- 113 -
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NIVELACIONCORRECCION POR CURVATURA Y REFRACCION
- 114 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION – CORRECCION POR CURVATURA
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
La línea de visual es una línea tangencial a una línea de nivel, en consecuencia deben aplicarseciertas correcciones cuando las visuales son largas, es decir, cuando es considerable la desviaciónde la tangente con respecto a un círculo
- 115 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION – CORRECCION POR REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
Cuando los rayos de luz atraviesan la atmósfera son desviados o refractados hacia la
superficie de la tierra. Esta refracción de la luz produce un efecto curvo sobre las lecturas que
realizamos.
El desplazamiento debido a
refracción es variable y
depende de las condiciones
atmosféricas y la distancia.
Se puede estimar que la
corrección por refracción es
aproximadamente igual al
14% de la corrección por
curvatura.
- 116 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
(R + Cc)2 = R2 + d2
(R + Cc)2 - R2 = d2
(R+Cc+R) (R+Cc-R) = d2
Cc = d2/(2R+Cc) pero R >> Cc
Cc = d2/(2R) R= 6370 Km
Cc = 7.849x10-5d2 d en kilómetros
como C =0.86Cc C = 0.0675 d2 d en Km, C en mt.
C = 67.5 d2 d en Km, C en mm.
Corrección por curvatura = Cc
Corrección por refracción = Cr
Corrección por curvatura y refracción = C = Cc - Cr
C = Cc – Cr pero Cr = 0.14 Cc
C = 0.86 Cc
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
A
B
b
B'
B''
N.R.
A'
LÍNEA
DE
VIS
UAL
SUPERFICIE DE NIVEL
C
R
CCC
r
R
EFECTO DE REFRACCION
NIVELACION – CORRECCION POR CURVATURA
- 117 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION RECIPROCA:
Es un método que evita la necesidad de aplicar las correcciones por curvatura y
refracción.
A
B
(1)
(2)
LINEA DE VISUAL
hA
h'A
hB
h'B
DESNIVEL APARENTE = DA(1) = hA
hB
Correción por Curvatura y Refracción = C
DESNIVEL VERDADERO = hA
( h - C )B
DESNIVEL APARENTE = DA(2) = h'A
h'B
DESNIVEL VERDADERO = h'B
( h' - C )A
(1) (2)
DESNIVEL VERDADERO = DA(1) + C DESNIVEL VERDADERO = DA(2) - C
DESNIVEL VERDADERO = SUMA DESNIVELES APARENTES
1
2
A
B
(1)
(2)
LINEA DE VISUAL
hA
h'A
hB
h'B
DESNIVEL APARENTE = DA(1) = hA
hB
Correción por Curvatura y Refracción = C
DESNIVEL VERDADERO = hA
( h - C )B
DESNIVEL APARENTE = DA(2) = h'A
h'B
DESNIVEL VERDADERO = h'B
( h' - C )A
(1) (2)
DESNIVEL VERDADERO = DA(1) + C DESNIVEL VERDADERO = DA(2) - C
DESNIVEL VERDADERO = SUMA DESNIVELES APARENTES
1
2
A
B
(1)
(2)
LINEA DE VISUAL
hA
h'A
hB
h'B
DESNIVEL APARENTE = DA(1) = hA
hB
Correción por Curvatura y Refracción = C
DESNIVEL VERDADERO = hA
( h - C )B
DESNIVEL APARENTE = DA(2) = h'A
h'B
DESNIVEL VERDADERO = h'B
( h' - C )A
(1) (2)
DESNIVEL VERDADERO = DA(1) + C DESNIVEL VERDADERO = DA(2) - C
DESNIVEL VERDADERO = SUMA DESNIVELES APARENTES
1
2
C = Correcc. por Curvatura y refracción
A
B
(1)
LINEA DE VISUAL
hA
hB
AB
(2)
LINEA DE VISUALh'A h'
B
A
B
(1)
(2)
LINEA DE VISUAL
hA
h'A
hB
h'B
DESNIVEL APARENTE = DA(1) = hA
hB
Correción por Curvatura y Refracción = C
DESNIVEL VERDADERO = hA
( h - C )B
DESNIVEL APARENTE = DA(2) = h'A
h'B
DESNIVEL VERDADERO = h'B
( h' - C )A
(1) (2)
DESNIVEL VERDADERO = DA(1) + C DESNIVEL VERDADERO = DA(2) - C
DESNIVEL VERDADERO = SUMA DESNIVELES APARENTES
1
2
- 118 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION CERRADA:
Aquella que empieza y termina en puntos de cota conocida. Al concluir la nivelación
comparamos la cota calculada con la cota conocida, de esta manera obtenemos el
error de cierre que determina la precisión de la nivelación realizada.
