CAPÍTULO 6
TEOREMAS ENERGÉTICOS
LA ENERGÍA ELÁSTICA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS CARGAS APLICADAS
Hasta ahora, habíamos utilizado la siguiente expresión de la densidadde energía elástica:
Que, integrada a lo largo de todo el sólido, nos proporcionaba la energíaelástica almacenada por éste.
¿Podríamos expresar dicha energía en función de las cargas aplicadas al sólido o en función de los desplazamientos que en él se producen?
( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx γτγτγτεσεσεσω +++++=21
Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:
WU =
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto).
Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que:- donde se dijera fuerza se debería decir momento- donde se dijera desplazamiento se debería decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.
∑=
⋅=n
1iii dF
21W
Fi
di
i
i∆r
Geometría sin deformar
Geometría deformada
2
F1
F2 1
21
F1F2 ∆1d1∆2
d2
d
P
W=1/2 P.d
M
W=1/2 M.θθ
EJEMPLOS:
ENERGÍA ELÁSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIÓN
Fx
ooxFW21
=
AELFFdUW
AEFLL
ELd
AF
221 2
===
=⋅=⋅=
=
σε
σ
F
d
A
L
COEFICIENTES DE INFLUENCIA
F i
i∆
ii
∆ji
j
F j
F iF i
i∆
ii∆
ii
∆ji
∆ji
j
F j
iFr
jFr
ii∆r
ji∆r
Consideremos dos puntos i y j del sólidosobre los que actúan, respectivamente, lascargas:
Representemos por los vectores desplazamientos, de manera tal que:
= vector desplazamiento del punto icuando sólo actúa la carga:
= vector desplazamiento del punto jcuando sólo actúa la carga:
∆r
iFr
iFr
Si sobre el sólido actúa un sistema de cargas:
en los puntos: 1,2,……n, el vector desplazamiento total en el punto i será:
nFFFrrr
,......, 21
i∆r
iniii ∆∆∆∆rrrr
+++= ........21F i
ijd ij
1
F i
ijd ij
1
ijd = coeficiente de influencia: proyección deldesplazamiento que experimenta el puntoi , sobre la recta de acción de cuando seaplica una carga unidad en el punto j con lamisma dirección y sentido que
iFr
jFr
id = proyección del vector desplazamiento del punto i, según la dirección de la fuerza cuando actúan todas las cargasiF
r
niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211
FÓRMULAS DE CLAPEYRON EmileCLAPEYRON(1799-1864)
∑ ⋅===
n
iii dFWU
121
niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211Como:
ji
n
iij
n
j
FFdWU ∑∑= =
==1 1
21
Cabe otra expresión alternativa a la anterior si consideramos que, del sistema de n ecuaciones: despejáramos las fuerzas:niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211
njnjjj dkdkdkF ⋅++⋅+⋅= ........2211
∑ ∑ ∑=⋅=== = =
n
j
n
j
n
mmjjmjj ddkdFWU
1 1 121
21
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALESJean Baptiste Le Rond
D’ALEMBERT(1717-1783)
Se denomina desplazamiento virtual de un punto a undesplazamiento arbitrario, concebido matemáticamente y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geométricay físicamente posible. El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarse en equilibrio
Caso de una partícula puntual
x
y
zP
F1
F2
F3
P’ F1
F2F3
δ
x
y
zP
F1
F2
F3
P’ F1
F2F3
δδr
= desplazamiento virtual
kji
kRjRiRFFFR
zyx
zyxrrrr
rrrrrrr
δδδδ ++=
++=++= 321
1 2 3T F F F R 0
como R 0, T 0
= δ + δ + δ = δ =
= = ∀δ
r r r r r r r r
rr r
Caso de un sólido rígido
F1
F i1 Fi2
Fi3
Fini
. .
F1
F i1 Fi2
Fi3
Fini
. .
iFr
= fuerza exterior aplicada al sólido en el punto i
ijFr
= fuerza interior que ejerce el punto j sobre el i
kMjMiMM
kRjRiRR
zyxO
zyxrrrr
rrrr
++=
++=
kzjyixrrrrr δδδδ ++=kji zyxrrrr
δθδθδθθδ ++=
θδδδθδθδθδδδθδδrrrrrr
,0 rMMMzRyRxRMrRT zzyyxxzyxOext ∀=+++++=⋅+⋅=
00,0 =⇒=====≠ xzyx Rzyx δθδθδθδδδ
0
0
===
===
zyx
zyx
MMM
RRR
.
W
A
B
x
y
xA
yBG
¿F?
NB
NA
.
W
A
B
x
y
xA
yBG
¿F?
NB
NA
EJEMPLO
.
A
B
G.δyG
δyB
δxA
.
