PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE VALPARASO
FACULTAD DE CIENCIAS
INSTITUTO DE MATEMTICAS
TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE
MAGSTER EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS
ALUMNA: DANIELA BONILLA BARRAZA
PROFESORA GUA: MARCELA PARRAGUEZ G
2012
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
2
Agradecimientos a :
PROGRAMA DE FORMACIN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO CONICYT
Por financiar estudios de postgrado con el objetivo de obtener el grado
Acadmico de Magster en didctica de la Matemtica.
AO ACADMICO 2011- 2012
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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AGRADECIMIENTOS:
A mi profesora gua, Marcela Parraguez G, por su entrega y
disposicin al trabajo realizado, por confiar siempre en mis
capacidades y guiar mis ideas. Gracias a su constante apoyo
puedo decir que he finalizado con xito esta etapa.
Infinitas gracias
A mi familia Mam, Pap y Hermanas por el cario que me
entregan da a da y por apoyarme siempre en cada una de
mis metas.
A mis estudiantes, por motivarme a aprender ms y por
permitirme aportar desde la matemtica en el desarrollo
de su pensamiento.
A ti DM por tu paciencia, comprensin y cario.
A Dios, por guiar con sabidura cada uno de mis pasos.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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INDICE GENERAL RESUMEN ............................................................................................................................. 7
ABSTRACT ........................................................................................................................... 8
INTRODUCCIN .................................................................................................................. 9
CAPTULO I: ....................................................................................................................... 15
ANTECEDENTES, PROBLEMTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIN ........... 15
ANTECEDENTES DE INVESTIGACIN .................................................................... 16
DESCRIPCIN DE LA PROBLEMTICA ................................................................... 23
OBJETIVOS DE INVESTIGACIN ............................................................................... 25
CAPTULO II: ...................................................................................................................... 26
ANLISIS EPISTEMOLGICOS, MATEMTICOS Y DIDCTICOS ........................ 26
EPISTEMOLOGA DE LA ELIPSE ................................................................................ 27
GEOMETRA EUCLIDIANA O SINTTICA ............................................................ 27
GEOMETRA ANALTICA......................................................................................... 32
LA ELIPSE EN LA MATEMTICA .............................................................................. 37
LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ........................................................ 37
CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE ............................................................ 38
CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ................ 42
INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA ..... 52
CAPTULO III: ................................................................................................................... 53
MARCO TERICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. ............................................ 53
JUSTIFICACIN DEL MARCO TERICO .................................................................. 54
DESCRIPCIN DEL MARCO TERICO ..................................................................... 54
EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TERICO ................................................. 57
CAPTULO IV: .................................................................................................................... 62
REFERENTES METODOLGICOS ................................................................................. 62
MARCO METODOLGICO ........................................................................................... 63
ETAPAS DE LA INVESTIGACIN ............................................................................... 64
PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO .... 65
EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................................................................... 65
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO ........................................... 65
SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIN: ANALISIS DOCUMENTAL .................. 65
TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIN: DISEO DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. .............................. 66
OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO ......................................................................... 66
DESCRIPCIN Y FUNDAMENTACIN DEL CUESTIONARIO .......................... 66
LOS CASOS EN ESTUDIO ......................................................................................... 67
CAPTULO V: ..................................................................................................................... 69
ANLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO .. 69
ANLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO ............................................................... 70
IMPLEMENTACIN DE LA SITUACIN ................................................................... 73
ANLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................... 73
CONCLUSIONES EN RELACIN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIN
.......................................................................................................................................... 81
CAPTULO VI: .................................................................................................................... 82
INTENCIN Y ANLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. ..... 82
INDICADORES A PRIORI DE TRNSITO ENTRE LOS MODOS DE
COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO ................................................ 83
DESCRIPCIN GENERAL E INTENSIN DE LAS ACTIVIDADES ........................ 84
ANLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO ................... 85
ACTIVIDAD 1:............................................................................................................ 86
ACTIVIDAD 2 ............................................................................................................. 91
ACTIVIDAD 3 .............................................................................................................. 95
MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE
DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE .................................................................. 99
CAPTULO VII: ................................................................................................................. 103
APLICACIN Y ANLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE
............................................................................................................................................ 103
APLICACIN DEL DISEO ........................................................................................ 104
ANLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO ................................................... 104
CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4 AO MEDIO)
..................................................................................................................................... 104
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
6
CONCLUSIONES DEL CASO 1 .............................................................................. 137
CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2 MEDIO) .......... 138
CONCLUSIONES DEL CASO 2 ............................................................................... 163
CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AO
MEDIO) . .................................................................................................................... 164
CONCLUSIONES DEL CASO 3 ............................................................................... 185
CAPTULO VIII: ............................................................................................................... 186
CONCLUSIONES .............................................................................................................. 186
SUGERENCIAS DIDCTICAS .................................................................................... 187
CONCLUSIONES TERICAS Y REFLEXIONES FINALES ................................... 189
BIBLIOGRAFA ................................................................................................................ 191
ANEXOS ............................................................................................................................ 193
ANEXO 1: DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN
LIBROS DE CLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIN SUPERIOR .................... 194
ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO ........................................................ 198
ANEXO 3: ...................................................................................................................... 201
SECUENCIA DE APRENDIZAJE ................................................................................ 201
CUESTIONARIO: CASO 1........................................................................................ 202
CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 .............................................................................. 210
ANEXO 4: .......................................................................................................................... 218
PONENCIAS ...................................................................................................................... 218
PARTICIPACIN EN RELME 26............................................................................. 219
PARTICIPACIN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR ........................... 220
PARTICIPACIN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIN
MATEMTICA .......................................................................................................... 221
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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RESUMEN
La investigacin que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensin del
concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 aos, bajo un enfoque cognitivo, donde se
utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco terico y, estudio de
casos como diseo metodolgico. La elipse forma parte de los contenidos propuestos en los
programas oficiales de nuestro pas, con un marcado nfasis en las tcnicas analticas.
Nuestra problemtica de investigacin se sita al abordar la elipse solamente a travs de
las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas tcnicas no son suficientes para lograr
una comprensin profunda del concepto, cuando decimos comprensin profunda, estamos
pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: Sinttico-
Geomtrico (como seccin cnica en el espacio/curva que la representa en el plano),
Analtico-Aritmtico (como pares ordenados que satisfacen la ecuacin de la elipse) y
Analtico - Estructural (como lugar geomtrico). A lo largo de la investigacin hemos
evidenciado que los estudiantes desde el enfoque tradicional priorizan un modo de
pensamiento analtico-aritmtico, presentando grandes dificultades para comprender la
elipse en otros modos. Desde la teora de los modos de pensamiento y utilizando
antecedentes epistemolgicos, diseamos actividades de aprendizaje, las cuales fueron
aplicadas a distintos grupos de estudiantes, evidenciando que los estudiantes logran una
mayor comprensin del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde
interactan los tres modos de pensar.
Palabras claves: La teora de los modos de pensamiento, La elipse, Lugar geomtrico,
Ecuaciones cartesianas, seccin cnica.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
8
ABSTRACT
The research we report, reports a study on understanding the concept Ellipse in students
between 16 and 18 years under a cognitive approach, which uses the modes of thought of
Anna Sierpinska theoretical framework and study cases as methodological design. The
ellipse is part of the content offered in the official programs of our country, with a strong
emphasis on analytical techniques. Our research problem lies in addressing the ellipse only
through Cartesian equations, we affirm that these techniques are not sufficient to achieve a
deep understanding of the concept, when we say deep understanding, we are thinking that
the student can understand the ellipse in the modes: Synthetic-Geometric (as conic section
in space / curve that represents it on the plane), Analytical Arithmetic (as ordered pairs that
satisfy the equation of the ellipse) and Analytical - Structural (and locus). Throughout the
investigation we have shown that students from the traditional approach a way to prioritize
analytic-arithmetic thinking, presenting great difficulty understanding the ellipse in other
ways. from the theory of modes of thinking and using epistemological background, design
learning activities, which were applied to different groups of students, showing that
students achieve a greater understanding of ellipse when faced with situations where the
three thinking modes interact.
