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Page 1: Calculo diferencial  resumen

Funciones

Una función se define como una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida denominado Dominio le corresponde un sólo elemento en el conjunto de llegada denominado Co dominio. El Rango corresponde a los valores del Co dominio que están relacionados con los elementos del Dominio.

Al analizar una función que maneje las variables (x,y) es conveniente hacerle los siguientes tópicos

1) Dominio2) Rango3) Cortes con el eje y, x = 04) Cortes con el eje x, y = 05) Simetría con el eje y (análisis de paridad)6) Simetría con el origen (análisis de imparidad)7) Asíntotas verticales8) Asíntotas horizontales9) Asíntotas oblicuas10) Criterio de la primera derivada11) Criterio de la segunda derivada12) Trazo o grafica

Hay que especificar que existen funciones que no se les analizan todos los tópicos mencionados anteriormente. Por ejemplo los análisis de asíntotas son exclusivos para funciones racionales.

Funciones Polinomicas

Son funciones de la forma f ( x )=a1 xn+a2 x

n−1+…k Las más conocidas y manejadas están:

I. Función constante ó de grado cero f ( x )=kII. Función lineal ó de grado 1 f ( x )=ax+b

III. Función cuadrática ó de grado 2 f ( x )=a x2+b x+cIV. Función cúbica ó de grado 3 f ( x )=a x3+b x2+cx+d

Función constante

Ejemplo: f ( x )=3

Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ {3 } Corte en y, x=0 (0,3) Corte en x, y=0no tiene

Page 2: Calculo diferencial  resumen

Función lineal

Ejemplo: f ( x )=2x−6

Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ (∞ ,∞ ) Corte en y, x=0 f (0 )=2 (0 )−6=−6corte :(0 ,−6) Corte en x, y=00=2 x−6 x=3corte :(3,0)

Función cuadrática

Esta función tiene por modelo f ( x )=a x2+bx+c

Dominio x∈ (∞ ,∞ )

Rango : Es necesario calcular la coordenada en x del vértice xV=−b2a

Si a > 0 y∈ [ yV , ∞ ) Si a < 0 y∈ (−∞ , yV ] Corte en y, x=0 Corte en x, a x2+bx+c=0

Ejemplo: sean las funciones

Elementos f ( x )=−x2+16 g ( x )=x2−6 x

Dominio x∈ (∞ ,∞ ) x∈ (∞ ,∞ )xV xV=0 xV=¿3yV yV=−0+16=16 yV=(3)2−6 (3 )=−9

Vértice (0,16 ) (3 ,−9 )Rango (−∞, 16 ] [−9 , ∞ )

Page 3: Calculo diferencial  resumen

a > 0 un corte en x f(x) = x3 a < 0 un corte en x f(x)= -x3

Como –f(x)=f(-x) entonces es una función impar y tiene simetría con el origenComo –f(x)=f(-x) entonces es una función impar y tiene simetría con el origen

Corte en y, x=0 (0,16) (0,0)

Corte en x,y=0 −x2+16=0 x2−6 x=0(-4,0) y (4,0) (0,0) y (6,0)

Simetría en y f (−x )=−x2+16 si g (−x )=x2+6 x no

Función cubica

Esta función tiene por modelo f ( x )=a x3+b x2+cx+d

Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ (∞ ,∞ ) Corte en y, x=0 Corte en x, a x3+b x2+cx+d=0

Page 4: Calculo diferencial  resumen

Función racional

Son de la forma f ( x )= P (x)Q(x )

conQ ( x )≠0

Dominio x∈ R− {los valoresde xque hacenaQ (x )=0}

Los valores que no pertenecen al dominio corresponden con las asíntotas verticales

Rango

Caso 1 El grado de P (x )=Q ( x )

Page 5: Calculo diferencial  resumen

Si es posible despejar a x en función de y, obteniéndose una expresión de la

forma g ( y )= R( y )S ( y )

Rango y∈R−{los valores de y quehacen aS ( y )=0}

Los valores que no pertenecen al rango corresponden a las asíntotas horizontales

Caso 2 El grado de P (x )≠Q ( x )

No es posible hacer una generalización para estos casos ya que es necesario tener más información a partir de su grafica para obtener su rango. Sin embargo es importante analizar el caso en que

P ( x )>Q ( x ) ya que se puede generar una asíntota oblicua de la forma

y=mx+b

Para obtener la ecuación de la recta asociada con la asíntota oblicua se

calcula primero el límite m=limx→∞

f (x)

x el cual proporciona la pendiente de

ésta.

Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresión b=lim

x→∞[ f ( x )−mx ]

Ejemplo1:Sea f ( x )=2x−2x−3

Dominio x∈ R− {3 }

Rango al despeja a x en función de y se obtiene

x=3 y−2y−2

Rango: y∈R−{2 }

Corte en y, x=0 f (0 )=3 (0 )−20−2

=1(0,1)

Corte en x, y=02 x−2=0 x=1(1,0)

Asíntota vertical x=1

Page 6: Calculo diferencial  resumen

Asíntota horizontal y=1

No tiene asíntota oblicua

No tiene ningún tipo de simetría

Ejemplo 2:Seag ( x )= x

x2−25

Dominio x∈ R− {−5,5 }

Rango como no se puede despejar a x en función de y se debe realizar su grafica de lo cual se puede deducir que es y∈R

Corte en y, x=0 g (0 )= 00−25

=0 (0,0)

Corte en x, y=0x=0(0,0)

Asíntotas verticales x=−5 y x=5

Page 7: Calculo diferencial  resumen

Asíntota horizontal y=0

Puesto que limx→+∞

g (x )=¿ limx→−∞

g (x )=¿0¿¿

No tiene asíntota oblicua

No tiene ningún tipo de simetría

Ejemplo 3:Seag ( x )= x2

x−2

Dominio x∈ R− {2 }

Rango como no se puede despejar a x en función de y se debe realizar su grafica de lo cual se puede deducir que es y∈ (−∞, 0 ]∪ [8 ,∞ )

Corte en y, x=0 g (0 )= 00−2

=0(0,0)

Corte en x, y=0x=0(0,0)

Page 8: Calculo diferencial  resumen

Asíntota vertical x=2

Asíntota horizontal no tiene

Puesto que limx→+∞

g (x )=+∞ pero limx→−∞

g ( x )=¿−∞¿

Asíntota oblicua de la forma y=mx+b

Para obtener la ecuación de la recta asociada con la asíntota oblicua se

calcula primero el límite m=limx→∞

f (x)

x el cual proporciona la pendiente

de ésta.

m=limx→∞

f (x)

x=limx→∞

x2

x−2x

=limx→∞

x2

x2−2x=limx→∞

x2

x2

x2

x2−2xx2

=1

Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresión

b= limx→∞

[ f ( x )−mx ]=limx→∞ [ x2

x−2−x ]= limx→∞

x2−x2+2x

x−2=limx→∞

2x

x−2

limx→∞

2 xx

xx−2x

=2

La asíntota oblicua es y=x+2

No tiene ningún tipo de simetría

Page 9: Calculo diferencial  resumen

Funciones trigonométricas

Se destacan las senoidales

f ( x )=Asen(kx±∅ ) o bien f ( x )=Acos (kx ±∅ )

A=Amplitud

k=Factor de periodicidad

Corresponde al número de veces que aparece la función en un lapso de 2π rad

T=PeriodoT=2πk

∅=Desfase.

Si ∅>0la función está adelantada y comienza antes de x = 0

Si ∅<0 la función está atrasada y comienza después de x = 0

Dominio x∈ R

Rango y∈ [−A , A ]

Corte en y. x=0

Corte en x, y=0

Page 10: Calculo diferencial  resumen

Si es seno x=∅ i+nπk

con n = 0,1,2,3,…

Si es coseno x=∅ i+(2n+1 )2

πk

con n =0,1,2,3,…

Ejemplo 1 f ( x )=4 sen(2 x−π3)

Dominio x∈ R

Rango y∈ [−4,4 ]

k=2T=2 π2

=π 2 x−π3=0luego x=∅ i=

π6

Corte en y, x=0 f (0 )=4 sen (2 (0 )− π3 )=−2√3 (0 ,−2√3 )

Corte en x, y=0 x=∅ i+nπk= π6+n πk=π6

+n π2

Para n = 0 x=π6

( π6 ,0)Para n = 1 x=

π6+ π2=23π ( 23 π ,0)

Para n = 2 x=π6+π=7

6π ( 76 π ,0)

Page 11: Calculo diferencial  resumen

Ejemplo 1 f ( x )=3cos ( 14x+ π2

)

Dominio x∈ R

Rango y∈ [−3,3 ]

k=14T=2 π

14

=8 π 14x+ π2=0luego x=∅ i=−2π

Corte en y, x=0 f (0 )=3cos ( 13 (0 )+ π2 )=0(0,0)

Corte en x, y=0 x=∅ i+

(2n+1 )2

πk=−2 π+

(2n+1 )2

π14

=−2 π+(4n+2)π

Para n = 0 x=−2 π+(4 (0 )+2 ) π=0 (0,0)

