Calculo numerico y analisis de las frecuenciascuasinormales de potenciales tipo inverso de coseno

hiperbolico.Jonathan Jaimes-Najera1,a), A. Lopez-Ortega1,b)

¹Departamento de Fısica. Escuela Superior de Fısica y Matematicas Instituto Politecnico Nacional UnidadProfesional Adolfo Lopez Mateos. Edificio 9 Ciudad de Mexico, Mexico, C. P. 07738

a)jnajera333@gmail.comb)alfreloport@gmail.com

IntroduccionA diferencia de la mayorıa de los sistemas fısicosmacroscopicos idealizados, los espaciotiemposasociados a agujeros negros son intrınsecamentedisipativos debido a la presencia del horizonte desucesos. Esto prohıbe un analisis estandar de modosnormales porque el sistema no es simetrico en eltiempo y el problema de valores en la fronteraasociado no es hermitiano.

El metodo de iteracion asintotica (AIM)El metodo AIM se emplea para resolvernumericamente ecuaciones diferenciales linealeshomogeneas de segundo orden para una funcion χ(x):

χ′′ = λ0(x)χ′ + s0(x)χ (1)

donde λ0 y s0 son funciones de clase C∞(a, b). Paraencontrar una solucion general, se aprovecha laestructura simetrica del lado derecho de (1) [1,2].Derive (1) respecto a x :

χ′′′ = λ1(x)χ′ + s1(x)χ (2)

dondeλ1 = λ′0 + s0 + (λ0)2, (3)

ys1 = s ′0 + s0λ0. (4)

Al tomar la segunda derivada de (1) se obtiene

χ(4) = λ2(x)χ′ + s2(x)χ, (5)

dondeλ2 = λ′1 + s1 + λ0λ1, (6)

ys2 = s ′1 + s0λ1. (7)

De forma iterativa, para la derivada (k + 1),k = 1, 2, ..., se tiene

χ(k+1) = λk−1(x)χ′ + sk−1(x)χ, (8)

al derivar la ecuacion anterior otra vez con respecto dex da una forma simetrica para el lado derecho:

χ(k+2) = λk(x)χ′ + sk(x)χ, (9)

donde

λk(x) = λ′k−1(x) + sk−1(x) + λ0(x)λk−1(x) (10)

ysk(x) = s ′k−1(x) + s0(x)λk−1(x). (11)

Para un valor de k suficientemente grande, se presentael aspecto “asintotico” del metodo y se propone quese cumple

sk(x)

λk(x)=

sk−1(x)

λk−1(x)≡ β(x), (12)

para alguna funcion β(x). Los modos cuasinormales seobtienen al resolver la “condicion de cuantizacion”:

δk = skλk−1 − sk−1λk = 0, (13)

la cual es equivalente a detener las iteraciones para unnumero suficientemente grande [3].

El metodo AIM mejoradoEn lugar de usar las relaciones de recurrencia [4] (10) y(11) ahora se expanden las mismas en series de Tayloralrededor del punto en donde se realiza el AIM [5]:

λk(x) =∞∑i=0

c ik(x − x0)i ,

sk(x) =∞∑i=0

d ik(x − x0)i , (14)

donde los c ik y d ik son los i -esimos coeficientes de λk(x)

y sk(x), respectivamente. Al sustituir esto en (10) y(11) lleva a un conjunto de relaciones de recurrencia

para los coeficientes c ik y d ik, las cuales toman la forma

c ik = (i + 1)c i+1k−1 + d i

k−1 +i∑

j=0

c j0ci−jk−1,

d ik = (i + 1)d i+1

k−1 +i∑

j=0

d j0c

i−jk−1. (15)

Usando estos coeficientes la “condicion decuantizacion” (13) se puede expresar como sigue:

d 0kc

0k−1 − d 0

k−1c0k = 0. (16)

- 4 - 2 2 4x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V H x L

Figura 1: Potenciales de la forma V0/ cosh2n1(αx) con V0 = 1,α = 1, n1 = 1 (lınea continua), n1 = 2 (lınea a rayas), n1 = 3(lınea a puntos y rayas) y n1 = 4 (lınea a puntos).

