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ProfessoresFernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de
Cincias Contbeis e Economia.
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Unidade 7: Integrais
Funo primitivaNo estudo da derivada tnhamos uma funo e obtivemos, a partir dela, umaoutra, a que chamamos de derivada. Nesta seo, faremos o caminho inverso,isto , dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma funo originalque chamaremos primitiva. Voc deve observar que importante conhecer bemas regras de derivao e as derivadas de vrias funes, estudadasanteriormente, para determinar primitivas. O que acabamos de mencionar nosmotiva a seguinte definio.
Definio 7.1.Uma funo ( )F x chamada umaprimitiva da funo ( )f x em um
intervalo I, se para todo x I , tem-se'( ) ( )F x f x= .
Exemplo 7.1.A funo5
( )5
xF x = uma primitiva da funo 4( )f x x= , pois
45
'( )5
xF x = = 4 ( )x f x= , x
Exemplo 7.2. As funes5 5
( ) 9 , ( ) 25 5
x xT x H x= + = tambm so primitivas da
funo4
( )f x x= , pois '( ) '( ) ( )T x H x f x= = .
Observao. Seja I um intervalo em . Se :F I uma primitiva de :f I , ento para qualquer constante real k, a
funo ( )G x dada por ( ) ( )G x F x k = + tambm uma primitiva
de ( )f x .
Se , :F G I so primitivas de :f I , ento existe uma constante real k
tal que ( ) ( )G x F x k = + , para todo x I .
Exemplo 7.3.Encontrar uma primitiva ( )F x , da funo 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= + , para
todo x que satisfaa a seguinte condio (1) 4F = .
Resoluo: Pela definio de funo primitiva temos '( ) ( )F x f x= para todo
x , assim, ( )F x ser uma funo cuja derivada ser a funo ( )f x dada.
Logo,3 2
42( ) 4 5
4 3 2
x xF x x x k = + + ,
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( )f x a funo integrando;
dx a diferencial que serve para identificar a varivel de integrao;C a constante de integrao.
L-se: Integral indefinida de ( )f x em relao a x ou
simplesmente integral de ( )f x em relao a x .
O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma funo chamado integrao.
ObservaesDa definio de integral indefinida, temos as seguintes observaes:
(i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x= + = .(ii) ( )f x dx
representa uma famlia de funes, isto , a famlia
ou o conjunto de todas primitivas da funo integrando.
(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )d d df x dx F x C F x F x f xdx dx dx
= + = = = .
Exemplo 7.4
(i) Se ( )4 34d
x xdx
= ento 3 44 +x dx x C = .
(ii) Se ( ) 12
dx
dx x= ento 1
2dx x C
x= + .
(iii) Se5 2
3 33
5
dx x
dx
=
ento
2 5
3 33
5
x dx x C = + .
Observao. Pelos exemplos acima temos:
( )( ) ( ) ( ) ( )df x dx F x C f x dx f xdx
= + = .Isto nos permite que obtenhamos frmulas de integrao diretamente das frmulas paradiferenciao.
Propriedades da integral indefinidaSejam ( ) e ( )f x g x funes reais definidas no mesmo domnio e k uma
constante real. Ento:
a) ( ) ( )k f x dx k f x dx= .
b) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = + .
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Integrais imediatasNesta subseo, apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que,
aplicando as propriedades da integral indefinida, voc possa calcular umaintegral imediata de uma funo.
Daremos a seguir algumas frmulas de integrais simples e imediatas. A tabelacompleta dada no final deste captulo.
A seguir apresentaremos tabela de integrais.
(i) dx x C = + .
(ii)
1
, 11
nn x
x dx C nx
+
= + + .
(iii) lndx
x Cx
= + .
(iv) , 0, 1ln
xx a
a dx C a aa
= + > .
(v) x xe dx e C = + .
(vi) 2 22 2
1ln ,
2
dx x aC x a
x a a x a
= + >
+.
Exerccios propostos1) Determinar a funo primitiva ( )F x da funo ( )f x , onde
a) 2( ) 5 7 2f x x x= + + . b)5
4( )f x x
= .
c)1
( )f xx x
= . d)1
( ) para 11
f x xx
= >
.
e) 4( ) xf x e= .
2) Encontrar uma funo primitiva ( )F x da funo ( )f x dada, que satisfaa
a condio inicial dada, onde
a)2
31
( ) tal que (1)2
f x x x F
= + = .
b) 3( ) tal que (0) 2xf x x x e F = + = .
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Na notao ( )ba
f x dx , ( )f x chamada funo integrando,
o smbolo da integral, e os nmeros a e b so chamados limitesde integrao onde a o limite inferior e b o limite superior da
integrao.
Se ( )ba
f x dx existe, diz-se que f integrvel em [ , ]a b e
geometricamente a integral representa a rea da regio limitadapela funo ( )f x , s retas ex a x b= = e o eixo x, desde que
( ) 0f x [ ],x a b .
Chamamos a ateno do leitor para o fato de que a integral no significanecessariamente uma rea. Dependendo do problema, ela pode representar
grandezas como volume, quantidade de bactrias presentes em certo instante,trabalho realizado por uma fora, momentos e centro de massa (ponto deequilbrio).
A definio acima pode ser ampliada de modo a incluir o caso em que o limiteinferior seja maior do o limite superior e o caso em que os limites inferior esuperior so iguais, seno vejamos.
Definio 7.3.Se a b> , ento
( )
b
af x dx = ( )
a
bf x dx
se a integral direita existir.
Definio 7.5. Se e ( )a b f a= existe, ento
( ) 0
a
a
f x dx = .
Teorema 7.1.Se ( )f x uma funo contnua no intervalo fechado [ , ]a b , ento ( )f x
integrvel em[ , ]a b .
Propriedades da integral definidaAs propriedades da integral definida no sero demonstradas, pois foge doobjetivo do nosso curso.
P1 - Se a funo ( )f x integrvel no intervalo fechado [ , ]a b e se k uma
constante real qualquer, ento
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( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx= .
P2 - Se as funes ( )f x e ( )g x so integrveis em [ , ]a b , ento ( ) ( )f x g x
integrvel em [ , ]a b e
( )( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx = .
P3 - Se a c b< < e a funo ( )f x integrvel em [ , ]a c e em [ , ]c b , ento ( )f x
integrvel em [ , ]a b e
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= + .
P4 - Se a funo ( )f x integrvel e se ( ) 0f x para todo x em [ , ]a b , ento
( ) 0b
a
f x dx .
P5 - Se as funes ( )f x e ( )g x so integrveis em [ , ]a b e ( ) ( )f x g x para
todo x em [ , ]a b , ento
( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx .
P6 - Se ( )f x uma funo integrvel em[ ],a b , ento ( )f x integrvel em
[ ],a b e
( ) ( )b b
a a
f x dx f x dx .
Observao. Calcular uma integral atravs do limite das Somas de Riemann (definio5.3) geralmente uma tarefa rdua. Por isso nosso prximo objetivo estabelecer ochamado Teorema Fundamental do Clculo, o qual nos permite calcular muitasintegrais de forma surpreendentemente fcil!
Teorema fundamental do clculoEsta subseo contm um dos mais importantes teoremas do clculo. Esteteorema permite calcular a integral de uma funo utilizando uma primitiva damesma, e por isso, a chave para calcular integral. Ele diz que, conhecendouma funo primitiva de uma funo ( )f x integrvel no intervalo fechado
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[ , ]a b , podemos calcular a sua integral. As consideraes acima motivam o
teorema a seguir.
Teorema 7.2 (Teorema fundamental do clculo).Se a funo ( )f x integrvel no
intervalo fechado [ , ]a b e se ( )F x uma funo primitiva de ( )f x neste intervalo, ento
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= .
Costuma-se escrever ( )b
aF x para indicar ( ) ( )F b F a .
Exemplo 7.5.Determinar2
0
x dx .
Resoluo: Sabemos que2
( )
2
xF x = uma primitiva da funo ( )f x , pois
'( ) 2 ( )2
xF x x f x= = = .