Keywords: theory of the modes of thought, the ellipse, Locus, Equations Cartesian conic
section.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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INTRODUCCIN
La enseanza de la matemtica1 en nuestro pas en la formacin general (doce aos de
escolaridad obligatoria) se organiza en torno a cuatro ejes temticos: Nmeros, Algebra,
Geometra y Datos y Azar. Donde los contenidos mnimos obligatorios de enseanza
media son en su mayora pertenecientes al eje de lgebra e incluso ciertos contenidos de
geometra presentan un enfoque algebraico, esto lo podemos evidenciar a travs de los
ejercicios presentados en textos escolares propuestos por el ministerio de educacin y en
preguntas de la prueba de seleccin Universitaria (PSU). A continuacin mostramos
ejemplos de preguntas donde se prioriza un enfoque algebraico:
Ejemplo 1
En el estudio de los teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos en la circunferencia
en el Texto de estudiante: Matematica 2 medio, Autor : Eduardo Cid Figueroa Editorial
: Cal y Canto (2008) se presenta el siguiente ejercicio:
a) Utilizando los teoremas vistos en esta seccin , determine el valor de x en los
siguientes problemas
Figura 1 : Ejemplo de texto del estudiante, teorema de las secantes
Las actividades que predominan en el texto, requieren del uso del teorema de las secantes
para plantear una ecuacin y posteriormente determinar el valor de la incgnita, por lo
tanto , un problema geomtrico se reduce en un ejercicio netamente algebraico y el teorema
se transforma en una frmula necesaria para resolver la ecuacin.
1 La enseanza de la Matemtica se concibe como un proceso de diseo e implementacin de un conjunto de
actividades que mediaticen la relacin entre los estudiantes y los contenidos del curriculum de matemtica,
el proceso de mediatizacin incluye espacios guiados deconstruccin de los conceptos, procedimientos y
estrategias de razonamiento y resolucin de problemas. Fundamentos del ajuste curricular(2009)
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Ejemplo 2
Respecto al contenido ngulos en la circunferencia correspondiente a Segundo Ao
Medio,en un modelo de prueba PSU , Proceso de Admision 2009 ,Universidad de Chile se
plantea el siguiente ejercicio:
Figura 2: Ejercicio PSU , Teorema del ngulo inscrito en la circunferencia
Ejemplo 3
En relacin al Teorema de Thales , contenido del segundo ao medio. en un Modelo de
prueba PSU, Proceso de Admision 2008 ,Universidad de Chile aparece el siguiente
ejercicio:
Figura 3:Ejercicio PSU , Teorema de thales
En general podemos darnos cuenta que algunos teoremas y contenidos de enseanza media
en geometra ,como : ngulos en la circunferencia , Teorema de Thales, Teorema de
Pitgoras y teoremas relativos a proporcionalidad en la circunferencia , se convierten en
frmulas que se utilizan para resolver ecuaciones.
La geometra es sin duda unos de los contenidos que presenta mayores dificultades en su
aprendizaje, esto se evidencia en las mediciones PSU en relacin a ello el DEMRE2
Publicaciones PSU N 13 ,proceso de admisin 2012, seala de los cuatro Ejes Temticos
2 El DEMRE es el organismo tcnico de la Universidad de Chile responsable del desarrollo y construccin de
instrumentos de evaluacin y medicin de las capacidades y habilidades de los egresados de la enseanza
media
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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en la PSU de Matemtica , Geometria es el que presenta , ao a ao , el menor porcentaje
medio de respuestas correctas y el mayor porcentaje de respuestas omitidas , en especial en
los contenidos de tercer y cuarto ao medio.
Si bien la enseanza de la geometra3 en el curriculum oficial trata temas relativos a la
geometra euclidiana o sinttica, geometra analtica y geometra vectorial a lo largo de los
12 aos de escolaridad, no podemos dejar de mencionar que el sistema escolar carece de
una real conexin entre los enfoques sinttico y analtico de la geometra. En la enseanza
bsica se trabajan algunos elementos de la geometra sinttica, es decir, la geometra
basada en axiomas y teoremas para la construccin de formas y lugares geomtricos, como
son las construcciones de tringulos, propiedades relativas a polgonos, entre otros. Para
luego dar paso en la enseanza media donde principalmente se enfoca en el estudio de la
geometra analtica, la geometra de las grficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones
algebraicas para representar figuras geomtricas. no se evidencian en el curriculum
elementos que permiten la transicin entre ambos enfoques , a pesar de que la
epistemologa se encarga de recordarnos que son precisamente las limitaciones de la
tcnicas sintticas las que dan sentido a las tcnicas analticas (Gascn, 2003) , por lo
tanto , una es el complemento de la otra, ya que las tcnicas analticas requieren en
muchas ocasiones, de manera casi imprescindible , el uso previo de ciertas tcnicas
sintticas que son las que sugieren el diseo de la estrategia que se llevara a cabo con la
tcnica analtica (Gascn, 2003).
Esta falta de complementariedad entre tcnicas sintticas y analticas se ve claramente
reflejada en la presentacin del objeto matemtico, las secciones cnicas en la asignatura
de Algebra y modelos analticos de tercer ao medio del plan diferenciado.
Elegimos para nuestro estudio la asignatura Algebra y modelos analticos regida por los
programas de estudios del ministerio de educacin , la importancia radica
fundamentalmente en que dicha asignatura tiene por objetivo principal preparar a los
alumnos(as) en los contenidos mnimos que se necesitan para enfrentar con xito los
primeros cursos de las carreras cientficas en la educacin superior.
Sobre las cnicas podemos decir que no son un tpico propio de la enseanza media ,
sino que tambin es abordado en cursos de clculo u otros equivalentes en la educacin
superior cuando se tratan slidos en revolucin , ejemplos tpicos podemos encontrar en
Leithold(1998),El Clculo.
3 se refiere a la comprensin de formas, la posicin y transformaciones, mediciones, estimacin y
comparacin e magnitudes. Mapa de Progreso (2009)
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Ejemplo 1
En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuacin de la superficie de revolucin generada
al girar la curva plana alrededor del eje indicado, dibuje la superficie
(Leithold, El Clculo, p.879)
Ejemplo 2
Describa como dibujara la superficie cilndrica generada al girar la curva del
plano xy alrededor del eje y .En su descripcin invente un ejemplo de una curva particular
e incluya la ecuacin de la superficie cilndrica obtenida. (Leithold, El
Clculo, p.879)
En los ejemplos 1 y 2, observamos que se requiere de la interaccin de tcnicas analticas y
sintticas para abordar los problemas.
En base a lo anterior descrito, nuestra investigacin la centraremos en el objeto matemtico:
La elipse, una de las secciones cnicas tratada en la asignatura de lgebra y Modelos
analticos del plan cientfico de tercer ao medio.
Desde la teora de los modos de pensamiento, indagaremos en la forma en que los
estudiantes comprenden el objeto matemtico y si estas nociones permiten movilizar la
elipse entre los diversos enfoques (analticos, sintticos y estructurales), indagaremos
tambin en los elementos que facilitan la conexin entre las distintas definiciones de la
elipse, para as lograr una mayor comprensin de ella. Con nuestra investigacin buscamos
aportar evidencias con sustento terico, en la enseanza del concepto elipse.
Organizamos nuestro trabajo en nueve captulos como se describe a continuacin:
CAPTULO I: PROBLEMTICA, OBJETIVOS DE INVESTIGACIN Y
ANTECEDENTES
En este captulo mostramos los enfoques predominantes en la enseanza del concepto
elipse, ya sea, en el programa de estudio y en los textos utilizados por los docentes como
apoyo a la asignatura, a partir de estos antecedentes damos cuenta de nuestra problemtica
nos planteamos preguntas y definimos objetivos que guiaran nuestra investigacin.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CAPTULO II: ANTECEDENTES EPISTEMOLGICOS, MATEMTICOS Y
DIDCTICOS
En busca de los elementos que permitan conectar las distintas definiciones de la elipse,
efectuamos las siguientes indagaciones:
Realizamos un estudio epistemolgico de las secciones cnicas, enfocndonos en
aquellas etapas de la historia donde se presentan los distintos modos de pensar la
elipse.
Realizamos indagaciones de la presentacin del objeto elipse en distintos libros,
para documentar matemticamente las conexiones entre las definiciones de elipse.
Adems presentamos una mirada general de los trabajos existentes desde la didctica de la
matemtica, que se relacionan con nuestro objeto de estudio.
