CAPITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES
1.1. Curvas en el plano
Definición 1 .Definimos curva en el plano
ty,txtαt
RRb,a:αC 2
que nos lleva a la ecuación paramétrica de la curva C : t[a,b] ,curva que une el punto A con el punto B del
plano
En este punto definimos las características más importantes de las curvas o caminos.
• Una curva C es continua si x (t), y (t) son continúas.
• Una curva C es cerrada si A = B, es decir, si empieza y termina en el mismo punto.
• Una curva C es simple si no pasa dos veces por el mismo punto.
• Una curva C es regular si existen x'(t) y’(t) y son continuas. Cuando ocurre esto salvo en un número finito
de puntos se dice que la curva es regular a trozos. Salvo que se indique lo contrario trabajaremos con curvas
regulares a trozos.
• Una curva C es rectificable si tiene longitud finita.
• Una curva C es de Jordan si es cerrada y simple.
1.2. Superficies: primeros conceptos
El estudio de las superficies exige una representación analítica de ellas. Vamos a ver diversas
representaciones comenzando por el caso de coordenadas cartesianas. Consideremos una referencia afín,
k,j,i,0 en R3 donde los vectores k,j,i forman base ortonormal.
Definición 2 .Una superficie es una aplicación 32 RRD:r , es decir
)v,uz(,)v,y(u,v),x(uv,ur , Dv,u
La expresión kv),uz(jv),y(uiv),(uxv,ur recibe el nombre de ecuación vectorial de la
superficie. Descomponiendo dicha expresión en sus funciones componentes se obtiene
D)v,u(
v),z(uz
v),y(uy
v),x(ux
Denominadas ecuaciones paramétricas de la superficie. Los parámetros u y v reciben el nombre de
coordenadas curvilíneas de la superficie. Se denomina ecuación explícita de la superficie aquella en que los
parámetros son dos las variables por ejemplo (x, y) obteniéndose z = f (x, y) Una relación entre las variables
x, y, z de la forma F(x, y, z) = 0 recibe el nombre de ecuación implícita de la superficie.
Una superficie se dice de clase C k si la función r (u, v) es de clase C
k , o lo que es lo mismo, si las
funciones x (u, v), y (u, v), z (u, v) son de clase C k .Si no se dice otra cosa se supondrá que la superficie es
de clase C k
1.3. Algunas superficies importantes
Describiremos aquí las superficies más importantes que aparecen en la práctica. Empezaremos con las
principales cuádricas canónicas: Esfera, elipsoide, hiperboloides, paraboloides, y algunos casos de cilindros y
conos. A continuación analizaremos las superficies de revolución y traslación para acabar con una pincelada
sobre las superficies regladas, que serán analizadas con más detenimiento posteriormente. Esta clasificación
que hemos realizado no es excluyente. Por ejemplo un cilindro circular es una superficie de revolución y
reglada.
La esfera de ecuación implícita x 2 +y
2 + z
2 = a
2, admite como ecuaciones paramétricas
usenaz
π2v0vsenucosay
2
πu
2
πvcosucosax
El elipsoide (Fig.1) de ecuación implícita 1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
, admite como ecuaciones paramétricas
usencz
π2v0vsenucosby
2
πu
2
πvcosucosax
Fig. 1. Elipsoide
Paraboloide elíptico: Tiene por ecuación explicita:2
2
2
2
b
y
a
xz .Las ecuaciones paramétricas son
2uz
2πv0vsenuby
u0vcosuax
Fig. 2. Paraboloide elíptico
Si a = b el paraboloide se denomina circular.
Paraboloide Hiperbólico: 2
2
2
2
b
y
a
xz es la ecuación del paraboloide hiperbólico (Fig.3). La
intersección de esta superficie con planos z = Cte. son hipérbolas. Unas ecuaciones paramétricas son
22 vuz
vvby
uuax
Fig.3.Paraboloide hiperbólico
Hiperboloide de una hoja: 1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
(Fig. 4). Unas posibles ecuaciones paramétricas son
uhsencz
2πv0vsenuhcosby
uvcosucoshax
Fig. 4. Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas: 1a
x
b
y
c
z2
2
2
2
2
2
.Unas ecuaciones paramétricas de la primera hoja son
uhcoscz
2πv0vsenuhsenby
u0vcosuhsenax
y unas ecuaciones paramétricas de la segunda hoja son
ucosc.z
2πv0vsenuhsenby
u0vcosuhsenax
Cilindro circular con generatrices paralelas al eje OZ, tiene por ecuación implícita x 2
+ y2
= a2. Unas
posibles ecuaciones paramétricas son
uz
2πv0vsenay
uvcosax
Cono circular de vértice el origen puede expresarse en forma x 2 + y
2 - a
2z
2 =0
Fig. 5: Cono circular
Unas posibles ecuaciones paramétricas son
uz
π2v0vsenuay
uvcosuax
1.4. Primeros conceptos sobre superficies
Definición 3 .Sea la superficie S definida en forma implícita por F(x, y, z) = 0, donde la función F es al
menos de clase Cl. Sea P0(x0, y0, z0) un punto de la superficie S, esto es, verifica F (x0, y0, z0) =0 .El punto P0
se dice punto singular de S sí
│F x (x0, y0, z0)│+ │F y (x0, y0, z0)│+ │F z (x0, y0, z0)│=0
En caso contrario el punto P0(x0, y0, z0) recibe el nombre de punto regular.
