Capítulo 6
Números primos
Este capítulo continúa en el área general de la teoría elemental de los números,
esta vez centrándose en números primos que, como se verá, también
implica una discusión de división y divisibilidad. Sin embargo, el tema de
los números primos suscita menos la atención en las normas y la
memorización, y en su lugar parece generar más atención a lo que
exactamente es un número primo y cómo un número primo puede ser
identificado. Nos fijamos en los juegos/obras basados en las siguientes
tres sugerencias/réplicas/mensajes:
Hay una conversación entre el maestro y el estudiante. Hay otros 20-25
estudiantes en la habitación. (1) Maestro: ¿Por qué dice 91 es el primo?
Johnny: Porque no está en nuestras tablas de
multiplicar (2) Maestro: ¿Por qué dice 143 es el primo? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 caben en él. (3) Maestro: ¿Por qué dice 37 es el principal? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no.
Como con Cap. 5, estas indicaciones fueron desarrolladas con base en nuestra
experiencia en la enseñanza de los futuros maestros de la escuela primaria y en la
investigación nos hemos dirigido en su comprensión de conceptos relacionados de
la teoría de números. En particular, Zazkis y Liljedahl (2004) demostraron que a
menudo el primalidad de un número se determina comprobando la divisibilidad de
un número determinado por pequeños números solamente, al tiempo
concentrándose en números para los cuales las reglas de divisibilidad
fueran conocidas por los participantes. Esto sirvió de base para la indicación #2.
R. Zazkis et al., Reproducción de lecciones en materia de enseñanza de la Matemática, 89 DOI: 10,1007 / 978-1 -4614-3549 -5_6, _ Springer Science+Business Media Nueva York 2013
90 6 Números Primos
En casi todas las clases que enseñamos, algunos estudiantes afirman que 91 es
un número primo. A menudo, su razonamiento se basa en una observación que 91
no aparece en las tablas de multiplicar. Esta observación ha servido de base para la
indicación #1. De hecho, cuando se trata de estudiar o memorizar las tablas de
multiplicar hasta 10 o 12, los estudiantes no se encontrarán con 91, aunque este
número se encuentra dentro del rango de los números en la tabla. Como tal, los
factores de 91, 7 y 13, no se encuentran entre los reconocibles y revocables hechos
para muchos futuros maestros. Y, como Zazkis (2011) relata, algunos profesores
practicantes también creen que 91 es primo–cuando su hijo, entonces un alumno
de quinto grado, no encerró 91 en la tarea que les pidió que encerraran todos los
números primos de una lista dada, su maestro lo marcó como un error. En la indicación #3 aparentemente no hay ningún error; a diferencia de 143 y
91, 37 es en efecto un número primo. En el desarrollo de esta sugerencia lo que
nos interesaba era la atención de los prospectos docentes a la estrategia que el
estudiante emplea para determinar primalidad, en lugar del camino hacia la
respuesta correcta. Hemos examinado 14 juegos que dirigieron a la sugerencia #1,
seis juegos que dirigieron a la sugerencia #2 y seis juegos que se basaron en la
sugerencia #3. Presentamos nuestro análisis en las tres secciones siguientes, cada uno
dedicado a una de las indicaciones. Dentro de cada sección, identificamos,
ejemplificamos y analizamos varios temas que encontramos en las jugadas. Siguiendo sugerencia #1
En las obras basadas en la sugerencia # 1, dos estrategias principales emergieron:
la primera implicaba ampliar la tabla de multiplicación y la segunda la utilización
de un manipulativo (física o mental) para ayudar a los estudiantes a ver por qué 91
no es primo. La más frecuente estrategia utilizada por los futuros maestros, y
demostrado en 6.1, fue la primera, ampliar la tabla de multiplicación. "Podríamos hacer la tabla de multiplicación más grande" 6.1.1 T (Teacher) ¿Alguien tiene algunas ideas sobre cómo podemos descubrir con
certeza que 91 es un número primo o no? 6.1.2 S (Student) Podríamos intentar dividir números aleatorios en 91 a ver si todo funciona. 6.1.3 T Esa es una estrategia que podríamos probar. ¿Alguien discutió algo diferente
con su pareja? ¿Qué hay acerca de pensar en términos de multiplicación? 6.1.4 S Que quizás se podría hacer la tabla de multiplicación más grande y ver si 91 es o no. 6.1.5 T ¡Excelente idea! OK, esto es lo que vamos a hacer. En sus grupos, van a ampliar la tabla
de multiplicación. Nuestro objetivo es averiguar si 91 es un número primo o no.
Siguiendo sugerencia #1 91
La previsible continuación de este juego, y juegos como este, es el de encontrar el
número 91 en la tabla extendida. Esta tarea se lleva a cabo de una manera sencilla,
después de todo, sólo una mínima extensión se requiere. La ventaja de este enfoque es
que el maestro sigue los estudiantes en su enfoque sobre la tabla de multiplicación. Sin
embargo, la sugerencia de [6.1.2] "intente dividir números aleatorios en 91 a ver si
todo funciona", es rechazado de forma implícita por el docente [6.1.3], quien pregunta,
"¿Alguien discutió algo diferente con su pareja?". Sin embargo, la sugerencia de
"hacer una tabla de multiplicación más grande" [6.1.4] es aceptado por el maestro
como una "excelente idea" [6.1.5]. Por supuesto, la ventaja de ampliar la tabla de multiplicación es que, dado el
número de personas involucradas, será más rápido que tratar números aleatorios.
Sin embargo, la desventaja potencial de este enfoque es que puede reforzar la
dependencia a las tablas de multiplicación conocidas en el examinar la primalidad
un número. De esta forma, si un estudiante encuentra un número, como por
ejemplo 69, la estrategia reforzada aquí supondrá una extensión excesiva de la
tabla. Antes de continuar, debemos destacar la manera en que el maestro en el juego
ha pedido a sus estudiantes trabajar en grupos para debatir los posibles enfoques.
Sin embargo, en la corta interacción que se produce, es el maestro que decide cuál
de las dos ideas del grupo se llevará a cabo, sin ofrecer ninguna justificación. Este
tipo de interacción es improbable que motive a los grupos de estudiantes a trabajar
juntos para llegar a una estrategia, ya que se da cuenta de que el maestro está en
busca de una particular estrategia solamente. De hecho, es difícil de averiguar
cómo organizar este tipo de discusión en el aula, pero en [6.1.3], una explícita
indicación de la estrategia propuesta habría llevado a un fructífero debate
matemático mientras que también a la promoción de la intervención matemática
del grupo. "Si te doy 12 bloques"
En la siguiente serie de juegos, el enfoque implicaba usar bloques, tamices/cribas,
y otros manipulativos (objetos manipulables) para ayudar a la razón de los
estudiantes sobre números primos y compuestos. Por ejemplo, diversos juegos
comenzaron su reparación representando números primos y compuestos por
arreglos diferentes de bloques. Esto se ejemplifica en el punto 6.2. 6.2.1 T Si te doy 12 bloques, ¿cómo puedes mostrarme cuántas diferentes agrupaciones iguales
puedes hacer?
Los números que se examinaron en este juego son 20, 26, 28 y 55. El maestro
se refiere a "diferentes maneras de construir estos números". Después de un par
de éxitos con la representación de estos números de varias formas posibles, el
juego continúa de la siguiente manera:
92 6 Números Primos
6.2.2 T Así, hay algunas formas de determinar factores. Les voy a dar algunas cifras, trabajen
con la persona a su lado para pensar en maneras de construir estos números. Algunos pueden estar en las tablas de multiplicar, algunas no, pero quiero que ustedes y su
pareja piensen en muchas maneras de construir estos números: 32, 52, 72, 91, 117 [ …]
6.2.3 T ¿Qué hay del 91?: ¿cuáles son algunos de los factores de ese? 6.2.4 S No es primo. 6.2.5 T Realmente? ¿Cómo? 6.2.6 S 7 x 10 es fácil, es 70, entonces solo seguimos añadiendo 7s 6.2.7 T Muéstrame 6.2.8 S 7 + 7 + 7 = 21. Añade eso a 70, ¡y tienes 91! 6.2.9 T Por lo tanto, ¿cuáles son los factores del 91? 6.2.10 S 7, 13 y por supuesto 1 y 91. 6.2.11 T ¡Impresionante! ¿Qué hay de 144?, ¿De cuántas maneras diferentes crees que podrías
construirlo?
Conectar las ideas de números primos y compuestos a su representación con
matrices rectangulares (arreglos rectangulares/rectángulos) es una estrategia
pedagógica. De hecho, se utiliza esta estrategia con frecuencia en nuestro trabajo
con los futuros maestros para enfatizar la conexión estructural de las dimensiones
de matriz rectangular con los conceptos de factores y divisibilidad. Sin embargo,
en este juego, los estudiantes probablemente han encontrado números primos antes
y los bloques se invocan para enfatizar en el sentido de los factores. Pero, los
estudiantes no están necesariamente teniendo dificultad con los factores; su
problema es cómo averiguar si es o no 91 primo. Por supuesto, los factores se
relacionan con primalidad; sin embargo, hay una brecha importante entre la
actividad de hacer matrices rectangulares con bloques y la capacidad de
determinar si un número dado es primo. Aquí, el hecho de que, si un número de
bloques pueden ser organizados en una matriz rectangular (en la que cada
dimensión es mayor que uno), entonces ese número no es primo, sigue siendo sólo
implícita. Por tanto, vemos aquí un maestro canalizándose hacia una particular
comprensión de primalidad. Hay algunas cosas interesantes para observar también en términos de lo que se
habla en primalidad y factores. En primer lugar, observe que la palabra 'factor' es
introducido en [6.2.2], pero no vinculada explícitamente a la idea de "agrupaciones
iguales", a las que el maestro se refiere a [6.2.1]. Que el número de grupos y el
número de elementos de cada grupo se pueden considerar como factores parece
implicar un cambio lingüístico sofisticado que podrían haber sido superados mediante
explícitamente reformulando agrupaciones iguales como factores. También debemos
tener en cuenta que el maestro nunca utiliza la palabra "primo" y, como se mencionó
anteriormente, nunca se conecta la idea de que los números primos son aquellos que no
tienen factores no triviales. En cuanto a la utilización de bloques, podemos asistir a la elección de los ejemplos
que el profesor ofrece (los números 72, 91, 117 en [6.2.2], y 144 en [6.2.11]), en la
medida en que parecen ser bastante elevado en términos de crear matrices con esos
muchos bloques. Parece que hay una falta de correspondencia entre el deseo de volver
a lo básico con los bloques y con el deseo de resolver el problema del 91.
Seguramente, el profesor no desea que los estudiantes tengan que volver a hacer las
matrices rectangulares cada vez. Al invitar a los estudiantes a utilizar números más
pequeños, el maestro puede ayudarlos a generalizar sus conclusiones a números
Siguiendo sugerencia #1 93 más grandes, quizás incluso invitándolos a imaginar que las matrices de, digamos,
7 por 10 bloques y agregar tres columnas más a las siete filas. Tal enfoque
invitaría a los estudiantes al proceso de razonamiento (mediante la
generalización), mientras que también ofrece un andamio desde el uso de bloques
con pequeñas números a la visualización de las matrices rectangulares que se
puede hacer con números grandes.
"Los encerraré y tacharé todos los múltiplos de 5 y 7"
Otro manipulativo que se utilizó fue la criba de Eratóstenes, o alguna versión de ésta,
la cual se invitó a los estudiantes a explorar a través de hojas de cálculo. En este
ejemplo 6.3, los estudiantes parecen estar ya familiarizados con lo que se debe hacer
con un tamiz, como lo demuestra [6.3.2], y son usados como una herramienta para
averiguar si 91 es tachado o no.
6.3.1 T (el maestro reparte una hoja de cálculo con los números del 1 al 100 escritos en ella) 6.3.2 S […] 5 y 7 son los siguientes números primos. Los encerraré y tacharé todos los
múltiplos de 5 y 7 6.3.3 T ¿Qué es lo que observas? 6.3.4 S Lo veo, lo veo. 91 no es un primo porque 7 x 13 es 91. Wow cool 6.3.5 T ¿Entonces crees que hemos encontrado todos los números primos entre 1 y 100? ¿Nos
detenemos después de cruzar todos los múltiplos de 7? 6.3.6 S No lo sé, tal vez lo que debemos es seguir. 6.3.7 T En ese caso, ¿cuál es el próximo primo después de 7? 6.3.8 S 11 y, a continuación, 13. 6.3.9 (La clase comienza a tachar todos los múltiplos de 11 y 13) 6.3.10 S Todos los múltiplos de 13 de 1 a 100 se han tachado. 6.3.11 T ¿Qué significa eso? 6.3.12 S Debimos habernos detenido a comprobar después de tachar todos los múltiplos de 11. 6.3.13 T ¿Por qué es así? 6.3.14 S No lo sé. 6.3.16 T ¿Qué podemos hacer cuando nos encontramos con un problema? ¿Cuáles son algunas
maneras de resolver un problema? 6.3.16 S ¿Buscas los patrones? ¿Haces una prueba de conjetura? 6.3.17 T Excelente. ¿Qué se puede hacer aquí? 6.3.18 S Tal vez podemos hacer algo similar para un problema más simple, como encontrar
todos los números primos del 1 al 20. (Estudiante inicia numeración de 1 a 20 y tacha todos los números compuestos)
6.3.19 T ¿En qué número te detuviste antes de darte cuenta de que todos los múltiplos han sido tachados?
6.3.20 S 5. 6.3.21 Ahora, ¿qué notas acerca de éste y los grandes interrogantes (1- 100)? 6.3.22 S 11 es el último número que tienes que cruzar todos los múltiplos de hasta que te quedas
con los números primos entre 1 y 100. Cinco es el último número que tienes que
cruzar todos los múltiplos de hasta que quedas con todos los números primos del 1 al
20. Déjame ver, si multiplicamos 11 por 11 se obtiene un número muy cercano a 100
(11 x 11 = 121). Si multiplicamos 5 por 5 se obtiene un número muy cerca de 20 (5 x
5 = 25). 6.3.23 T Estoy muy orgulloso de todos ustedes.
94 6 Números Primos
Tamizar números compuestos, o aplicar el método de la criba de Eratóstenes, es
una buena forma de encontrar números primos en un intervalo dado. De hecho, en
el caso particular de verificar si 91 es primo, este método es más rápido que
extender las tablas de multiplicar, como uno tropieza con 91 cuando se tamizan
múltiplos de sólo el cuarto número primo. Sin embargo, como una respuesta a los
docentes" " ¿qué es lo que observa" [6.3.3] el estudiante dice: "Lo veo. 91 no es
un primo porque 7 x 13 es 91" [6.3.4]. Notamos que en efecto 7 x 13 es igual a 91,
esto no es lo que uno observa en el tamiz. Todo lo que se "ve" es que el 91 es un
múltiplo de 7, que es más que suficiente para llegar a la conclusión de que el
número no es primo. Esto pone de manifiesto un problema matemático interesante
que el profesor puede no haber percibido o resuelto: ¿es suficiente saber uno de
los factores para decidir si un número es primo? La escuela habla acerca de los
factores, que está estrechamente unido a la multiplicación, puede llevar a creer que
siempre se debe conocer a ambos factores, en este caso, 7 y 13. Sin embargo,
cuando se trabaja con números pares, los estudiantes pueden llegar a darse cuenta
de que es suficiente para decir que es un número par (divisibles por 2) para
asegurarse de que no es primo. De igual manera, es suficiente decir que un número
es múltiplo de 7 para decir que no es primo. Además en este juego, el profesor elige continuar la conversación con el fin de
identificar todos los números primos en un intervalo dado. Es probable que el
dramaturgo quisiera mostrar a los alumnos que, con el fin de verificar la primalidad–o
de identificar a todos los números primos en un intervalo dado uno no necesita seguir
tachando múltiplos de todos los números primos. Sin embargo, una advertencia: un
estudiante afirma en [6.3.10] que "Todos los múltiplos de 13 entre 1 y 100 se han
tachado" y, además, de que "deberíamos haber dejado de comprobar después de cruzar
todos los múltiplos de 11" [6.3.12]. Esta afirmación incorrecta no se cuestiona. Es
incorrecto porque no hay múltiplos de 11 a ser tachados en una tabla de números del 1
al 100; todos los múltiplos de 11 ya se han tachado, ya que para todos los números
menores que 100, estos también son múltiplos de los números primos menores que 11.