CAPTULO III: MARCO TERICO
En este captulo, justificamos la eleccin del marco terico que guiar nuestra
investigacin, describimos los elementos ms importantes de la teora de los modos de
pensamiento (Sierpinska 2000) y presentamos ejemplos que ilustran la teora.
CAPTULO IV: REFERENTES METODOLGICOS
En esta seccin damos cuenta del diseo metodolgico de estudio de caso, que dan sustento
emprico a nuestra investigacin. Fundamentando, el diseo de los instrumentos y la
eleccin de las unidades de anlisis.
CAPTULO V: ANLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
EXPLORATORIO
En este captulo, evidenciamos a travs del estudio de un caso, los modos de pensamiento
que priorizan los estudiantes que han trabajado la elipse desde el enfoque tradicional
cuando se enfrentan a tareas planteadas en los distintos modos de pensar la elipse en el
plano cartesiano. Estableciendo conclusiones en relacin al primero objetivo especfico de
investigacin.
CAPTULO VI: INTENCIN Y ANLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
En este captulo realizamos un anlisis a priori del conjunto de actividades que
construimos a partir de nuestros hallazgos (captulo II) y desde la teora de los modos de
pensamiento para el aprendizaje del concepto elipse.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CAPTULO VII: APLICACIN Y ANLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
En este captulo obtenemos las evidencias empricas las cuales se analizan a partir del
anlisis a priori. Evidenciamos la forma en que los estudiantes de distintos casos,
relacionados con los conocimientos matemticos de la formacin dependiendo del nivel
donde se encuentren, comprenden la elipse cuando se da fuerza al trnsito SG- AE. Estos
resultados son fundamentales para establecer las conclusiones de nuestra investigacin.
CAPTULO VIII: CONCLUSIONES
Finalmente establecemos las conclusiones del objetivo general a partir de la evidencia
emprica con sustento terico obtenido en el captulo anterior. Presentamos conclusiones
tericas y reflexiones didcticas, en relacin al aporte de nuestra investigacin para
investigaciones posteriores.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CAPTULO I:
ANTECEDENTES,
PROBLEMTICA Y
OBJETIVOS DE
INVESTIGACIN
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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ANTECEDENTES DE INVESTIGACIN
En esta seccin daremos cuenta de elementos presentes en el saber ensear del objeto
matemtico la elipse. Se describir la presentacin de dicho objeto, programa de estudio,
libros de Geometra analtica y textos de los estudiantes, utilizados en nuestro pas, con el
propsito de evidenciar los enfoques predominantes en la enseanza.
A continuacin se describe la presentacin del objeto elipse en:
El programa de estudio 4de la asignatura de tercer ao medio del plan cientfico
lgebra y Modelos analticos del ministerio de educacin de Chile.
(1999) Matemtica Algebra y Modelos Analticos Programa de Estudio Tercer Ao
Medio de Ministerio de Educacin. Chile
nico Libro de geometra analtica, Geometra Analtica (1987) de Lehman,C
editorial: Itesa, Mxico, que aparece como referencias bibliogrfica en el
programa de estudio de lgebra y Modelos analticos, nos parece interesante
analizar los elementos matemticos que se consideran para hacer la transposicin
didctica en el currculo oficial.
Textos de apoyo para el estudiante Matemtica, plan electivo III y IV medio
(1995) de Blanco, S; Delas Heras, R; Fuenzalida, G; Riveros, J. editorial:
Santillana, chile. donde se tratan temas de los cursos del plan cientfico para
tercero y cuarto medio.
DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN PROGRAMA
DE ESTUDIO
La presentacin de La elipse en el programa de estudio (Ministerio de Educacin, 2001)
es en la unidad II: Lugares geomtricos, la cual, tiene por objetivos uno de los principios
fundamentales de la geometra analtica: reconocer que los lugares geomtricos se pueden
describir mediante ecuaciones cartesianas. (Ministerio de Educacin, 2001)(p.41)
En las actividades planteadas se pide caracterizar la elipse como un lugar geomtrico y
establecer su correspondiente ecuacin analtica y a travs de la ecuacin dada, determinar
el lugar geomtrico.
Ejemplo de actividades propuestas
1) Qu lugar geomtrico en el plano representa la siguiente ecuacin?
4 Los programas de estudio ofrecen una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedaggico del ao
escolar. Esta propuesta tiene como propsito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el
desarrollo de los Contenidos Mnimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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2) Cules son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?
Figura 4: distintas elipse en el plano
(Ministerio de Educacin, 2001) (p.49)
3)
Figura 5: ejemplos de actividades del programa
Las actividades propuestas priorizan la obtencin de la ecuacin
de la elipse a
partir de los elementos: focos, centro, parmetros a y b. o bien a partir de la ecuacin
determinar el lugar geomtrico que representan.
Entre las sugerencias al docente se destaca que:
Los alumnos asocien los puntos de interseccin con los ejes del sistema de
coordenadas con los parmetros a y b de la ecuacin de la elipse.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
18
Los alumnos puedan relacionar la elipse con la seccin cnica (cortes del cono).
los alumnos realicen alguna construccin concreta de la elipse para que la frase
la suma de las distancias a los focos es constante cobre sentido y sea comprendida
por ellos(as).
En el Programa de estudio predomina un enfoque analtico, lo podemos deducir a partir del
objetivo planteado respecto a la elipse. Si bien en las sugerencias al docente hay intencin
de desarrollar otras tcnicas para la comprensin de la elipse, no se dan ejemplos o ideas
de cmo abordar las situaciones propuestas, parecen ser solo actividades anexas a las
tcnicas analticas que se desarrollan.
DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN LIBRO DE
GEOMETRA ANALTICA
El libro de Geometra Analtica de Lehman C (1987) trata el tema de elipse en dos
captulos (VII y IX).
En el Captulo VII, llamado La elipse (pg173 a 186) , se estructura de la siguiente forma
: definiciones , ecuacin de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes
de la elipse , ecuacin de la elipse de centro (h.k) y ejes paralelos a los coordenados ,
propiedades de la elipse.
A continuacin sern descritos solo aquellos temas que tengan directa relacin con nuestro
objeto de estudio.
En primer lugar define la elipse como: el lugar geomtrico de un punto que se mueve en
un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos (p.173)
La definicin es apoyada por una imagen (sin sistema de coordenadas) donde se muestran
los elementos de la elipse: focos, vrtices, eje mayor, eje focal, eje menor y lado recto.
Luego exprese la condicin geomtrica la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante en forma analtica y utilizando un
procedimiento algebraico obtiene la ecuacin de la elipse con centro en el origen con eje
focal el eje x:
=1 .
De la misma forma se busca la ecuacin de la elipse con eje focal, eje y:
=1
con respecto a los elementos de la elipse , los relaciona de manera que si se conoce la
ecuacin de la elipse se puede determinar su grfica.
A partir de relaciones algebraicas obtiene la frmula
para determinar la longitud del
lado recto .
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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expone sobre la excentricidad : un elemento importante de una elipse es su excentricidad
que se define como la razn
y se representa usualmente por la letra e , como c
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Posteriormente se determinan las ecuaciones para una elipse con centro y ejes
paralelos a los ejes coordenados a partir de la ecuacin
obteniendo la
ecuacin ordinaria
=1 (eje focal paralelo al eje x) y como consecuencia
de procedimientos algebraicos de la ecuacin anterior se obtiene una ecuacin de segundo
grado, enunciando el siguiente teorema:
Si los coeficientes son del mismo signo, la ecuacin
representa una elipse de ejes paralelos a los ejes
coordenados, o bien un punto, o no representa ningn lugar geomtrico real. (p.173)
y seguidamente se proponen ejercicios de los temas tratados y como ltimo tema del
captulo se dan a conocer propiedades relativas a la elipse , entre ellas: tangentes a la elipse
y propiedades de reflexin .
En el captulo IX, titulado Ecuacin general de segundo grado (pginas 212-233) se dan
a conocer temas como: transformacin de la ecuacin general por rotacin de los ejes
coordenados, el indicador definicin general de cnica, tangente a la cnica
general, sistemas de cnicas y secciones planas de un cono circular recto.