A
B
G.δyG
δyB
δxA
( ) ( ) 22222 Lyδyxδxyx BBAABA =++−=+
ABAB
GABA
B xyxyyx
yxy δδδδδ
21
2==⇒=
B
AA
B
AAGAext y
xWFxyxWxFyWxFT
2210 =⇒=⇒=−= δδδδ
Caso de un sólido deformable
Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas y unas ligaduras
Q11 u,F rr
22 u,F rr
33 u,F rr
44 u,F rr
u6
u5
u7
[ ]T
iFrConsideremos un sólido en equilibrio bajo la acción de un sistema de
cargas , como se muestra en la figura. En cualquier punto genérico (Q) del sólido, el tensor de tensiones verificará las ecuaciones de equilibrio interno. Sean los desplazamientos de los puntos del sólido.iu
r
iFr
iurSistema de fuerzas reales:
Sistema de desplazamientos reales:
Q11 u,F rrδδ
iFr
δSometamos al sólido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtualescomo se muestra en la figura. Sean los desplazamientos virtuales de lospuntos del sólido, los cuales no violan las condiciones de contorno del sólido.
iurδ
2urδ
33 u,F rrδδ
4ur
δF6
δ F5
δ F7
ijij δεδσ
Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas “virtuales”
ijδσijδε
Sistema de tensiones virtuales:
Sistema de deformaciones virtuales:
∑ ⋅= iiExt uFT rrδδ
Trabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:
∫=v
ijij dVU δεσδ
Energía interna virtual almacenada en el sólido:
δδ UTExt =
Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtuales son iguales:
Lógicamente, si el cuerpo considerado fuese un sólido rígido:
0== δδ UTExt
x
y
z fΩ
fV
[T], [D]d
x
y
z fΩ
fV
[T], [D]u
( )dVolU
dfdVolfT
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V VExt
∫∫∫∫∫∫ ∫∫
+++++=
Ω⋅+⋅=Ω Ω
δδδδδδδ
δ
γτγτγτεσεσεσ
δδrrrr
kji zyxrrrr
δδδδ ++=
Campo de desplazamientos virtuales(físicamente posibles) impuestos al sólido:
De una manera más formalista….
se llega a:
δδ UTExt =
( )dVol
dfdVolf
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V V
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫
+++++=
=Ω⋅+⋅Ω Ω
δδδδδδ γτγτγτεσεσεσ
δδrrrr
Trabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumen y en el contorno) aplicadas al sólido cuando se le imponen los desplazamientos virtuales
Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el sólido sufriera el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes de tensión son las que, realmente, existen dentro del sólido, mientras que las componentes de deformación que aparecen se deducen del campo de desplazamientos virtuales)
δδ γε ,
TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI James ClerkMAXWELL
(1831-1879)
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Q j
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Q j
En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de cargas para los desplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas distinto es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas para los desplazamientos resultantes de aplicar el sistema de cargas .
Fr Gr
Fr Gr
qMdF ′=′FQ1
P1
q’j=q’
di=d Q1
P1
qj=q
d’i=d’M
FQ1
P1
q’j=q’
di=d
FQ1
P1
q’j=q’
di=d Q1
P1
qj=q
d’i=d’M
Q1
P1
qj=q
d’i=d’M
Sistema I Sistema II jiij dd =
Una barra de longitud “L” se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, deforma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), talcomo se representa en la figura. Cuando actúa el sistema de cargas 1, las flechas(desplazamientos verticales, “y”) que experimentan los puntos de la barra vienen dados
por la ecuación (referida al sistema de ejes de la figura): ( ) ( )xLxLCFy +−= 22 , donde C
es una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando actúa sobre la barrael sistema de cargas 2.
x
y
F
L
Sistema 1F
L/2
Sistema 2
A B A B
L/2
x
y
F
L
Sistema 1F
L/2
Sistema 2
A B A B
L/2
Sistema 1: flecha en el punto medio: CFLf I8
5 3
=
Teorema de reciprocidad:CFLf
CFLFfFfF II
AIII
A 85
85 33
=⇒⋅=⋅=⋅
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD
TEOREMAS DE CASTIGLIANO
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:Carlo Alberto
CASTIGLIANO(1847-1884)
La derivada de la energía elástica respecto de una de las cargas aplicadas al sólido es igual a la proyección del desplazamiento del punto de aplicación de la carga considerada según la dirección de la misma
nmmnjiij ddkFFdU ΣΣΣΣ21
21
==
∑ ==∂∂
ijiji
dFdFU
∑ ==∂∂
mnmnm
FdkdU
La derivada de la energía elástica de un sólido respecto del desplazamiento en uno de los puntos en los que actúa una fuerza, proporciona la componente de dicha fuerza según la dirección del desplazamiento considerado
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
Sabiendo que la energía elástica almacenada en la viga de la figura toma el valor:
determinar el valor de la carga aplicada en la sección 1.
[ ]2212
21 004760511030
2ddddEIU ,,, +−=
[ ] PFddEIdU
==−=∂∂
1211
2555030 ,,
1 2
6 m3 m
2 m
F1=P F2=2P
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
(Ver Ec.(2))
L. F.MENABREA(1799-1864)
TEOREMA DE MENABREA (O DEL TRABAJO MÍNIMO)
P
RC RD RE
AB C
EDP
RC RD RE
AB C
ED
Las tres reacciones hiperestáticas RC, RD y RE pueden calcularse liberando todas las coacciones excepto la de los apoyos en A y en B y, por tanto, resolviendo la estructura, ya isostática, en función de las tres reacciones mencionadas. Si calculásemos la energía elástica U almacenada en la pieza (que resultaría ser función de las tres reacciones incógnitas), podríamos aplicar el primer teorema de Castigliano teniendo en cuenta que, en la estructura original, los puntos C, D y E no sufren desplazamientos verticales, por lo que:
0=∂∂
=∂∂
=∂∂
EDC RU
RU
RU
Los valores de las reacciones hiperestáticas que actúan sobre un sólido hacen mínima su energía elástica
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