Sea la superficie S de ecuaciones paramétricas
v),z(uz
v),y(uy
v),x(ux
v,ur
donde r (u, v) es al menos de clase C l en un entorno de (u, v) D.
El punto P0(x0, y0, z0) =(x (u0, v0),y(u0,v0),z(u0,v0)) es un punto regular de S si se verifica 0rr00 v,uvu
que es equivalente a decir que la matriz tiene rango dos.
Un punto de la superficie S es punto singular de S si no es regular.
El que un punto sea singular para una superficie expresada en forma implícita es algo inherente a la
superficie. Así por ejemplo, el punto (0, 0, 0) es un punto singular para el cono de ecuación x2
+ y2
- z2 = 0,
que corresponde a su vértice.
Sin embargo, ser punto singular para una superficie expresada en forma paramétrica puede depender de la
parametrización elegida, pudiendo un punto ser singular para una parametrización y regular para otra.
Los dos ejemplos anteriores muestran que hay dos tipos de puntos singulares: Esenciales, que son debidos a
la "geometría" de la superficie y que son independientes de la parametrización de la superficie y artificiales,
que se deben a la parametrización elegida para la superficie.
En todo lo que sigue supondremos que todos los puntos de una superficie son regulares. En caso de
existencia de puntos singulares se pondrá de manifiesto de forma explícita.
1.5. Vectores normales a una superficie. Plano tangente
Un vector normal a la superficie v,urr en un punto regular P, correspondiente a los valores (u0, v0) de
los parámetros, es cualquier vector que tenga la dirección del vector
vvv
uuu
v,u zyx
zyx
kji
v
r
u
r
0o
Si la superficie viene expresada en la forma implícita, F(x, y, z) = 0, un vector normal a la superficie, en un
punto regular P0(x0, y0, z0) de ella, viene dado por el vector (F x(x0, y0, z0), F y (x0, y0, z0), F z(x0,y0,z0) )
Un vector normal unitario será el vector
00
00
00
v,uvu
v,uvu
v,u
rr
rrν
El plano tangente a la superficie v,urr en un punto regular P de coordenadas (x0, y0, z0)
correspondiente a los valores (u0, v0) de los parámetros, es el plano que pasa por P y tiene como vector
característico un vector normal a la superficie en P. Siendo )zy,(x,r una ecuación del plano tangente
será
.v,urr 00 00 v,uvu rr =0
que puede expresarse en la forma
0
zyx
zyx
zzyyxx
vvv
uuu
000
El plano tangente contiene a los vectores vu r,r lo que nos permitirá deducir, en el apartado siguiente, que
dicho plano contiene a todas las rectas tangentes a curvas que estén contenidas en la superficie y pasen por el
punto 00 v,ur
Se denomina recta normal a la superficie en un punto regular P, correspondiente a los valores (u0, v0) de los
parámetros, a la recta que pasa por P y tiene como vector director un vector normal a la superficie en P. Una
ecuación vectorial de la recta normal será
0000 v,urλv,urR
1.6. Expresiones de una curva sobre una superficie
Sea la superficie v,urr .Una curva sobre dicha superficie viene dada por una relación entre los
parámetros u y v. Esta relación puede adoptar diversas formas:
1. Forma implícita: (u, v)=0 con │ u│+│ v │=0
2. Forma explícita: u = (v)
3. Forma paramétrica: u=u(λ) , v=v(λ)
4. Forma diferencial: v,ufud
vd
La forma diferencial representa una familia de curvas, ya que su integración dará lugar a una expresión de la
forma (u, v, k)=0, debiéndose fijar alguna condición para determinar la constante k.
5. Forma cuadrática diferencial: A(u,v)du2+2B(u,v)du dv+C(u,v)dv
2=0 . Vamos a suponer C ≠ 0.
Resolviendo 0Adu
dvB2
ud
vdC
2
se obtienen dos familias de curvas en forma diferencial que son:
v,ufdu
dv,v,uf
du
dv21 para valores (u, v) tales que B
2 - AC > 0.Representa pues dos familias de
curvas sobre la superficie.
1.7. Curvas coordenadas sobre una superficie
Las relaciones u=C1 (Cte.), v=C2 determinan al variar v y u respectivamente, dos familias de curvas sobre
la superficie que reciben el nombre de curvas coordenadas o paramétricas
Fig. 8
Las curvas 21 Cv,Cu fibran la superficie
Si queremos prever el futuro de la matemática, el camino adecuado para conseguirlo es el de estudiar la
historia y el estado actual de esta ciencia.
Henri Poincaré
CAPITULO 2.INTEGRALES MULTIPLES
2.1. Integral doble
Sea D un dominio acotado del plano XOY, limitado por una curva cerrada C que se supondrá
rectificable. Supongamos que dicho dominio D tiene un área A. Sea f(x,y) una función acotada en el
dominio D . Dividamos de forma arbitraria D en n dominios parciales, 1, 2……n de áreas
ω1,ω2…….ωn . Cualquiera que sea la forma en que se ha hecho la partición, se
n
1p
pωA (1)
Consideremos ahora en cada dominio parcial p un punto arbitrario de coordenadas ( ωp , p) y
formemos la siguiente suma
p
n
1p
pp ω η ,ψf Ω
(2)
Llamemos diámetro del dominio al extremo superior de la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos.
Diremos que la función f(x ,y) es integrable en D si el límite de la expresión (2) tiende a un límite
finito I cuando n -> ∞ de modo que el mayor de los diámetros de los dominios parciales tienda a
cero.
dxdyyx,fω η,ψf limID
p
n
1p
ppn
2.2. Clase de funciones integrables
1.Toda función continua en un dominio D es integrable en este dominio.
2.Si f(x,y) permanece acotada en D y tiene en dicho dominio un número finito o infinito de puntos de
discontinuidad , estando estos puntos distribuidos sobre un número finito de arcos rectificables de
curvas planas contenidas en D , la función es integrable en el citado dominio.
2.3. Propiedades de la integral doble
1.Si la función f(x,y) es acotada e integrable en los dominios D y E teniendo estos dominios una
parte de frontera común , también es integrable en D+E
ED D E
dxdy yx,fdxdy yxfdydx yxf
2.Si las funciones f(x,y) y g(x,y) son acotadas e integrables en D , se verifica
D D D
dxdy y,xgdxdy y,xfdxdyy,xgyx,f
3.Si f(x,y) es acotada e integrable en D y k es una constante, se verifica
dxdy yx,f kdxdy yx,fk D D
4.Si f(x,y) es integrable en D , también lo es │f(x,y)│ verificándose
DD
dxdyy,xfdxdy y,xf
2.4. Teorema de la media
Si f(x,y) y g(x,y) son funciones acotadas e integrables en un dominio D y g(x,y) tiene signo
constante en el citado dominio, se verifica
D D
dxdy y),g(xμdxdy y),g(x y)f(x, (3)
es un número comprendido entre los extremos m y M de f(x,y) en D
Casos particulares
1.Si f(x,y) es continua en el dominio D , tomara el valor (ψ ,) del dominio
y de la expresión ( 3 ) se obtiene
D D
dxdy y)g(x,η)f(ψ(dxdy y),g(x y)f(x, (4)
Si f(x,y) es continua en el dominio D y g(x,y)=1 en las fórmulas (3) y (4), se verifica
DD
ηψ,Afdxdyy)f(x, Aμdy dxy)f(x,
f(ψ , ) es el valor medio de f(x,y) en el dominio D
D
y),medio(x dydx )y ,f(xA
1f
2.5. Calculo de integrales dobles
Si D es un dominio de integración horizontalmente simple o verticalmente simple , la integral doble
sobre D de una función continua es una integral iterada. Es decir, sea
xf y xf ,b xa / y ,xD 21
Siendo f1(x) y f2(x) funciones continuas en [a,b].Entonces
b
a
x2f
x1fD dy y ,xf dx dxdy y ,xf (5)
Análogamente, sea
yg x yg ,d yc / y ,xD 21
Siendo g1(y) y g2(y) funciones continuas en [c, d] . Se verifica
dx y ,xf dy dxdy y ,xf
d
c
y2g
y1gD
Ejercicios de aplicación
1. Calcular dydx y 4x ID
22
D es el dominio limitado por el triángulo de lados x =1, y = 0, y =x
dyy4xdxIx
0
221
0
Calculemos la integral x
0
221 dyy4xI
Cambio de variable: y =2 x sen t 0t,6
πt
2
3
3
π x dt tcos x 4dt cost cost x 4I 2
π/6
0
22π/6
0
21
Por tanto.18
π233 dx x
2
3
3
π I 2
1
0
2. Calcular D
dxdy yx I donde D es el área limitada por la recta y= x y la curva y= x2
24
1dx xx
2
1dy y dx x I
1
0
x
2x
1
0
53
2.6. Suplicación del cálculo de integrales dobles
Sea f(x,y) integrable en un dominio D acotado
1. Si D es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y)=-f(x,y) , entonces I=0
2. Si D es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y) = f(x,y)
dydx y)f(x,2I
extendida a la mitad inferior o superior del dominio D
3. Si D es simétrico respecto al eje OY y f(-x , y)= -f(x ,y) , entonces I=0
4. Si D es simétrico respecto al eje OY y f(-x , y)=f(x,y)
dydx )y,f(x2I
extendida a la mitad izquierda o derecha del dominio D
5. Si D es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x ,-y)=-f(x,y) , I=0
6. Si D es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x ,-y)=f(x,y)
dydx)y,(xf2I
Ejercicios de aplicación
1. Calcular dxdy x y yx ID
3
donde D es el dominio x2+y
2-1≤0 , x≥0
D es un dominio simétrico respecto al eje OX
D D D
3 dxdy xdxdy ydxdy yxI
___I1 __ __I2 __ __I3__
Cálculo de I1: 0 1Iy)f(x,y)f(x,
Cálculo de I2
0Iy)f(x,y)f(x, 2
Calculo de I3
1
0
2x1
0
1
0
23
3
2x1 x2 dy dx x2I
Luego 3
2I
2. Calcular D
33 dxdy yxsen I donde D es el dominio 19
y
4
x22
.
