1 lgebra de funciones
Definicin Sean 0 E qqqqqp
B qqqqqp 0B
1 F qqqqqp
B qqqqqp 1B
funciones tales que A partir de estas dos funcionesE F 9podemos definir:
1.- Suma:
0 1 E F qqqqqp
B qqqqqp 0 1B
donde :0 1B 0B 1B
2.- Multiplicacin por escalar:
- - 0 E qqqqqp
B qqqqqp 0B 0B- -
donde : 0B 0B- -
3.- Producto:
0 1 E F qqqqqp
B qqqqqp 0 1B 0B 1B
donde :0 1B 0B 1B
2 4.- Divisin:
Sea G B E F 1B ! 9
01 G qqqqqp
B qqqqqp B 01 1B0B
donde : 01 1B0BB
Ejemplo
Dada las funciones
0 % &qqqqqqp 1 $ )qqqqqqp B qqqp B #B $ B qqqp #B "#
Determinar 1.- 2.- 3.- ; 4.- 0 1 0 1 #101
Solucin
1.- 0 1 qqqqqp $ &
B qqqqqp B ##
2.- 0 1 qqqqqqqqqqp $ &
B qqqqqp ( )( )B #B $ #B "#
3.- 01 qqqqqqqp $ &"#
B qqqqqp B #B$#B"#
4.- #1 qqqqqqqp $ )
B qqqqqp ##B "
3Ejemplo
Considere las funciones 0 $ #qqqqqqp B qqqp B #B $#
y 1 qqqqqqp
B qqqp
B !
B B B !
"B
Determinar
1.- 2.- 3.- ; 4.- 0 1 0 1 #101
Solucin
1.- 0 1 qqqqqp $ #
B qqqqp 0 1B
donde 0 1B B #B $ $ B !
B $B $ B ! B #
# "B
#
2.- 0 1 qqqqqqqqqqp $ #
B qqqqqp 0 1B
donde 0 1B $ B !
B #B $B B ! B #
B #B$B
#
#
43.- 01 ! qqqqqqqp $ #
B qqqqqp 01 B
donde 01
#
B #B$
B B
B
B #B $B $ B !
! B #
#
4.- #1 qqqqqqqp
B qqqqqp #1B
donde #1B B !
#B # B B !
#B
Definicin
Sean funciones0 EqqqqqpF 1 GqqqqqpH
Sea L B E 0B G 9
Se define la funcin de con Composicin 0 1 como la funcin que denotaremos por ,donde :1 0
1 0 L qqqqqp H B qqqqqp 1 0B
con :1 0B 10B
Observacin
Si .H971 0 L E H970 se dice que es la de con 1 0 0 1 Funcin Compuesta
5Ejemplo Sean , funciones tales que0 1
; 1 qqqqqqp 0 _ # qqqqqqp B qqp B )B "$ B qqqqp B "# #
a) Defina la funcin 0 1b) Determine, en caso de ser posible, , si0 1,
$, & (.
Solucin a) H970 1 B 1B _ #
B B )B "$ # #
B B )B "" ! #
B B % & #
B B % &
B B % & B % &
_ % & % & _ adems se cumple que :
0 1B 01B 0 B )B "$ #
B )B "$ " # #luego, se tiene que :
0 1 _ % & % & _ qqqp
B qqqqqqp B )B "$ " # #
b) si se tiene que $, & ( , #$
luego 0 1 0 1 0 # # "'* #)%)!$ $ * )"
6Ejemplo
Sean , funciones tales que2 1
2 qqqqqqp B qqqqqqp B 'B
1 #" _ qqqqqqp
B qqqqqqp B"#B$
a) Defina la funcin 1 2 b) Determine, en caso de ser posible, , si1 2 ,
, "' !# .
Solucin
a) H971 2 B 2B #" _
B B 'B & # #"
B B 'B "' ! #
B B #B ) !
_ ) # _ adems se cumple que :
1 2B 12B 1B 'B & #
B 'B & B 'B 'B 'B & B "#B (
# #
# #
"# $ #
luego, se tiene que :
1 2 _ ) # _ qqqp
B qqqqqqp B 'B 'B "#B (
#
##
b) si se tiene que , "' ! , %#
luego 1 2 % 1 2 % %' #)( *
7Ejemplo
Sean funcin0 qqqqqqqqp " _
BqqqqqqqqqqqqqqqpB"B#
1 % _ qqqqqqqqp $ _ funcin Bqqqqqqqqqqqqp % B $ Determine, si existe: .0 1
Solucin
H970 1 B % _ 1B
B % _ % B $ !
B % _ B $ %
B % _ B $ "'
B % _ B "*
"* _ adems se cumple que :
0 1B 01B 0 % B $
% B$ $ B$
% B$ # B$
"#
luego, se tiene que :
0 1 "* _ qqqp " _
B qqqqqqp$ B$
# B$
8Ejemplo
Sean funcin0 qqqqqqqqp !