Además, considerar un problema similar pero más sencillo es una importante estrategia
de solución de problemas que se implementa en el juego [6.3.18]. Sin embargo, el
mismo error emerge cuando primos menores de 20 se consideran. Es decir, que no hay
necesidad de tachar múltiplos de 5, de hecho, no hay múltiplos de 5 restantes para
tachar entre números del 1 al 20, después múltiplos de 2 y 3 se eliminan. La
parcialmente inadecuada estrategia se resume en [6.3.22]. No sólo es el último primo
a considerar identificado incorrectamente, 11 y 5, respectivamente, pero también la
razón de esto es dada inapropiadamente: "si multiplicamos 11 por 11 obtenemos un
número muy cercano a los 100 (11 x 11 = 121). Si multiplicamos 5 por 5 se obtiene un
número muy cercano a 20. (5 x 5 = 25). Por un lado, no hay nada malo en "excederse"
y comprobar para un primo más que realmente se necesita. Por otra parte, la respuesta
del personaje-profesor "Estoy muy orgulloso de todos ustedes" [6.3.23] indica que la
maestra en sí misma emplea una estrategia incompleta cuando se comprueba la
primalidad con sólo una comprensión parcial de por qué esa estrategia proporciona los
resultados deseados.
En el juego 6.3, al igual que con los bloques en 6.2, hay una falta de
correspondencia entre el uso de manipulativo y la intención del maestro. La criba
(tamiz) se utiliza más para ilustrar los significados que el maestro quiere impartir
que ayudar a que los estudiantes desarrollen
Siguiente mensaje #1 95 sus propios significados de la noción de primalidad. Dada la respuesta de Johnny
en la sugerencia #1 (que 91 no está en las tablas de multiplicar), nos preguntamos
si el uso de bloques y la criba son medios adecuados para centrar la atención de
los estudiantes. "No deberíamos estar usando las tablas de multiplicar"
De hecho, las conocidas tablas de multiplicar, hasta 10 o 12, no son una confiable
referencia para determinar si un número es primo. Sin embargo, el siguiente
extracto sugiere una peculiar razón de ello. El escenario en el punto 6.4 continúa
tras revisar la definición de número primo.
6.4.1 T Dime, ¿cómo se puede demostrar que un número sólo es divisible por 1 y por sí
mismo? 6.4.2 James Comprobando para ver si otros números lo dividen igualmente. 6.4.3 T Y recuerda lo que acabo de decir sobre las tablas de multiplicar e ir más allá 6.4.4 James Que puedes ir más allá de 12. Por lo que puedo usar factores como 13, 14 y 15
para verificar si un número es primo. 6.4.5 T Vamos a hacer un ejemplo. ¿Es 157 primo o compuesto? 6.4.6 (Escribiendo en su cuaderno, James comienza a utilizar varios factores para ver si
ellos dividen igualmente a 157.) 6.4.7 James Es primo. 6.4.8 T ¿Por qué? 6.4.9 James Porque no puede ser dividida en partes iguales por otros factores además de 1 y sí
mismo. 6.4.10 T Lo tienes. Así que siempre recuerda utilizar muchos factores, incluidos aquellos más
allá de 12, siempre que sea posible cuando intentas determinar si un número es primo o no.
James sugiere que para la comprobación de primalidad, uno puede "ir más allá
de 12" y "utilizar factores como 13, 14 y 15, para verificar si un número es primo"
[6.4.4]. Aquí, el profesor destaca la posibilidad de que los factores pueden ser de
más de 12. No obstante, la comprobación de divisibilidad por 14 y 15, es
innecesaria, siempre que primos por debajo de 10 fueron considerados
anteriormente. El maestro no ha hecho comentarios sobre esta observación del
estudiante. ¿Está satisfecho con él? Además, al considerar 157, James está usando
"múltiples factores", pero exactamente cuáles son los factores y qué tantos de esos
se utilizan no se ponen de manifiesto. La instrucción del profesor en [6.4.10]
implica una falta de precisión que puede resultar confuso: comprobación por
"muchos factores" no garantiza una correcta determinación e implica trabajo
inútil. Como el juego continúa, el profesor intenta convencer al estudiante que la tabla
de multiplicación puede no ser la mejor estrategia para verificar primalidad,
reconociendo así un importante supuesto erróneo que muchos estudiantes tienen.
96 6 Números Primos
6.4.11 Profesor Cuando tratamos de identificar números primos, no deberíamos usar
las tablas de multiplicar. ¿Saben por qué? 6.4.12 Estudiante No estoy seguro. 6.4.13 Profesor Porque hay un número allí que también es un número primo. ¿Cuál es? 6.4.14 Estudiante Oh, 2. 6.4.15 Profesor Exactamente. Y, al hacerlo así, no es la mejor manera. Lo importante es que tú
entiendas qué es un número primo. ¿Te acuerdas de lo que repasamos en una clase?
Ciertamente, las tablas de multiplicación no ayudan a identificar números
primos. Sin embargo, esto no tiene nada que ver con la presencia del 2. El número
2 aparece en la tabla de multiplicación como el resultado de 2 x 1 y 1 x 2. Pero lo
mismo se puede decir acerca de 3, 5 o 7. Puede ser que el dramaturgo se ve
enfrentado a la situación de la número dos, que, si bien aún, es considerado un
número primo en matemáticas. No hace falta decir que el razonamiento erróneo
del maestro en [6.4.13] no afecta directamente a la capacidad del estudiante para
continuar la interacción. Siguiendo sugerencia #2
Nos pasamos ahora a los juegos basados en la sugerencia 2. Recordar que la
respuesta de Johnny a la pregunta de por qué es primo 143 es "porque el 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 9 no entran (caben) en él". Los tres enfoques principales que
encontramos eran como sigue: invitar a los estudiantes a considerar los factores
más grandes que nueve, usando las reglas de divisibilidad y atender a la definición
de primo. "¿Puede un número que es más grande que 9 ser un factor de un
número?".
El siguiente extracto 6.5 invita a una reflexión sobre los factores mayores que
nueve. El juego comienza con recordar algunas reglas de divisibilidad, que el
maestro escribe en la pizarra y el alumno práctica. Entonces la conversación
continúa después de que se ha confirmado que los números del 2 al 9 no son
factores de 143. 6.5.1 T ¿Puede un número que es más grande que nueve ser un factor para un número? 6.5.2 S No sé, tal vez. 6.5.3 [ …] 6.5.4 Ahora bien, tomemos el número 100 por un momento porque es sencillo y agradable.
¿Pueden dos caber en 100? 6.5.5 S Sí.
T ¿Cómo lo sabe?
6.5.6 S Porque 2 x 50 = 100. 6.5.7 T ¿Y cuál es la regla de divisibilidad que acabamos de ver que también puede
ayudarnos? 6.5.8 S 100 es un número par que termina en cero, por lo que es divisible por 2. 6.5.9 T Bien. Por lo tanto sabemos que 2 es un factor de 100, pero no es 50 también un factor
de 100? (Continua)
Siguiente mensaje #2 97 (Continuación) 6.5.10 S Sí, 50 es un factor. 6.5.11 T Pero 50 es mucho más grande que el número uno y ¿aún cuenta? 6.5.12 S Supongo. 6.5.13 T Bueno, pues sabiendo que un número puede tener factores que son más grandes que
nueve, quiero que todo el mundo saque sus calculadoras y miren si pueden encontrar otros factores para 143. Está bien utilizar el ensayo y error para esta pregunta.
