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LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

Centro de Enseñanza Técnica IndustrialRegistro: 12310347Nombre del Alumno: Cesar Ignacio Ruvalcaba Navarro 20/05/2013

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

Mtro. César O. Martínez PadillaEntre más dificultades tenga un sendero y la prueba es pasar por él, la satisfacción que queda es haber disfrutado y aprender a que existen formas de salir adelante sin caerse ni de voltear a hacia atrás sino más bien mirar hacia adelante. Vas en la dirección correcta!!!!

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Historia del calculo integral

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Historia del calculo integral• El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-

212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.

• El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.

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Historia del calculo integral• El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow,

Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

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Historia del calculo integral• Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien

escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.

• Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

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Teorema fundamental del cálculo

• El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

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Integral definida

• Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota 

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Integral indefinida• Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a; b) a toda• función F(x) diferenciable en (a; b) y tal que F (x) = f(x).′• Ejemplos:

• La función F(x) = x3 + 5 es una primitiva de la función f(x) = 3x2, para todo x R.∈

• La función G(x) = px1x2es una primitiva de g(x) = √1 − x2 en el intervalo (−1;1).

• La función H(x) = 1cos2 x ,es una primitiva de h(x) = tanx en el intervalo (−2;2).

• (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de denicion de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real)

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Suma de riemann

• En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo.

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Suma de riemann

• Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

• La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

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Teorema de existencia

• En matemáticas,un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x ,y ,...existe(n)...'.Esto, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continua. Una controversia que data del temprano siglo XX concierne al tema de teoremas de existencia, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta. El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance,mayor que el del análisis numérico.

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Función primitiva

• Función primitiva o antiderivada de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada

• F'(x) = f(x)• Si una función f(x) tiene primitiva, tiene

infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

• [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

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Métodos de integración

• Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.

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Integración directa

• En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa.

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Método de integración por sustitución

• el método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.

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Integración por partes

• El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

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fuentes.

• http://www.galeon.com/lamesadetrabajo/DERIVADA.pdf

• http://www.vitutor.net/1/48.html• http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/

Alumnos/Calculo/mate4u2.pdf