Cuaderno de Trabajo: Física II
13) Ecuaciones de13) Ecuaciones de MaxwellMaxwell
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 242
Cuaderno de Trabajo: Física II
13) Ecuaciones de Maxwell13) Ecuaciones de Maxwell
13,1) Forma integral y diferencial
i) Las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo
j) Ley de Gauss para el campo eléctrico
. NEE
oSG
qE dsφ
ε≡ ≡∫r
r rÑ
jj) Ley de Ampere – Maxwell
. , , Eo C D D o
C
dB dl I I I I I
dt
φµ ε≡ ≡ + ≡∫
rrrÑ
jjj) Ley de inducción de Faraday
, 1IND B
dN
dtε φ≡ − ≡
jv) Ley de Gauss para el magnetismo
. 0B
SG
B dsφ ≡ ≡∫r rÑ
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Cuaderno de Trabajo: Física II
ii) Las ecuaciones de Maxwell “conjugadas”
j) { }Teorema de la divergencia
. NEE
oSG v
qE ds E dvφ
ε≡ ≡ ∇ ⋅ ≡∫ ∫r
644474448r rrÑ Ñ
{ } 1
ov v
E dv dvρε
→ ∇ ⋅ ≡
∫ ∫
r rÑ Ñ
{0
0ov
E dvρε ≠
→ ∇ ⋅ − ≡
∫
rÑ
o
Eρε
∇ ⋅→ ≡r
jj) ( )
Teorema de Stok
0
es
C S
B dl B ds Iµ⋅ ≡ ∇× ⋅ ≡∫ ∫rr r r r
144424443Ñ
( ) 0
S S
B ds J dsµ→ ∇× ⋅ ≡ ⋅∫ ∫r rr r
( ) 0 . 0S
B J dsµ → ∇ × − ≡ ∫r r r
0B Jµ∇ × ≡ −→r r
jjj) IND B
C
dE dl
dtε φ≡ ⋅ ≡ −∫
rr
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Er
Er
E∇ ⋅r
SG
qNE
dV
( )B∇×r
Br
dlr
C
S
Er
C
244
Cuaderno de Trabajo: Física II
B
C
dE dl
dtφ→ ⋅ ≡ −∫
rrÑ
jv) { } 0C
B ds B dV⋅ ≡ ∇⋅ ≡∫ ∫r rrÑ
0B→ ∇ ⋅ ≡r
iii) Forma diferencial e integral
1) 0
Eρε
∇⋅ ≡r
0
qE ds
ε⋅ ≡∫
r rÑ
2) 0B∇ ⋅ ≡r r
0B ds⋅ ≡∫r rÑ
3) 0B Jµ∇× ≡ −r r
0 0 0E
c
dB dl I I
dt
φµ µ ε ⋅ ≡ ≡ +
∫rrr
Ñ
4) Bd
dt
φε ≡ − Bd
E dldt
φ⋅ ≡ −∫
rrrÑ
13,2) Fenomenología de ondas y Ecuación de ondas
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Cuaderno de Trabajo: Física II
i) OEM plana viajera {fenomenología}
1)2)
0 0
0 0
3)
4)
1B cE
E cBc
µµ
εε≡
≡≡
ii) Ecuación de Ondas
2 2 2 23 4
2 2 2 2 2 2
1 1E E B B
x c t x c t× ∂ ∂ ∂ ∂→ ≡ ∧ ≡
∂ ∂ ∂ ∂
iii) Ondas viajeras armónicas
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y
Er
c
z Br
x
y
Er
c
z x
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Cuaderno de Trabajo: Física II
( ) { }
( ) { } ˆ,
ˆ,
m
mE x t E sen kx wt j
B x t B sen kx wt k
φ
φ
≡ − +
≡ − +r
r
13,3) Transporte de energía en las OEM
i) Densidad de energía
2 2 2 200
00
1 1
2 2
1u E B u E Bε
µε
µ≡ + → ≡ ≡
ii) Flujo de energía, vector de Poynting
{[ ]
22
0
2
0 0 0 0
0
1
E
EE E E Wu S u u u u cu
c c c L
S E B P S ds
εµ µ µ ε
µ
×≡ ≡ ≡ ≡ ≡
⋅
≡ × → ≡ ⋅∫
r
r rr r rÑ
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