Se presentan la ecuacin general de segundo grado
Como la definicin analtica de las cnicas,
teniendo en cuenta que cada ecuacin representa una cnica o bien una cnica degenerada,
se analizan las caractersticas que deben tener los parmetros de la ecuacin para
representar una parbola, elipse o hiprbola.
Luego se da a conocer una definicin geomtrica de las secciones cnicas, que incluye a la
elipse, parbola e hiprbola.
Dada una recta fija y un punto fijo no contenido en esa recta, se llama cnica al
lugar geomtrico de un punto P que se mueve en el plano de de tal manera que
la razn de su distancia de a su distancia de es siempre igual a una constante
positiva
La recta se llama directriz el punto fijo , foco y la constante positiva, a la que
designamos por , excentricidad de la cnica. (p. 220)
A partir de la definicin dada y utilizando procedimientos algebraicos obtiene la ecuacin
para las cnicas.
Lo anterior se resume en el siguiente teorema:
Una cnica es una parbola, una elipse o una hiprbola, segn que su excentricidad
sea igual a, menor que, o mayor que la unidad. (p.222)
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Explica tambin sobre el origen del nombre de secciones cnicas con que se designa a la
parbola , elipse e hiprbola se origina a partir del hecho de que estas curvas se obtuvieron
por primera vez como secciones planas de un cono circular recto.
Propone una demostracin para fundamentar que la interseccin de un plano y un cono es
una seccin cnica , se apoya en la figura adjunta y a travs de propiedades geomtricas
determinadas por tringulos rectngulos y razones trigonomtricas relacionando los
ngulos , obtiene la definicin geomtrica de las secciones cnicas
. Figura 6: la elipse en el espacio
De la demostracin concluye las siguientes relaciones entre los ngulos y las compara con
los valores de la excentricidad.
El ngulo es una constante para un cono dado, vara dependiendo de las posiciones
del plano secante.
Si , entonces , la seccin es una parbola, el plano es paralelo a una generatriz
del cono.
Si , entonces , la seccin es una elipse, el plano corta a todas las generatrices
del cono.
Si , entonces , la seccin es una hiprbola, el plano corta a las dos hojas o
ramas de la superficie cnica.
Los procedimientos utilizados en la presentacin de objeto elipse en libro analizado ,
privilegian un enfoque analtico, se define la elipse como un lugar geomtrico para obtener
la ecuaciones que las describen, en el captulo VII, los ejercicios propuestos varan entre
obtener la ecuacin a partir de los elementos conocidos o bien dada una ecuacin
determinar los elementos de una elipse. Si bien se presenta otra propuesta (captulo IX)
donde se combinan tcnicas sintticas y analticas, la transposicin didctica realizada por
el programa de estudio se enfoca nicamente en elementos propios de la geometra analtica
presentes en el captulo VII del libro.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
22
DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN TEXTO DEL
ESTUDIANTE PLAN ELECTIVO III Y IV MEDIO
El libro (Blanco Molleda , De las Heras Karl, Fuenzalida Correa, & Riveros Rojas , 1995)
est diseado como un complemento para el trabajo del estudiante en los cursos de tercer
y cuarto ao medio del Plan electivo de Matemtica, la elipse se sita en el captulo III,
llamado Geometra analtica del plano el cual se organiza de la siguiente forma: La lnea
recta, la circunferencia, la parbola, la elipse, la hiprbola, definicin general de cnicas.
El objetivo que plantea el captulo, respecto a nuestro objeto de estudio es: Reconocer la
ecuacin de una elipse y determinar sus elementos (p.90)
Para introducir el concepto de la elipse, define una seccin cnica como una curva que se
obtiene al intersectar un plano y un cono de revolucin, segn la inclinacin del plano
respecto al eje del cono se obtiene una circunferencia, elipse, parbola o hiprbola.
Aparecen figuras que muestran las secciones cnicas.
Luego define la elipse como el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y) cuya
ubicacin en el plano es tal , que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de l es
constante. (p.114), tambin describe sus elementos: focos, recta focal, recta secundaria,
centro, vrtices, eje mayor, eje menor, distancia focal, lado recto. Se agregan dos
observaciones: la primera de ellas es sobre las leyes de Kepler descubiertas en 1610 que
entregan informacin sobre las trayectorias elpticas de los planetas que giran alrededor del
sol, donde el sol uno de los focos. La segunda observacin propone el mtodo del
jardinero para trazar elipses.
A continuacin se verifica a partir de distancias el valor de la constante, la relacin de los
parmetros que determinan el semieje mayor, semieje mayor, semieje focal.
Sobre la excentricidad de elipse, expone: A toda elipse se le asocia un nmero real que
llamamos excentricidad, designado por la letra cuyo valor es
(p.115), explica
tambin que dependiendo del valor de su excentricidad se tienen elipse ms, o menos
achatadas.
Posteriormente a partir de la definicin de elipse, por medio de un tratamiento algebraico
determina la ecuacin cannica
,
de la misma forma se busca la ecuacin cannica
, cuando el eje focal coincide
con el eje y. reemplazando en la ecuacin obtiene la frmula
para el lado recto.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
23
Luego se dan a conocer la ecuacin principal con Centro (h,k)
+
y la
ecuacin general . Se explica que se obtiene por
mtodos algebraicos pero no se desarrolla.
En seguida, se proponen ejemplos y ejercicios donde los enunciados son los siguientes: i)
determina los elementos de las elipses, ii) determina la ecuacin de la elipse, con los
elementos dados en cada caso.
Despus de tratar todas las secciones cnicas de forma similar a la descrita anteriormente,
propone una definicin general de las cnicas, a partir de los valores de la excentricidad,
como se describe a continuacin: es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano,
cuyas distancias a un punto (Foco) y a una recta (Directriz) fijos estn en una razn
constante (excentricidad). (p.129)
Realizando procedimientos algebraicos se obtiene una ecuacin principal de una cnica
En particular la elipse se determina cuando la excentricidad es menor a 1.
A travs de la definicin dada y utilizando un desarrollo algebraico determina las
relaciones entre los elementos de la elipse.
En el texto del estudiante, los objetivos del texto son coherentes con los objetivos
enunciados en el programa de estudio, es decir, se centran en las ecuaciones cartesianas que
la describen. Adems, existen propiedades geomtricas como la excentricidad y lado recto
que se convierten en frmulas para determinar ecuaciones de las elipses correspondientes.
DESCRIPCIN DE LA PROBLEMTICA
Nuestra problemtica de investigacin se sita al abordar la elipse puramente a travs de
las ecuaciones cartesianas como se muestran en programa de estudio (Ministerio de
Educacin, 2001), consideramos que estas tcnicas no son suficientes para lograr una
comprensin profunda del concepto, cuando decimos comprensin profunda , estamos
pensando en que el estudiante pueda relacionar las distintas definiciones de elipse , ya
sea , la elipse como una seccin cnica, elipse como lugar geomtrico y la elipse a partir
de las ecuaciones que la describen.
A partir de nuestra problemtica nos planteamos las siguientes preguntas, que guiarn la
investigacin:
La nocin de elipse que construyen los estudiantes del plan cientfico tercer ao
medio de la asignatura algebra y modelos analticos permite movilizar la elipse
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
24
entre las definiciones como: seccin cnica, lugar geomtrico y ecuaciones
cartesianas?
Qu elementos de la Matemtica estn presentes en nocin del concepto elipse
que presentan estos estudiantes?
Con intenciones de lograr una comprensin profunda entre los aprendices del concepto
elipse, nos planteamos abordar las siguientes interrogantes
Cules son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que
promueve alcanzar una comprensin profunda de este?
Qu elementos de la Matemtica estn presentes en la comprensin profunda del
concepto elipse? Estos elementos tienen caractersticas geomtricas, analticas
u obedecen a estructuras matemticas?
Apoyndonos en las preguntas anteriores daremos a conocer el siguiente supuesto de
investigacin el estudiante logra una comprensin profunda del concepto elipse cuando
logra transitar entre los modos de pensamiento analtico- aritmtico, sinttico-
geomtrico y analtico- estructural. (Ver figura 7)
Figura 7: Modos de pensar la elipse.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
25
OBJETIVOS DE INVESTIGACIN
A partir de las interrogantes planteadas y la problemtica descrita, se determinan los
siguientes objetivos de investigacin:
Objetivo general
Ofrecer un conjunto de sugerencias didcticas basada en nuestra investigacin para
la enseanza del concepto elipse.