Para n = 1 x=−2 π+(4 (1 )+2 )π=4 π (4π ,0)

Para n = 2 x=−2 π+(4 (2 )+2 )π=8 π (8 π ,0)

Page 12: Calculo diferencial  resumen

Funciones trascendentales

Se refieren a las funciones exponenciales y logarítmicas

Función exponencial

Son de la forma f ( x )=ax

Dominio x∈ R

Rango y∈ (0 ,∞ )

Corte en y x=0 (0,1)

Corte en x no existe

No presenta ningún tipo de simetría

Ejemplos

f ( x )=( 12 )x

Dominio x∈ R

Rango y∈ (0 ,∞ )

Corte en y x=0 (0,1)

Corte en x no existe

No presenta ningún tipo de simetría

Page 13: Calculo diferencial  resumen

g( x )=(3 )x

Dominio x∈ R

Rango y∈ (0 ,∞ )

Corte en y x=0 (0,1)

Corte en x no existe

No presenta ningún tipo de simetría

Función logarítmica

Son de la forma f ( x )=loga x

Dominio x∈ (0 ,∞ )

Rango y∈R

Corte en y no existe

Corte en x y=0(1,0)

No presenta ningún tipo de simetría

Ejemplo

f ( x )=log2 x

Dominio x∈ (0 ,∞ )

Rango y∈R

Corte en y no existe

Corte en x y=0(1,0)

Page 14: Calculo diferencial  resumen

No presenta ningún tipo de simetría

f ( x )=log(13 )x

Dominio x∈ (0 ,∞ )

Rango y∈R

Corte en y no existe

Corte en x y=0(1,0)

No presenta ningún tipo de simetría

Inversa de una función

Toda función f ( x ) que sea uno a uno posee una función inversa f−1(x) tal que el dominio de f ( x ) es igual al rango de f−1(x) y viceversa

Ejemplo: halle la inversa de la función f ( x )=4 x2 , x∈ [0 , ∞ )

Esta función es uno a uno ya que para el dominio especificado existe un único valor de f ( x ) para cada valor de x

Su rango es y∈ [0 , ∞ )

Para hallar la función inversa se cambia la f ( x ) por x y se despeja a f ( x ) entonces:

x=4 ( f ( x ) )2 Despejando se tiene f−1 (x )=√ x4

Al graficar simultáneamente a f ( x ) y f−1 (x ) se tiene:

Page 15: Calculo diferencial  resumen

Funciones trigonométricas inversas

Para este tipo de funciones es necesario restringir su dominio para que sean uno a uno y se analizan para los siguientes intervalos:

f ( x )=sen x si− π2≤ x≤

π2

Su grafica y su inversa corresponden a:

g ( x )=cos x si0≤x ≤π

Su grafica y su inversa corresponden a:

Page 16: Calculo diferencial  resumen

El área A es el perímetro es

X

Y

h ( x )= tan x si−π2≤x ≤

π2

Su grafica y su inversa corresponden a:

Solución de problemas

1) Para proteger un terreno rectangular se precisaron 2.000 m de alambre. Si una dimensión es X exprese el área A en función de X

Al despejar a Y en función de X se obtiene: Y=1.000−XY al remplazar dicha expresión en la función de área A se tiene:

A=YX=(1000−X ) X Simplificando se obtiene:

A (X )=−X2+1000 X

Page 17: Calculo diferencial  resumen

oX

8

o

XX

12

2) Exprese la longitud de la cuerda L de una circunferencia de 8 cm de radio en función sus distancia X al centro de la misma

Del triangulo formado por el radio de 8 cm, la distancia de la cuerda al centro X y la mitad de la longitud de la cuerda L que es rectángulo y la hipotenusa es el radio de la circunferencia.Entonces:

82=X2+( L2 )2

Despejando a L se tiene:

L(X )=√(256−4 X 2)

3) En cada uno de los vértices de una placa cuadrada de 12 cm de lado se cortan pequeños cuadrados de X cm de lado. Expresa el volumen V de la caja sin tapa que se puede formar en función de X

De la figura se puede observar que el volumen de la caja viene dado por el área de la base (12−2 X )2 y la altura X

V=X (12−2 X )2

Simplificando se tiene:

V (X )=−4 X3−48 X+144

4) El número de bacterias en un cultivo en función del tiempo T ( en horas) se modela con la expresión F (T )=500eT Determina:a) La población inicialb) La población después de 2 horasc) El tiempo necesario para que la población se triplique

Page 18: Calculo diferencial  resumen

X

25°

L L

Y

a) La población inicial corresponde cuando T=0 y en este caso

F (0 )=500e0=500bacterias

b) L a población después de dos horas cuando T= 2 horas es:

F (2 )=500e2=3694,5bacterias

c) El tiempo necesario para triplicar la población se halla despejando el tiempo de la siguiente expresión

3(500)=500eT O bien 3=eT Aplicando logaritmo natural se tiene que:

T=ln (3 )=1,0986horas=1hora5minutos 55 segundos

5) El costo de producir X kg de un producto viene dado por la función C ( X )=3 X2+5 Halle la función de utilidad U de dicho producto si cada kg se vende a 15 U$

La función de utilidad U se determina hallando la diferencia de los ingresos menos los costos. Luego:

U=15 X−(3 X 2+5 )Simplificando se tiene:

U (X )=−3 X2+15 X−5

6) Determina el área A de un triangulo isósceles en función de su altura X si se quiere que su perímetro sea de 5000m y sus ángulos congruentes son de 25°

Despejando a L en la última expresión se tiene:

L= Xsen 25°

de esta forma se remplaza en la expresión de Y así:

El área del triangulo es A=2(XY )

El perímetro es 5.000m=2 L+Y luego:

Y=5000−2 L Del triangulo rectángulo

sen25 °= XL

Page 19: Calculo diferencial  resumen

Y=5000− 2 Xsen25 °

Finalmente se remplaza en la expresión del área y se

obtiene:

A=2 ( XY )=2(X (5000− 2 Xsen25 ° )) Simplificando se tiene que:

A (X )=10000 X− 4 X2

sen 25°

Algebra de funciones

Las funciones se pueden operar mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición

Mediante un ejemplo se explicará dichas operaciones

Sean las funciones f ( x )= 2

√ xg ( x )=x2−25 determine el dominio de las

siguientes funciones

a) f (x)+g(x )b) f ( x ) . g (x)c) f ( x )÷g ( x )d) g ( x )÷ f ( x )e) ( f ° g )(x )f) (g° f )(x )g) (g° g )( x)

Solución

a) f ( x )+g ( x )= 2

√x+ x2−25 dominio x∈(0 ,∞)

b) f ( x ) . g ( x )= 2

√ x(x2−25) dominio x∈(0 ,∞)

c) f ( x )÷g ( x )=

2

√xx2−25

= 2(x2−25 )√ x

dominio x∈ R− {−5 ,0 ,5 }

Page 20: Calculo diferencial  resumen

d)g ( x )÷ f ( x )= x2−25

2√x

=(x2−25 )√ x

2 dominio x∈ [0 , ∞ )

e) ( f ° g ) ( x )= 2

√x2−25 dominio x∈ (−∞ ,−5 )∪ (5 ,∞ )

f) (g° f ) ( x )=( 2√ x )2

−25=4x−25 dominio x∈ (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )

g) (g° g ) ( x )=(x2−25 )2−25 dominio x∈ R

Page 21: Calculo diferencial  resumen

Limite de funciones

Se entiende por límite de una función a la tendencia que esta experimenta al ser evaluada en un valor que se encuentre lo más cerca posible de la vecindad de un número específico del dominio de dicha función.

Por ejemplo si evaluamos a la función f ( x )= xx−1

para x cercanos al valor de 4 se

tiene lo siguiente:

Acercamiento Valor de x Evaluación resultado

Por la izquierda de 4

x=3,93,93,9−1 1,34

x=3,993,993,99−1 1,33

x=3,9993,9993,999−1 1,33

Por la derecha de 4

x=4,14,14,1−1 1,32

x=4,014,014,01−1 1,33

x=4,0014,0014,001−1 1,33

Al observar los resultados se puede concluir que la función tiende a 1,33 = 43

si x se acera

al valor de 3 y se escribe de la forma

limx→3

xx−1

=43

Este límite se pudo obtener directamente sustituyendo el valor de x = 3 en la función. Sin embargo existen casos en los que al remplazar el valor se obtiene una indeterminación

Page 22: Calculo diferencial  resumen

matemática. La cual puede ser resuelta con procedimientos específicos como se muestra a continuación

Formas indeterminadas de los límites

Forma indeterminada 00

Para eliminar esta indeterminación se debe utilizar factorización, racionalización o algún teorema.