ResultadosCalculamos numericamente las frecuenciascuasinormales de potenciales tipo barrera de la forma

V (x) =V0

cosh2n1(αx). (17)

Para α = 1, n1 = 2, 3 y V0 = 1/8, se obtuvieron susfrecuencias cuasinormales.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Re H w L

- 80

- 60

- 40

- 20

Im H w L

Figura 2: Parte imaginaria contra parte real de las primeras 101frecuencias cuasinormales para V0 = 1/8 y α = 1. PotencialV0/[cosh(αx)]4.

20 40 60n

- 70

- 60

- 50

- 40

- 30

- 20

- 10

Im H w L

Figura 3: Parte imaginaria de las primeras 77 frecuenciascuasinormales contra numero de modo para V0 = 1/8 y α = 1.Potencial V0/[cosh(αx)]4.

2 4 6 8 10Re H w L

- 100

- 80

- 60

- 40

- 20

Im H w L

Figura 4: Parte imaginaria contra parte real de las primeras 101frecuencias cuasinormales para V0 = 1/8 y α = 1. PotencialV0/[cosh(αx)]6.

20 40 60n

- 70

- 60

- 50

- 40

- 30

- 20

- 10

Im H w L

Figura 5: Parte imaginaria de las primeras 77 frecuenciascuasinormales contra numero de modo para V0 = 1/8 y α = 1.Potencial V0/[cosh(αx)]6.

n Re(ω) Im(ω)1 0 −0,088253927562 0 −1,0000000003 0 −1,0000000004 0 −1,7929250505 0,257198802 −2,3808950816 0,551470026 −3,3846886897 0,727033704 −4,3938890598 0,855982138 −5,4042519459 0,956855123 −6,414613627

10 1,038099453 −7,424718256Cuadro 1: Primeras 15 frecuencias cuasinormales para elpotencial (17) con n1 = 2, V0 = 1/8 y α = 1.

n Re(ω) Im(ω)1 0 −0,069033278202 0 −1,0000000003 0 −1,0000000004 0 −2,0000000005 0 −2,0000000006 0 −2,6278064097 0,621417077 −3,1654625638 1,052473896 −4,1339317349 1,361255386 −5,139892125

10 1,467983570 −4,808237797Cuadro 2: Primeras 10 frecuencias cuasinormales para elpotencial (17) con n1 = 3, V0 = 1/8 y α = 1.

DiscusionHasta donde conocemos, el espectro de frecuenciascuasinormales para los potenciales de la formaV0/[cosh(αx)]2n1 con n1 > 1 se presento por primeravez en la tesis de maestrıa en la que esta basado estetrabajo. Al comparar con el espectro del potencial dePoschl-Teller, encontramos que ninguno exhibe uncomportamiento ni siquiera cercano. Tambien se haintentado variar los parametros de estos potencialespara ajustar las graficas lo mas cercano a la delpotencial de Poschl-Teller y calcular sus frecuencias,pero no se obtienen espectros parecidos. En lo querespecta al comportamiento de los espectros de losdiferentes potenciales que se trataron, observamos queel comportamiento de los mismos no es caotico: seorganizan teniendo fuerte dependencia de losparametros que los determinan, de estos el masdeterminante es n1.

Bibliografıa[1] H. Ciftci, R. L. Hall and N. Saad, J. Phys. A vol. 36, 11807,2003.[2] H. Ciftci, R. L. Hall and N. Saad, Phys. Lett. A vol. 340, 388,2005.[3] T. Barakat, Int. J. Mod. Phys. A vol. 21, 4127, 2006.[4] H. T. Cho, A. S. Cornell, J. Doukas and W. Naylor, Class.Quant. Grav. vol. 27, 155004, 2010.[5] H. T. Cho, A. S. Cornell, J. Doukas, T. R. Huang and W.Naylor, Adv. Math. Phys. vol. 2012, 281705, 2012.

Agradecemos al proyecto SIP 20200384