Objetivos especficos:
1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes
que aprobaron la asignatura de lgebra y modelos analticos de un establecimiento
educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus
distintas definiciones en el plano cartesiano.
2. Indagar en los elementos de la matemtica5 que propician el trnsito entre las
definiciones de elipse como: seccin cnica en el espacio/curva que la representa en
el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuacin de la elipse y como lugar
geomtrico.
3. Disear y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el trnsito entre los
modos de pensamiento (Sinttico-Geomtrico, Analtico-Aritmtico, Analtico-
Estructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de lgebra y modelos
analticos de un establecimiento educacional chileno.
5 Conceptos matemticos, nociones, propiedades.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
26
CAPTULO II:
ANLISIS
EPISTEMOLGICOS,
MATEMTICOS Y
DIDCTICOS
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
27
EPISTEMOLOGA DE LA ELIPSE
En relacin a nuestro segundo objetivo especfico de investigacin, describiremos de
manera general la epistemologa de las secciones cnicas, centrndonos en pocas donde
aparecen con mayor fuerza y enfocndonos particularmente en aspectos de la elipse que
consideramos importantes, como el surgimiento de enfoques analticos, sintticos y
estructurales a travs de la historia y en los elementos que permiten su interaccin.
GEOMETRA EUCLIDIANA O SINTTICA
Las secciones cnicas surgen en el periodo del Helenismo en Grecia
El helenismo significa, tanto en poltica como en filosofa, una autntica
fragmentacin. En poltica, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos ms o
menos pequeos que compiten en ser dignos herederos de la tradicin del siglo de
oro helnico. En filosofa se produce tambin una fragmentacin del saber
unificado al que Platn y Aristteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagrica,
aspiraron. El saber orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la
esttica, tica, religin, poltica,... cede el paso al saber especializado que en
matemticas viene a ser representado por Euclides, Arqumedes y Apolonio
(Tapia, 2002 ,p.19 ).
En este periodo los avances en matemtica se basan en un pensamiento hipottico
deductivo, en mtodos racionales de demostracin y en la utilizacin de tcnicas
sintticas en los razonamiento geomtricos (Gonzales , Paniagua , & Patio, 2008)
Bajo este enfoque nacen las secciones cnicas, como se detalla a continuacin:
Las secciones cnicas fueron inicialmente tratada por autores como: Menecmo,
Arqumedes Aristeo y Euclides. Su descubrimiento se atribuye a Menecmo (350 a.c)
mientras se ocupa del problema clsico de la duplicacin del cubo, obtiene las curvas que
hoy conocemos como elipse, hiprbola y parbola determinndolas por secciones de un
plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, dependiendo del ngulo
del vrtice (agudo, obtuso o recto).
A finales de siglo IV ya se conocan dos obras sobre las cnicas, La primera es de Aristeo,
el Libro de los lugares slidos y la segunda de Euclides (4 libros), si bien no hay
evidencias de ellas, estas obras fueron los pilares fundamentales para las famosas cnicas
de Apolonio.
Se cree que fue Arqumedes quien dio el nombre elipse a las secciones de cono
acutngulo (como se conocan anteriormente). La palabra elipse fue utilizada por el
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
28
famoso Matemtico Pitgoras, en las soluciones de ecuaciones cuadrticas por el mtodo
de duplicacin de reas, Ellipsis, significa una deficiencia, se utilizaba cuando un
rectngulo dado deba aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado
(Boyer,1986. pg. 195).
El gran gemetra griego Apolonio de Perga (262 - 190a.c) educado en Alejandra con
discpulos de Euclides, fue quien en el siglo III a.c dio el rigor la consistencia y
sistematizacin a las secciones cnicas (Ruiz, p 80) demostrando que las propiedades
de las curvas son las mismas si se obtienen como cortes de conos oblicuos o de conos
rectos. Es Apolonio quien define una superficie cnica:
Si una lnea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se
hace mover sobre la circunferencia que no est en el mismo plano que el punto dado,
de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia ,
entonces la recta describir la superficie de un cono doble (Gonzales , Paniagua , &
Patio, 2008)
Figura 8: superficie cnica de Apolonio
Apolonio sustituye el cono de una sola hoja por el cono de dos hojas (par de conos
orientados en sentido opuesto con vrtices coincidentes y ejes sobre la misma recta) con lo
cual cambia las 2 hiprbolas, como las llama Euclides, por una hiprbola de dos hojas.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
29
Figura 9: cono de una y dos hojas
Apolonio define las secciones cnicas, como, una curva obtenida cortando una superficie
cnica con un plano, segn la inclinacin del plano se puede formar una parbola, una
elipse o una hiprbola.
Figura 10: secciones cnicas de Apolonio
Sobre las secciones cnicas escribe 8 libros, donde se dan a conocer modos de obtencin y
propiedades fundamentales de las cnicas, propiedades de sus elementos (dimetros, ejes,
focos), teoremas relativos a dimetros conjugados, entre otros.
Entre las propiedades destacamos: la suma de las distancias de un punto de la elipse a dos
puntos fijos (focos) es constante (proposicin 52 del libro III) la cual es utilizada en la
actualidad como una de las definiciones de la elipse como lugar geomtrico.
La construccin de la elipse est fundamentada en los mtodos predominantes de la poca
nos referimos, al razonamiento deductivo a partir de proposiciones y teoremas
demostrados utilizando tcnicas geomtricas sintticas.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
30
A continuacin se describe el enfoque de la elipse como fue trabajada en la antigedad,
Apolonio define La elipse como una seccin de un cono por un plano no perpendicular a
su eje (Grgoire , 1992) a partir de la definicin dada, razona de la siguiente forma:
Sean C y C dos puntos cualesquiera de la elipse y KCL y KCL dos secciones
circulares del cono perpendiculares al eje. (Figura 11)
Figura 11: secciones cnicas de Grgoire
Dados los tringulos rectngulos KCL y KCL,
Se tendr:
Adems los tringulos GMK y GMK son semejantes,
Se deduce que:
los tringulos AML y AML tambin son semejantes,
Por lo que
Por tanto al multiplicar miembro a miembro
, por el teorema de la altura (
)
, se obtiene
Es decir la relacin
es constante para todo punto c de la elipse
(Grgoire , 1992)
Apolonio determina una propiedad geomtrica para todo punto que pertenece a la elipse, lo
que es equivalente a pensar la elipse como un lugar geomtrico que cumple una cierta
propiedad geomtrica.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
31
Es importante destacar que Apolonio descubre un sin nmero de propiedades para las
cnicas, muchas de ellas son el inicio de grandes descubrimientos en otras reas como la
fsica, la ptica, astronoma entre otras.
Entre los numerosos gemetras que siguieron los pasos de Apolonio destacamos a Pappus
(Siglo IV d c) quien escribi La Coleccin Matemtica, obra donde realiza una
recopilacin de una cantidad indeterminada de teoremas y problemas propuestos por sus
antecesores, adems agrega proposiciones nuevas e incluso problemas que se trataran de
resolver siglos despus. En relacin a las secciones cnicas propone un teorema (libro VII
n 238) que permite definir las tres cnicas como lugares geomtricos a travs de la
relacin de distancias de un punto al foco y a una recta (directriz) como se detalla a
continuacin:
El lugar geomtrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado (Foco) y a una
recta dada (Directriz) estn en una razn constante es una seccin cnica: Una
parbola si la razn es la unidad, una elipse si es ms pequea que la unidad y una
hiprbola si es ms grande que la unidad (Espaola, 2000)
El teorema de Pappus permite definir una seccin cnica como el lugar geomtrico de los
puntos talque , donde .
Segn el valor de la constante se clasifican en:
.
.
.
Figura 12: clasificacin de las secciones cnicas, segn el valor de e.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
32
La constante
determinada por Pappus posteriormente es conocida con el
nombre de excentricidad de una cnica.
GEOMETRA ANALTICA
Hasta el siglo XVI el enfoque de las secciones cnicas fue basado en las cnicas de
Apolonio, el gran gemetra de la Antigedad donde se destaca la elegancia que utiliza
para describir las cnicas a travs de relaciones de reas y longitudes que caracterizan a
cada una de las curvas, en su estudio adems considera sistemas de referencia (dimetros
conjugados) a posteriori de la construccin de la curva para el estudio de las propiedades.