Ejemplo1 limx→−1

1−x2

x+1 si se sustituye directamente el valor de x = -1 en la función se

obtiene la forma indeterminada 00

Así que en este caso se debe factorizar

limx→−1

(1−x )(1+ x)x+1

= limx→−1

(1−x )=1+1=2

Ejemplo2 limx→3

2 x2−5 x−33−x

si se sustituye directamente el valor de x = 3 en la

función se obtiene la forma indeterminada 00

Así que en este caso se debe factorizar

limx→3

2 x2−5 x−33−x

=limx→3

(4 x2−5 (2 x )−6 )23−x

=limx→3

(2x+1 ) ( x−3 )

3−x=¿

limx→3

(−1 ) (2 x+1 )=(−1 ) (2 (3 )+1 )=−7

Ejemplo3 limx→2

√4−x−√2x−2

si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la función

se obtiene la forma indeterminada 00

Así que en este caso se debe racionalizar

usando la conjugada del numerador y después factorizar

limx→2

√4−x−√2x−2

× √4−x+√2√4−x+√2

=limx→2

(4−x )−2( x−2 ) (√4−x+√2 )

Page 23: Calculo diferencial  resumen

¿ limx→2

(−1 )(x−2)( x−2 ) (√4−x+√2 )

=limx→2

−1(√4−x+√2 )

=−12√2

=−√24

Ejemplo4 limx→ 1

2

2 x3−x2+2x−1

x−12

si se sustituye directamente el valor de x = 12

en la

función se obtiene la forma indeterminada 00

Así que en este caso se debe hacer una

división por x−12

en el numerador para eliminar la indeterminación así:

Se toman los coeficientes del polinomio del numerador y se divide por x = 12

usando la

regla de Ruffini

2 -1 2 -1 121 0 1

2 0 2 0

El polinomio del numerador queda factorizado así:

(x−12 ) (2 x2+2 x )

El limite queda entonces:

lim x→

12

(x−12 ) (2x2+2 x )

(x−12 )=lim

x→12

(2 x2+2x )1

=2( 12 )2

+2( 12 )=12 +1=32

Ejemplo5 limx→2

x−23√ x−3√2

si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la función se

obtiene la forma indeterminada 00

Así que en este caso se debe racionalizar el

denominador por lo que le falta para convertirlo en una diferencia de cubos perfectos

limx→2

x−23√ x−3√2

×( ( 3√ x)2+ 3√2 x+ ( 3√2 )2 )( ( 3√ x)2+ 3√2 x+ ( 3√2 )2 )

=limx→2

( x−2 ) ( ( 3√ x )2+ 3√2x+( 3√2 )2 )(x−2 )

Page 24: Calculo diferencial  resumen

limx→2

( ( 3√x )2+ 3√2x+( 3√2 )2)=( ( 3√2 )2+ 3√2(2)+ ( 3√2 )2 )=3 3√4

Forma indeterminada ∞∞

Para solucionar esta indeterminación se recomienda dividir todos los miembros de la expresión por el término que tenga el grado mayor.

Ejemplo1 lim

x→∞+¿ 2√x−25 3√x−3√x

¿

¿ si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función

se obtiene la forma indeterminada ∞∞

Así que en este caso se debe dividir cada

término entre √ x ya que tiene el grado mayor

lim

x→∞+¿2 √x

√x− 2

√x

53√x√x

−3√x√x

=¿ lim

x →∞+¿2−

2

√ x56√ x

−3= 2−00−3

=−23

¿

¿ ¿¿

¿

Ejemplo2 limx→∞

x2−5x 4+3x−x2+5

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la

función se obtiene la forma indeterminada ∞∞

Así que en este caso se debe dividir

cada término entre x4 ya que tiene el grado mayor

limx→∞

x2

x4−5 x

4

x4+ 3x4

x

x4− x2

x4+ 5x4

=limx→∞

1x2

−5+ 3x4

1x3

− 1x2

+ 5x4

=0−5+00−0+0

=¿−5−0

=∞ ¿

Como los grados de los términos mayores tanto en el numerador y denominador son pares la función no experimenta cambio de signos al tender al infinito tanto por la derecha como por la izquierda, así que su tendencia está definida por la división de los signos de los coeficientes de dichos términos.

Ejemplo3 limx→∞

2x4+20x6+4 x

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función

se obtiene la forma indeterminada ∞∞

Así que en este caso se debe dividir cada

término entre x6 ya que tiene el grado mayor

Page 25: Calculo diferencial  resumen

limx→∞

2x4

x6+20x6

x6

x6+4 x

x6

=limx→∞

21x2

+ 20x6

1+4 1x5

=0+01+0

=0

Ejemplo4 limx→∞

2 x4

1+4 x si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función se

obtiene la forma indeterminada ∞∞

Así que en este caso se debe dividir cada término

entre x4 ya que tiene el grado mayor

limx→∞

2x4

x4

1x4

+4 xx4

=limx→∞

21x4

+ 4x3

= 20+0

=no existe limite

En este caso el límite no existe ya que la función sufre cambio de signos al acercarse al infinito tanto por derecha como por la izquierda. Esto se debe a que el grado término con mayor exponente en el denominador es impar

Forma indeterminada ∞−∞

Este tipo de indeterminación se debe convertir a la forma ∞∞

Ejemplo 1 lim

x→1+¿( 5

x2−1−

2

x3−1 )¿¿

al sustituir por1 se obtiene la indeterminación ∞−∞ y

se debe convertir a la forma ∞∞

haciendo la sustracción algebraica

limx→1+¿ 5

x2−1−

2

x3−1= limx→1+¿ 5 (x3−1)−2( x2−1)

( x2−1 )( x3−1 ) = lim

x→ 1+¿5 x3−5−2 x2+2

( x2−1 )(x3−1 )¿

¿ ¿

¿ ¿

¿

limx→1+¿ 5x3−5−2x2+2

(x2−1) (x3−1)=00¿

¿En este caso es necesario factorizar el numerador para solucionar

esta nueva indeterminación

limx→1+¿ 5 (x−1 )(x2+ x+1 )−2 ( x−1) ( x+1)

( x−1) ( x+1) ( x−1)( x2+x+1)= limx →1+¿ 5 x2+3 x+3

( x2−1)( x2+x+1)¿

¿¿

¿

5+3+30

=∞

Page 26: Calculo diferencial  resumen

En el numerador y denominador el grado es par así que no se presentan cambios de signo en la función al acercarse a 1 por la derecha.

Ejemplo 2 limx→∞

√ x2+x−x al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminación ∞−∞ y se

debe convertir a la forma ∞∞

mediante racionalización

limx→∞

√ x2+x−x× √ x2+x+x√ x2+x+x

=limx→∞

(x2+x−x2 )

√ x2+x+x=

limx→∞

x

√x2+x+x=∞∞

Se divide cada término por x que tiene el grado mayor

limx→∞

xx

√ x2x2+ xx2+ xx=

limx→∞

1

√1+ 1x2+1=11+1

=12

Ejemplo 3 lim

x→∞+¿( x3

x2+1− x)¿

¿ al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminación ∞−∞ y

se debe convertir a la forma ∞∞

mediante sustracción algebraica

limx→∞+¿( x3

x2+1− x)= lim

x →∞+¿( x3−x3−1x2+1 )= lim

x→∞ +¿( −1

x2+1)=−1

∞=0¿

¿¿

¿¿

¿

Forma indeterminada 1∞

Esta indeterminación se resuelve utilizando el número irracional e=2,71828…

Si limx→a

(f ( x))g (x)=1∞Entonces elimx →a

[ f ( x )−1] g (x)

Ejemplo 1 limx→∞ (5 x−35x+3 )

2x+8

al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞

entonces usando número irracional e se tiene:

elimx →∞ [5 x−35x+3

−1 ]2x +8=e

limx →∞ [5 x−3−5 x−35x+3 ]2 x+8

=elimx →∞ [−6(2x+8)5 x+3 ]

=e

limx→∞

−12 xx

−−48x

5xx

+3x

Page 27: Calculo diferencial  resumen

e

limx →∞

−12−48x

5+3x =e

−125 = 1

e125

Ejemplo 2 limx→0

(1+sen x )1x al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞

entonces usando número irracional e se tiene:

elimx →0

[1+senx−1 ] 1x=e

limx→ 0

[sex ] 1x=e1=e

Continuidad de una función en un punto

Para que una función sea continua en un valor debe cumplir las siguientes condiciones:

1) Que exista en dicho valor 2) Que exista el límite de la función en dicho valor3) Que el resultado de las condiciones 1 y 2 sea el mismo

Ejemplo 1: analice la continuidad de la función en x = 2 y x = 5

f ( x )={ −3 x+10 s i x≤2x2−4x−2

si2<x≤5

−0.5 x2+25 si x>5

Análisis para x = 2

1) f (2 )=−3 (2 )+10=−6+10=4

2) limx→2

f ( x )=¿

3) Como los resultados en las condiciones 1 y 2 son iguales la función es continuas en x = 2

Análisis para x = 5

1) f (5 )=25−45−2

=7

2) limx→5

f ( x )=¿

El límite no existe La función es discontinua en x = 5

Page 28: Calculo diferencial  resumen

Observemos su grafica

En x = 5 se tiene un discontinuidad no removible ya que no existe el límite en dicho valor

Ejemplo 2: Analiza la continuidad de la siguiente función en x = -3

f ( x )={−x2+10 si x∈ R− {−3 }5 si x=−3

1) f (3 )=5

2) limx→−3

f ( x )= limx→−3

−x2+10=−(−3)2+10=1

3) Como f (3 )≠ limx→−3

f ( x )

La función no es continua en x = -3 y corresponde a una discontinuidad removible

Observemos su grafica

Page 29: Calculo diferencial  resumen
Page 30: Calculo diferencial  resumen

Derivada de funciones

Tasa de variación media en un intervalo de la variable dependiente [a ,b ]

Se define como la razón entre el incremento de la variable dependiente de una función sobre su respectivo incremento de su variable independiente. Su valor coincide con la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final del intervalo que se estudia. Matemáticamente se expresa así:

Sea una función y=f (x ) entonces su tasa de variación media es ∆ y∆ x

=f (b )−f (a)b−a

Ejemplo 1 halle la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se plantean

a) f ( x )=4 x+5 en 1) [4,6 ] y 2) [−2,5 ]

b) f ( x )=−4 x2+5 x+3 en 1) [−1,0 ] y 2) [−2,5 ]

Solución

a) Para f ( x )=4 x+5

1) En x∈ [4,6 ] ∆ y∆ x

=f (6 )−f (4)6−4

=4 (6 )+5−4 (4 )−5

2=4

2) En x∈ [−2,5 ] ∆ y∆ x

=f (5 )−f (−2)5−(−2)

=4 (5 )+5−4 (−2 )−5

7=4

Como se puede notar la tasa de variación media de esta función siempre es constante y corresponde con la pendiente de dicha recta.

b) Para f ( x )=−4 x2+5 x+3

1) En

x∈ [−1,0 ] ∆ y∆ x

=f (0 )−f (−1)0−(−1)

=−4 (0 )2+5 (0 )+3+4 (−1 )2−5 (−1 )−3

1=9

2) En

x∈ [−2,5 ] ∆ y∆ x

=f (5 )−f (−2)5−(−2)

=−4 (5 )2+5 (5 )+3+4 (−2 )2−5 (−2 )−3

7=−7

Page 31: Calculo diferencial  resumen

En este caso la tasa de variación media no es constante por tratarse de una función cuadrática

Una aplicación de la tasa de variación media en Física se le denomina velocidad media y corresponde a la razón del desplazamiento sobre el tiempo transcurrido desde la posición inicial hasta la posición final.

v⃗= variacionde posiciónvariacionde tiempo

=∆ x⃗∆ t

=x⃗ (t f )− x⃗ (t 0)t f−t o

Variación instantánea de una función

Esta se presenta cuando la evaluar la tasa de variación media de una función se utilizan intervalos de variación de la variable independiente cercanos a cero.

Se puede definir entonces como el límite de la variación media de una función cuando las variaciones de la variable independiente tienden a cero. Matemáticamente se expresa así:

Seauna función y=f (x)entonces la tasa de variación instantánea de f(x) en [a ,b ]es:

lim ¿b→a

f (b )−f (a)b−a

¿ ¿ lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x

¿

Ejemplo 1 halle la tasa de variación en el valor que se pide

a) f ( x )=4 x+5 en 1) x = 5 y 2) x = 0

b) f ( x )=−4 x2+5 x+3 en 1) x = -3 y 2) x = 2

Solución

a) Para f ( x )=4 x+5 en cualquier x se le debe agregar un ∆ x muy pequeño entonces

lim ¿∆ x→0f (x+∆ x )−f ( x)x+∆ x−x

=lim ¿∆ x→04 ( x+∆ x )+5−4 x−5

∆ x¿¿

lim ¿∆ x→04∆ x∆ x

=4 ¿

La variación instantánea es constante para cualquier x

Page 32: Calculo diferencial  resumen

1) En x = 5 lim ¿∆ x→0∆ y∆ x

=4¿

2) En x = 0 lim ¿∆ x→0∆ y∆ x

=4¿

b) Para f ( x )=−4 x2+5 x+3 en cualquier x se le debe agregar un ∆ x muy pequeño entonces:

lim ¿∆ x→0f (x+∆ x )−f ( x)x+∆ x−x

=lim ¿∆ x→0−4(x+∆x )2+5 (x+∆x )+3+4 x2−5 x−3

∆ x¿¿

lim ¿∆ x→ 0−4 x2−8 x ∆ x−4 ∆ x2+5 x+5∆ x+3+4 x2−5x−3

∆ x¿

lim ¿∆ x→0−8 x ∆ x−4∆ x2+5∆ x

∆ x=lim ¿∆x→0

∆ x (−8 x−4∆ x+5)∆ x

=−8 x+5¿¿

1) En x = -3 lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x

=−8 x+5=−8 (−3 )+5=29¿

2) En x = 2 lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x

=−8 x+5=−8 (2 )+5=−11¿

En este caso la tasa de variación instantánea no es constante por tratarse de una función cuadrática