D es un dominio simétrico respecto al origen de coordenadas, verificándose:
)ysen(x]y)(x)sen[( 3333
Luego, I=0
2.7. Cambio de variables en integrales dobles
Sea la integral doble D dxdy yx,f extendida a un dominio plano D limitado por la curva cerrada C.
Se quiere cambiar las variables (x, y) por otras (u ,v) mediante las ecuaciones
) 6 ( v ,uyy
v ,uxx
La nueva integral se extenderá a un dominio R limitado por una curva T imagen de C . La
correspondencia definida por las ecuaciones (6) es biunívoca cuando a cada punto del dominio D limitado
por C , le corresponde un único punto del dominio R limitado por T y recíprocamente. Para que la
correspondencia sea biunívoca es preciso que el determínate Jacobiano sea ≠0
Se denomina determinante Jacobiano (x,y) con respecto a u y v y se simboliza por v)D(u,
y)D(x,al determinante
v
y
u
y
v
x
u
x
v)D(u,
y)D(x,
Si f(x,y) es continua en D y las funciones x(u ,v) , y(u,v) son derivables con derivadas continuas en R y el
Jacobiano anteriormente definido es ≠0 en R , entonces se tiene
ΔD)(7 dudv
v,uD
y,xDv,uy,v,uxfdxdy yx,f
El elemento diferencial dx dy se ha tomado positivo . Si queremos considerar positivo du dv , será
preciso tomar positivo el jacobiano , lo cual implica que la expresión (7) adopta la forma
Δ dv du J vu,y,vu,xf (8)
Coordenadas Polares: x=ρ Cos θ , y =ρ Sin θ
dθ dρ ρ v ,uD
y ,xD
dθdρ ρ θsen ρ ,θ cos ρf dxdy y ,xf ΔD
Ejercicios de aplicación
1. Calcular dxdyyx ID
22
donde D es el área de la lemniscata cos2θ2aρ 22 .
Coordenadas polares
2
aπdθ2θcosa4dρρθd4dθdρρρ4I
4
D
4π
0
2θcos2a
0
4π
0
2432
2.8. Calculo de volúmenes
Se trata de calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie z=f(x,y) el plano XOY y una
superficie cilíndrica de generatrices paralelas a O Z , cuya directriz es la curva C del dominio D ,
en el cual se supondrá f(x,y) positiva e integrable. Este volumen viene dado por la integral doble
D
dydx yx,fV
El volumen comprendido entre dos superficies z1=f1(x,y) y z2=f2(x,y) siendo f2(x,y) > f1(x,y)
contenido en un cilindro de base D y generatrices paralelas a OZ viene dado por
D
12 dydxyx,fyx,fV
Ejercicios de aplicación
1. Calcular el volumen limitado por (x-c)2+ (y-d)
2=R
2 , z=0 y x y =a z
Cambio de variables
1
1 0
0 1
Y ,XJ
y ,xJ
YdyYdy
XcxXcx
El plano z=0 se transforma en z=0 , la superficie x y = a z se ha transformado en (X+c) (Y + d)= a Z y
el cilindro (x-c)2+(y-d)
2=R
2 se ha transformado en X
2 +Y
2 =R
2 . Por tanto, el volumen será
D
,dxdy z V
Siendo D= X2 +Y
2 =R
2
DDDD
dY X a
c d dXdY Y
a
c dXdY X
a
ddXdY Y X
a
1V
Calculemos D
2 dY dX X a
dI :
f(-X ,Y)=-f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto del eje OY. Por tanto I2=0
De la misma forma
D
3 0dY X d Y a
cI
f(X ,-Y)=- f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto al eje OX . Igualmente
D
1 0dY dX Y X a
1I
f(-X ,Y)=f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto al eje OY.
El valor del volumen será
a
c d R πdY X d
a
c dV
2
D
2. Calcular el volumen del sólido determinado por las superficies x=y2 , y=0 , z=0 y z + x=1
15
4 dy dx x1 dy dx x1 dy dx z V
x
0
1
0D D
3. Calcular el volumen común a la esfera y al cilindro de ecuaciones x2+y
2+z
2=R
2 , x
2+y
2-R x= 0.
Coordenadas polares:
dθ dρ ρ ρR 4 dxdy z 4VD D
22
D es el primer cuadrante del círculo de ecuación: ρ=R cos θ
3
4 π
3
R 2dρ ρ ρR dθ 4V
3θ cosR
0
222
π
0
2.9.Integrales triples
Sea K un dominio acotado del espacio limitado por una superficie cerrada que constituye su contorno.
Sea V el volumen de K y consideremos la función f(x,y,z) acotada en K . Descompongamos de
forma arbitraria mediante superficies auxiliares el dominio K en n dominios parciales 1 , 2……n
de volúmenes v p y elijamos en cada dominio parcial p un punto de coordenadas (ψ p , p , θ p) .