Logo, pelo Teorema Fundamental do Clculo, vem2 22 2
0 00
( ) (2) (0)2
xx dx F x F F = = =
=2 22 0 4 0
= = 2 0 = 22 2 2 2
.
Portanto,2
0
2x dx = .
Exemplo 7.6.Calcular
( )3
2
1
4x dx+ .
Resoluo: Aqui, temos3
( ) 43
xF x x= + que uma primitiva de 2( ) 4f x x= + ,
pois
2 2'( ) 3 4 1 4 ( )3
xF x x f x= + = + = .
Logo, pelo Teorema Fundamental do Clculo, vem
( )3 3 3
2
11
4 4 (3) (1)3
xx dx x F F
+ = + =
( )3 33 1 1
4 3 4 1 9 12 ( 4)3 3 3
= + + = + +
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9
1 12 13 63 13 50=21 = 21 =
3 3 3 3
+ =
.
Portanto,
( )3
2
1
504
3
x dx+ = .
Observe que podemos calcular a integral ( )3
2
1
4x dx+ usando as propriedades P1
e P2 da integral definida e o teorema fundamental do clculo, o resultado ser omesmo. De fato,
( )3 3 3
2 2
1 1 1
4 4x dx x dx dx+ = +
=3 3 3 3 3
2
1 11 1
4 4
3
xx dx dx x+ = +
= ( )3 3
3 1 27 1+ 4 3 1 = + 4 2
3 3 3 3
=26 26 + 24 50
+ 8 = =3 3 3
.
Assim,
( )3
2
1
504
3x dx+ = .
Portanto, usando propriedades da integral definida e o TFC chegamos ao
mesmo valor no clculo da integral ( )3
2
1
4x dx+ que 503 , voc pode usar
sempre este fato.
Exerccios propostos4) Calcular a integral
3
0
( )f x dx onde7 , 2
( )3, 2
x se xf x
x se x
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Integrao por substituioVeremos nesta seo uma tcnica utilizada com o objetivo de desenvolver oclculo de integrais indefinidas de funes que possuem primitivas. A esta
tcnica damos o nome de integrao por substituio ou mudana de varivel.
Suponha que voc tem uma funo ( )g x e uma outra funo f tal que ( )( )f g x
esteja definida ( ef g esto definidas em intervalos convenientes). Voc quer
calcular uma integral do tipo
( )( ) '( )f g x g x dx ,Logo,
( ) ( )( ) '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C = +
Fazendo ( ) '( ) '( )du
u g x g x du g x dxdx
= = = e substituindo na equao acima,
vem
( ) `( ) ( ) ( ) ( ) .f g x g x dx f u du F u C = = + Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral indefinida deuma funo aplicando a tcnica da mudana de varivel ou substituio.
Exemplo 7.7. Calcular a integral
( )3
25 2x x dx+ .
Resoluo: Fazendo a substituio de 2 5x + por u na integral dada, ou seja,2
5u x= + , vem
25 2 0 2
duu x x x
dx= + = + = 2du x dx= .
Agora, vamos em ( )3
25 2x x dx+ , substitumos
2 5x + por u e 2x dx por du
e temos
( )4
32 3
5 2
4
ux x dx u du C + = = + ,
Como
( )4
242
55
4 4
xuu x C C
+= + + = + .
Portanto,
( )3
2 5 . 2x x dx+ =( )
42 5
4
xC
++ .
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Exemplo 7.8. Calcular2
3
3
1
xdx
x+.
Resoluo: Fazendo a substituio de
3
1 x+
por u na integral dada, ou31u x= + , vem
3 2 21 0 3 = 3du
u x x xdx
= + = + 2= 3du x dx .
Agora, vamos em2
3
3
1
xdx
x+, substitumos 31u x= + por u e 23x dx por du e
temos2
3
3ln
1
x dx duu C
x u= = +
+ . (Pela frmula (iii) da tabela de integrais).
Como3 31 ln ln 1u x u C x C = + + = + + .
Portanto,2
3
3
1
xdx
x+3
ln 1 x C= + + .
Exerccios propostosCalcular as seguintes integrais abaixo:
6)( )
3
4
7 5dx
x . 7) 2
1dx
x .
8) 2 42x x dx . 9)4 5
1
ln tdt
t .
10)3
20
1
xdx
x + .
Integrao por partesNa seo anterior, estudamos como calcular integral usando o mtodo da
substituio. Mas, existem algumas integrais tais como: lnxdx ,x
x e dx ,3cosx x dx , etc. que no podem ser resolvidas aplicando o mtodo da
substituio. Necessitamos de alguns conhecimentos mais. Neste caso,iniciaremos apresentando a tcnica de integrao por partes.
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Sejam ( )u x e ( )v x funes diferenciveis num intervalo ( , )a b . Ento podemos
escrever( )uv uv vu = + ,
ou seja,( )vu uv uv = .
Integrando os dois membros da igualdade acima, temos
( )b b b
a a avu dv uv dx uv dx = ,
ou,b bb
aa avdu uv udv= .
E para a integral indefinida tem-se
b bb
aa avdu uv udv= ,
ou simplesmente,
vdu uv udv= .
A expresso acima conhecida como a frmula de integrao por partes. Quando
aplicarmos esta frmula para resolver a integral ( )f x dx , devemos separar ointegrando dada em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx ,sendo dv . Por essa razo o clculo de integral utilizando a frmula chamadointegrao por partes. Para escolher u e dv , devemos lembrar que:
A parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrvel e a
integral v du deve ser mais simples que u dv .
Exemplo 7.9. Calcular a integralx
x e dx .
Resoluo: Sejam u x= e xdv e dx= . Assim, teremos du dx= e xv e= . Aplicando
a frmula u dv uv v du= , obtemos
.
x x x
x x
x e dx x e e dx
x e e C
=
= +
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Exemplo 7.10.Calcular a integral
ln .xdx
Soluo. Sejam lnu x= e dv dx= . Assim, teremos1
du dx
x
= e .v x= Aplicando a
frmula (2), obtemos
1ln ln
ln .
x dx x x x dxx
x x x c
=
= +
Exerccios propostosCalcular as seguintes integrais usando o mtodo de integrao por partes.
11) ( )2
1xe x dx+ . 12)2 lnx x dx .
13) lnx x dx . 14)lnx
dxx
.
15) xx e dx .
Integrais imprpriasSabemos que toda funo contnua num intervalo fechado integrvel nesse
intervalo, ou seja, se f uma funo contnua em [ , ]a b ento existe ( )b
af x dx .
Quando fno est definida num dos extremos do intervalo [ , ]a b , digamos em
a , mas existe ( )b
tf x dx para todo ( , )t a b , podemos definir ( )
b
af x dx como
sendo o limite lim ( )b
tt af x dx
+ quando este limite existe. Para os outros casos asituao anloga. Nestes casos as integrais so conhecidas como integraisimprprias. A seguir apresentaremos a definio e o procedimento para calcular
integrais imprprias. Analisaremos cada caso separado.
(i) Dado : ( , ]f a b , se existe ( )bt
f x dx para todo ( , )t a b , definimos
( ) lim ( ) ,
b b
t aa t
f x dx f x dx a t b+
= <
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quando este limite existe. Caso no exista este limite diremos que a
integral ( )b
a
f x dx no existe, ou no converge.
Graficamente,
y
y = f x( )
a b x
(ii) Dado : [ , )f a b , se existe ( )ta
f x dx para todo ( , )t a b , definimos
( ) lim ( ) ,
b t
t ba a
f x dx f x dx a t b
= <
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( ) ( ) ( ) ,
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + <
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Portanto, a integral converge e temos1
0
21
dx
x=
.
Exemplo 7.12.Calcular se existir1
2
0
1dx
x
Resoluo. Observemos que a funo2
1( )f x
x= no est definida no ponto
0.x = Neste caso, calculamos o limite, usando (i)
1
20
limt t
dx
x+
11
0
lim
1t t
x+
=
0
1lim 1t t
+
= +
= .
Portanto, a integral1
2
0
dx
xdiverge ou no existe.
Exemplo 7.13.Determinar, se existir,4
02
dx
x .
Resoluo: Observemos que1
( )2
f xx
=
no contnua em 2.x = Assim,
4 2 4
0 0 22 2 2
dx dx dx
x x x= +
,
se as integrais do segundo membro convergirem.
4
2 20
lim lim2 2
t
t tt
dx dx
x x + +
4
02 2lim ln 2 lim ln 2
t
tt tx x
+ = +
( ) ( )2 2
lim ln 2 ln 2 lim ln 2 ln 2t t
t t +
= + .
Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado , logopodemos concluir que a integral proposta no existe, ou seja, a integral divergente.
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Exerccios propostosCalcular, se existirem, as seguintes integrais imprprias, indicar se converge oudiverge.
16) xe dx
. 17)
1
0
lnx x dx .
18)3
20 9
dx
x . 19)
1
2
1
dy
y .
AplicaesNesta seo abordaremos algumas aplicaes importantes da integral definida.Principalmente clculo de rea de uma regio plana e fechada.
Clculo de reaVamos considerar sempre a regio que est entre os grficos de duas funes.Suponhamos ento que ( )f x e ( )g x sejam funes contnuas no intervalo
fechado[ ],a b e que ( ) ( )f x g x para todo x em [ ],a b . Ento a rea da regio
limitada acima por ( )y f x= , abaixo por ( )y g x= esquerda pela reta x a= e
direita pela retax b= , conforme ilustra a figura abaixo,
( )( ) ( )b
a
A f x g x dx= .
0
y
x
f(x)
g(x)
a b
A
[ ]
Quando a regio no for to simples como a da figura 8.1, necessria umareflexo cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integrao.
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Segue abaixo um procedimento sistemtico que podemos seguir paraestabelecer a frmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1. Voc faz o grfico da regio para determinar qual curvalimita acima e qual limita abaixo.
Passo 2. Voc determina os limites de integrao. Os limites a e bsero as abscissas x dos dois pontos de interseo das curvas
( )y f x= e ( )y g x= . Para tanto iguala-se ( )f x e ( )g x , ou
seja, faz ( ) ( )f x g x= e resolve-se a equao resultante em
relao a x.
Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a rea entre asduas curvas.
Observao. Consideremos agora a rea da figura plana limitada pelo grfico de ( )f x ,
pelas retas ex a x b= = e o eixo x, onde ( )f x uma funo contnua sendo ( ) 0f x ,
para todo x em [ ],a b , conforme figura abaixo.
0
y
x
f x( )
a b
A
O clculo da rea A dado por
( )
b
a
A f x dx= ,
ou seja, basta voc calcular a integral definida e considerar o mdulo ou valor absoluto
da integral definida encontrada.
Exemplo 7.14.Determinar a rea da regio limitada entre as curvas:
2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = .
Resoluo: Utilizando o procedimento sistemtico apresentado acima, temos osseguintes passos.
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Passo 1. Esboo da regio
-2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
10
x
y
Passo 2. Para encontrar os limites de integrao fazemos ( ) ( )f x g x= , isto ,2 26 ou 6,x x x x+ = = + que fornece 2 6 0x x = . Pela frmula de Bhaskara
encontramos as razes da equao acima, 2 e 3x x= = , que sero os limites de
integrao. Observe pelo grfico acima, que 26x x+ , para todo x em [ ]2, 3 .
Passo 3. Calculando a rea da regio limitada por ( ) 6y f x x= = + e2( )y g x x= = em [ ]2, 3 temos
( )( ) ( )b
a
A f x g x dx=
= ( ) ( )3 3
2 2
2 2
6 6x x dx x x dx
+ = +
=3
2 3
2
62 3
x xx
+
=
2 3 2 33 3 ( 2) ( 2)6 3 6 ( 2)
2 3 2 3
+ +
= 29 4 8+ 18 3 122 2 3
=
9 8+ 18 9 2 12 +
2 3
= 9 8 9 18 30 89 102 3 2 3
+ + + + =
= 27 22 27 222 3 2 3
= + = 81 + 44 1256 6=
u.a.
Portanto, a rea limitada por 2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = em [ ]2, 3 1256
unidades de rea.
Exemplo 7.15. Determinar a rea limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = o eixo x e as
retas 1 e 3x x= = .
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