Una aplicación de la tasa de variación instantánea en Física se le denomina velocidad instantánea y corresponde al límite de la razón del desplazamiento sobre variaciones de tiempo cercanas a cero.

v⃗ (t )=lim ¿∆t →0∆ x⃗∆ t

=lim ¿∆t→0x⃗ ( t+∆ t )− x⃗ (t)

∆ t¿¿

Derivada de una función

La derivada de una función, se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente en un punto especifico.

Page 33: Calculo diferencial  resumen

Matemáticamente:

Sea una función y=f ( x ) la derivada de y respecto a x es:

f ´ ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Si una función es continua en un punto la función no necesariamente es derivable en dicho punto pues puede tener un cambio brusco. Como es el caso de la función valor absoluto f ( x )=|x| en x = 0 la cual es continua en dicho valor pero no es derivable porque no es posible trazar una única reta tangente en dicho punto.

Reglas para derivar

A continuación se muestran las principales reglas para derivar funciones

Derivadas básicas

siu=f ( x ) , v=f (x ) y k=constante

ddxk=0 Derivada de una constante

ddxkx=k

ddx

(xn )=nxn−1

ddx

(uv )= ddx

(u ) v+u ddx

( v ) Derivada del producto de funciones

ddx ( uv )=

ddx

(u ) v−u ddx

( v )

v2 Derivada del cociente de funciones

ddx

(u )n=nun−1 ddx

(u ) Regla de la cadena

Derivada de las funciones trigonométricas

Page 34: Calculo diferencial  resumen

ddxsenu=cos u du

dx ddxcosu=−senu du

dx

ddxtanu=sec 2u du

dx d

dxcotu=−csc2u du

dx

ddxsecu=sec u tanu du

dx d

dxcsc u=−csc ucotu du

dx

ddxsen−1u= 1

√1−u2dudx

ddxcos−1u= −1

√1−u2dudx

ddxtan−1u= 1

1+u2dudx

ddxcot−1u= −1

1+u2dudx

ddxsec−1u= 1

|u|√u2−1dudx

ddxcsc−1u= −1

|u|√u2−1dudx

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

ddxku=ku du

dxln k d

dxeu=eu du

dx

ddxlog ku=

logk e

ududx

ddxln u=

dudxu

ddxuv=v uv−1 du

dx+uv lnu dv

dx

Derivada de las funciones hiperbólicas

ddxsenhu=cos hu du

dx d

dxcosh u=senhu du

dx

ddxtanhu=sech2u du

dx d

dxcoth u=−csch2u du

dx

ddxsechu=−sechu tanhu du

dx d

dxcschu=−csch ucothu du

dx

Veamos un ejemplo

Page 35: Calculo diferencial  resumen

Halle la derivada de la siguiente funcion

y=sen (cos ( lnxx+1 )) dydx

=cos (cos ( lnxx+1 )) ddx (cos ( lnxx+1 ))dydx

=cos (cos ( lnxx+1 ))[−sen( lnxx+1 ) ddx ( lnxx+1 ) ]dydx

=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))[ ddx lnx ( x+1 )− ddx

( x+1 )lnx

( x+1 )2 ]dydx

=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))(1x

( x+1 )−lnx

( x+1 )2 )dydx

=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))( 1+1x−lnx

( x+1 )2 )Recta Tangente y Normal a una curva

El procedimiento para encontrar dichas ecuaciones consiste en:

Derivar la función Encontrar la pendiente de la recta en punto de la curva especificado Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva Halla la ecuación de la recta normal a la curva

Ejemplo Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y=x3−6 x en el punto (-2, 4)

Se deriva la función dydx

=3 x2−6

Se calcula la pendiente de la recta tangente en x = 2

m=3 (−2)2−6=6

Se calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = -2

Page 36: Calculo diferencial  resumen

y=mx+b

4=6 (−2 )+b b=4+12=16

La ecuación de la recta tangente es: y=6x+16

Se calcula la ecuación de la recta normal a la curva en x = -2

La pendiente de la recta normal es m=−16

y=mx+b

4=−16

(−2 )+b b=4−13=113

La ecuación de la recta normal es: y=−16x+ 113

En la siguiente grafica se puede observar la función con la recta tangente y la recta normal en el punto (-2, 4)

Page 37: Calculo diferencial  resumen