B qqqqqqqqqqqp#B'B#
1 _ qqqqqqqqp " _ funcin B qqqqqqqqqqp B "
Determine,si existe, 0 1
Solucin
H970 1 B _ 1B !
B _ B " !
B _ B " !
B _ B "
_
adems se cumple que :
0 1B 01B 0 B "
# '#
B"
B"
luego, se tiene que :
0 1 _ qqqp funcin compuesta
B qqqqqqp# '
#
B"
B"
9Ejemplo
Dadas las funciones
0 1 " # qq # $ qqq % "! tal que
0B B " "
B " " B " #
$B"#
1B B " B # !
#B B ! $
#
Determinar 1 0
Solucin
H971 0 " # # $ B 0B
B 0B B 0B " " # $ " # # $
B # $ " " $B"# B # $ " # B " "
B % ' " " $B "
B " % " # B "
B & & B % " " $B " # B "
B B "( " " B " # B& &$ $
" " " # " #
10
1 0B 10B
1 " "
1 B " " " #
$B"# B
B
se tiene que, considerando
# ! & $B " B $B" " $ $
! $ " $B & B $B" & "# $ $
# ! " " B # B " " B "
! $ " % # B "( B " " B "
1 0B
1 "
1 "
1 B " " " #
$B"#
$B"#
B
B
B
"$
"$
# "
" "
B " " " " #
$B"#
$B"#
#
#
B
B
B
"$
"$
$B " "
"
B " " #
B
B
B
"$
"$
$B$#
#
11
luego, se tiene que
1 0 " # qqq % "! funcin compuesta
B qqqqqqp 1 0B donde
1 0B
B
B
B
$B " "
"
B " " #
"$
"$
$B$#
#
Ejercicios
1.- Considere las funciones :
0 " % qqqqp ) "! 1 & %qqqqp! #! B qqqqp 0B B qqqqp 1B
donde
;
;
;
;
0B 1B #B " " B #
B # # B %
#B $ & B !
! B %
# "
B"
Defina la funcion 1 0
2.- Dadas las funciones y , determine y 0 1 1 0 0 1
, 0 " _ qqqqqp 1 qqqqqp Bqqqqqp B " B qqqqqp B $ #
12
3.- Dadas las funciones y , determine y 0 1 1 0 0 1
, 0 " _ qqqqqp 1 qqqqqp
Bqqqqqp#B % B qqqqqpB " B "
#B $ B "
Observacin
Dada funcin, se cumple que0 EqqqqqpF Bqqqqqp0B
aB E 3. 0B 0 3.B 0B
Teorema
Sea funcin biyectiva , entonces existe una0 EqqqqqpF nica funcin biyectiva de tal modo que1 FqqqqqpE y 1 0 3. 0 1 3. E F
Observacin
1. La funcin del teorema anterior se llama Inversa de y se anota 1 0 0 "
Es decir , la Funcin Inversa de
donde es0 E qqqqqp F C 0B B qqqqqp 0B
, donde 0 F qqqqqp E B 0 C " "
C qqqqqp 0 C"
Observacin
Si es funcin biyectiva se cumple que0
0B C B 0 C"
13
Ejemplo
Sea funcin1 qqqqqqp B qqqqqqp #B $
Determine ,si es biyectiva y encuentre, de serlo su inversa1
Solucin
Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C
1B 1C #B $ #C $ B C
por lo tanto es inyectiva.1
Por ver si es epiyectiva (sobre):
V/-1 C b B C 1B C b B C #B $
C b B B C$# C C$#
luego se tiene que es epiyectiva ,por lo tanto es biyectiva1 1 con lo cual, existe inversa ,donde :
1 qqqqqqp" B qqqqqqp B$#
14
Ejemplo Sea funcin2 " _ qqqqqqp B qqqqqqp B 'B
a) Determine ,si es biyectiva ,de no serlo .hacer las restriccines2mnimas para obtener de una funcin biyectiva2 2"
b) Determine 2""Solucin
a) Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C " _
2B 2C B 'B & C 'C #
B $ " C $ " B $ C $# # # #
B $ C $ B $ C $ B C por lo tanto es inyectiva.2
Por ver si es epiyectiva (sobre):
V/-2 C b B " _ C 2B C b B " _ C B 'B & #
C b B " _ C B $ " #
C b B " _ B $ C " #
C b B " _ B $ C " C " ! con C b B " _ B $ C " C " con C " _ $ C " " _ C " _ $ C " " C " _ C " # C " _ C " % C " _ C $ $ _
luego ,se tiene que no es epiyectiva ,pero si consideramos :2
es biyectiva2 " _ qqqqqqp $ _" B qqqqqqp B $ "#
b) es su inversa2 $ _qqqqqqp " _"" B qqqqqqp $ B "
15
Ejemplo
Sea
1 % _ qqqqqqqqp $ _ funcin B qqqqqqqp % B $
Pruebe que es biyectiva y determine su inversa1
Solucin
Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C % _
1B 1C % B $ % C $ B $ C $ B $ C $ B C
por lo tanto es inyectiva.1
Por ver si es epiyectiva (sobre):
V/-1 C $ _ bB % _ C 1B C $ _ bB % _ C % B $ C $ _ bB % _ C % B $ C $ _ bB % _ B $ C % #
C $ _ bB % _ B $ C % #
C $ _ $ C % % _ #
C $ _ $ C % % #
C $ _ C % "#
C $ _ C % " C $ _ C $ $ _
luego ,se tiene que es epiyectiva ,por lo tanto es biyectiva y se tiene que :1
funcin1 $ _ qqqqqqqqp % _" B qqqqqqqp $ B %
16
Ejemplo
Sea funcin0 " " # & ( "! qqqqqqp Bqqqqqqqqqqqqqp 0B donde :
0B
B " "
B & ' B # &
B ( "!