Diremos que f(x, y, z) es integrable en K si la suma
n
1p
pppp vθ,η,ψ f σ
tiene limite finito cuando n → ∞ de forma que el mayor de los diámetros de los dominios parciales
tienda a cero , cualquiera que sea la forma de realizar la partición y elegir un punto (ψ p , p , θ p) en
cada uno de los dominios parciales. El valor I es
V
dzdydx)zy,f(x,I
2.10. Cálculo de integrales triples
Vamos a suponer que el dominio K que se proyecta en el dominio D del plano XOY , está
limitado superior e inferiormente por las superficies S1 y S2 de ecuaciones z=z1(x,y) , z=z2(x,y) , con
z2≥z1 , siendo ambas superficies continuas en D . El dominio D está limitado por una curva simple
cerrada C . K se supondrá limitado lateralmente por una superficie cilíndrica de generatrices
paralelas a OZ
Supongamos que toda paralela a OZ trazada desde un punto (x ,y) interior a C corta al contorno C
en dos puntos de cotas z1(x,y) y z2(x,y) siendo z1< z2 y suponiendo que toda paralela a OY que
corte al eje OX en un punto x comprendido entre a y b , corta a la curva C en sólo dos puntos
de coordenadas f1(x) , f2(x) con f1(x) < f2(x) siendo estas funciones continuas. El cálculo de la integral se
reduce a tres integraciones reiteradas.
K
b
a
(x)2f
(x)1f
y)(x,2z
y)(x,1z
y)(x,2z
y)(x,1zDz)dzy,f(x,dy dxz)dzy,f(x,dydxz)dxdydzy,f(x,
Ejercicios de aplicación
1. Calcular la integral D32 dz dy dx z yx extendida al volumen comprendido entre el plano X Z y
las dos superficies cilíndricas y2= a x - x
2 , z
2 = 4 a x
a
0
9242
xa4
0
a
0
2xax
0
4232
21
a2 dxxaxx2ady y dxx 4adzzdxdyx2I
2. Calcular
D
2
2
2
dz dy dxz x z1
yx donde D es el paralelepípedo construido sobre los ejes de
longitudes 1, 2, 1.
3
1
6
πdz z x
z1
yx dy dx dz dy dx z x
z1
yx 2
2
21
o
2
0
1
0D
2
2
2
3. Calcular D dz dy dx z donde D es el primer octante positivo limitado por los planos y=0 , z=0 , x+
y=2 , 2y + x = 6 y el cilindro y2+z2=4
. 3
26dz z dx dy dz dy dx z
D
2
0
2y6
y2
2y4
0
2.11 .Cambio de variables en integrales triples
Sea la integral dxdydzzy,x,fK extendida al dominio K. Se quieren cambiar las variables x, y, z
por otras u, v, w mediante las ecuaciones:
9
w v,u, zz
w v,u, yy
w v,u, xx
La nueva integral se extenderá a un dominio K’ imagen de K por las ecuaciones (9) . La
correspondencia que definen las ecuaciones (9) es biunívoca cuando a cada punto de K le corresponde
un único punto de K’. Recíprocamente, para que la correspondencia sea biunívoca es preciso que el
jacobiano
En estas condiciones se tiene
dwdvdu J wv,u, z ,wv,u, y ,wv,u, x fdzdydxzy,x,fK ,K
Coordenadas Cilíndricas
zzsenθρycosθoρx
dzdθdρρzθ,ρ,J
zy,x,J
Coordenadas Esféricas
sen ρz
cos θsen ρy
cos cosθ ρx
a 0 de varíaρ ,2
π a
2
π de varía ,2π a 0 de varíaθ
En estas condiciones se barre todo el espacio. Cálculo del jacobiano
cos ρ ,θ ,ρJ
zy, ,xJ 2
Ejercicios de aplicación
1. Calcular D
2222 dz dy dx9z4yxsenxI donde D es es el dominio limitado por la elipse
x2 + 4y
2 + 9z
2 =1
Transformemos el elipsoide en una esfera mediante el cambio
Z 3
1 z ,Y
2
1 y ,X x
El elipsoide se ha transformado en la esfera X2+Y
2+Z
2=1
6
1
Z ,Y ,XJ
z ,y ,xJ
Por tanto: dXdYdZZYXsenX6
1I 2222
Pasando a coordenadas esféricas
]21sen21[cos9
π2dρ ρsenρ d cos dθ θcos
6
1I 2
π
2
π
1
0
432π
0
2
2. Calcular D 22 yx
dz dy dx D es el dominio limitado por la superficie esférica de ecuación x
2 + y
2 +z
2
– 2 R y =0
Pasando a coordenadas esféricas
D
2
cos ρ
dθ dρ d cosρ I
Donde D’ es el dominio de ecuación: senθsenR2D'
222RsenθRse
0
π/2
π/2
2π
0RπρdρddθI
2.12. Simplificación en el cálculo de integrales triples
1. f(-x,y,z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al plano x = 0 I=0
2. f(x,-y, z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al plano y = 0 I=0
3. f(x, y,-z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al plano z=0 I=0
4. f (-x,-y, z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al eje O Z I=0
5.f(-x,y,-z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al eje OY I=0
6. f(x,-y,-z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al eje OX I=0
7. f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al origen I=0
Ejercicios de aplicación
1. Calcular K
222 dzdydx1zyxcoszy,x,senx siendo K: 93
z
2
yx
222
f(x,-y ,z)=-f(x,y,z) y el dominio es simétrico respecto al plano y=0 .Por tanto I= 0
Ejercicios de aplicación
1. Calcular el volumen del elipsoide 1(z/c)(y/b)(x/a) 222
Al ser el elipsoide simétrico respecto a los planos coordenados, podemos hallar la octava parte del
volumen y el volumen total será
dxdydz8V
Cambio de variables: 1/21/2y
1/2 cwz,bv,aux
El nuevo dominio es el limitado por los planos: u=0 ,v=0 , w=0 , u+v+w=1
dwdvduw vuc b a 8
1 8dzdydx8I
w v u c b a 8
1
wv,u,J
zy,x,J
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Por tanto:
cbaπ
3
4
2
5Γ
1Γ2
1Γ
2
1Γ
2
1Γ
cbaI
2.13. Teoremas de Guldin
Primer Teorema El área engendrada por una línea plana al girar alrededor de un eje de su plano, es
igual al producto de la longitud de la línea por la circunferencia descrita por su centro de gravedad.
