sustituyoen la funcion f (x )
∑i=1
n [(3+ 1n i)3
−7]∗1n
→[(27+ 9 i2n2 + 27 i
n+ i
3
n3 )−7]∗1n
Por la siguiente identidad de la sumatoria
∑i=1
n
ca i=c∑i=1
n
ai
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
∑i=1
n [27+ 9 i2n2 + 27 in
+ i3
n3−7 ]∗1
n→1n∑i=1
n [ 9 i2n2 + 27 in
+ i3
n3+20]
1n [ 9n2∑i=1
n
i2+ 27n∑i=1
n
i+ 1n3∑i=1
n
i3+∑i=1
n
20]
Por la siguientes identidades de la sumatoria
∑i=1
n
c=nc ,∑i=1
n
i2=n(n+1)(2n+1)
6,∑i=1
n
i3( n(n+1)2 )2
,∑i=1
n
i=n(n+1)2
1n [ 9n2 n(n+1)(2n+1)6
+27nn(n+1)2
+ 1n3 ( n(n+1)2 )
2
+20n ]
1n [ 9n2 2n
3+3n2+n6
+ 27nn2+n2
+ 1n3n4+2n3+n2
4+20n]
18n3
6n3+ 27n
2
6n3+ 9n6 n3
+ 27n2
2n2+ 27n2n2
+ n4
4 n4+ 2n
3
4n4+ n2
4 n4+ 20nn
186
+ 276n
+ 9
6n2+ 272
+ 272n
+ 14+ 12n
+ 1
4n2+20
Usando límite en la anterior expresión nos queda:
limn→∞ (3+ 276 n+ 9
6n2+13.5+
272n
+14+12n
+1
4n2+20)→ lim
n→∞ (3+ 27∞ +9∞
+13.5+27∞
+0.25+1∞
+1∞
+20)
Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:
3+13.5+.25+20=36.75u2 y esta esel area bajola curvade esafuncion
Ahora la realizamos mediante la integral definida:
∫3
4
x3−7 dx→[ x 44 −7 x]3
4
→[ 444 −7 (4 )]−[ 344 −7 (3 )]→64−28−20.25+21
64−28−20.25+21=36.75u2 y esta esel area bajola curvade esa funcion
La grafica tiene un intervalo de x=2 , y=50
Evalúa ∫2
5
x3−7 dx
[ x44 −7 x ]2
5
→[ (5 )4
4−7 (5 )]−[ (2 )4
4−7 (2 )]→156.25+35−4+14
201.25u2 y estaes el area bajola curvade esafuncion
c) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=2x2+3 x+x en el intervalo [−2,1]
Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:
∆ x=b−an→siendoa=−2 y b=1→sustituyendoen la formulatenemos :
∆ x=1+2n→3n
Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:
x i=a+ i∆ x→−2+ 3ni
Conociendo que la suma de Riemann está dada por:
∑i=1
n
f (x i )∆ x→∑i=1
n
f (−2+3n i) 3n→sust ituyoen la funcion f (x )
∑i=1
n [2(−2+ 3n i)2
+4 (−2+ 3n i)] 3n→∑i=1
n [2(4−12 in + 9 i2
n2 )−8+ 12 in ] 3n
∑i=1
n [8−24 in + 18 i2
n2−8+ 12 i
n ] 3n→∑i=1
n [18 i2n2 −12 in ] 3n
Por la siguiente identidad de la sumatoria:
∑i=1
n
ca i=c∑i=1
n
ai
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
3n∑i=1
n [ 18 i2n2 −12 in ]→ 3
n [ 18n2 ∑i=1n
i2−12n∑i=1
n
i ]
Por la siguientes identidades de la sumatoria
∑i=1
n
i2=n(n+1)(2n+1)
6y∑i=1
n
i=n(n+1)2
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
3n [ 18n2 n(n+1)(2n+1)6
−12nn(n+1)2 ]→ 3
n [ 18n2 2n3+3n2+n6
−12nn2+n2 ]
3n [36n36n2
+54 n2
6n2+ 18n6n2
−12n2
2n−12n2n ]→ 18n3
n3+ 162n
2
6n3+ 54n6 n3
−36n2
2n2−36nn2
Usando límite en la anterior expresión nos queda:
limn→∞ (18+ 27n +
9
n2−18−
36n )→ lim
n→∞ (18+ 27∞ +9∞
−18−36∞ )
Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:
18−18=0
Ahora la realizamos mediante la integral definida:
∫−2
1
2 x2+4 x dx→[ 2x33 +2 x ]−2
1
→[ 2 (1 )3
3+2 (1 )2]−[ 2 (−2 )3
3+2 (−2 )2]→0.66+2+5.33−8
8−8=0
Evalúa ∫3
4
x2−3 x+x dx
∫3
4
x2−2 x dx→[ x33 −x2
2 ]3
4
→[ (4 )3
3−
(4 )2
2 ]−[ (3 )3
3−
(3 )2
2 ]→21.33+8−9+4.5
24.83u2 y estaes el area bajola curvade esafuncion
Calcular la integral definida ∫−2
1
2 xdx mediante sumas de Riemann.
Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:
∆ x=b−an→siendoa=−2 y b=1→sustituyendoen la formulatenemos :
∆ x=1+2n→3n
Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:
x i=a+ i∆ x→−2+ 3ni
Conociendo que la suma de Riemann está dada por:
∑i=1
n
f (x i )∆ x→∑i=1
n
f (−2+3n i) 3n→sustituyoen l a funcion f (x )
∑i=1
n [2(−2+ 3n i)2] 3n→∑
i=1
n
[(−4+ 6in )] 3n
Por la siguiente identidad de la sumatoria:
∑i=1
n
ca i=c∑i=1
n
ai
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
3n∑i=1
n
[−4+ 6 in ]→ 3n [∑
i=1
n
−4+6n∑i=1
n
i ]
Por la siguientes identidades de la sumatoria
∑i=1
n
i=n (n+1)2
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
3n [−4n+ 6n n(n+1)2 ]→ 3
n [−4n+ 6n22n +6 n2n ]
Usando límite en la anterior expresión nos queda:
limn→∞ (−12+ 182 +
18n
n2 )→ limn→∞ (−12+ 182 +
9∞ )
Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:
−12+9=−3
*Nota: aquí podemos ver que el área azul es negativa y con un valor mayor al área rojo que es positiva
Calcular la integral definida ∫−2
7
5 x3+ 2 x2
3dx mediante sumas de Riemann.
Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:
∆ x=b−an→siendoa=−2 y b=7→sustituyendoen la formulatenemos :
∆ x=7+2n→9n
Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:
x i=a+ i∆ x→−2+ 9ni
Conociendo que la suma de Riemann está dada por:
∑i=1
n
f (x i )∆ x→∑i=1
n
f (−2+ 9n i) 9n→sustituyoen la funcion f (x)
∑i=1
n [5(−2+ 9n i)3
+23 (−2+ 9n i)
2] 9n→∑i=1
n [5(−8−486 in2 + 108 in
+729 i3
n3 )+ 23 (4−36 in + 81i2
n2 )] 9n
∑i=1
n [−40−2430 i2n2+ 540in
+3645 i3
n3+ 83−72 in
+162 i2
3n2 ] 9n
Por la siguiente identidad de la sumatoria:
∑i=1
n
ca i=c∑i=1
n
ai
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
9n¿
9n¿
Por la siguientes identidades de la sumatoria
∑i=1
n
i2=n(n+1)(2n+1)
6∑i=1
n
i=n (n+1)2
∑i=1
n
i3( n(n+1)2 )2
Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos
9n [−37.33n−2376n2 n (n+1 ) (2n+1 )
6+ 516nn (n+1 )2
+ 3645n3
n4+2n3+n2
4 ]
9n [−37.33n−23766 n2
2n3+3n2+n6
+516nn2+n2
+ 3645n3
n4+2n3+n2
4 ]
[−335.97 nn−42768n
3
6n3−64152n
2
6n3−21384n
6n3+ 4644n
2
2n2+ 4644n2n2
+32805 n4
4n4+ 65610n
3
4n4+ 32805n
2
4 n4 ]
−335.97−7128−10692n
−3564n2
+2322+ 2322n
+8201.25+ 16402.5n
+ 8201.25n2
Usando límite en la anterior expresión nos queda:
limn→∞ (−335.97−7128−10692∞ −3564
∞+2322+ 2322
∞+8201.25+16402.5
∞+ 8201.25
∞ )
Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:
−335.97−7128+2322+8201.25=3059.28u2
Ahora la realizamos mediante la integral definida:
∫−2
7
5 x3+ 2 x2
3dx
[ 54 x 4+ 29 x3]−27
→ [54 (7 )4+ 29
(7 )3]−[54 (−2 )4+ 29
(−2 )3]→3001.25+76.22−20+1.777=3059.25u2