MATERIALES COMPUESTOS
Capítulo 5: Deformación elástica de Capítulo 5: Deformación elástica de los laminadoslos laminados• Deformación elástica de materiales anisótropos
– Ley de Hooke– Efecto de la simetría
• Constantes elásticas no axiales de las capas– Procedimiento de cálculo– Constantes ingenieriles
• Deformación elástica de los laminados– Cargando un laminado– Comportamiento esperado
• Tensiones y distorsiones– Laminados compensados– Tensiones en capas individuales de un laminado– Tensiones entre capas y laminados simétricos
MATERIALES COMPUESTOS
Ley deLey de HookeHooke• Tensor de tensión: [σij], tiene 3 x 3 = 9 componentes
– σii ⇒ σi (tensión normal)– σij ⇒ τij (tensión tangencial); además, τij = τji
• Tensor de deformación: [εij], idem– Atención: γij = eij + eji = 2 εij
• Relación entre ambos: ley de Hooke generalizada:
[σij] = [Cijkl] [εkl]
o bien: [εij] = [Sijkl] [σkl]
– La matriz C (matriz de rigidez) es de cuarto orden y tiene 34 = ¡81 componentes!– La matriz S (matriz de flexibilidad) es la inversa de la matriz C
MATERIALES COMPUESTOS
Efecto de la simetría (I)Efecto de la simetría (I)• Por simetría intrínseca de los tensores de tensión (σij = σji) y
deformación (εij = εji), el número de constantes elásticas se reduce a 36:
ó
• Además, por consideraciones termodinámicas:Cij = Cji & Sij = Sji
Con lo que quedan 21 constantes elásticas• Además, el material puede ser:
– Ortótropo (3 planos de simetría perpendiculares) ⇒ 9 constantes (el caso de una capa)– Isótropo ⇒ sólo 2 constantes: E; G y ν; con la relación entre ellas:
σσστττ
εεεγγγ
31
12
31
12
1
2
3
23
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
1
2
3
23
=
C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C
εεεγγγ
σσστττ
31
12
31
12
1
2
3
23
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
1
2
3
23
=
S S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S S
( )ν+=
12EG
MATERIALES COMPUESTOS
Efecto de la simetría (II)Efecto de la simetría (II)• Forma de las matrices Sij y Cij para diversas simetrías del material
+000000*000000*
cc
baba
*0*00*000*000**000***
*********************
Anisótropo Ortótropo Transversalmente ortótropo21 constantes 9 constantes 5 constantes
+ = 2(S11-S12)
++
+
cc
cababba
000000000000
Isótropo, 2 constantes
ES
ES
ν−=
=
12
111
( )ν+=
12EG
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (I)Procedimiento de cálculo (I)
• Las capas, por su geomería, son ortótropas
• Una primera aproximación: suponemos tensión plana en la capa⇒ σ3 = τ23 = τ31 = 0
con: εεγ
σστ
1
2
12
11 12
12 22
66
1
2
12
00
0 0
=
S SS S
S
[ ]S
S S SS S SS S S
SS
S
=
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44
55
66
0 0 00 0 00 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
SE
SE E
SE
SG
111
121 2
222
6612
1
1
1
=
= − = −
=
=
ν ν 12 21
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (II)Procedimiento de cálculo (II)
• Pero la capa puede ser cargada en una dirección arbitraria:
• Con lo que estamos rotando los ejes:
y
φ
1
2
3
zz
y (=2’)
x (=1’)τ12
σ1σ2
φ
σx (= σ’11)
σy (= σ’22)
τxy (= σ’12)
[ ] [ ]σστ
σστ
y
; con: 1
2
12
2 2
2 2
2 2
22
=
= −− −
T Tc s css c cscs cs c s
x
y
x
[ ] [ ]εεγ
εεγ
y
; con: 1
2
12
2 2
2 2
2 22 2
=
= −− −
T Tc s css c cscs cs c s
x
y
x
' '
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (III)Procedimiento de cálculo (III)
• Despejando, queda:
con[ ] [ ] [ ] [ ]
• Donde:
• Y analogamente, se obtendría la matriz de rigidez girada
[ ]ε ε σ σ
= x x x
T T S T S =
=
− −' '11
1 [ ]SS S SS S SS S S
=
11 12 16
12 22 26
16 26 66
ε
γ
ε
γ
σ
τ
σ
τ
y
y
y
y
x
y
x
y
x
2
12
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
S S c S s S S c s
S S c s S S S c s
S S s S c S S c s
S S S S c s S S S s c
S S S S s c S S S c s
S S S S S c s
11 114
224
12 662 2
12 124 4
11 22 662 2
22 114
224
12 662 2
16 11 12 663
22 12 663
26 11 12 663
22 12 663
66 11 22 12 662 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 8 2
= + + +
= + + + −
= + + +
= − − − − −
= − − − − −
= + − − ( )+ +S c s664 4
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (I)(I)
• A partir de la matriz de flexibilidad:
• Y dos constantes nuevas:
los coeficientes de interacción, que indican la interacción tensión normal /tensión cortante
ES
ES
GSE SE S
x
y
xy
xy x
y y
=
=
=
= −= −
1
1
1
11
22
66
12
12
νν
x
ηγε
ηγε
= y =xyx
xy
xx xyy
xy
yyE S E S= =16 26
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (II)(II)
• Variación de E y G en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Mód
ulo
(GPa
)
Módulo elástico, ExMódulo de cortante, Gxy
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (III)(III)
• Variación de E y G en función del ángulo φ , para un Ti / 50% SiC
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Mód
ulo
(GPa
)
Módulo elástico, ExMódulo de cortante, Gxy
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (IV)(IV)
• Variación de η xyx en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Coe
ficie
nte
de in
tera
cció
n, η
xyx
MATERIALES COMPUESTOS
Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (V)(V)
• Variación de ν xy en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Coe
ficie
nte
de P
oiss
on, ν
xy
MATERIALES COMPUESTOS
Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Cargando un laminado (I)Cargando un laminado (I)
• Suposiciones de Kirchoff:– El laminado es plano y fino– No existen tensiones en la dirección del espesor– Se desprecian los efectos de borde (laminado infinito)
• Entonces, la tensión global en la dirección x (σxg) será (modelo de bloques):
como:
queda: y, análogamente, las demás Cijg
( )σ
σε ε γxg
xk kk
n
kk
n g xg g yg g xyg
t
tC C C= = + +=
=
∑
∑1
1
11 12 16
( )C
C t
tg
k kk
n
kk
n11
111
1
= =
=
∑
∑
xygkygkxgkxk CCC γεεσ 161211 ++=
MATERIALES COMPUESTOS
Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Cargando un laminado (II)Cargando un laminado (II)
• Si necesitamos las componentes de la matriz de flexibilidad:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
SC C C
SC C C
SC C C C
SC C C
SC C C C
SC C C C
C C C C C C C C C C C C
1122 66 26
2
2211 66 16
2
1216 26 12 66
6611 22 12
2
1612 26 22 16
2612 16 11 26
11 22 66 12 16 26 22 162
66 122
11 2622
=−
=−
=−
=−
=−
=−
= + − − −
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ con
MATERIALES COMPUESTOS
Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Comportamiento previsible (I)Comportamiento previsible (I)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Mód
ulo
elás
tico
(GPa
)
Unidireccional0/900/45/90/135Linear (0/45/90/135)
MATERIALES COMPUESTOS
Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Comportamiento previsible (II)Comportamiento previsible (II)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Mód
ulo
de P
oiss
on ( ν
xy)
Unidireccional0/900/45/90/135Linear (0/45/90/135)
MATERIALES COMPUESTOS
Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Laminados equilibradosLaminados equilibrados
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ángulo (º)
Coe
ficie
nte
de in
tera
cció
n ( η
xyx)
Unidireccional +30/-300/900/60/1200/30/60/90/120/150Linear (0/30/60/90/120/150)
MATERIALES COMPUESTOS
Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Tensiones en una capa (I)Tensiones en una capa (I)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Ángulo (º)
Rel
ació
n σ 0
º/ σc
0/900/45/90/135
MATERIALES COMPUESTOS
Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Tensiones en una capa (II)Tensiones en una capa (II)
σx
σx
1'6 σx0'4 σx
-0’07 σx
0’07 σx
• Para el Epoxi / 50% vidrio:la mayoría de la carga axial la transmite la capa a 0º
• Aparece tensión normal en la dirección transversal
MATERIALES COMPUESTOS
Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Efecto del pegado de las capasEfecto del pegado de las capas
Calentamiento ∆T
Dilatación de las capas
Distorsión debida a la uniónentre capas
Carga externa
Efecto de Poisson
Distorsión debida a la uniónentre capas
MATERIALES COMPUESTOS
Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Laminados simétricosLaminados simétricos
• Grandes ventajas: – No aparecen alabeos– Los planos permanecen planos– Mayor número de capas más finas ⇒ reducción de las tensiones interlaminares
• Aún mejor: laminados simétricos y equilibrados• Sin embargo, existen otras consideraciones
– Estado de tensiones concreto al que será sometido– Probable modo de fractura– Tipo y magnitud de las distorsiones admisibles
• Conclusión: se necesita una información muy detallada de las características requeridas ⇒ gran importancia del diseño del material