El área engendrada por una curva regular al girar alrededor del eje OX viene dada por
L2πyds2πAb
a
Segundo Teorema El volumen engendrado por un recinto plano al girar alrededor de un eje de su
plano es igual al producto del área de dicho recinto por la circunferencia descrita por su c. d. g .
ηAπ 2V
Ejercicios de aplicación
1. Hallar el centro de gravedad de un cuadrante de círculo.
Hay simetría respecto de la bisectriz y = x , con lo cual ηξ Apliquemos el teorema de Guldín
3π
R4
4
R π 2π
Rπ 3
2
A π 2
VηA η π 2V
2
3
ya que al girar alrededor del eje OX , el cuadrante de círculo engendra media esfera de volumen
3Rπ3
2.
2. Hallar el c. d. g del recinto formado por el eje OX, la parábola y=x2 y las rectas x = -1 , x=1
Por ser el eje OY de simetría 0ξ . Apliquemos el segundo teorema de Guldin:
10
3
dxx
dxx
2
1
dx y π2
dx y π
A π 2
V η A η π 2V
1
1
2
1
1
42
Ejercicios de aplicación
1. Calcular
dy dx
yx1
yx1I
22
22
extendida al primer cuadrante del círculo 1yx 22 .
Coordenadas polares
dρρρ1
ρ1 dθ I
1
0 2
22
π
0
Calculemos la integral dρ ρ ρ1
ρ1 I
1
0 2
2
1
Cambio ρ2 = u
1
0
1
0
1
0
1
0 2221
u1
duu
2
1
u1
du
2
1
u1
du u1
2
1du
u1
u1
2
1I
1 2
π
2
1u1usenarco
2
1 1
0
2
1
2
π
4
π dθ 1
2
π
2
1I 2
π
0
2. Calcular el volumen limitado por la superficie 1z y x 3
2
3
2
3
4
La superficie es simétrica respecto a los tres ejes de coordenadas.
2
3
3
2
3
4
2
341
5
1
yxz
z1
5
3
2
1 x
4
3 4y
2
3
3
2
Al realizar la integral sobre el octante positivo, adoptamos el signo positivo.
dydx4yx1
5
8dydxz8V
2
3
3
2
3
4
2
3
Transformemos la integral en una de Dirichlet mediante el cambio de variables
2
3
3
2
4
3
3
4
v4
1 y vy 4 ,u x u x
Adoptaremos el signo (+) ya que en el primer octante x≥0 , y≥0 . Por otra parte la proyección de
la superficie sobre el plano z=0 se transforma en el recinto u≥0 , v≥0 , u+v=1
2
1
4
1
v u 64
9
vu,J
yx,J
51925
π9
)4
19Γ(
)2
5Γ( )
2
3Γ( )
4
3Γ(
8dvduv)u(1 v u
5 320
72 V
2
3
5
2
3
2
1
4
1
3. Hallar el volumen común al paraboloide 22 y2xz y al cilindro z= 4-y
2
Primer método
dxdyzV
22222eparaboloidcilindro 2y2x4y2xy4zzz
conoeparaboloid zz
Recinto proyección sobre el plano X Y: 2x2+2y
2=4 . Pasando a coordenadas polares el nuevo dominio
es 2ρ
dθdρ ρρ244dydx 2yx244V 222
= π 4 dρρ dθ 8dρρ dθ 16 2
π
0
2
0
2
π
0
2
0
3
Segundo método
dydxzV
42y2xzzz 22cilindroeparaboloid
dθ dρ ρ 42ρ 4 dy dx 42y2x V 222
= 4 dθ dρρ 4dθ dρ2ρ 42
0
2
π
0
2
π
0
2
0
3
4. Calcular el volumen engendrado por la superficie 1z yx 3
2
3
2
3
2
y los planos x≥0 , y≥0 , z≥0 .
dzdydxV , extendida al primer octante de dicha superficie.
Pongamos ahora la superficie en la forma siguiente
1
2/32/32/3
a
z
a
y
a
x
Cambio de variables
3/2,
3/23/2 awzavy,aux
2
1
2
1
2
13 wvua
8
27
wv,u,J
zy,x,J
dwdudvw vu a 8
27dzdydx V 2
1
2
1
2
13 , donde el dominio es el limitado por los planos u=0
, v=0 , w=0 , u+v+w=1 .
70
aπ
2
11Γ
)1(Γ 2
3Γ
2
3Γ
2
3Γ
a 8
27V
33
5. Calcular dxdydzzyxI 333 extendida al interior de la curva x
2+y
2+z
2-2 a(x+y+z)+2 a
2=0
El recinto pertenece a la esfera: (x-a)2+(y-a)
2+(z-a)
2=a
2 (10)
Hagamos una transformación de ejes al punto (a ,a ,a)
ZazZaz
YayYay
XaxXax
La ecuación (10) se transforma en la esfera X2+Y
2+Z
2=a
2
dXdYdZZaYaXaI 333
Por simetría, los términos de potencia de grado impar se anulan y, por tanto, el valor de la integral será
dZdYdXZaYaXaa3I 2223, extendida a la esfera X
2+Y
2+Z
2=a
2
Transformemos la esfera mediante el cambio
2
1
2
1
2
13
2
1
2
1
2
1
w v u a 8
1
w v,u, J
Z Y, X, J
w aZ, v aY, u aX
Podemos calcular la integral extendida al recinto limitado por los planos u=0 , v=0 w=0 , u+v+w=1 y
multiplicar por 8
662223 a π 4
2
5Γ
1Γ2
1Γ
2
1Γ
2
1Γ
a3dXdYdZaZaYaXa24I
15
a π 12 dwdvduw u va3dYdZdXX a 24I
62
1
2
1
2
162
2
De la misma forma se obtiene: 15
12π2I,
15
12π2I
6
4
6
3
Por tanto: 5
aπ32I
6
6. Un sólido está limitado por los planos x=0 , y=0 , z=0 , 1z/cy/bx/a . La densidad del sólido
en el punto (x,y,z) es ,
4
1c
z
b
y
a
xk
donde k es una constante. Calcular la masa del sólido.
V
4
Vdxdydz 1
c
z
b
y
a
xk dv z y ,xδ m
Primer cambio de variables: x= a X , y= b Y , z= c Z
c b aZY,X,J
z , y ,xJ
dXdYdZ 1ZYX abck m4
D
: D es el volumen limitado por los planos: X=0 , Y=0 , Z=0 ,
Z+X+Y+1=0
Segundo cambio de variables
W VUZ
W1 VUY
V1UX
VdUdVdWUWV,U,J
ZY,X,J 2
D
24 dUdVdW VU 1U abck m
D’ es el volumen limitado por los planos U=0 ,V=0 W=0 y por los planos U=1 ,V=1 ,W=1 . Por tanto
48
cbakdW dV V dU
1U
U abck m
1
0
1
0
1
0 4
2
Ejercicios propuestos
1. Calcular D dxdyyx extendida a la parte del cuadrado 0x1 , 0y1 situada entre la diagonal y=x
y la curva y=x3
SOLUCION: 1
16
2. Calcular D/y2x- dxdyex extendida a la porción de plano limitada por x=0 , y= x
2 , y =1, y=2
SOLUCION: 4e
1e3
3. Calcular dxdyxaD
22
a lo largo del primer cuadrante del círculo x2+y
2=a
2 .
SOLUCION: 3
2a 3
4. Calcular D dydxx siendo D el recinto plano limitado por las líneas x =0, y =0, x 2+y
2 =10 , x y=3.
SOLUCION: 10008
3
5. Calcular ydxd1y2xD
22
siendo D el cuadrante de vértices (1,0), (2,1), (1,2) y (0,1).
SOLUCION: 9
6. Calcular ρdρdθρ4aD
22
extendida al círculo de centro (a,0) y radio a , 2acosθρ
SOLUCION:
3
2
2
π
3
16a3
7. Calcular dxdyy
2ayyx
D
22
extendida al dominio D limitado por la semicircunferencia x2+y
2-2 a y=0,
( 0ya) y por el diámetro y=a ( -a x a).
SOLUCION: 3π49
a3
8. Calcular D2 dθdυcosθρ siendo D el recinto plano limitado por la cardiode cosθ1ρ .
SOLUCION: 4
5π
9. Calcular D xydxdy extendida al recinto D limitado en el primer cuadrante por los círculos x2+y
2-2
x=0, x2+y
2-4 x=0 y el eje OX.
SOLUCION: 10
10. Hallar las áreas de las figuras limitadas por las siguientes curvas:
a) x y =a2 , x+y = 5 a/2 , (a >0)
b) 222 axyx , ( 0a )
SOLUCION: a) 2a2L2
8
15
b)
2πa
11. Calcular
dy dx
yx
xy2)xy(x22
222
donde D es el primer cuadrante del círculo de centro el origen y
radio 3.
SOLUCION: -3
12. Calcular el volumen comprendido entre z ayx 22 , axyx 22 y el plano z=0
SOLUCION: 32
3ππ3
13.Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide : x2-y
2=2 a z y el cilindro
(x2+y
2)
2=a
2(x
2-y
2) y el plano XY
SOLUCION: 6
a 3
14. Calcular D
22 dydxyxcosarcI extendida al dominio θ cosρ
SOLUCION: π-2
15. Dado el cambio de variables: v=x+y , u=- x + y , calcular
yd dx e D
xy
xy
, siendo D el triángulo de vértices (0, 0) , (0, 1) , (1, 0).
SOLUCION: Sh12
1
16. Calcular el volumen común a los dos cilindros circulares x2+y
2=a
2 , x
2+z
2=a
2
SOLUCION: 3
16a 3
17. Calcular yd dx yax bx 2
1
D
22222
donde D es el área encerrada por la elipse 1b
y
a
x2
2
2
2
.
SOLUCION: 5
bπa 24
18. Calcular dy dx 2 y2yD
2
donde D es el dominio que representa la elipse de ecuación 4 x2+9
y2-16 x+18 y+24=0 .
SOLUCION: 181
216
19. Calcular el volumen limitado por el paraboloide q 2
y
p 2
xz
22
y los planos x=0 ,y=0 , a x + b y =c
SOLUCION:
qb
1
pa
1
24ab
c22
4
20. Calcular el volumen limitado por el conoide 22 xa yz c ,el plano XOY y los planos x=0 ,x=a ,
y=0 , y=b .
SOLUCION: 8c
bπa 22
21. Calcular el volumen limitado por el plano XY, el cilindro x2+y
2-2 a x =0 y el cono circular recto que
tiene su vértice en O, siendo su eje OZ y su ángulo en el vértice de 90 grados
SOLUCION: 9
32a 3
22. Hallar el volumen comprendido entre el paraboloide x2+y
2=a(a-z) y el plano z=0 .
SOLUCION: 2
πa 3
23. Hallar el área limitada por las parábolas de ecuaciones y2=x , y
2=2 x , x
2=y , x
2=3 y .
SOLUCION: 2/3
24. Calcular dy dx y9x 4sen D
22
siendo D es el dominio limitado por la elipse 4 x2+9 y
2=1 .
SOLUCION: cos1sen13
π
25. Calcular el volumen encerrado por la superficie de ecuación x2+y
2=4 a z y el plano x+y+2z=4 a
SOLUCION: 25a3
2
26 Calcular el volumen encerrado por las superficies z=0 y
2y2x2 e yz .
SOLUCION:
8
27. Calcular el volumen comprendido entre los planos x=0 , y=0 ,z=0 y los cilindros x2+z
2=25
y2+z
2=25
SOLUCION: 250
3
28. Calcular D
22 dy dx yx siendo D el dominio limitado por la astroide de ecuación
3
2
3
2
3
2
a y x .
SOLUCION: 8
4
2
a π 21I
29. Calcular D
dy dx yx 22 donde D es el área del triángulo limitado por los ejes y la recta
1b
y
a
x .
SOLUCION: 22 ba12
b a I
30. Calcular
D 22
3
dy dx yx
x I donde D es el primer cuadrante del círculo de ecuación x
2+y
2=9 .
SOLUCION: I= 27 / 2
31. Calcular el volumen limitado por los planos z =0 , z =x+y , x=0 , y=a ,y=2a y el cilindro
parabólico y2= a x .
SOLUCION: 20
137a 3
32. Calcular dy dx y1
x 2 yx
D 2
5
donde D es el dominio limitado por el cuadrilátero de vértices ( 0, 0),
(2 ,0), (2 ,1) y (0,1).
SOLUCION: π 2 L 3
16I
33. Calcular dy dx yx1 yx ID
2222
donde D es el dominio definido por x≥0 , y≥0 , x2+y
2 1 .
SOLUCION: 210
πI
34. Calcular D
22 dy dx yxI donde D es el segmento parabólico de ecuación xa , y22p x .
SOLUCION:
15
p 2
7
a a p 2 a 4I 2
35. Calcular dy dx yx1 yx I 222
D
2 donde D es el área del triángulo limitado por las rectas
x=0 , y=0 , x+y=1 .
SOLUCION: 225
1282 L 140I
36. Hallar el volumen comprendido entre la superficie xyz1 y los planos x≥0 , y≥0 x≥0 .
SOLUCION: 1
90
37. Calcular la integral
222 zyx1
dzdydxI extendida al dominio x
2+y
2+z
2=1 , x≥0 , y≥0 x≥0 .
SOLUCION: 2
8
38. Calcular
V 3zyx
dz dy dx extendida al volumen V limitado por los planos x≥0 , y≥0 x≥0 , x+y+z1
SOLUCION:
8
5 2 L
2
1I
39. Calcular V dz dy dx z , extendida al octante positivo de la esfera de ecuación x2+y
2+z
2=1
SOLUCION:
16
40. Calcular el centro de gravedad de la sección comprendida entre la semielipse de semiejes a y b y el
semicírculo de radio b .
SOLUCION: 3π
ba4
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