BM1
BM2100 m
180 m
100 m
120 m
450.863
650.262 (dato)
650.255 (nivelado)
e = 7 mm
Error de cierre = 7mm
Circuito de nivelación cerrada - Vista en planta
- 119 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
Otra forma de hacer una nivelación cerrada es: partir de un punto (BM), realizar un circuito
de nivelación y concluir en el punto de partida (BM).
En este caso, para hallar el error de cierre se compara la cota de partida con la obtenida al
cerrar la nivelación.
NIVELACION CERRADA:
BM
NIVEL
Circuito de Nivelación.
Vista en planta
- 120 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACIONPRECISIONES:
El grado de precisión con el cual se va a realizar un trabajo de nivelación depende
directamente del fin de dicho trabajo.
Desde el punto de vista de ingeniería tenemos los siguientes grados de nivelación:
a) Precisa: ejm: canales, túneles, tendido de tuberías de desagüe.
b) Ordinaria: ejm: carreteras, vías férreas.
c) Rápida: ejm: anteproyectos.
En donde “distancia” es la longitud horizontal nivelada.
Km)distancia(10mm)admisible(error mm
Km)distancia(0mmmm)admisible(error 2
Km)distancia(0mmmm)admisible(error 10
- 121 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION
Circuito de nivelación - Vista en planta
NIVEL
NIVEL
BM1
BM2
BM3
BM4
d1
Línea de visual
d2
d3
distancia=d1+d2+d3
Punto de apoyo de la mira
- 122 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
Ejemplo:
Un circuito de nivelación parte del BM1 (cota 450.863) hacia BM2 (cota 650.262).
Luego de realizar los cálculos se obtiene para BM2 una cota de 650.255. Determine la
precisión de la nivelación realizada.
BM1
BM2100 m
180 m
100 m
120 m
450.863
650.262 (dato)
650.255 (nivelado)
e = 7 mm
Niv. Precisa eadm = 10(0.5)1/2 = 7 mm
Niv. Ordinaria eadm = 20(0.5)1/2 = 14 mm
Niv. Rápida eadm = 100(0.5)1/2 = 70 mm
Como el error de cierre es 7mm, se trata de una nivelación precisa
- 123 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION
Si se utiliza equipo geodésico en lugar de equipo de ingeniería, se tendrán las siguientes
precisiones:
Km)distancia(mmmm)admisible(error 4
Km)distancia(mmmm)admisible(error 8
Km)distancia(mmmm)admisible(error 12
1º Orden:
2º Orden:
3º Orden:
- 124 -
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AJUSTE DE NIVELACIONES CERRADAS:
Cuando se realiza una nivelación y el error de cierre es menor que la tolerancia, se puede
efectuar un ajuste.
BM
1
2 3
4
5
L1
L2
L3
L5L4
ecci
Li
1 2 3 4 5 1
L
Li
c
L
e ic LiL
ec c
i
ec = error de cierre
ci = correccion del punto (i) nivelado
Li = distancia hasta el punto (i) nivelado
L = L1 + L2 + L3 + L4 + L5
- 125 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
EJERCICIO AJUSTE DE COTAS NIVELACION CERRADA
La figura muestra el perfil de una nivelación compuesta. Se ha nivelado desde el punto A (BM1) hacia el
punto E (BM2). Determine la precisión de la nivelación y realice el ajuste de cotas correspondiente.
BM1 BM2
Datos:
BM1=200.000 msnm
BM2=200.435 msnm
D(AE)=315 m (distancia horizontal)
- 126 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
BM1 BM2
CALCULO DE COTAS
VA: VISTA ATRÁS
VI: VISTA INTERMEDIA
VD: VISTA ADELANTE
AI: ALTURA DEL NIVEL
- 127 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
CALCULO DE COTAS
Resultados:
BM2 (calculado)=200.430 msnm
BM2 (dato)= 200.435 msnm
Error de cierre = BM2 (calculado)- BM2 (dato)=200.430 – 200.435 = -0.005 m = -5 mm
Error admisible:
Nivelación precisa = = (error admisible)
Como el error de cierre (5 mm) < error admisible (5.6 mm), entonces se trata de una
nivelación precisa.
