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CALCULO DE ENGRANAJESCALCULO DE ENGRANAJES
SOLICITACIONES EN EL FLANCO ACTIVO DEL DIENTE EN
UN ENGRANAJE CILINDRICO DE DENTADO RECTO
A los efectos de analizar las solicitaciones a que se
encuentran sometidos los dientes de las ruedas
dentadas en contacto en un engranaje,
comenzaremos por analizar previamente el estado
de cargas.
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En el análisis teórico rea-lizado para un dentado de evolvente, la transmisión de la potencia se realiza me-diante fuerzas recíprocas.
Trabajaremos con la resul-tante de las fuerzas a lo largo del diente:
Sum Fs = Fn
Análisis del estado de carga y solicitacionesAnálisis del estado de carga y solicitaciones
Sum Fs = Fn
a
b
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Salida
Punto de inicio
g
h
F21
F21
Flanco activo
Piñón
Linea
de acción
Análisis del estado de carga y solicitacionesAnálisis del estado de carga y solicitaciones
Haremos el análisis conside-
rando el plano transversal don-
de actúa la resultante de estas
fuerzas que carga sobre el
diente del piñón, normal a la
superficie, y que identificamos
como Fn = F21 (reacción de la
rueda sobre el piñón), que
actúa siempre sobre la recta de
acción que se mantiene normal
a las superficies de contacto.
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El contacto se inicia en la
parte inferior útil del diente
y finaliza en el extremo de
cabeza del diente, vale decir
la fuerza actuante sobre el
flanco del mismo se
desplaza durante el contacto
transversalmente al flanco,
definiendo de esta manera el
“flanco activo” del diente.
Análisis del estado de carga y solicitacionesAnálisis del estado de carga y solicitaciones
Salida
Punto de inicio
g
h
F21
F21
Flanco activo
Piñón
Linea
de acción
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Análisis del estado de carga y solicitacionesAnálisis del estado de carga y solicitaciones
La fuerza Fn = Pnor tiene dos
componentes:
P = Ft21 = Fuerza tangencial
Pr = Fr21 = Fuerza radial
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Solicitaciones que produce el estado de cargaSolicitaciones que produce el estado de carga
Este estado de cargas produce las solicitaciones siguientes:
A) Solicitaciones por contacto, las que pueden producir fallas por fatiga superficial o desgaste del material.
B) Solicitaciones por flexión de tipo pulsante en las cercanías de la raíz del diente, considerando al diente como una viga empotrada, que pueden producir la falla por fatigas de flexión o por rotura.
C) Solicitaciones por compresión como consecuencia de la componente radial de la carga. De muy poca incidencia (se desprecia)
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Debemos definir:
a) La posición más desfavorable de carga
b) La sección crítica.
c) Podemos suponer que el contacto se verifica
en un solo par de dientes y que la fuerza de mayor
solicitación a flexión actúa en el extremo de la
cabeza del diente a calcular
Solicitaciones que produce el estado de cargaSolicitaciones que produce el estado de carga
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Solicitaciones que produce el estado de cargaSolicitaciones que produce el estado de carga
Como ya hemos visto, esto no es así realmente,
debido a la duración del engrane, grado de
recubrimiento del perfil o razón de contacto, que en
engranajes de dentado recto está normalmente entre
1,2 á 2 ( es habitual el valor 1,4) que significa que hay
un diente más un cierto porcentaje de otro en contacto
simultáneamente.
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En consecuencia el valor de Fn sobre un diente, no
será constante en su desplazamiento; pero hay un
instante en que hay un solo diente en contacto y
esto ocurre cuando la fuerza actúa en el diámetro
primitivo, situación que nos permite dentro de la
Ingeniería Mecánica no cometer un error de
importancia en la evaluación de la componente de
fuerza tangencial Ft.
