CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
SECCIONES CÓNICAS Y
SUPERFICIES CUÁDRICAS
ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS
CÁLCULO 2 (CE14)
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 2
Habilidades
Reconoce y gráfica una circunferencia, parábola, elipse e
hipérbola según su ecuación.
Grafica planos y describe sus características.
Determinas las propiedades de las superficies cuadráticas y las
gráficas.
Grafica en el primer octante curvas en el espacio como
intersección de dos superficies.
Grafica sólidos en el primer octante.
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Las secciones cónicas son las curvas que se generan al cortar un cono con un plano.
SECCIONES CÓNICAS
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CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN
222 ryx
CIRCUNFERENCIA
r
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PARÁBOLA ECUACIONES 2xky
2ykx
PARÁBOLA
0k
0k
0k
0k
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ELIPSE ECUACIONES
12
2
2
2
b
y
a
xa- a
b
- b
12
2
2
2
ay
bx
a
- a
b- b
ELIPSE
ba
ba
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HIPÉRBOLA ECUACIONES
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
bx
ay
- a a
b
- b
- a
a
b- b
HIPÉRBOLA
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SISTEMA TRIDIMENSIONAL DE COORDENADAS
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ECUACIÓN DEL PLANO
A, B y C son constantes, no todos nulas.
DCBA zyx
CASO 1
xy
z
kx
k
PLANO PARALELO AL PLANO YZ
xy
z
kzk
PLANO PARALELO AL PLANO XYPLANO PARALELO
AL PLANO XZ
x
y
ky
k
z
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CASO 2
xy
z
DBA yx
xy
zDCA zx
PLANO PERPENDICULAR
AL PLANO XY
PLANO PERPENDICULAR
AL PLANO XZ
Ejemplo: Grafique cada uno de los siguientes planos:
2143a) yx 2052b) zx 84c) zy
ECUACIÓN DEL PLANO
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ECUACIÓN DEL PLANO
CASO 3
Ejemplo: Grafique cada uno de los siguientes planos y halle las ecuaciones de las trazas:
21243a) zyx 824b) zyx
xy
z
DCBA zyx
Trazas de un plano:
Son las rectas de intersección del plano con los planos coordenados.
xy
z
Traza XY
Traz
a X
Z
Traza YZ
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SUPERFICIES CUÁDRICAS
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 13
SUPERFICIES CUÁDRICAS
Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado de la forma.
(*)0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx
Estudiaremos solo los casos, cuando los coeficientes D= E= F= 0
Ejemplos22 43) yxza 94) 222 zyxb 0) 222 zyxc
Nota : Toda ecuación de la forma (*) NO representa necesariamente una superficie, ejemplos:
0542 222 zyx 02 222 zyx
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SUPERFICIES CUÁDRICAS
12
2
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x2
2
2
2
b
y
a
xz
Algunas superficies cuádráticas
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GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS
1. Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje x : y=0, z=0.
Con el eje y : x=0, z=0.
Con el eje z : x=0, y=0.
Ejemplo:
Identifique la superficie y determine los puntos de intersección con los ejes coordenados.
194
222
zyx Con el eje x : (2;0;0), (-2;0;0)
Con el eje y : (0;3;0), (0;-3;0)
Con el eje z : No hay intersección
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 16
GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS
Trazas:
Son las curvas de intersección de la superficie con los planos coordenados.
Secciones planas:
Son curvas que resultan de intersectar la superficie estudiada con planos paralelos a planos coordenados.
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 17
2. Intersecciones con los planos coordenados (trazas)
Con el plano xy : z=0.Con el plano yz : x=0.Con el plano xz : y=0.
Ejemplo:
Determine la ecuación e identifique cada una de las trazas
194
222
zyx
Con el plano xy : Con el plano yz Con el plano xz :
GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS
194
22
yx
19
22
zy1
42
2
zx
Elipse Hipérbola Hipérbola
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GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS
3. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Paralelos a xy : z=k.
Paralelos a yz . x=k.
Paralelos a xz : y=k.
Ejemplo:
Determine la ecuación e identifique las secciones planas paralelas a los ejes coordenados
194
222
zyx
Con el plano xy : Familia de elipses
Con el plano yz : Familia de hipérbolas
Con el plano xz : Familia de hipérbolas
222
194
kyx
4
19
22
2 kz
y
91
4
22
2 kz
x
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 19
PARABOLOIDE ELÍPTICO
2
2
2
2
b
y
a
xz
El eje del paraboloide elíptico corresponde a la variable elevada a la primera potencia.
TRAZA SECCIONES PLANAS
Plano xy: Elipse Familia de elipses
Plano xz: Parábola Familia de parábolas
Plano yz: Parábola Familia de parábolas
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 20
HIPÉRBOLOIDE DE DOS HOJAS
12
2
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z
TRAZA SECCIONES PLANAS
Plano xy: No existe Familia de Elipses
Plano xz: Hipérbola Familia de Hipérbolas
Plano yz: Hipérbola Familia de Hipérbolas
El eje del hiperboloide de dos hojas corresponde a la variable cuyo coeficiente tiene signo diferente de los coeficientes de las otras 2 variables.
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 21
CONO ELÍPTICO
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
TRAZA SECCIONES PLANAS
Plano xy: punto Familia de elipses
Plano xz: rectas Familia de Hipérbolas
Plano yz: rectas Familia de Hipérbolas
El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente tiene signo diferente de los coeficientes de las otras dos variables.
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 22
SUPERFICIES CUÁDRICAS
2
2
2
2
b
x
a
yz 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
En el MTA 1 estudiaremos otras 3 superficies cuadráticas
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Un cilindro es una superficie generada por una recta llamada generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y corta siempre a una curva plana fija llamada directriz.
Observación: La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de la superficie cilíndrica.
SUPERFICIES CILÍNDRICAS
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SUPERFICIES CILÍNDRICAS
CILINDRO ELÍPTICO
CILINDRO PARABÓLICO
CILINDRO HIPERBÓLICO
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 25
INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES
Represente gráficamente la curva C en el primer octante, dada como intersección de las superficies.
2
4:
22
z
yxC
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 26
INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES
Represente gráficamente la curva C en el primer octante, dada como intersección de las superficies.
2
122
zy
yx
x
y
z
C