Podemos decir que Apolonio es uno de los primeros en utilizar el anlisis en la geometra,
el lenguaje de Apolonio es sinttico, utilizando con una pericia increble la tcnica
pitagrica de la Aplicacin de las reas, pero sus "mtodos de coordenadas" guardan una
gran similitud con los de la Geometra Analtica (Gonzlez Urbaneja , Raices histrica y
trascendencia de la Geometra Analtica , 2007).
En los siglos XVI y XVII durante la Revolucin cientfica , poca en que se nacen
nuevas ideas y conocimientos en distintas reas como : Qumica , Biologa, Astronoma ,
Fsica y Matemtica, ideas que posteriormente se convertirn en la base de las ciencias
modernas.
Es durante esta poca que surge la geometra analtica, es decir, "la aplicacin del
lgebra simblica al estudio de problemas geomtricos mediante la asociacin de curvas y
ecuaciones en un sistema de coordenadas". (Gonzlez Urbaneja , Raices histrica y
trascendencia de la Geometra Analtica , 2007)
Sobre la geometra Analtica destacamos :
Fermat y Descartes son los verdaderos artfices de la Geometra Analtica. Descartes
publica en 1637 La Geometra junto con La Diptrica y Los Meteoros como
apndices de su Discurso del Mtodo o ste como prlogo de aquellos opsculos. El
mismo ao, Fermat enva al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629
contenidas en la memoria Introduccin a los Lugares Planos y Slidos. Las obras
citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada ms tarde
Geometra Analtica. Estos matemticos encontraron un terreno muy abonado por el
Anlisis Algebraico en el que Vieta haba transformado el Anlisis Geomtrico de los
griegos con la intervencin de su incipiente lgebra simblica. (Gonzlez Urbaneja ,
Raices histrica y trascendencia de la Geometra Analtica , 2007)
Los aspectos novedosos de la geometra analtica son : la introduccin de coordenadas ,
el trazado de curvas construyendo ordenadas a partir de abscisas dadas y conectando con
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
33
puntos finales , la aplicacin del lgebra simblica a los problemas geomtricos, la
derivacion de ecuacin a los lugares geomtricos y la construccin geometrica de las
soluciones de las ecuaciones , estudio de las propiedades de las curvas dadas por las
ecuaciones y representacion grafica de una curva dada por la expresion analitica funcional.
Este nuevo mtodo permite resolver problemas geometricos de la antigedad y avanzar en
terrenos inexplorados de la matematica en ese momento.
En relacin a las secciones cnicas, destacamos los avances de Descartes, Fermat, Witt,
Wiles y Euler.
Ren Descartes, matemtico francs (1596-1650) el segundo libro de la Gemetrie de
Descartes, De la Naturaleza de las curvas, da a conocer mtodos para encontrar lneas
rectas que corten las curvas o a sus tangentes, en particular las secciones cnicas se pueden
representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. lo cual, conlleva a la
posterior aparicin de la ecuacin de la elipse como se muestra a continuacin:
Descartes calcula la normal a una curva en un punto de la figura siguiente:
Llama
=
Figura 13: normal a una curva
Todo punto P perteneciente a la recta AG, verifica las dos relaciones siguientes
;
Para calcular la ecuacin de la elipse (figura 3), descartes utiliza la definicin de
Apolonio
, donde q es la longitud del lado AG
Con las notaciones elegidas por Descartes, la ecuacin de la elipse es:
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
34
, utilizando la relacin , se obtiene la
ecuacin fundamental de la elipse
Figura 14: Normal de una curva, Descartes
Para obtener la ecuacin cannica, se considera la elipse referida a su centro O.
Obteniendo la siguiente ecuacin:
, siendo
Si se toman
, se obtiene as la ecuacin de la
elipse de Descartes. (Grgoire , 1992)
Pierre de Fermat, matemtico francs ( 1601-1665), crea una reformulacin de la obra
Las Cnicas de Apolonio con los instrumentos del lgebra, demuestra en su obra Ad
locos planos et solidos isagoge (introduccin a los lugares geomtricos planos y slidos)
que las ecuaciones de primer grado representan rectas y las de segundo grado determinan
cnicas o rectas.
Durante los periodos siguientes, mitad del siglo XVII y comienzo del siglo XVIII se
difundieron los mtodos analticos propuestos por Descartes y Fermat, en relacin a las
cnicas, matemticos de la poca como Witt y Wallis completaron y perfeccionaron sus
obras. Wallis en su Tractatus de sectionibus conicis deduce todas las propiedades
conocidas de las cnicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones de Apolonio
y considera estas ecuaciones como la definicin de la seccin, por su parte Jan de Wittt en
la primera parte de su obra Elementa curvarum linearum, introduce la definicin de cnicas
utilizando la razn de las distancias al foco y a la directriz, propiedad descubierta por
Pappus.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
35
Posteriormente Desargues realiza tambin estudios sobre las cnicas y los puntos del
infinito y Pascal tambin escribe sobre las cnicas (Essay pour las coniques ) estos
estudios son los cimientos para la geometra proyectiva.
Leonhard Paul Euler, Matemtico Suizo (1707-1783) seala que las propiedades de las
cnicas no pueden derivarse de un nico principio; a veces se obtienen de la ecuacin de las
curvas, otras de su generacin por la seccin de un cono (como haban hecho los grandes
gemetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas mediante
construccin geomtrica (Gonzlez Urbaneja , Euler y la Geometra Analtica , 2008 ).
Euler escribe un primer volumen de introduccin una teoria general de curvas , basada en
ideas de funcin , en el que deriva las propiedades de las cnicas del cono o de la
construccin geomtrica, luego en un volumen posterior realiza un tratamiento analtico
general, obtiene las propiedades de las cnicas mediante la informacion entregada solo por
la ecuacion sin recurrir a otros medio , escribe una ecuacin cuadrtica general con seis
trminos para las secciones cnicas :
y expresa la ecuacin en trminos de en terminos de
(Gonzlez Urbaneja , Euler y la Geometra Analtica , 2008 )
Euler determina la ecuacin central de las cnicas a partir de la cual realiza la clasificacin
de cada una de ellas mediante el valor del discriminante, encontrando as de manera
sencilla puntos, lneas y rectas, razones asociada a cada curva, completando el trabajo
iniciado por Witt y Wallis.
A partir de la ecuacin , con A, B, C, D, E, F
reales y A, B y C no todos nulos. Podemos clasificar las cnicas dependiendo del valor del
discriminante .
Si Se trata de una Elipse
Si Se trata de una Parbola
Si Se trata de una Hiprbola
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
36
Sobre las propiedades determinadas por Apolonio y Pappus en la antigedad y trabajadas
en forma analtica por Descartes, Fermat, Witt , Willes y Euler. El matemtico Belga
Germinal Pierre Dandelin (1794 1847) propone en 1822 el siguiente teorema,
demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cnica, los focos de dicha cnica
son los puntos donde ste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.
Figura 15: Esferas de Dandelin
A partir del teorema propuesto por Dandelin, se puede probar con herramientas sintticas
las propiedades que definen a la elipse:
La suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos fijos
de su eje principal es constante.
La razn entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los
focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es un valor constante
menor a 1.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
37
LA ELIPSE EN LA MATEMTICA
En busca de los elementos de la matemtica que conecten las distintas definiciones de
elipse, como: seccin cnica, lugar geomtrico y a travs de las ecuaciones algebraicas.,
realizamos una indagacin en libros de Geometra plana y del espacio, Clculo, geometra
analtica y trigonometra. A partir del anlisis de los textos (Ver anexo 1) y el anlisis
epistemolgico (antes descrito), elaboramos esta seccin, donde conectamos las distintas
definiciones de elipse. Centrndonos mayoritariamente en aquellas que utilizaremos para
nuestra investigacin.
A continuacin se enuncian los textos utilizados:
Clculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edicin (2008) - James Stewart
editorial: Cengage Learning Editores.
Leithold, l (1998) el clculo 7 edicin .Mxico: Orfoxd university press-harla.
Masjuan,G;Arenas,F;Villanueva,F.(2001). Trigonometra y geometra analtica. Santiago:
ediciones universidad catlica de chile.
Para las definiciones y en busca de elementos distintos a los presentados en los libros
anteriores utilizamos:
Wentworth, d; Smith, d (2001) geometra plana y del espacio. Mxico: Porra.
Romero, A (2005) Estudio sobre las cnicas, Caracas: Innovacin tecnolgica.
LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE
A continuacin se presentan las definiciones de elipse, como: seccin cnica, lugar
geomtrico y a travs de las ecuaciones algebraicas, previo a ello se definen conceptos
matemticos que se utilizan en la interaccin entre los enfoques del concepto elipse.
Posteriormente se describen relaciones entre las definiciones de una elipse a partir de
elementos de la matemtica6 que permiten una movilidad entre los distintos enfoques del
concepto. (Figura 16: distintas definiciones de Elipse)
6 Conceptos, propiedades o teoremas.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
38
Figura 16: distintas definiciones de Elipse
CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE
1.- Superficie cnica: superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que
siempre corta una curva plana fija y que pasa por un punto exterior al plano de esa curva.
La curva fija se llama directriz y el punto fijo se llama vrtice
2.- Generatriz de una superficie cnica: recta que engendra la superficie y tambin toda
recta que representa una de las posiciones por las que pasa aquella, es decir, toda recta que
va desde el vrtice a la directriz.
3.- Cono: slido limitado por una superficie cnica y por un plano que corta a todas las
generatrices.
4.- Cono circular: cono que tiene un crculo de base. Llamase eje del cono a la recta que va
del vrtice al centro de la base.
5.-Cono circular recto: cono circular cuyo eje es perpendicular al plano de la base.
6.-Esfera: slido limitado por una superficie todos cuyos puntos equidistan de un punto
interior.
7.- Seccin cnica
Definicin geomtrica:
Es la interseccin de un plano cualquiera y una superficie cnica.
i) Si el plano no es paralelo a las generatrices es una elipse.
ii) Si el plano es paralelo estrictamente a dos generatrices es una hiprbola.
iii) Si el plano es paralelo a una sola generatriz. La seccin obtenida se
llama parbola
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
39
Figura 17: Secciones cnicas
Si el plano intersecta al vrtice se forma cnicas degeneradas, es decir, un punto, una recta
o par de rectas concurrentes.
Definicin a partir de propiedades:
Es una seccin cnica puede definirse como el conjunto de los puntos P del plano
tales que la razn de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no
dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante
positiva . (Figura 18 : la secciones cnicas, segn el valor de la excentricidad)
i) Si la cnica es una parbola
ii) Si es una elipse
iii) Si es una hiprbola.
Figura 18 : la secciones cnicas, segn el valor de la excentricidad
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
40
Definicin Analtica:
Una seccin cnica est definida por una ecuacin general de segundo grado ,
Con y no
todos nulos.
La grafica de la ecuacin es una cnica, o bien, una cnica degenerada.
Los parmetros A, B y C permiten identificar el tipo de cnica analizando el
discriminante como sigue:
i) Si se trata de una parbola ( o como caso
degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes )
ii) Si , se trata de una elipse ( o como caso
degenerado un punto )
iii) Si , se trata de una hiprbola ( o como caso
degenerado un par de rectas que se cortan )
A continuacin se define la elipse como una seccin cnica, luego se presentan dos
alternativas para tratar la elipse como lugar geomtrico7 y a partir de las definiciones se
obtienen ecuaciones (cartesianas polares) que describen una elipse.
Como seccin cnica:
Es una seccin cnica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna
generatriz.
Figura 19: La elipse como seccin cnica
7 conjunto de puntos que cumple una propiedad geomtrica.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
41
Como lugar geomtrico:
1.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos (focos) es siempre una constante positiva (mayor que la distancia entre
los focos).
Figura 20: la elipse como lugar geomtrico
2.- Una elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P del plano tal que la razn de la
distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la
cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1.
A travs de las ecuaciones algebraicas:
1. Si es la constante en la definicin, si los focos se encuentran en ( )
y si , entonces su ecuacin de la elipse es:
=1
Donde la excentricidad:
,
, la
ecuacin de la Directriz es
y los focos son :
F )
3. Una elipse se describe a partir de la ecuacin general de segundo grado ,
Con y no
todos nulos. Donde Si
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE
DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS
A continuacin se presentan dos descripciones del concepto elipse como se muestra a
continuacin:
La primera de ellas parte de la elipse como seccin cnica, luego utilizando el teorema de
las esferas de Dandelin permite determinar la elipse como lugar geomtrico donde la suma
de las distancias de los puntos de la elipse a los focos es constante, posteriormente a travs
de las herramientas algebraicas dadas por el concepto de distancia entre dos puntos del
plano se determinan las ecuaciones cartesianas y los elementos principales de la elipse en el
plano.
La segunda alternativa parte de la definicin de elipse como seccin cnica, y a travs del
teorema de Dandelin permite encontrar el lugar geomtrico que describe la elipse a partir de
la excentricidad (razn entre la distancia de un punto al foco y la distancia del punto a la
directriz), luego a travs de elementos trigonomtricos y algebraicos permiten determinar
las ecuaciones polares y cartesiana de la elipse.
DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 1
La elipse, es una seccin cnica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a
ninguna generatriz.
A partir de esta definicin utilizando el Teorema de Dandelin8, se puede construir la
definicin 1 de elipse como lugar geomtrico.
Figura 21: Teorema de Dandelin
8 Si un cono es cortado por un plano en una cnica, los focos de dicha cnica son los
puntos donde ste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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En el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante
ambas esferas . La esfera es tangente al cono a lo largo de las
circunferencias , y es tangente al plano cortante en el punto . La esfera es
tangente al cono a lo largo de las circunferencias , y es tangente al plano cortante en el
punto . Los planos de la circunferencia son paralelos. Se demostrara que
son los focos de la elipse al probar que si P es un punto de la elipse, entonces
| | | | es una constante.
La generatriz del cono que pasa por un punto cualquiera P de la elipse seccin corta a las
circunferencias tangentes a la esfera en los puntos , como todas las
tangentes que puedan trazarse desde un punto a una esfera tienen la misma longitud, se
tiene
Las circunferencias de tangencia cortan segmentos iguales de igual longitud en
todas las generatrices del cono, como consecuencia todos los puntos de una elipse tienen las
propiedades La suma de las distancias a dos puntos fijos de su eje principal es
constante.
Considerando la definicin de elipse: La elipse es el conjunto de puntos de un plano tales
que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante e igual . Cada punto
fijo se llama foco. | | | | (Figura 20: la elipse como lugar geomtrico)
Obtenemos las ecuaciones cartesianas que la describen.
| | , | |
+
Como
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Si es la constante en la definicin, si los focos se encuentran en y si
, entonces su ecuacin de la elipse es:
Elementos de una elipse
1.-Los puntos A, A, B, B se llaman vrtices de la elipse.
2.- El valor de se conoce como semieje mayor, se llama semieje menor y como semi
distancia focal.
3.-las cuerdas focales perpendiculares al eje focal de esta elipse se conocen como lado recto
(latus rectum) de la elipse y su longitud es igual a
.
DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 2
En figura adjunta, el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al
plano secante ambas esferas tienen su centro sobre el cono y son tangentes a
este a lo largo de las circunferencias situadas en planos normales al eje del cono.
Figura 22: Teorema de las esferas de Dandelin
se puede deducir otra propiedad: el plano de la elipse corta a los planos de las
circunferencias de las dos esferas de Dandelin segn rectas directrices )
si los puntos y el vrtice principal de la elipse giran alrededor del eje del
cono hasta situarles paralelamente al plano de proyeccin , como son los segmentos
se tiene = para la distancia espacial
del punto a la directriz , que se proyecta en su verdadera magnitud , en virtud de la
semejanza de tringulos, se tiene:
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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La razn entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la
distancia de la directriz correspondiente, es igual a la razn entre 2e de los focos y la
longitud 2a del eje mayor. La relacin e: a es lo que se denomina excentricidad de la elipse
A partir de la definicin:
Una elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P del plano tal que la razn de la
distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la
cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. Se generan las
ecuaciones polares y cartesianas que la describen como se explica a continuacin.
Primero se obtendr una ecuacin polar del conjunto de los puntos descritos. Considere
que denota el punto fijo y representa la recta fija. Se toma como polo a y el eje
polar y su prolongacin a .