Solicitaciones que produce el estado de cargaSolicitaciones que produce el estado de carga
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Solicitaciones que produce el estado de cargaSolicitaciones que produce el estado de carga
Como los dientes de las ruedas en contacto,
según sea la fase de engrane, hemos visto que
se someten a la acción de una carga que tomará
valores efectivos diferentes, se hace el cálculo de
los dientes con las cargas que provocan el
máximo esfuerzo peligroso.
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Para el cálculo de la resistencia por contacto que
produce el desgaste del flanco, se adopta la carga
que actúa en el diámetro primitivo donde se
produce picadura, es decir, la carga total Fn
actuando en la zona de engrane de un par.
Se justifica en razón de lo observado experimental-
mente
Solicitaciones que produce el estado de carga para Solicitaciones que produce el estado de carga para considerar la Resistencia al Desgasteconsiderar la Resistencia al Desgaste
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Solicitaciones que produce el estado de carga para Solicitaciones que produce el estado de carga para considerar la Resistencia a Flexiónconsiderar la Resistencia a Flexión
Al calcular la fractura de los dientes es necesario tomar
la carga que, actuando en el brazo de palanca
correspondiente, produce los mayores esfuerzos de
flexión en la sección peligrosa del diente. Utilizamos la
carga Fn considerada en el vértice que actúa con el
brazo de palanca mayor, asumiendo como la peor
condición. Nos ponemos del lado de la seguridad.
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Cálculo de la fuerza tangencialCálculo de la fuerza tangencial
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Cálculo de la fuerza tangencialCálculo de la fuerza tangencial
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Criterios de cálculo de engranajes de dentado rectoCriterios de cálculo de engranajes de dentado recto
De acuerdo con las solicitaciones consideradas, existen
fundamentalmente dos criterios para el cálculo de los
engranajes:
A) Criterio de cálculo basado en la resistencia al
desgaste a partir de las consideraciones del Ing Earle
Buckingham
B) Criterio de cálculo basado en la resistencia a las
solicitaciones de flexión a partir de las consideraciones
de Wilfred Lewis.
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Aunque tengamos muy definida una aplicación que
incline hacia uno de estos criterios, es práctica habitual
realizar el cálculo en base a uno de ellos y verificar a
través de la consideración del otro.
Estos criterios no han perdido vigencia desde el punto
de vista conceptual y son la base para los utilizados por
las normas de cálculo más prestigiosas (AGMA, DIN,
ISO), aunque sujetos a factores correctivos.
Criterios de cálculo de engranajes de dentado rectoCriterios de cálculo de engranajes de dentado recto
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Las cargas en el contacto de los dientes se
transmiten a través de una pequeña superficie.
Una de las consecuencias es el desgaste en el
flanco activo que puede presentarse bajo distintas
fallas que afectan a las superficies de contacto.
Analizaremos en principio las tensiones de contacto
en base al desarrollo de Hertz.
Cálculo basado en la Resistencia al Desgaste
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
Las tensiones de contacto fueron analizadas por Hertz,
quien consideró las siguientes premisas:
1) Cuerpos en reposo y en equilibrio
2) Los materiales de los cuerpos contiguos son
homogéneos e isótropos;
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
3) El área de contacto es muy pequeña en compara-
ción con las superficies de los cuerpos que se tocan;
4) Los esfuerzos efectivos están dirigidos normal-
mente hacia la superficie de contacto de ambos
cuerpos:
5) Las cargas, aplicadas sobre los cuerpos, crean
en la zona de contacto sólo deformaciones elásticas
sujetas a la ley de Hooke.
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En la realidad no se observan todas estas premisas.
Por ejemplo, la cuarta no se observa en los engranajes,
en los cojinetes de contacto rodante, etc.
Las fuerzas actuantes en el flanco activo del diente en el
contacto, originan tensiones normales y tangenciales,
causadas por la presión entre sólidos elásticos, los
dientes, cuyas superficies están en contacto limitado.
Sin embargo, la comprobación experimental de la teoría
de las deformaciones por contacto confirma completa-
mente su aplicación práctica como esquema de cálculo
racionalizado.
Análisis de HertzAnálisis de Hertz
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
Si se practica una compresión de dos esferas con los radios 1 y 2 por medio de las fuerzas Q (figura a), como resultado de las deformaciones elásticas locales se forma un área de contacto, cuyo contorno tiene la forma de circunferencia.
La presión es máxima en el centro.(1,5 veces la presión media)
Figura a
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
En la compresión de dos cilindros, de ejes paralelos (figura b), el área de contacto es una franja angosta, limitada con líneas paralelas, de ancho “e” . La presión máxima aparece en la línea media de la franja de contacto; y es 4/ veces la presión media.
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
En base a dos cilindros en contacto (que podemos asimilar a dos dientes), las conclusiones de la experiencia de Hertz son:
1) Si la carga es nula, el contacto entre dos cilindros es una línea y ambas superficies se tocan a lo largo de una generatriz.
2) Si son empujados el uno contra el otro con una fuerza “P” apreciable, hay una deformación elástica del material y el contacto origina una faja de lados paralelos de longitud del contacto y cuyo ancho crece con el aumento de la carga de compresión.
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
3) En dicha área la presión es máxima a lo largo de la
línea central (generatriz original del contacto) donde
también es máxima la deformación sufrida por el material
y disminuye gradualmente hacia los lados reduciéndose a
cero en los bordes paralelos a la generatriz del área.
4) La presión específica crece menos rápidamente que
la fuerza de compresión total ya que al aumentar ésta,
aumenta la faja de contacto.
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5) A iguales dimensiones y valor de la fuerza de
compresión, la franja de contacto es tanto más
angosta cuanto más elevado sea el módulo E de
cada uno de los cuerpos y por lo tanto mayor la
presión específica.
Análisis de HertzAnálisis de Hertz
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
La presión entre las superficies de dos cuerpos en
contacto, origina un área de contacto cuya forma
depende:
a) De la curvatura de aquellos en la zona de contacto
b) Sus dimensiones son proporcionales a las fuerzas
de compresión recíprocas y a la osculación de las
superficies.
c) Es inversamente proporcional a los módulos de
elasticidad de los materiales de los cuerpos.
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
21
21sup
2
11
11**35,0
EE
rrbP
fat
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En el caso de superficies convexa / cóncava se hace negativo el radio mayor en la fórmula anterior. Esta fórmula ha sido deducida en reposo, que no es la situación real en engranajes, donde además se presenta en el contacto no sólo rodadura, sino que por debajo y por encima de la línea primitiva al desplazarse el contacto aparecen velocidades de deslizamiento y en consecuencia fricción entre las superficies. Por otro lado la existencia de lubricante entre las superficies en servicio mejora la distribución de presiones y tampoco los materiales cumplen las condiciones teóricas.
Análisis de HertzAnálisis de Hertz
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Análisis de HertzAnálisis de Hertz
Si bien estas condiciones le restan exactitud a la
fórmula considerada, la aplicación de ésta guarda
relación directa con los valores reales.
En engranajes, estas tensiones tienen características
cíclicas y en consecuencia la causa determinante de
fallas por estas solicitaciones, es la fatiga superficial,
que se presenta bajo la forma de hoyuelos o picado
(pitting), falla que vamos a considerar más adelante.
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Para la consideración de la fórmula (1) debemos
equiparar los dos cilindros a los dientes en contacto.
La dificultad radica en que en los cilindros los radios
son constantes, en cambio no lo es la curvatura de los
dientes en las diferentes posiciones de contacto. Pero
la práctica nos muestra que mayormente el desgaste
aparece en la zona próxima a la línea primitiva
(picaduras a lo largo de la misma).
Fórmula de BuckinghamFórmula de Buckingham
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Fórmula de BuckinghamFórmula de Buckingham
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Las expresiones se dedu-cen del análisis de la figura para:
PIÑON = r1
RUEDA = r2
Relación entre la curvatura y los diámetros primitivos
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Fórmula de BuckinghamFórmula de Buckingham
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Fórmula de BuckinghamFórmula de Buckingham
Reemplazando en la fórmula (1)
mEE
DbP
P
SUPFAT
11*
11
*sen
2**35,0
21
1
.2
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Fórmula de BuckinghamFórmula de Buckingham
W
SupFat
P FEE
m
bDP
4,1
11*sen*
*1
1
2** 21
.2
2!
Fw Fn
Que es la fórmula desarrollada por Buckingham para
obtener la carga límite al desgaste. En caso de engrane
interno la relación llevará el signo menos (- m)
Si despejamos P y multiplicamos por 2 arriba y abajo:
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Indicamos el ancho del diente como b2 suponiendo que es
el ancho útil de contacto que corresponde en general al de la rueda o corona. El diámetro es el del piñón.
De esta fórmula podemos deducir, que la carga límite al desgaste depende de:
a) De las dimensiones geométricas generales del piñón (Dp1 y b)
b) De una función de la relación de transmisión que puede variar solamente entre 1 y 2 (también conocida como factor de relación)
Análisis de la Fórmula de BuckinghamAnálisis de la Fórmula de Buckingham
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Análisis de la Fórmula de BuckinghamAnálisis de la Fórmula de Buckingham
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Análisis de la Fórmula de BuckinghamAnálisis de la Fórmula de Buckingham
Podemos resumir entonces la expresión de la carga límite
m
KbDpFw
112
*** 21
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40
Conclusiones de la Fórmula de BuckinghamConclusiones de la Fórmula de Buckingham
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Coclusiones de la Fórmula de BuckinghamCoclusiones de la Fórmula de Buckingham
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Coclusiones de la Fórmula de BuckinghamCoclusiones de la Fórmula de Buckingham
La conclusión fundamental es
que las condiciones de
resistencia al desgaste
determinan la geometría general
del engranaje
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Coclusiones de la Fórmula de BuckinghamCoclusiones de la Fórmula de Buckingham
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Cálculo según A.G.M.A
Tomando el concepto de Buckingham como base, la norma AGMA una de las más reconocidas y utilizada en el cálculo de engranajes, plantea la Resistencia aL Desgaste (fatiga superficial) de acuerdo a la siguiente expresión (utilizamos aquí la nomenclatura de AGMA): (Diseño de Máquinas; R.L.Norton – Ed.1999 - Pág 743)
Cv
CfCsCmCa
dIF
WtCpc
****
***
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45
Cv
CfCsCmCa
dIF
WtCpc
****
***
Cálculo según A.G.M.A
Donde: Cp = Coeficiente elástico (toma en consideración la diferencia en constantes de los materiales – (Ver Pag 745 ob. citada) -Wt = La fuerza tangencialF = El ancho de la caraI = Factor geométrico superficial (Toma en consideración los radios de curvatura de los dientes de la rueda y el piñón y el ángulo de presión – fórmula 11-22a - pág. 744 ob.citada)
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Cv
CfCsCmCa
dIF
WtCpc
****
***
Cálculo según A.G.M.A
d = Diámetro de pasoCa = Factor de aplicación (Tiene en cuenta la fluctuación de la carga)Cm = Factor de distribución de carga (Tiene en cuenta la distribución de la carga sobre el diente – Tabla 11-16 en función del ancho de la cara – pág. 740 ob.citada)Cv = Factor de velocidadCs = Factor de tamaño (Se corresponde con el concepto de factor de tamaño que utilizamos para fatiga en otros cálculos)Cf = Factor de terminado superficial
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Fallas por desgaste
Hay distintos tipos de fallas que pueden producirse
entre las superficies en contacto: quemado, abrasión,
fallas de lubricación, pero sin dudas el más importante
de todos es el picado superficial o pitting, así
llamado por cuanto son pequeños pozos en su inicio
que aparecen en la superficie de los dientes sobre el
flanco activo después de un cierto tiempo de uso.
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Picado inicial (Inital pitting)
Se conocen dos tipos de pitting.El “initial pitting” (picado inicial), que aparece dentro de los primeros doce meses de utilización del engranaje, concentrados en una faja en las cercanías del diámetro primitivo y que no supera 1 mm el diámetro equivalente del cráter formado.
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Normalmente este picado, que generalmente aparece
en superficies endurecidas, desaparece con el
hermanado por asentamiento del juego. Inclusive si el
material es blando (no endurecido superficialmente)
puede no llegar a manifestarse por el aplastamiento
local. Este fenómeno no es problemático, no evoluciona
más allá. Se atribuye a sobrecargas locales debido a
asperezas o errores inclusive normales de fabricación.
Picado inicial (Inital pitting)
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Picado progresivo (Progresive pitting)
El picado progresivo es el
realmente conflictivo.
Es un fenómeno inherente
al trabajo de los flancos y
hasta en buenas condi-
ciones de operación, en
las proximidades de alcan-
zar el límite de durabilidad,
siempre aparece.
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51
La picadura de la superficie de los dientes de acero
empieza en el deddendum de los mismos, cerca del
diámetro primitivo.
Esto se explica porque en esa zona, próxima a la línea
polar, es pequeña la velocidad de deslizamiento; la fuerza
de rozamiento y la tensión por contacto de la compresión
sobre la superficie serán máximas.
En servicio el número de hoyos de picadura crece y el
tamaño de algunos de ellos aumenta.
Proceso de la aparición del pitting
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52
El perfil del diente se altera, la superficie queda irregular
y se incrementa la intensidad de las cargas dinámicas.
A consecuencia de esto el proceso de picadura
superficial se intensifica y toda la superficie útil del
diente, inferior al diámetro primitivo, se deteriora.
El calentamiento de la transmisión y el ruido aumentan
considerablemente.
Proceso de la aparición del pitting
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53
Comparación de los criterios de cálculo
Cuando uno compara los criterios de cálculo
por flexión y por desgaste, encuentra posible
realizar un cálculo para vida ilimitada o infinita
por resistencia a flexión, pero no ocurre lo
mismo con el desgaste, ya que este es
imprevisible.
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Por ejemplo, una desalineación mínima en el
paralelismo de los árboles de un engranaje, producida
por el desgaste normal de rodamientos cónicos que
no han tenido el adecuado mantenimiento de verificar
el ajuste periódicamente, puede significar rotura de la
película de lubricante así sea parcialmente y ser
causa inicial de pitting, que de no darse las pautas
correctivas terminarían produciendo una falla mayor
tarde o temprano.
Comparación de los criterios de cálculo
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55
Muchas veces las fallas que ocurren por rotura del
diente a flexión, son consecuencia de la disminución de
la sección resistente debida al pitting. Cuando éste es
progresivo se suele realimentar y si no se atiende a las
vibraciones o ruidos que se producen, los síntomas
habituales de algún inconveniente, la ocurrencia de la
falla por fatiga de flexión, puede ser el resultado final.
Comparación de los criterios de cálculo
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56
Por otro lado, hay engranajes que funcionan
operativamente sin peligro inminente con
relativamente severo pitting en los flancos.
Comparación de los criterios de cálculo
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57
La explicación fehaciente de las causas por las que
se produce el picado (pitting) no se ha dilucidado aún
satisfactoriamente.
Teniendo en cuenta que las presiones de contacto
producen un campo de solicitaciones normales y
tangenciales por debajo de la superficie del diente, la
explicación aún más reconocida es que al ser
variables las tensiones de contacto lo son también las
producidas en el interior del diente.
Teoría respecto de las causas del Pitting
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Teoría respecto de las causas del Pitting
De estas tensiones las más importantes son las tangen-ciales, en particular las máxi-mas que ubicamos por deba-jo de la superficie (entre 0,5 y 1 del ancho “a” de la defor-mación) orientadas a 45º respecto de las tensiones de contacto.
Estas tensiones cíclicas producen microfisuras y dan lugar a fenómenos de fatiga y generación de grietas que progresivamente terminan por llegar a la superficie y formar un cráter.
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Teoría respecto de las causas del Pitting
Algunos autores rela-cionan el fenómeno con la influencia del aceite, mediante la ex-plicación de la figura donde en función del sentido de la grieta y de la rotación, el acei-te que se introduce en
la fisura favorece la propagación de la grieta. Se produce un esfuerzo sobre la superficie por sobre ella, que esta no soporta y prácticamente “estalla” formando el picado.
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Debido a la distinta dirección de las fuerzas de
rozamiento las grietas, en el pie y en la cabeza del
diente, están orientadas en sentido opuesto.
Las grietas que hay en la superficie de los pies, durante
el funcionamiento del engranaje, entran en la zona de
contacto por las partes extremas que salen afuera, de
resultas de eso el aceite que está en la grieta queda
bloqueado y bajo la acción de la presión exterior abre la
grieta. La repetición de estas acciones es lo que provoca
el desprendimiento de partículas de metal.
Teoría respecto de las causas del Pitting
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61
Teoría respecto de las causas del Pitting
Las grietas que hay en la superficie de las cabezas entran en la zona de contacto, pri-meramente por el extre-mo profundo y durante el rodamiento el aceite se desaloja de la grieta. Las grietas no experi-mentan la presión hidro-dinámica del aceite y no se desarrollan en hoyos de picadura.
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Teoría respecto de las causas del Pitting
También puede ocurrir en engra-najes endurecidos superficialmen-te donde hay diferencia de durezas entre la capa superficial y el núcleo, y no se ha producido una buena difusión del carbono adicio- nado en el proceso de cementado, o en engranes nitrurados o templa-
dos inductivamente, donde aparece una capa límite definida que se ve sometida a esfuerzos cíclicos que terminan por producir grietas, donde puede ocurrir luego el proceso hidráulico con el aceite o el primero indicado.
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Las fallas que se producen en el picado ya dijimos que
normalmente se ubican alrededor de la línea primitiva.
Pero si el problema es falta de dureza en el material el
picado suele aparecer en el deddendum, particularmente
cuando hay sobre-esfuerzo por arranque, o sobrecargas
diversas, por cuanto es la zona por donde se inicia el
contacto en el piñón.
No debemos olvidar que superada la línea primitiva, no
sólo tenemos rodadura, sino también deslizamiento.
Fallas de desgaste por pitting
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Fallas de desgaste por pitting
Cuando el sistema opera a altas velocidades pueden
aparecer sobrecargas dinámicas, que pueden crecer a
valores hasta varias veces por encima de la carga
nominal de cálculo (cuando no es así generalmente se
estima de acuerdos a estudios realizados por Zeman, que
no supera 2,38 veces el valor, si bien en los sistemas de
engranajes industriales es práctica común considerar
hasta dos veces, lo que mayormente resulta suficiente si
nos atenemos que en las aplicaciones habituales se tiene
en cuenta un factor de servicio que brinda un margen
diferencial).
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65
Fallas de desgaste por pitting
También es debido a ello que en industria siderúrgica el
factor de servicio en las aplicaciones generales, que son
severas, se utilizan mínimamente un factor de servicio 2
y que en cajas de laminación y dependiendo de la
posición relativa del volante puede llegar hasta 6 por
impacto severo.
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Resistencia a la Fatiga Superficial para Materiales de Engranajes según AGMA
'**
*Sfc
CRCT
CHCLSfc
Donde:
Sfc: Resistencia a la fatiga superficial corregida
CL: Factor de vida superficial
CH: Factor de razón de dureza
CT: Factor de temperatura
CR: Factor de confiabilidad
Sfc’: Resistencia a la fatiga superficial sin corregir
(Pág 753; R.L.Norton;Diseño de Máquinas:Edición 1999)