B $#
"$
#B""$
#
a) Trace el grfico de 0
b) Haga las restricciones mnimas necesarias para obtener de 0una funcin biyectiva0"
c) Determine 0""Solucin
a) se tiene que el grfico de es:0
17
b) se tiene que la funcin biyectiva es :
0 " " # & ( "! qqqp $ " " # $ '" Bqqqqqqqqqqqqqp 0B
c) 0 $ " " # $ ' qqqqp " " # & ( "!""
Bqqqqqqqqqqqqqp 0 B ""
donde :
0 B
B $ "
#B $ B " #
& "# #B B $ '
""
""$B#
Ejercicios
1. Determinar la funcin inversa de :
0 _ # qqqqqp " _ B qqqqqp B %B
2. Sea : 0 _ qqqqqp "#
B qqqqqp #B "
Hacer las restricciones necesarias para que la funcin sea biyectiva0 y determinar su inversa .
18
MODELACIN
Observacin
La teoria de funciones se usa en la modelacin de diferentes
problemas practicos que requieren para su resolucin una
presentacin funcional
Ejemplo
Si el nmero se descompone en dos sumandos positivos.$!a) Encuentre la funcin que determina el valor del producto de
estos sumandos, cualquiera sea la descomposicin.
b) Qu descomposicin determina el producto de mximo valor?
Solucin
Sean los sumandos se tiene que B C B C $!sea el producto ,luego se tiene :T
pero por lo tanto :T BC C $! B con con lo cual :T B$! B B ! $!
a) funcin productoT ! $! qqqqqqp B qqqqqqp B$! B
b) sea D T B D B$! B D B $! B#
D B $! B B "& D ##& T# #
como se sabe , la parbola abre hacia abajo ,por lo tanto es claroT que el vertice indica el punto ms alto del grafico,es decir :
el producto de mximo valor se obtiene cuando los sumandos son :
15,15 y su valor mximo es 225
19
Ejemplo
Encuentre la funcin que determina el rea de los rectngulos que se
pueden inscribir en la regin limitada por el eje y la curvaBdefinida por la ecuacin C % B#
Solucin Se tiene que C % B B %C % T# #
es claro que es simtrica respecto al eje por lo tanto ,la relacinT Cque hay entre y es : + , , +
por otro lado se tiene que : el rea del rectangulo esta determinado por :
si es decir :E + ,0+ 0B % B#
donde luego ,se tiene que :E+ #+% + + ! ##
funcin reaE ! # qqqqqqp
+ qqqqqqp #+% + #
20
Ejemplo
Si se despone de planchas rectangulares de hojalata de de largo$! -7y de ancho,con las cuales se desean fabricar cajas rectangulares&!-7sin tapa (una con cada plancha). Encuentre la funcin que determina
los volmenes de las cajas que se pueden formar.
Solucin
Se tiene que ,el volumen de la caja formada (ver fig.) esta determinado
por :
Z B&! #B$! #B B ! "& luego ,se tiene que :
funcin volumenZ ! "& qqqqqqp
x qqqqqqp B&! #B$! #B
21
Ejemplo
Encuentre la funcin que determina el rea de todos los rectngulos
que se pueden inscribir en la regin limitada por el eje , la rectaB
C B C B $ "# y la parbola Si la base del rectngulo
#
debe estar en el eje , un vertice en la recta y otro en la parbolaB
Solucin
Sea P C B 0B B T C B $ 1B B $" "# #
# #
sean tales que B C 0C 1B C B $ C #B $"#
# #
por otro lado ,el rea del rectngulo esta detereminado por :
E B C 1B B #B $ #B $ # # B # $ luego ,se tiene que :
funcin reaE # $ qqqqqqp
x qqqqqqp B #B $ #B $# #
22
Ejemplo
Se desea construir un calentador de agua con capacidad de
$#! 7>= 1 $ , cuya forma sea la de un cilindro sin tapa,usando paraello, una base de cobre y los lados de aluminio.Si se sabe que el valor
del de cobre es de $ y el valor del de aluminio es de7> &!!! 7> 2 2
$ . Encuentre la funcin que determina el costo de todos los"!!!calentadores que se pueden construir
Solucin
Se tiene que pero la capacidad debe ser de Z # < 2 $#! 7>= 1 1# $
por lo tanto es decir con lo cual : Z $#! # < 2 $#! 2 1 1 1# "'!
23
Ejemplo
Un fabricante sabe que el costo de producir artculos es deBUS$( y el precio de venta por unidad es de US$( &!! #B )! ! "B a) Defina la funcin utilidad respecto al nmero de artculos
producidos y vendidos.
b) Determine el nivel de produccin con el cual se obtiene la mxima
utilidad Cul es esa utilidad ? A qu precio se vendi cada artculo?
c) Cul es la utilidad si se producen y venden artculos ?#!! d) Cul es la cantidad mnima de artculos que se deben producir
y vender para que la utilidad sea de US$ ?"(&!
Solucin
a) Sea el nmero de artculos producidos y vendidos ,se tiene que :B si es la utilidad ,entonces :Y
( ( por lo tanto , comoYB )! ! "B B &!! #BDom( ( (Y B )! ! "B ! )! ! "B B &!! #B !
0 B )! B )!!B B &!!! #!B ! # B B )!! B ()!B &!!! ! # B B )!! B $*! ""!! &!!! ! # B B )!! B $*! "%("!! ! # B B )!! B $*! "! "%(" $*! "! "%(" $*! "! "%("
luego, se tiene que :
Y qqqp $*! "! "%(" $*! "! "%(" B qqqqqqqqqqp ( ()! ! "B B &!! #B
b) Sea por lo tanto ,se tiene queC YB ( (C )! ! "B B &!! #B
"!C B ()!B &!!! "!C B $*! "%("!!# #
B $*! "!C "%("! T#
es claro que la mxima utilidad se presenta en el vertice de la
parbola por lo tanto : la mxima utilidad es de US$ 14.710 cuando
se producen y venden 390 artculos
24
c) ( (Y#!! )! ! " #!! #!! &!! # #!! """!!es decir la utilidad al producir y vender 200 artculos es de US$ 11.100
d) YB "(&! B $*! "!"(&! "%("!#
B $*! "!"(&! "%("!#
B $*! $'! B $! B (&! por lo tanto al producir y vender 30 artculos se tiene una utilidad de
US$ 1 1.750
Ejemplo
Se desea construir una caja de base cuadrada con tapa, de volumen
Si el costo de la tapa es de $ el el costo de la base es de# -7 # -7 $ #
$ y el costo de los lados es de $ el Encuentre la funcin& -7 $ -7 # #
que determina el costo de todas las cajas que se pueden formar.
Solucin
De los datos se tiene que , ademas se es el costo B C # C G# #B# se tiene que : G #B &B $ %BC (B $B (B # # # ## $!#%B B#
con B luego ,se tiene que :
funcin costoG qqqqqqp
< qqqqqqp (B # $!#%B
25
Definicin
Sea funcin . Se dice que:0 E qqqqqpF
es 3 0 creciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B
" # " # " #
es 33 0 decreciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B
" # " # " #
es 333 0 estrictamente creciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B
" # " # " #
es 3@ 0 estrictamente decreciente si y slo si ( ) ( = a B B E B B 0 B 0B
" # " # " #
Ejemplo
Dada 0 _ # qqqqqp " _ B qqqqqp B %B
se tiene que 0B B %B & B # "# #
sean tal queB C _ #
B C B # C # ! # C # B
# C # B C # B ## # # #
C # " B # " 0C 0B# #
es decir es estrictamente decreciente0
26
Ejemplo
Dada 0 # _ qqqqqp % _ B qqqqqp #B & $
sean tal queB C # _
B C #B #C #B & #C & ! #B & #C &
#B & #C & #B & $ #C & $
0B 0C
es decir es estrictamente creciente0
Ejemplo
Dada 0 ! _ qqqqqp % _ B qqqqqp #B"B"
se tiene que 0B # #B" #B#$ $B" B" B"
sean tal queB C ! _
B C B " C " ! #B & #C &" "C" B"
#B & #C & #B & $ #C & $
0B 0C
es decir es estrictamente creciente0
27
Ejercicios
Determine si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes,
estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes.
1.- : 0 # _ qqqqqp
B qqqqqp #B "
2.- : 0 _ ! qqqqqp
B qqqqqp B "#
Top Related