El juego continúa con el descubrimiento esperado de los factores de 143 y la
conclusión esperada. Sin embargo, mientras que este extracto muestra claramente un
número (100) con un factor mayor que nueve (50), no necesariamente aborda la fuente
de dificultad de Johnny, porque 100 también tiene pequeños factores, como 2 y 5. La
afirmación de que un número que no es divisible por 2-9 es primo no se basa en la
creencia de que un número no puede tener un "gran" factor, sino que se basa en la
creencia de que un factor pequeño está siempre presente. Esta creencia fue explorada
en Zazkis y Campbell (1996b) y en Zazkis y Liljedahl (2004). En particular, los
participantes en estos estudios esperaban divisibilidad de números compuestos por
"pequeños números primos", y esta expectativa coexistió con su conciencia de
infinidad de números primos. Esta expectativa se explica por un estudiante en el
estudio de Zazkis y Campbell (1996b), quien razona que "cuando se factoriza un
número en sus primos [ …] toda la idea de factorizar cosas en sus piezas más pequeñas
[...] me da una idea de que esas partes a su vez van a ser pequeñas" (p. 216). Como
tal, la búsqueda de factores de 143 (con la ayuda de una calculadora), como el profesor
dirige a los estudiantes a hacer [6.5.13], cambia la ideas de los alumnos con respecto a
la primalidad de 143, pero no se aborda el origen de la confusión. El siguiente extracto 6.6 también es un ejemplo de la búsqueda de grandes factores.
Todo comienza con una idea similar de buscando factores mayores de 10, y, a
continuación, se extiende la lección a ejemplificar los números que son el producto de
dos números primos, ambos mayores de 10. El intercambio en el 6.6 se lleva a cabo
después de que se ha demostrado por los estudiantes, que usando las reglas de
divisibilidad, que 143 no es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10, y confirmado por el maestro
(tenga en cuenta que los números cuatro, siete y ocho fueron ignoradas al momento de
confirmar la observación inicial de Johnny, ya que el profesor se basa exclusivamente
en las reglas de divisibilidad conocidas). 6.6.1 Maestro, Lo que dijeron de los números por debajo de 10 es cierto… pero hay muchos
números mayores que 10. Comencemos nuestra clase con calculadoras y tratemos más de
10… 11 o13 o 17. 6.6.2 Sarah Oh, oh, maestro, maestro, tengo 13. 6.6.3 Maestro, ¿Qué nos dice eso de 143 Sarah? 6.6.4 Sarah Creo que no es un número primo. 6.6.5 Maestro Fue un sencillo error; no hemos tenido una gran experiencia con
los números que no son divisibles por números mayores que 10. La siguiente
tarea es llegar a un número que no es un número primo y que puede dividirse en dos números mayores que 10.
6.6.6 (5 minutos más tarde) 6.6.7 Maestro ¿Alguien tiene una respuesta? 6.6.8 Sam Tengo 187. Que son 11 veces 17.
(Continúa)
98 6 Números Primos (Continuación) 6.6.9 Maestro Buen trabajo, ¿cuál es otro ejemplo?
6.6.10 Sam Tengo 221. 6.6.11 Maestro ¿Cómo obtuviste 221 Sam? 6.6.12 Sam Multiplico 13 y 17 y me dio 221. 6.6.13 Maestro Excelente ejemplo.
En este sentido, la apertura de sugerencia del profesor para tratar 11, 13 o 17 [6.6.1]
como posibles factores de 143 lleva inmediatamente a los resultados deseados. Lo que
sigue es una muy buena extensión de la actividad en que se invita a los estudiantes a
encontrar números compuestos que no tienen un factor menor que 10. Sin embargo,
vale la pena asistir más estrechamente a la forma en que la invitación está redactada.
En primer lugar, el profesor alega que "no hemos tenido una gran experiencia con los
números que no son divisibles por números mayores que 10" [6.6.5]. Pero ¿qué hay de
30 o 40? Lo más probable es que el profesor intentó atraer la atención a limitados
ejemplos involucrando factores primos mayores que 10. Entonces, la tarea de los
estudiantes se define como "llegar a un número que no es un número primo y se puede
dividir por dos números mayores que 10". Pero ¿qué hay de 60? Tiene varios
apropiados divisores mayores que 10. Obviamente, esta no era la intención del
maestro, quien deseaba ver un número no sólo con factores primos mayores de 10,
pero también sin factores menores que 10. Dado que esta es la intención del
dramaturgo, vemos estudiantes con éxito generar productos de dos números primos
mayores de 10, [6.6.8], [6.6.10], en analogía a descomposición de primo de 143. "¿Alguien sabe la regla de divisibilidad por 11?"
Mientras que los dos últimos ejemplos usaron reglas de divisibilidad (para
determinar o confirmar que los números del 2 al 9 no son factores de 143), este
juego 6.7 presenta la introducción de la regla de divisibilidad por 11. Pero antes de
llegar a esta regla de divisibilidad, Johnny es invitado a repensar su comprensión
del número primo. 6.7.1 T ¿Cómo te diste cuenta? 6.7.2 J He usado las reglas que nos enseñó. 6.7.3 T ¿Quieres decir las reglas de divisibilidad? 6.7.4 J Sí, mire, tengo la lista de las reglas aquí. Dos no cabe en 143 porque 143 no es par.
Tres no cabe en 143 porque la suma de los dígitos no es divisibles por 3. 1 + 4 + 3 = 8 y 8 no se divide por 3.
6.7.5 T Bueno, Johnny. Me alegro que estés utilizando tu conocimiento matemático para tratar de resolver estos problemas. ¿Qué otras razones me puedes decir que te hace
pensar que 143 es un número primo? 6.7.6 J 143 es impar, así que debe de ser primo. 6.7.7 T 143 es un número impar pero no todos números impares son primos. ¿Qué hay de 15? 6.7.8 J Si utilizo la regla de 5, 15 termina en 5 por lo tanto, se divide por 5. 5 x 3 = 15
6.7.9 T Si 5 x 3 = 15, luego 15 no es primo y es un número impar. 6.7.10 J Bueno, por lo tanto, quizá algunos números impares no son primos, aunque 143 lo es. 6.7.11 T Johnny, empecemos por el principio. ¿Qué es un número primo?
Siguiendo sugerencia #2 99
Aquí el maestro pide "otras razones que te hace pensar que 143 es un número
primo" [6.7.5]. El dramaturgo presenta una conocida confusión entre estudiantes: "143
es impar, así que debe de ser primo" [6.7.6]. Una confusión semejante fue reportado
en estudios previos (Zazkis 2011) como un posible error lógico: el hecho de que la
mayoría de los números primos son impares fue malinterpretado en el sentido de que
números impares, o al menos la mayoría de ellos, son los primos. El profesor es muy
rápido en ofrecer un contraejemplo: "15 no es un primo y es un número impar" [6.7.9],
pero el estudiante no encuentra este ejemplo convincente, porque la divisibilidad del
15 por 5 se determina fácilmente teniendo en cuenta el último dígito [6.7.8]. En lugar
de llevar a cabo esta interesante conjetura (que un número es primo si termina en un
número impar diferente de cinco), el maestro hace una vuelta a los principios básicos,
"empecemos por el principio" [6.7.11], a examinar la definición de un número primo.
Notamos que mientas contar con una definición de primo puede ayudar a Johnny a
revisar su conjetura, es poco probable que afecte a esa generalización que ha llevado a
cabo en relación con los ejemplos de los números primos con los que está
familiarizado. Siguiendo a Watson y Mason (2005), sugerimos que generar y trabajar
con ejemplos podría ser una mejor manera de desarrollar la comprensión de primalidad
de Johnny, que recordar la definición. Luego de aclarar lo que es un primo y lo que es un factor, el juego continúa.
6.7.12 T Bien clase, ¿se preguntaron si 143 es divisible por números superiores a 9? 6.7.13 J No, ya que si 2-9 no dividirán a 143, a continuación, cualquier número formado por
esos números no se dividirán en él. 6.7.14 T Veo, bueno, ¿qué si nos fijamos en los números superiores a 9? … ¿qué hay de 10? 6.7.15 J No, debido a que el número tendría que terminar en un cero para ser dividido por 10,
como 100.
6.7.16 T Veo. Bien, ¿sabemos las normas de los números mayores que 10? 6.7.17 J No, no recuerdo aprenderlas. 6.6.18 T Bueno, ¿quizás podríamos pedir a la clase para que nos ayude a solucionarlo?
¿Estaría bien?
6.7.19 J Seguro. 6.7.20 T Clase, necesito su atención por favor. Johnny y yo estamos teniendo dificultades para
resolver el problema de si 143 es primo o no, ¿alguien averiguó si es o no? 6.7.21 Mark: 143 no es primo porque cuatro números caben en él. 6.7.22 T Bueno, Mark dice que 143 no es primo porque tiene cuatro factores. Ahora bien, antes
de que podamos saber qué factores son… ¿alguien puede decirme las reglas de
divisibilidad para números mayores que 10? Sabemos que los números 2-9, no
funcionarán para 143, de manera que si Mark dice que no es primo entonces números mayores que 10 deberían servir.
6.7.23 Sue: Bueno, he tratado con 11.
6.7.24 T ¿Cómo trataste con 11? 6.7.25 Sue (Sue muestra una calculadora) 6.7.26 T Está bien, a veces, nuestras calculadoras nos ayudan pero también tenemos que saber
cómo dividir con nuestros cerebros y algunas reglas para que nos ayuden.
¿Alguien sabe la regla de divisibilidad para 11? 6.7.27 Bobby Sí. Para 11 toma el número (T escribe 143 en el tablero) sustrae el último
dígito de los dos primeros, lo que equivale a 11 (escribe 14 - 3 = 11). La
respuesta es 11
por lo tanto, sí, 143 es divisible por 11. 6.7.28 Johnny (Johnny escribe la regla y trata de resolver el problema él mismo) Bien, veo
ahora que 11 entra en 143… ¿cuál es el otro número? 6.7.29 T Bueno, ¿por qué no hacemos la división larga como una clase. 11/143… ¿cuántas
veces? Por favor trabaje en su papel y levante la mano cuando tenga la
respuesta.
100 6 Números Primos
Vemos aquí la excelente estrategia del maestro de reajustar los enunciados de
los estudiantes en [6.7.21] "cuatro números caben en él" con el fin de introducir la
terminología apropiada: "tiene cuatro factores" [6.7.22]. Lo que sigue es la
petición del maestro de recordar las reglas de divisibilidad para los números
mayores que 10. Como a menudo ocurre en el caso de los juegos, hay al menos un
estudiante que recuerda la regla deseada. De hecho, sólo un caso particular de la
divisibilidad por 11 se pone de manifiesto [6.7.27], pero esto no parece molestar a
al maestro. El descubrimiento de Sue de 11 con la ayuda de una calculadora [6.7.23] es dejado
de lado por parte del docente, que dice que mientras la calculadora puede a veces
ayudar, necesitamos a "utilizar nuestro cerebro y algunas de las reglas" [6.7.26] para
ayudarnos. Además, la estrategia sugerida para encontrar "el otro número", es decir, el
otro factor de 143, es el de utilizar división larga [6.7.29]. El maestro encuentra
claramente la calculadora una herramienta menor, prefiriendo las reglas o algoritmos.
Este posicionamiento de la calculadora, tal vez como una forma de hacer trampa,
parece injustificado, particularmente en esta situación en la que el foco de la lección se
centra en la búsqueda de factores de grandes números y no en practicando operaciones.
La invitación a "utilizar cerebro" sugiere que las matemáticas son de razonamiento, y
no sólo memorizar o aplicar procedimientos. Sin embargo, ya que uno de los factores
ya se halló por parte de un estudiante, ésta puede ser utilizada para confirmar el
hallazgo, en lugar de obtenerlo. El guión desarrollado da la impresión de que realizar
división con una calculadora es insuficiente para llegar a una conclusión relacionada a
divisibilidad. Parece que la lección se centra en las reglas de divisibilidad. Esto se pone
de manifiesto por la declaración de Mark, "143 no es primo porque cuatro números
caben en él" [6.7.21], es empujado a un lado con el fin de promover el valor de la
divisibilidad. La consiguiente interacción se desvía, por lo tanto, lejos de la invitación
inicial del profesor de reconsiderar la definición de primo, así como de la
generalización de Johnny acerca de la singularidad de los números primos. En [6.7.28], Johnny pregunta sobre el otro factor de 143. El profesor invita a la
clase a trabajar en la división larga "como una clase" (y es interesante analizar por
qué el maestro quiere que todo el mundo lo haga) con el fin de contestar la
pregunta de Johnny. Pero otra manera de abordar a Johnny sería preguntar si el
otro factor es realmente necesario. Dado que la eficiencia es un importante valor
matemático, el profesor podría utilizar esta oportunidad para ayudar a los
estudiantes a que se den cuenta de que sólo uno de los factores es necesario.
Además de modelar un valor estético en matemáticas, los alumnos son propensos
a encontrar la invitación a ser perezosos (¡sólo uno de los factores! ¡No hagas esa
división larga!) bastante atractiva. Después de que la división larga se realiza, el maestro concluye la indagación
de la primalidad de 143. 6.7.30 T ¿Cuántas veces 11 cabe en 143, Johnny? 6.7.31 J 13 veces. Así que 143 no es primo porque tiene cuatro... 6.7.32 T Factores. 6.7.33 J Sí, tiene cuatro factores… 1 , 11, 13 y 143.
6.7.34 T ¡Genial! Por lo que hemos aprendido que cuando se mira números mayores, tal vez tengamos que probar las reglas de la divisibilidad de números superiores a 10. Gracias
clase, pueden volver a su trabajo.
Siguiendo sugerencia #2 101
Johnny, que en un principio fue confundido con respecto a 143, ha encontrado el
"otro" factor de 143 y concluye que "143 no es primo porque tiene cuatro…
factores" [6.7.31], [6.7.33]. De hecho, 143 tiene cuatro factores, pero no está claro si
identificar los cuatro es necesario para este profesor para sacar una conclusión. El
profesor está llamando correctamente la atención, aunque no muy explícitamente, a la
idea de que cada número tendrá al menos dos factores y que la primalidad requiere
tener sólo dos factores. Pero la lección deja Johnny con la necesidad de encontrar los
cuatro factores de 143. Mientras que en 6.7 la regla de divisibilidad por 11 fue recordada por un estudiante,
en varios otros juegos el maestro se refiere a los estudiantes a las reglas de
divisibilidad (de 11 y 13) que se muestra en la pared. (Vimos referencias similares a
los gráficos que aparecen en las paredes del salón en el cap. 5.) Nos sorprende bastante
que los dramaturgos suponían que los alumnos de la escuela primaria, estarían
familiarizados con las reglas de divisibilidad por 11 y 13. Esas reglas, que pueden ser
desarrolladas para cualquier número primo, de una manera similar en que la regla de la
divisibilidad por 13 funciona, revelan algunas de las fascinantes relaciones entre
números (Eisenberg 2000; Zazkis 1999). Sin embargo, como se argumenta en el
cap. 5, su papel en la "era de la calculadora" es muy diferente; en efecto, las reglas de
divisibilidad por 7 y más allá de 10 raramente se discuten en los actuales planes de
estudio para los alumnos de la escuela primaria o para los futuros maestros de las
matemáticas. En lugar de utilizar la norma como un método para determinar
divisibilidad, vemos su papel hoy, más como una oportunidad para comprometerse en
el razonamiento matemático: ya sea para desarrollar, probar y perfeccionar las normas
conjeturadas o tratar de entender cómo y por qué las normas funcionan. Una vez más,
estas reglas parecen encarnar algo de la magia y la eficacia que los matemáticos
valoran y estudiarlas puede ayudar a comunicar estos valores más explícitamente a los
estudiantes. En general, nos sorprende la dependencia que tienen los profesores en las
reglas de divisibilidad. Parece ser que, para ellos, el concepto de divisibilidad está
conectado a una regla específica en lugar de la relación de multiplicación de
números. Como ya lo hemos dicho más arriba, la regla se valora mucho más que
otros medios para determinar divisibilidad, como división larga o una calculadora.
Y aunque las reglas de divisibilidad sólo dan un factor, los juegos parecen insistir
en la necesidad de encontrar un par de factores. En este sentido, la atención se
centra en multiplicación, pero más bien en términos de sus propiedades numéricas
que en sus relacionales. Siguiendo sugerencia #3
A pesar de que todos los juegos ya sea que reconocieron o comprobaron que en
efecto 143 no es divisible por números menores de 10, ningún dramaturgo pareció
cuestionar esta estrategia. Es decir, haber reconocido que el número no es divisible
por 2 y 3, ¿por qué habría una necesidad de comprobar la divisibilidad por 4, 6 o
9? Esto fue con el fin de centrarse en la estrategia, en lugar de la corrección de la
decisión, que desarrollamos la sugerencia #3.
102 6 Números Primos
(3) Maestro: ¿Por qué dices que 37 es primo? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no caben en él.
En este caso, el número bajo investigación es, en efecto, primo, pero la
respuesta del estudiante incluye información innecesaria y tal vez un indicio de
una estrategia inadecuada para verificar la presencia de números primos. Como se
demuestra a continuación, la mayoría de los juegos se centró en recordar la
definición de primalidad y buscar vías alternas para demostrar la primalidad de
37–más que en la estrategia. "Sólo tenemos que dividir 37 por otros números primos"
Había un solo juego 6.8 en el que la estrategia de determinación de primalidad de
un número fuera reconocida explícitamente, pero no por el profesor. La
conversación entre dos de sus alumnos en el pasaje siguiente tiene lugar después
de que el maestro preguntó si estaban de acuerdo con la conclusión presentada en
las indicaciones y atribuidas al estudiante 1. 6.8.1 Estudiante 2 Sólo tenemos que dividir 37 por otros primos. Es decir, para 37 podrías probar
2, 3, 5 y 7. Podrías detenerte en 7, ya que 7 x 7 = 49, que es más grande
que 37. Todos los otros números son números compuestos utilizando estos números primos. Por lo tanto, si los números primos no dividen el número,
los compuestos tampoco pueden. 6.8.2 Estudiante 1 ¿Por lo que no necesito intentar dividir a todos los números en 37 a ver si es
prime? 6.8.3 Estudiante 2 Todo lo que tienes que hacer para averiguar si un número es primo es
dividirlo en otros números primos que multiplicados por sí mismos serían
menos o iguales que el número que estás buscando.
Una estrategia correcta, que es una alternativa a "intentar dividir a todos los
números en 37", se le atribuye al estudiante 2. Sin embargo, a pesar de que la
estrategia está bien resumido en [6.8.3], la razón para ésta no es mencionada por el
estudiante y no es buscada por el maestro. Además, la aplicación de la estrategia no es
ejemplificada según esta descripción en [6.8.1]. Es decir, según la descripción, se
puede parar en 5, mientras que la reclamación en [6.8.1] es que "se podría detener en
7, ya que 7 x 7 = 49, que es más grande que 37". Por supuesto, no hay nada de malo
en verificar la divisibilidad por número primo adicional, incluso si es incompatible con
el citado criterio. En nuestra enseñanza e investigación hemos observado muchas veces
que los estudiantes pueden describir correctamente la estrategia de determinación de
primalidad de un número, pero parece que no tienen confianza en su ejecución (Zazkis
Liljedahl, 2004). Es decir, habiendo comprobado la divisibilidad por todos los
números primos cuyo cuadrado es menor que el número en cuestión, ellos seguirán
comprobando otros números, ambos primos y compuestos, "por si acaso" o "para estar
seguros". Estas acciones fueron a menudo conectadas a una
Siguiente mensaje #3 103 incapacidad para explicar por qué sólo primos particulares son considerados.
Además de la falta de confianza, y la posible falta de entendimiento de la
estrategia, podemos ver este fenómeno también como una falta de reconocimiento
del valor de generalización matemática. Esta apunta a la necesidad, de los futuros
maestros, así como de los estudiantes, de tener más experiencia con el tipo de
conjeturas, pruebas, contraejemplos y el refinamiento de del trabajo de las
conjeturas que está involucrado en la generalización. Volvemos a este punto en el
cap. 8. "Así no es cómo un número primo es definido"
El siguiente juego 6.9 comienza con un debate sobre la definición de primalidad,
que ejemplifica un movimiento común (retorno-a la-definición) en los juegos de
lecciones analizados. No hay ningún desafío para el enfoque utilizado por Johnny. 6.9.1 T Lo que dices es verdad, pero no es así como un número primo es definido. ¿Recuerdas la
definición de un número primo? 6.9.2 S: Sí, de alguna forma. Un número que sólo se pueden dividir por sí mismo y uno. Como
2, ¿no? 6.9.3 T Exactamente. Sí se puede dividir por sí mismo uniformemente (de manera exacta). Por
lo tanto, ¿qué es lo que sabemos sobre 37?, ¿es primo? 6.9.4 S Que puede ser divisible por 1 y 37. 6.9.5 T Genial. Así que hablemos de los números que usted ha escogido para tratar de dividir
37. Del 2 al 9. ¿Podrías explicar por qué concluiste que estos números no funcionan? 6.9.6 S Supongo y comprobé con números del 2 al 9 y demostré que era primo. No importa cuál
sea el divisor, a menos que sea 1 y 37, no funcionará. 6.9.7 T Excelente. Creo que lo que hablamos es muy útil; después de todo, la idea de números
primos es bastante difícil. Creo que lo voy a pedir a la clase que detenga su trabajo y se
agrupen para hablar de números primos. 6.9.8 S Suena bien. Me parece muy bien que cuando tenemos problemas con las matemáticas,
nos ayude a encontrar soluciones y, a continuación, asegúrese de que la clase se encuentra en buen camino. Usar grupos me ayuda mucho, porque entonces yo siempre
tengo a alguien para preguntar acerca de las matemáticas.
El lector puede encontrar el último comentario atribuido a un estudiante [6.9.8]
sorprendente: después de todo, es raro que los estudiantes comenten de las
estrategias pedagógicas utilizadas por los profesores. El dramaturgo aquí parece
estar teniendo una función de promoción con respecto a la función y la
importancia del trabajo en grupo. Tenga en cuenta que el principal objetivo de este
grupo de trabajo es "asegúrese de que la clase está en buen camino" y "tener a
alguien para preguntar acerca de las matemáticas". Ninguno de estos objetivos se
requiere trabajo en grupo y, de hecho, gran parte de la literatura propone que el
trabajo en grupo se centra más en la forma en que ellos facilitan la comunicación
matemática en un entorno para la resolución de problemas. Pero aquí, el grupo se
le va a pedir que hable sobre los números primos, lo que representa un objetivo
diferente. Independientemente, centrémonos en la respuesta del maestro al razonamiento de
un alumno acerca de por qué 37 es un número primo. En un primer momento, el
profesor parece estar satisfecho con la conclusión del estudiante, pero no la razón de
ésta porque "así no es como un número primo es definido" [6.9.1]. Parece que hay una
expectativa implícita de que la definición de
104 6 Números Primos un primo será citada, en lugar de los resultados de verificar primalidad. Un
estudiante recuerda una definición en [6.9.2]. Ya hemos comentado en detalle en
el lenguaje pertinente a divisibilidad en el capítulo anterior. Aquí, mientras que el
lenguaje atribuido a un estudiante puede ser mejorado, la reformulación del
maestro de "si se puede dividir a sí mismo uniformemente" [6.9.3] -no comunica
la idea de un número primo. Además, cuando el estudiante ofrece el ejemplo del 2,
el maestro no toma la oportunidad de explorar otros ejemplos, sobre todo aquellos
que no son ni siquiera (y que podría empujar la idea del estudiante de lo que
podría significar división uniforme). "Nos permiten usar los bloques para averiguar"
En el siguiente extracto 6,10, el dramaturgo parece sentir que la estrategia
utilizada por Johnny no es la única–o incluso no la preferida. Como se mencionó
anteriormente, tal vez el uso de la calculadora se encuentra en el origen de la
equivocación del maestro, en [6.10.3], ya que ella está "preguntándose si hay otro
camino". Además, como también hemos visto anteriormente, el profesor elige una
vuelta-a las-bases que impliquen el uso de manipulativos.
6.10.1 T No lo entiendo. Muéstrame cómo sabes que el 37 es un número primo. 6.10.2 S Porque cuando he utilizado una calculadora éste no funcionó. (El estudiante
demuestra dividir los números 2-9 en 37 con una calculadora)… ve, es un número
primo. 6.10.3 T Veo. Usted está diciendo que la calculadora muestra que 37 es un número primo. Me
pregunto si hay otra manera de demostrar que 37 es un número primo. Te daré algunos bloques.
6.10.4 (la maestra va y consigue unos bloques manipulativos) 6.10.5 T Bien. Vamos a utilizar los bloques para averiguar cuántas maneras hay de hacer 37.
Voy a anotar el número de formas que me muestres. 6.10.6 [ …] 6.10.7 T Entonces ¿por qué 37 es un número primo? 6.10.8 S Porque sólo hay dos maneras de hacer 37. 6.10.9 T Aún no lo tengo. ¿Cuáles son las dos maneras? 6.10.10 S Sr. L, están justo enfrente de usted. 1 y 37 o 37 y 1. 6.10.11 T Veo, por lo que un número primo es un número que sólo puede hacerse con 1 y... 6.10.12 S sí mismo.
Tenga en cuenta la afirmación del estudiante de que "no funcionó" [6.10.2] se
deja sin examinar. Esta sería una excelente oportunidad para que el maestro
averiguara más acerca de lo que "no funciona" significa en el contexto de
determinar números primos. Por lo menos, un reajuste de "no funcionar" en
términos de "oh, quieres decir que la calculadora no muestra un número entero"
podría ayudar a hablar de modelo matemático para el estudiante.
El maestro no parece satisfecho con la estrategia del estudiante y busca "otra
manera de demostrar que el 37 es un número primo" [6.10.3]. Mientras que el
trabajo del estudiante con bloques sólo puede ser imaginado, se puede suponer que
el estudiante pone
Siguiente mensaje #3 105 una fila o una columna de 37 bloques. Sin embargo, el alumno nunca cesa con la
cuestión de si es posible que existan otras formas de poner los bloques en una
matriz rectangular. Además, la distinción entre las dos formas puede llevar a
confusión: tal vez el maestro asocia los dos factores de 37 (1 y 37) con las dos
formas de hacer un rectángulo. En [6.10.11], la maestra se posiciona a sí misma
como la autoridad declarando la definición de primalidad, permitiendo al
estudiante simplemente completar su oración. Además, hay más trabajo que hacer
reajustando la idea de "un número que puede ser hecho" en lenguaje matemático. "Puede haber un número infinito de números primos"
En el siguiente ejemplo 6.11, nos centramos menos en la estrategia utilizada por el
dramaturgo y más en el tema del lenguaje–y la importancia de atender a la
precisión en el habla matemática. En este extracto, el maestro ha hecho una
pregunta interesante sobre si hay o no hay infinidad de números primos.
6.11.1 T ¿Puede haber un número infinito de números primos? 6.11.2 S Creo que sí. Porque sabemos que se pueden multiplicar los números y seguir adelante,
por lo que si podemos hacerlo, entonces deben de haber todavía números primos allí. 6.11.3 T Excelente pensamiento. Ahora que ya ha llegado a este punto, quiero que veas tu
gráfica y encuentres todos los números primos. ¿Hay un patrón? ¿Puedes encontrar más números primos que no se encuentran en tu gráfico?
Ciertamente, hay infinidad de números primos. Pero el razonamiento, "se
pueden multiplicar números y seguir adelante" [6.11.2] en realidad muestra que
hay infinidad de números compuestos, en lugar de primos. En lugar de señalar
esto, la respuesta del maestro se centra en la alabanza, "Excelente pensamiento"
[6.11.3]. Además, lo que el "gráfico" invita a los alumnos a considerar cumplir
con la tarea de encontrar "todos los números primos" no está clara. En el calor del
momento, los profesores no podrán ser capaces de evaluar la explicación del
alumno. Ella podrá invitar a una pausa en la interacción del aula a fin de examinar
más detenidamente. También puede invitar a otros estudiantes a evaluar el
razonamiento. Por último, ella podría reconocer que no sabe cómo responder a la
pregunta planteada, que por lo menos no da la impresión de que la respuesta del
estudiante es correcta. Suponemos que el dramaturgo en efecto creyó que el
estudiante está en lo correcto. Esta situación pone de manifiesto la difícil tensión
que basada en la reforma de la enseñanza en la que se alienta a los profesores a
proponer y suscitar preguntas importantes, pero no siempre están preparados para
manejar la interacción subsiguiente. En un caso como éste, podemos ver que la
rápida evaluación en [6.11.3] no sólo afirma ideas matemáticas incorrectas, sino
que corta el proceso de razonamiento de los estudiantes.
106 6 Números Primos "Encontrar un número que no es un número primo y no es
divisible por 2, ..., 9"
Ahora cambiamos de marchas a nuestro próximo y último ejemplo 6.12, en el que
el dramaturgo reconoce e intenta trabajar en la problemática estrategia propuesta
por Johnny. Sin embargo, antes de hacerlo, y el maestro hace un movimiento
familiar ahora de volver a la definición.
6.12.1 La Sra. L Tiene usted razón al decir que 37 es un número primo. Y, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8
y 9 ciertamente no caben en él. Sin embargo, piense en la definición de un
número primo. 6.12.2 Estudiante 1 Sé que los números primos sólo pueden dividirse por 1 y sí mismo. Pero
es sólo como decir que todos los números que no son primos se pueden dividir por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.
6.12.3 La Sra. L Hmmm… ¿Por qué dice usted eso? 6.12.4 Student 1 Porque justo aprendimos esas reglas de 2-9, y porque cada árbol de factores
que he hecho tiene uno de esos números en el mismo. 6.12.5 La Sra. L ¿Cuál es el mayor número al que has tenido que recurrir a un árbol de
factores? 6.12.6 Estudiante 1 La Sra. C nos hizo hacerlos todo el año pasado en el grado 6!
6.12.7 La Sra. L ¡¿Todos ellos? ¿Realmente? ¿Fuiste capaz de hacer todo los árboles de
factores hasta el infinito en el grado 6?! 6.12.8 Estudiante 1 No, no hasta infinito. Los hemos hecho hasta 100. 6.12.9 La Sra. L ¿Los números van hasta 100? 6.12.10 Estudiante 1 Por supuesto que no. Solo pensé que eso era tal vez cuando empezaban a
repetirse a ellos mismos o algo así. Eso es todo lo que teníamos que hacer.
6.12.11 La Sra. L Mmmm, Esto suena como un problema interesante para la clase para resolver.
Ve a ru grupo de 3 y les daré su desafío. Su desafío es encontrar un
número que no es un número primo y no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 o 9. Les diré que no necesitan buscar más allá de 150. 6.12.12 Estudiante 1 ¡Puaj! ¡Esto va a tomar UNA ETERNIDAD! 6.12.13 La Sra. L ¿Cuáles son las estrategias que van a utilizar?
Tras la solicitud del profesor en [6.12.1], nos encontramos preguntas e hipótesis
razonables expresadas por el alumno: "Pero es como decir que todos los números que
no son primos se puede dividir por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9" [6.12.2]. La creencia
implícita en esta pregunta se basa en la experiencia: "Porque justo aprendimos las
reglas de 2-9, y porque cada árbol de factores que he hecho tiene uno de esos números
en el mismo" [6.12.4]. Se aclaró además que en sus experiencias anteriores, los
estudiantes en esta clase hicieron árboles de factores para los números hasta 100. Y de
hecho, es cierto que cada número compuesto menor a 100 tiene por lo menos un factor
entre los números del 2 al 9. Sin embargo, como señala el profesor (un poco en
broma), los números no se detienen en el 100. Así pues, el profesor presenta un reto a
los estudiantes, que es el de encontrar un número que no es primo y "no es divisible
por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9" [6.12.11]. Aquí, la atención se ha desviado del caso concreto
de 37, pero el
Siguiente mensaje #3 107 maestro está explícitamente trabajando para producir un contraejemplo en el que
probando los números del 2 al 9 no es suficiente (o necesario). Este juego va a describir la interacción de los estudiantes en grupo. En primer
lugar listan varios números primos mayores que 10:11, 13, 17, 19 y deciden a
verificar la divisibilidad de los números de 100 a 150 a través de estos primos.
6.12.14 Estudiante 1 Hemos de poner a prueba cada número entre 100 y 150 a ver si es
divisible por 11 y 13. 6.12.15 Estudiante 2 No necesitamos probar cualquier número par ya que sabemos que es ya
es divisible por 2. 6.12.16 Estudiante 3 ¡Oh sí! ¡Y no tenemos que probar los números que terminan en 5 o 0
porque se pueden dividir en 5! 6.12.17 Estudiante 2 Aquí, vamos a usar la pizarra y escribir todos los números posibles. (Los
estudiantes escriben 101, 103, 107, 109, 111, etc. hasta 150) 6.12.18 Estudiante 1 Ah, y recuerden que la Sra. L dijo que un número que tiene todos sus dígitos
sumados a algo que se puede dividir en 3 significa que el número entero se puede dividir por 3. Sí, esa es una de las reglas que escribió.
6.12.19 Estudiante 2 ¡Chicos! ¿Por qué no utilizar esa lista de trucos de divisibilidad que hicimos
en la primera parte de la clase para tachar los demás números? Entonces
ya no tendremos que hacer mucha división. Nuestras normas están
todavía en la pizarra. ¿Es eso correcto, la Sra. L.? 6.12.20 (Estudiantes tacharon los números y se quedan en la lista: 101, 103, 107,
109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149) 6.12.21 Estudiante 2 Ahora todo lo que tenemos que hacer es probar si esos 12 números son
divisibles por 11 y 13.
Compartiendo el largo trabajo de la división, los alumnos encuentran 121 y
143.
6.12.22 3 Estudiante 3 Sra. L. , mire, lo desciframos. ¡Se trata de 121 y 143! El resto de los
números son primos. 6.12.23 La Sra. L ¿Y 121 y 143 son ¿y entonces? 6.12.24 Estudiante 3 121 y 143 son números que no son primos, aunque también no se dividen
por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.
6.12.25 La Sra. L Entonces ¿las reglas de la divisibilidad de 2 a 9 siempre van a funcionar
para descubrir números no primos?
6.12.26 Estudiante 1 ¡Nop!
En este juego, los estudiantes han aprendido que la divisibilidad por números
del 2 al 9 es insuficiente, o, en las palabras del maestro "no siempre se van a
funcionar para descubrir números no primos" [6.12.25]. Es interesante señalar
que, aunque nuestra intención en este indicador era la de centrarse en pasos
innecesarios en la comprobación de primalidad de 37, este dramaturgo se centró
en la estrategia de ser insuficiente en algunos casos.
108 6 Números Primos
A pesar de la fortaleza de este juego, podemos ver también nuevas
oportunidades para que el maestro centre la atención de los estudiantes más
directamente en la idea de primalidad que en eso de operaciones numéricas
(división, especialmente). Por ejemplo, mientras que los estudiantes utilizan sus
conocimientos y reglas de la divisibilidad y división larga para encontrar 121 y
143, el profesor puede haber intervenido para mostrar cómo estos números pueden
ser construidos multiplicativamente como 11 x 11 y 11 x 13. Si bien es posible
que este particular dramaturgo dirigirá la atención de los alumnos a la materia en
la siguiente lección, la investigación ha demostrado que la relación entre
multiplicación y división es frecuentemente desatendida en relación con las tareas
relacionadas con teoría de números. Por ejemplo, los futuros maestros de la
escuela primaria, cuando se les pidió encontrar un "gran" número de 5 dígitos
divisible por 17 prefieren comprobar la divisibilidad con calculadora, en lugar de
elaborar un número multiplicando 17 por un número de 3 o 4 dígitos (Hazzan y
Zazkis 1999). Además, cuando se les pidió que encontraran un número con
exactamente cuatro factores, la estrategia preferida de los participantes fue la de
adivinar y comprobar, en lugar de construir un número como el producto de dos
números primos (Zazkis y Campbell 1996a). Como tal, la estrategia de cribar
múltiplos de 2 a 9 de la lista de los números de 100 a 150 podría haber sido una
buena opción para el dramaturgo. Conclusión
Los juegos analizados en este capítulo revelan muchos de los elementos del
concepto de futuros maestros de las imágenes de los números primos.
Investigaciones previas (Zazkis Liljedahl, 2004) ha demostrado que para los
futuros maestros de la escuela primaria la comprensión de primalidad está
firmemente conectada al procedimiento de factorizar, a observar algunos ejemplos
concretos de los pequeños números primos, y de la interpretación de la definición
de exclusión. Es decir, los futuros maestros de la escuela primaria se centran en lo
que los primos no son o no pueden ser (no son divisibles por otros números, no
pueden factorizarse) en lugar de atender a lo que son o lo que tienen (exactamente
dos factores). Los juegos hicieron eco de estos resultados, pero también demostró
una gran variedad de formas adicionales en las que los primos pueden entenderse,
tanto por personajes-docentes como por personajes-estudiantes. Además, demostró
una serie de herramientas que pueden utilizarse para ayudar a la comprensión. Más comúnmente, la tabla de multiplicación se invoca como una herramienta
que podría ampliarse, revelando de este modo más números y, en particular, no
primos. Alternativamente, los estudiantes fueron expresamente invitados a buscar
"grandes" factores. Si bien estos particulares enfoques están implícitos en la
primera y la segunda sugerencia respectivamente, herramientas adicionales fueron
empleadas para mejorar los niveles de comprensión y la capacidad para determinar
primalidad. Estos presentaron la utilización de una tabla de números para tachar
múltiplos, bloques para crear matrices rectangulares y calculadoras para
comprobar si ciertos números son divisibles por otros números. Además, las reglas
de divisibilidad fueron ocasionalmente invocadas en la búsqueda de factores y con
el fin de refutar primalidad. Para el tercer indicador, que no implica un error en el
reconocimiento de un primo, el personaje-maestro a menudo desviaba su atención
a la definición de un número primo, en lugar de a la eficacia del procedimiento
para determinar primalidad.
Conclusión 109
Los futuros maestros también mostraron que tenían conocimiento de las partes
de la imagen del concepto que se podría mejorar para los estudiantes, por ejemplo,
atendiendo a la situación del número 2, o a la pregunta de si hay infinitamente
muchos primos. Estos juegos presentan una mayor concentración en el
razonamiento que se encuentra en el capítulo anterior. Una vez más, vemos
evidencia de la forma en que los temas bajo consideración pueden recurrir a
diferentes objetivos de la enseñanza y, en consecuencia, diferentes movimientos
de enseñanza.