Se considerara el caso en que la recta esta a la izquierda del punto . Sean D el punto
de interseccin de con la prolongacin del eje polar y, la distancia no dirigida de a .
Sea cualquier punto del conjunto a la derecha de y en el lado terminal del ngulo
( Figura 23: eje polar)
Figura 23: eje polar
El punto P est en el conjunto descrito si y solo si:
| | | |
Como P est a la derecha de ; adems porque
Sin embargo , y como + , se tiene , al sustituir
esta expresin para , se obtiene:
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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), Despejando
Obteniendo la ecuacin Polar de la elipse el caso en que la recta esta a la izquierda del
punto
(1)
Con el fin de determinar una ecuacin cartesiana de la elipse a partir de la ecuacin Polar
(1) se reemplaza el por
as:
Ahora al sustituir , resulta
Elevando al cuadrado
Como
Para completar cuadrados se agregan
en los dos
miembros de la ecuacin anterior
(
)
Se divide por
( )
( )
Donde
Ahora considere
donde a>0 ,
Entonces la ecuacin de la elipse se puede expresar:
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Si entonces y puede considerarse donde
.
La ecuacin de la elipse que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en (h, 0) donde
h>0 es:
Ecuacin cartesiana de una cnica central que tiene su eje principal sobre el eje x y su
centro en el origen
,
Donde , los focos son F , las ecuaciones de la directriz:
.
Figura 24: ecuacin de la elipse, a partir del valor de e
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CONSTRUCCIN DE LA CURVA A PARTIR DE SU ECUACIN
A partir de la ecuacin:
, se deduce despejando y
Podemos decir:
a) la curva consta de dos ramas dadas por las funciones
b) la curva est definida solamente para valores de x comprendidos en el intervalo
c) la curva est definida solamente para valores de y comprendidos en el intervalo
d) Interseccin con los ejes: cuando se obtiene los puntos de interseccin de la
curva con el eje y, . cuando se obtiene los puntos de
interseccin de la curva con el eje x , .
e) Simetra: comparamos ; y la ecuacin no varia, entonces, la curva
es simtrica respecto a los ejes y al origen.
f) Tabla de valores : obteniendo las simetras es suficientes dar valores a x entre
Teniendo en cuenta, que una ecuacin de un lugar geomtrico plano es una
ecuacin de la forma cuyas soluciones reales para valores
correspondientes de son todas coordenadas de puntos que satisfacen la
condicin geomtrica dadas que definen el lugar geomtrico.
De esta forma se puede obtener la curva representada por la ecuacin
, donde el conjunto solucin es
Figura 25: elipse en el plano cartesiano
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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DADO LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMTRICO HALLAR EL CONO DE
REVOLUCIN
A partir de la definicin de elipse como, un conjunto de puntos de un plano tales que la
suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se llama foco.
(ver Figura 25: elipse en el plano cartesiano)
Usando el teorema de Dandelin: Todo plano tangente a una esfera inscrita en un cono
circular recto, determina en este una cnica, cuyo foco es el punto de tangencia y cuya
directriz es la interseccin del plano tangente con el plano que contiene a la circunferencia
de contacto entre el cono y la esfera., podemos encontrar un cono circunscrito a una
esfera tangente en unos de sus focos.
Figura 26: La elipse en el espacio
Existen infinitos conos de revolucin que contiene una elipse, dependiendo de las esferas
que se elijan, estas no puede tener radio cero, ni crecer indefinidamente.
En los conos de revolucin que contienen una elipse dada, el lugar geomtrico de sus
vrtices es una hiprbola situada en un plano perpendicular al plano de la cnica que
contiene al eje y tiene por vrtices los focos de la elipse y por focos los vrtices de la elipse
.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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LA ELIPSE DESDE EL ESPACIO AL PLANO
A continuacin presentaremos algunos casos particulares de la elipse como seccin
cnica, a partir de las ecuaciones de cono circular centrado en el origen del espacio, y un
plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices, con el fin de mostrar, la obtencin
de la ecuacin de la elipse a travs de herramientas algebraicas y luego graficar la curva
representada por la ecuacin.
La elipse como seccin cnica se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna
generatriz.
La ecuacin de una de las superficies cnicas en el espacio (ver Figura 27: superficie cnica),
es en sistema tridimensional.
Figura 27: superficie cnica
La ecuacin de un plano no paralelo a ninguna de las rectas generatrices es:
, La elipse se determina al intersectar el cono circular recto con el plano,
para obtener la ecuacin resolvemos el siguiente sistema de ecuacin.
Como y son mayores a cero la ecuacin corresponde a una Elipse
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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Ejemplo: Ecuacin del cono: , Ecuacin de un plano que intersecta al
cono :
En forma grfica
Figura 28: la elipse como una seccin cnica
de forma analitica
Sistema de ecuaciones:
Ecuacin de la elipse en el plano: ( Figura 29)
Figura 29: representacin de la elipse en el plano
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDCTICA DE LA
MATEMTICA
Tambin se reportarn investigaciones en Didctica de la Matemtica que tengan relacin
con nuestro objeto de investigacin, ya sea, en el tema a estudiar o bien en que los
resultados obtenidos entregan informacin relevante para sustentar nuestra problemtica.
A continuacin se reportan dos investigaciones en Didctica de la Matemtica
relacionadas con nuestra problemtica sobre el concepto elipse. Se describe la naturaleza
de la investigacin, sus objetivos y resultados.
Contreras, Contreras & Garca (2002) realizan un estudio sinttico analtico de las
construcciones de la elipse , ofreciendo una propuesta integradora donde es posible
abordar la elipse desde una doble perspectiva. Su inters se produce al observar que en la
mayora de los textos de Bachillerato se da, casi exclusivamente, un enfoque analtico a las
secciones cnicas. Si bien la propuesta est basada en el plano cartesiano, consideramos
que entrega referentes para la comprensin de la elipse como lugar geomtrico
Del castillo (2004), propone un estudio de la elipse a travs de distintas representaciones,
utilizando la teora de Duval, aprovechando los ambientes de la calculadora simblica
Voyage 200 de Texas instruments(Figura 30). Como recurso didctico, partiendo del hecho
que la visualizacin dinmica puede favorecer los procesos de abstraccin y
generalizacin.
Figura 30: la elipse, Texas instruments
Destacamos de la investigacin, las formas que se proponen para construir la elipse como
lugar geomtrico, donde la suma de los puntos de ella a dos puntos fijos (focos) es
constante, lo cual se puede evidenciar fcilmente utilizando software de geometra
dinmica.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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CAPTULO III:
MARCO TERICO:
LOS MODOS DE
PENSAMIENTO.
La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012
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JUSTIFICACIN DEL MARCO TERICO
Desde nuestros objetivos de investigacin, realizamos la eleccin del marco terico: los
modos de pensamiento propuestos por Anna Sierpinska (2000), porque nos provee de
elementos tericos para describir la forma en que los estudiantes comprenden los objetos
matemticos, en este caso, la elipse. Tambin permite explicitar los enfoques (analticos,
geomtricos o estructurales) que priorizan los estudiantes al momento de desarrollar
distintas tareas y cules son las conexiones que logran establecer entre ellos. Aunque este
marco terico nace y se desarrolla para dar respuestas a problemticas propias del mbito
del lgebra lineal, con nuestra investigacin pretendemos abrir una va de acceso de la
teora al estudio de objetos de otros mbitos de la matemtica
DESCRIPCIN DEL MARCO TERICO
Sierpinska (2000) distingue tres modos de pensamiento: uno que tiene que ver con el
pensamiento prctico (sinttico-geomtrico) y otros dos que tienen que ver con el
pensamiento terico (analtico-aritmtico y analtico-estructural). Segn Sierpinska (2000)
el modo sinttico-geomtrico surge primero y de manera subsiguiente el analtico-
aritmtico y el analtico-estructural. Se podra decir que el desarrollo del lgebra lineal es
en cierto sentido el resultado de una tensin entre los modos de razonamiento. Para la
enseanza, la pregunta no es cul modo de razonamiento vale ms para fomentar en el
estudiante, sino cmo llevar a los estudiantes al uso flexible y consciente de ellos. Ms que
ver los modos de razonamiento en el lgebra lineal como niveles en el desarrollo del