Ajuste de cotas:
Si se conoce la distancia entre puntos nivelados podemos realizar el ajuste de cotas.
En este caso como la cota de llegada es menor al BM2 entonces las correcciones
serán positivas.
d(km)10 5.6mm0.31510
- 128 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
AJUSTE DE COTAS
TRAMODISTANCIA
HORIZONTAL (m)
A-B 105.00
B-C 30.00
C-D 45.00
D-E 135.00
∑ 315.00
BM1 BM2
LiL
ec c
i
ec = error de cierre
ci = correccion del punto (i) nivelado
Li = distancia hasta el punto (i) nivelado
L = suma de tramos nivelados
0.0017m105315
0.005cB 0.0021m135
315
0.005cC 0.0028m180
315
0.005cD
- 129 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
AJUSTE DE COTAS
TRAMODIST. HORIZ
(m)
DIST. ACUM
(m)
CORRECCION
(m)
PUNTO
NIVELADO
COTA CALCULADA
(msnm)
COTA CORREGIDA
(msnm)
A-B 105.00 105.00 0.002 B 200.220 200.222
B-C 30.00 135.00 0.002 C 199.765 199.767
C-D 45.00 180.00 0.003 D 199.235 199.238
D-E 135.00 315.00 0.005 E 200.430 200.435
∑ 315
BM1 BM2
- 130 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION POR RUTAS DIFERENTES:
Procedimiento utilizado para conocer la cota de otros puntos a partir de cotas conocidas de dos
o más BMs.
Se deben ajustar las líneas de nivelación
para que las cotas calculadas por una u
otra ruta resulten iguales.
Debe considerarse el peso de cada una
de las rutas, el cual será:
i
i
d
1p
2
i
De modo que las rutas más cortas
tendrán mayor precisión que las más
largas.
BM1100.000
BM2
107.194
BM3120.282
A
B
BM4145.585
1
2
3
4
5
6
7
pi = peso de la ruta i
di =distancia nivelada en la ruta i
σi= desviación estándar de la ruta i
- 131 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi).
2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones.
3. Escribir la sumatoria piVi2
4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto
a las mediciones halladas e igualar a cero.
5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Pasos para aplicar el método de los Mínimos Cuadrados:
Se puede compensar un circuito de nivelación utilizando el método de los “MÍNIMOS
CUADRADOS”
pi = peso o ponderación
Vi = error o residuo
- 132 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
NIVELACION POR RUTAS DIFERENTES
Ejemplo:
La figura muestra una red de nivelación. Se ha
nivelado partiendo desde el BM1 y BM2 hacia
el punto A, desde el BM3 hacia el punto B y
desde A hacia B.
Adicionalmente se muestra la diferencia de
elevaciones y longitudes niveladas (entre
paréntesis) a lo largo de cada ruta.
Si en cada ruta se utilizó un nivel con
desviación estándar . Determine las cotas
más probables de los puntos A y B.
- 133 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
Solución:
4
3
2
1
ruta
ruta
ruta
ruta
v43.840AB
v310.100-BM3B
v212.200-BM2A
v1 8.280BM1A
1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi):
2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones:
3.840-A-Bv4
112.124-Bv3
108.282-Av2
108.280-Av1
3. Escribir la sumatoria piVi2
Pesos por ruta: 4
3
2
1
ruta
ruta
ruta
ruta
2
2
2
2
4001/p4
10001/p3
5001/p2
10001/p1
- 134 -
Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
Solución:
2
2
2
2
2
2
2
2
i
2
i400
3.840)-A-(B
1000
112.124)-(B
500
108.282)-(A
1000
108.280)-Apv
(
4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto a las mediciones
halladas e igualar a cero:
(2)121.7243.5B2.5Ap
(1)315.2442.5B5.5Ap
i
i
22
2
i
222
2
i
400
3.840)-A-2(B
1000
112.124)-B
B
v
400
3.840)-A-2(B
500
108.282)-2(A
1000
108.280)-A
A
v
(2)(
(2)(
108.282A
112.123B
583.0375.2B
(2)267.7937.7B5.5A
(1)315.2442.5B5.5A
5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido: