AR ITMÈT ICA I ÀLGEBRA
L’ordre i la regularitat de les seves estructures, la potència i la precisió delsseus mecanismes fan que en tota excursió pel camp numèric trobem bellesa
i eficàcia.
BLOC I
1 EL NOMBRE REAL
COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ
Per obtenir una fracció equivalent a un nombre decimal exacte, només cal interpretar correcta-ment la part decimal. Per exemple:
27,8025 = =
El denominador de la fracció irreductible corresponent només té els factors 2 i 5 (400 = 24 · 52).
Troba la fracció irreductible equivalent als nombres decimals següents idescompon els seus denominadors en factors primers.
a) 6,388
b) 0,00875
Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres deci-mals exactes.
a) b) c) d) 57 33010 500
2 · 32 · 5 · 7 · 9122 · 3 · 53 · 7
31471250
3741100 000
11 121400
278 02510 000
COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL PER IÒDIC EN FORMA DE FRACCIÓ
En calcular la fracció generatriu d’un decimal periòdic s’obtenen, multiplicant-lo per potències de 10, dos decimals amb un període idèntic. La diferència que hi ha és un nombre enter.
El denominador de la fracció irreductible equivalent a un decimal periòdic té algun factor diferentde 2 o 5.
Exemple 1r:
N = 7,31)
100 N = 731,3131…
N = 7,3131…100 N – N = 731 – 7 → N =
Exemple 2n:
N = 5,3724)
10 000 N = 53 724,724724…
10 N = 53,724724…N = =
Troba la fracció generatriu de: a) 0,0)51 b) 1,23
)456 c) 7,45
)6
Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimalsperiòdics.
a) b) c) 22 · 3 · 5 · 112 · 3 · 52 · 19
372 · 5 · 7
37
53 6719990
53 724 – 5310 000 – 10
72499
A dalt hi ha l’esquema que engloba tots els nombres, racionals i no racionals. En aquesta uni-tat els estudiarem detalladament. Comença classificant alguns nombres seguint l’esquema an-terior.
La llista següent consta de tots els nombres escrits a la pissarra i d’alguns més:
0; 4; –11; 0,31; ; ; ; ; ; ; – ; ; ; 7,31)
; π ; –
Classifica’ls en una graella com la següent en el teu quadern. Has de tenir en compte que unmateix nombre es pot incloure en més d’un conjunt.
59181
3
1–813–24
4246
3
1574
34
12
REFLEX IONA ET CONVÉ RECORDAR
NATURALS (N)
ENTERS (Z)
RACIONALS (Q)
NO RACIONALS
}
RACIONALSQ
NATURALSN
(enters positius)
0 ; 4 ; — ; √81246
?ENTERS
NEGATIUS
ENTERSZ
–11 ; — ; 3√–8–244
NO RACIONALS √2 ; –√3 ; 3√5 ; π …
FRACCIONARIS(racionalsno enters)
0,31 ; — ; 7,31 ; — …–59
34
ACTIVITATS
1.1 Justifica que aquestes construccions donen unsegment la mida del qual és igual al nombre d’or,
F = = + .
1.2 Volem demostrar que F és irracional. Sabemque 1
–5 ho és (per la mateixa raó que 1
–2). Ob-
serva que:
F = → 2F = 1–5 + 1 → 1
–5 = 2F – 1
A partir de la igualtat 1–5 = 2F – 1, què dedui-
ríem si F fos racional?
1–5 + 12
12
1–5
21–5 + 12
1
1
1
1312
NOMBRES IRRACIONALS1 EL NOMBRE D’OR: F =
La diagonal d’un pentàgon el costat del qual és igual a la unitat és el nombre(1
–5 + 1): 2 que, evidentment, és irracional. A més, és, històricament, el
primer nombre del qual es va tenir consciència que ho era.
Al segle V aC els grecs pitagòrics van descobrir amb sorpresa (i gairebéamb espant) que la diagonal del pentàgon i el seu costat no mantenienuna proporció exacta. Fins aleshores es deia que tot l’Univers es regia pelsnombres naturals i les proporcions entre aquests (fraccions), però en des-cobrir que no era així els va semblar que el caos treia el nas al seu món. Peraixò van anomenar irracional (contrària a la raó) aquesta relació entre ladiagonal i el costat del pentàgon regular.
Més endavant, els mateixos grecs van considerar que la proporció F:1era especialment harmoniosa, per la qual cosa la van anomenar proporcióàuria i van batejar F amb el nom de nombre auri.
El nombre F (fi, lletra F en grec) és la inicial de Fídies, escultor grec queva utilitzar reiteradament aquesta proporció.
EL NOMBRE p
Com ja sabem, p és la relació entre la longitud d’una circumferència i elseu diàmetre. Aquest nombre el coneixes i l’utilitzes des de fa molts anys.Concretament, has fet servir aquestes aproximacions del nombre p: 3,14(arrodonida per defecte) o 3,1416 (arrodonida per excés).
Una calculadora et donarà el valor de p (p sol compartir tecla ambEXP), amb moltes xifres {«Ÿ‘¢‘∞£“\∞«∞£}. Es tracta d’un nombreirracional i, per tant, té infinites xifres decimals no periòdiques.
p és la lletra grega corresponent a la P. Per què aquest nom? La paraulagrega perifereia significa ‘circumferència’ (la perifèria del cercle).
15 + 12
Els nombres racionals són els que es poden escriure com a quocient dedos nombres enters. La seva expressió decimal és exacta o periòdica.
Els nombres irracionals són els no racionals, és a dir, els que no poden obte-nir-se com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal ésinfinita no periòdica. N’és un exemple el nombre p = 3,14159265359…
Hi ha infinits nombres irracionals, alguns dels quals són especialment in-teressants. Vegem-ne alguns.
LA DIAGONAL DEL QUADRAT: EL NOMBRE 1–2
El teorema de Pitàgores ens proporciona el valor de la diagonal d’un qua-drat el costat del qual mesura 1: d = 1
–12 +
–12 = 1
–2
Demostrarem, ara, que 1–2 és irracional, és a dir, que no es pot escriure
com a quocient de dos nombres enters. Ho farem per reducció a l’absurd,que consisteix a suposar que sí i veure que s’arriba a un absurd.
— Suposem que 1–2 és racional.
— En aquest cas, es podria escriure com a quocient de dos nombres en-
ters: 1–2 =
— Elevem al quadrat els dos membres: 2 = → a2 = 2b2
Com que b2 és un quadrat perfecte, conté el factor 2 un nombre parellde vegades. Per tant, 2b2 té el factor 2 un nombre senar de vegades, laqual cosa és impossible ja que 2b2 = a2 és un altre quadrat perfecte.
D’aquesta manera completem el raonament següent: «Si suposem que 1–2 és
racional, arribem a l’absurd.»
I així hem demostrat, per reducció a l’absurd, que 1–2 no és racional.
ALTRES IRRACIONALS EXPRESSATS MITJANÇANTRADICALS
D’acord amb el que hem vist per a 1–2, si p no és un quadrat perfecte, 1
–p
és irracional. I, en general, si p no és un potència n-èsima exacta, n
1–p és un
nombre irracional.
Per exemple, 1–5,
31–9 i
51–10 són nombres irracionals. També ho són 1
–5 + 3,
31–9 : 7 i 4 –
51–10.
Provem que si 51–10 és irracional, aleshores també ho és 4 –
51–10:
— Anomenem N = 4 –51–10 → 5
1–10 = 4 – N.
— Si N fos racional, 4 – N també ho seria. És a dir,51–10 ho seria, la
qual cosa és falsa.
a2
b2
ab
El resultat de sumar, restar, mul-tiplicar o dividir nombres racio-nals és, també, un nombre ra-cional.
RECORDA
En la descomposició en factorsprimers d’un quadrat perfecte,cada nombre primer hi és unnombre parell de vegades. Perexemple:
N = 22 · 3 · 53
N 2 = (22 · 3 · 53)2 = 24 · 32 · 56
Tots els exponents de N 2 sónparells.
T INGUES EN COMPTE
Repeteix el raonament anteriorper provar que 1
–3 és irracional.
FES-HO TU
Segueix el raonament que hemfet servir a la dreta i demostraque 31
–7 + 15 és irracional.
FES-HO TU
1
11–2
d
l
= Φdl
DUES CONSTRUCCIONS DEL NOMBRE F
1
1—2
1—2
1
1—2
1_5—
2
A diferència de 1–2, 1
–5, F i
altres nombres irracionals, elnombre p no es pot represen-tar de forma exacta.
2r
L
= πL2r
1
1514
ELS NOMBRES REALS2El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena con-junt de nombres reals i es designa per Á. Així doncs, l’esquema de la pri-mera pàgina de la unitat es pot ampliar i completar de la manera següent:
Amb els nombres reals podem fer les mateixes operacions que amb elsnombres racionals: suma, resta, multiplicació i divisió (excepte amb el ze-ro), i es mantenen les mateixes propietats.
També podem extreure arrels de qualsevol índex (excepte arrels d’índexparell de nombres negatius) i el resultat continua sent un nombre real.Això no passava amb els nombres racionals.
LA RECTA REAL
Els nombres racionals, com ja sabem, se situen en la recta de manera den-sa, és a dir, de manera que en cada tram, per petit que sigui, n’hi ha infi-nits. No obstant això, i encara que sembli estrany, hi ha infinits forats en-tre aquests nombres, que són ocupats pels nombres irracionals. Entre totsomplen la recta.
Naturals N → 0; 4; ; 1–121
Enters negatius → –11; – ; 31––827
3
246Enters Z
Fraccionaris → 5,84; ; 5,)83; – 3
1074
Racionals QReals Á
No racionals → 1–2; 1
–3; F; p; – 1
–5 + 2; 2 + 1
–3
5
Si en una recta situem un origen (el zero, 0) i marquem la longitud uni-tat, a cada punt li correspon un nombre racional o un nombre irracio-nal, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real. Peraixò la recta numèrica rep el nom de recta real.
Observa com es representen en la recta alguns nombres racionals i irra-cionals:
Entre cada dos nombres racio-nals hi ha altres infinits nom-bres racionals.
La recta real és completa, és adir, a cada punt de la recta li cor-respon un nombre real i a cadanombre real, un punt de la recta.
1.3 Representa , – i . 1.4 Justifica la construcció de 1–2, 1
–3 i 1
–10. Re-
presenta 1–11 i 1
–17 (Observa que 17 = 42 + 12).
267
57
57
ACTIVITATS
0 1 2 3 2 3 45 100 1 2 34—5
2 +
4—5
2 +14—5
=
REPRESENTACIÓ DE NOMBRES SOBRE LA RECTA REAL
Com hem vist en pàgines anteriors:
— Els nombres racionals es poden representar mitjançant una expressiódecimal finita o periòdica.
— Els nombres irracionals s’expressen mitjançant infinites xifres decimalsno periòdiques.
Tot nombre real pot situar-se en la recta real, depenent de com sigui elnombre:
• Enter o decimal exacte. Per exemple, 3,47:
• Decimal periòdic. Pot expressar-se en forma de fracció i, d’aquesta ma-nera, se situa fàcilment en la recta.
Per exemple: 0,83333… = 0,8)3 =
• Si un nombre irracional és radical quadràtic ( , …) o una combi-nació d’aquests, es pot representar mitjançant la construcció de trianglesrectangles, com hem vist anteriorment.
• Si un nombre irracional ve donat per la seva expressió decimal, podemrepresentar-lo de manera aproximada mitjançant el procés que descri-vim a l’esquerra per representar = 1,732…
El nombre està situat en el segment vermell, que és una centèsimapart de l’interval 1,7 – 1,8. En la recta inicial seria més fi que la pun-ta d’una agulla, però encara podríem seguir afinant més, tant comvolguéssim.
13
13
11012
56
Els nombres reals poden ser expressats en la recta real, segons els casos,de manera exacta o bé amb tanta aproximació com vulguem.
1
5—60 1
0 1 2
1,7 1,8
1,73 1,732 1,74
0 3 10
10
1
5—60 1
0 1 2
1,7 1,8
1,73 1,732 1,74
0 3 10
10
1
5—60 1
0 1 2
1,7 1,8
1,73 1,732 1,74
0 3 10
10
–1 0 1 2 3
3,4 3,47
4
3,5
1.5 Representa en la recta real aquests nombres:
a) De manera exacta: –2; 3,75; ; 0,666…15
ACTIVITATS
b)Φ de manera exacta ( ) i de manera
aproximada (1,618…).
1 + 1–5
2
0 1
1
1716
SEMIRECTES
(–`, a) són els nombres més petits que a: {x / x < a}.
(–`, a] són els nombres més petits que a i el mateix a: {x / x < a}.
(a, +`) són els nombres més grans que a: {x / x > a}.
[a, +`) són els nombres més grans que a i el mateix a: {x / x > a}.
Les seves representacions són aquestes:
Per exemple:
(–`, 2) és el conjunt dels nombres més petits que 2, sense incloure-hi el 2:
{x / x < 2} →
[2, +`) és el conjunt dels nombres més grans que 2, incloent-hi el 2:
{x / x > 2} →
RECTA REAL
La mateixa recta real es representa en forma d’interval així: Á = (–`, +`).
EXERCICI RESOLT
1. Expressem en forma d’interval i representem:
a) 2 < x << 3, b) x << 1, c) x > 0
a) Interval semiobert (2, 3]
b) Semirecta (–`, 1]
c) Semirecta (0, +`)
2. Expressem en forma de desigualtat i representem:
a) [–2, 0], b) [–1, +`], c) (0, 1)
a) {x / –2 < x < 0}
b) {x / x > –1}
c) {x / 0 < x < 1}
3. Per a quins valors de x són vàlides les expressions següents?
a) , b)
a) es pot calcular sempre que x valgui 3 o més: semirecta [3, +`).
b) L’arrel quadrada es pot calcular quan el radicand és zero o positiu.I això passa quan un dels factors és zero, quan tots dos són negatiuso quan tots dos són positius. És a dir, si x < –2 o si x > 3.
(–`, –2] < [3, +`]
1x – 3
1(x + 2) (x – 3)1x – 3
INTERVALS I SEMIRECTES3Per designar alguns trams de la recta real, hi ha una nomenclatura quehem de conèixer.
INTERVAL OBERT
L’interval obert (a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entrea i b, sense incloure-hi ni a ni b: {x / a < x < b}. Es representa així:
Per exemple, l’interval (–2, 1) és el conjunt de tots els nombres compresosentre –2 i 1, sense incloure-hi ni el –2 ni l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva re-presentació és aquesta:
INTERVAL TANCAT
L’interval tancat [a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entrea i b, incloent-hi aquests: {x / a < x < b}. Es representa així:
Per exemple, l’interval [–2, 1] és el conjunt de tots els nombres compre-sos entre –2 i 1, incloent-hi el –2 i l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva re-presentació és aquesta:
INTERVAL SEMIOBERT
L’interval (a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b,incloent-hi b, però no pas a: {x / a < x < b}. Es representa així:
L’interval [a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b,incloent-hi a, però no pas b: {x / a < x < b}. Es representa així:
Per exemple, l’interval (3, 4] és el conjunt de tots els nombres compresosentre 3 i 4, incloent-hi el 4, però no pas el 3: {x / 3 < x < 4}. La sevarepresentació és aquesta:
L’interval [3, 4) és el conjunt de tots els nombres compresos entre 3 i 4,incloent-hi el 3, però no pas el 4: {x / 3 < x < 4}. La seva representacióés aquesta:
a b
a b
–2 1
–2 1
a b
3 4
3 4
(a, b) = {x / a < x < b}
INTERVAL OBERT
(–`, a) = {x / x < a}
(–`, a] = {x / x < a}
(a, +`) = {x / x > a}
[a, +`) = {x / x > a}
SEMIRECTES
a b
[a, b] = {x / a < x < b}
INTERVAL TANCAT
(a, b] = {x / a < x < b}
[a, b) = {x / a < x < b}
INTERVAL SEMIOBERT
a ba b
a b
a b
a aa a
2
a
a
a
a
1
0
3
2
2 3
–2 0
–1
–2 0 1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
1.6 Escriu en forma d’inter-val i representa els nombresque compleixen les condi-cions indicades en cada cas.
a) Compresos entre 5 i 6,incloent-los tots dos.
b)Més grans que 7.
c) Més petits o iguals que–5.
1.7 Escriu en forma d’inter-val i representa.
a) {x / 3 < x < 5}
b) {x / x > 0}
c) {x / –3 < x < 1}
d) {x / x < 8}
1.8 Escriu en forma de des-igualtat i representa.
a) (–1, 4)
b) [0, 6]
c) (–`, –4)
d) [9, +`)
ACTIVITATS
(–`, a) (–`, a] (a, +`) [a, +`)
1
1918
ARRELS I RADICALS4 POTÈNCIES I ARRELS AMB CALCULADORA5
POTÈNCIES I ARRELS SENZILLES: x$h$Totes les calculadores científiques tenen les tecles x i $. Moltes tenentambé les tecles h i $, malgrat que aquestes acostumen a ser-hi com a sego-na funció (és a dir, fora de la tecla i, per tant, han de ser precedides per s).
Per exemple:
2472 → 247 x{∫∫\‘…≠≠£}4,83 → 4,8 h{∫‘‘≠…∞£“}1—247 → $ 247 ={‘∞Ÿ|‘\“««\¢}
31—4,8 → $ 4,8 ={‘Ÿ\°\°\∞««≠\}
Si en la pantalla hi ha un nombre l’arrel quadrada del qual vols calcular,abans de prémer la tecla $ hauràs de prémer la tecla =.
Per exemple: {∞°…¢≠«} =$={“¢‘Ÿ\\|‘“\¢«\}
POTÈNCIES D’ ÍNDEX QUALSEVOL: ‰ (O BÉ h)
17,845 → 17,84 ‰ 5 ={‘°≠|≠\\Ÿ£|£°¢}42,5 → 4 ‰ 2,5 ={∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫«“}
ARRELS D’ ÍNDEX QUALSEVOL: $ (O BÉ $)
Atenció, aquí l’ordre en què intervenen l’índex, el radicand i la tecladepèn molt de la calculadora. Per exemple:
5$2 ={∫∫∫∫∫“}51—32
$5 © 32 =51—32
2
Fins i tot hi ha calculadores amb la tecla $, i aleshores cal prémer aquestestecles:
51—32 → 32 $5 ={∫∫∫∫∫“}
CÀLCUL D’ARRELS AMB LA TECLA DE POTÈNCIA ‰51—32 = 321/5 → 32 ‰ 5 Y={∫∫∫∫∫“}
51—323 = 323/5 → 32 ‰ 3 h 5 ={∫∫∫∫∫°}ab/c
y
y
Mn
x
Mnx
x n
3
x 3
3x 3
3x 3
Quan facis servir expressions com aquesta, de vegades hauràs de calcular-ne el valor numèric, per a la qual cosa hauràs de tenir en compte la defini-ció, com en el cas de les que es proposen al marge, o bé hauràs de recórrera la calculadora. Altres vegades, però, hauràs de mantenir el radical, sim-plificar-lo, operar amb altres radicals, etc. En el pròxim apartat ens dedi-carem a això.
ALGUNES PECUL IARITATS DE LES ARRELS
• Si a > 0, existeix, sigui n el nombre que sigui.
• Si a < 0, només existeixen les seves arrels d’índex senar.
• Tot i que 4 té dues arrels quadrades, amb ens referim només a la po-
sitiva: = 2. En general, un nombre positiu, a, té dues arrels quadra-
des: i –
FORMA EXPONENCIAL DELS RADICALS
Els radicals es poden expressar com a potències:
= a , ja que (a )n = a = a
= a , ja que = (am) = am ·
= a
Per exemple:
( )2 = ( )2 = (33/6)2 = 36/6 = 3
= = 26/3 = 22 = 43
1263
164
6
1336
127
mn
1n
1nn
1ammnn
1am
nn
1n
1nn
1a
1a1a14
14
n
1a
S’anomena arrel n-èsima d’un nombre a, i s’escriu , un nombre bque compleix la condició següent:
= b si bn = as’anomena radical; a, radicand, i n, índex de l’arrel.
n
1a
n
1a
n
1a
1.9 Expressa en forma exponencial.
a) b) ( )5
c) d)
e) f )
1.10 Calcula: a) 41/2 b) 1251/3 c) 6251/4
d) 82/3 e) 645/6
1.11 Expressa en forma radical.
a) x7/9 b) (m5 · n5)1/3
c) a1/2 · b1/3 d) [(x2)1/3]1/5n
1m1—ak
3
11–x
1a13
a6
15
1a6
3
1x25
1x
ACTIVITATS
Fes aquestes operacions amb la calculadora:
1.12 a) 1—54 b) 3272 c)
31—8,53
1.13 a) 51—8,24 b)
61—586 c)
41—
79,46
1.14 a) 51—372 b)
41—2,15 c)
31—
0,0082
1.15 Calcula les arrels de l’activitat 1.13 amb la tecla‰ (per exemple, 8,24 ‰ 5 Y =).
1.16 Calcula les arrels de l’activitat 1.14 amb la te-cla ‰ (per exemple, 37 ‰ 2 h 5 =).ab/c
ACTIVITATS
1. Digues el valor de k en cada cas.
a) = 2 b) = –3
c) = d) = 2
2. Calcula les arrels següents.
a) b)
c) d)
e) f ) 3
11254
181
8
105
1–32
5
1323
1–8
k
1102423
4
1k
k
1–2433
1k
CÀLCUL MENTAL
= a
= amnn
1am
1nn
1a
Hi ha calculadores antigues queho fan al revés:
1—247 → 247${‘∞Ÿ|‘\“««\}
$ en les calculadores de panta-lla senzilla.
$ en les calculadores de pan-talla descriptiva.
En algunes calculadores la fun-ció $ s’anomena ≈.y
Mn
y
ATENCIÓ
Recorda:
→→
1
2120
PROPIETATS DELS RADICALS6POTÈNCIA D’UN RADICAL
Per exemple:
( )4 = = 26 = 64
( )3 = =
Hem aplicat la propietat 4 (vegeu el marge).
ARRELS D’ARRELS
Per exemple:
=
=
Hem aplicat la propietat 5 (vegeu el marge).
SUMA I RESTA DE RADICALS
Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és a partir de les seves ex-pressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics.Per exemple:
+
+
Sí que es pot simplificar l’expressió següent:
7 + 11 – = 17
Hi ha casos en què la possibilitat de simplificar una suma de radicals que-da amagada. Prèviament, haurem de treure els factors que puguem fora deles arrels o simplificar-les. Per exemple:
+ – = + – =
= 4 + 3 – 5 = 2
+ = + = 2 + = 31212124
1221234
1418
12121212
152 · 2132 · 2125150118132
15151515
3
1717
1213
12
153
154
1
6
12123
1
5
185
1235
12
1212123
Els radicals tenen una sèrie de propietats que cal conèixer i utilitzar ambsoltesa. Totes són conseqüències immediates de propietats ben conegudesde les potències.
SIMPL IF ICAR RADICALS
Si expressem els radicals en forma exponencial, veiem que, de vegades, espoden simplificar. Per exemple:
= = 32/4 = 31/2 =
Hem aplicat la propietat 1 (vegeu el marge).
REDUIR RADICALS A ÍNDEX COMÚ
Quan volem comparar dos radicals de diferent índex, no sempre és fàcil.Si els expressem amb el mateix índex, és molt més senzill. En realitat, estracta simplement de reduir-los a denominador comú.
Per exemple, per comparar amb , cal fer aquestes operacions:
= 5861/3 = 5862/6 = =
= 701/2 = 703/6 = =
Hem tornat a aplicar la propietat 1 (vegeu el marge).
TREURE FACTORS FORA D’UNA ARREL
Per simplificar alguns radicals i per sumar-los i restar-los, de vegades cal-drà treure factors fora d’una arrel. Vegem-ne alguns exemples:
= = · = 3
= = · · = 22 · 3 · = 12
Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).
AJUNTAR DOS RADICALS EN UN DE SOL
Per exemple: · = =
Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).
COL·LOCAR PRODUCTES I QUOCIENTS DE RADICALSSOTA UNA SOLA ARREL
Per exemple:
· = · = =
= = = =
Hem aplicat les propietats 1, 2 i 3 (vegeu el marge).
126
12328
25
6
16
11626
132
3
1166
132
6
11086
133 · 226
1226
1333
1213
1300115 · 20120115
151515132124124 · 32 · 51720
1212132132 · 2118
6
1343 0006
1703170
6
1343 3966
158623
1586
1703
1586
134
1324
19
= , ja que:
= a p/np = a1/n = n
1anp
1ap
n
1anp
1ap
PROPIETAT 1
( )p= , ja que:
( )p= (a 1/n)p = a p/n =
n
1apn
1a
n
1apn
1a
PROPIETAT 4
= , ja que:
= (a 1/n)1/m = a1/m·n = m·n
1an
1am
1
m·n
1an
1am
1
PROPIETAT 5
Només es poden sumar els ra-dicals idèntics.
RECORDA
= · , ja que:
= (a · b)1/n =
= a1/n · b1/n =
= · n
1bn
1a
n
1a · b
n
1bn
1an
1a · b
PROPIETAT 2
= , ja que: n
1an
1b
n
1ab
PROPIETAT 3
} → > 1703
1586} Només poden solucionar-se de manera aproximada
o bé cal deixar-les indicades.
= ( )1/n= =
n
1an
1ba1/n
b1/nab
n
1ab
1.17 Simplifica:
a) b) c)
d) e) f )
1.18 Quin dels dos és més gran en cada cas?
a) i
b) i
1.19 Redueix:
a) · b) · c)
1.20 Treu del radical els factors que sigui possible:
a) b) c)
1.21 Simplifica:
a) b) c)
d) ( )6 e) ( )3 · ( ) f ) ( )8
1.22 Fes aquestes operacions:
a) + – –
b) + – 127175112
1812150118
12113
1x1x3
1a2
4
1a3b5c1ab3c3
5
11612
193
13
5
1643
181a3b5c3
132x4
10
1a4 b66
133
165
123
13
9
1132 6503
151
3
1134
131
8
1819
1646
18
5
1y1012
1x812
1x9
ACTIVITATS
1
2322
RACIONALITZACIÓ DE DENOMINADORS
Antigament, quan no existien instruments de càlcul com els d’ara, caliaesforçar-se a aconseguir mètodes per facilitar les operacions. Per exemple,
per calcular a mà , es pot fer directament (es poden calcular unes quan-
tes xifres de 1—2 i després dividir 1 entre el resultat). Però els càlculs se
simplifiquen extraordinàriament si es té en compte que:
= =
Si fas l’operació de les dues maneres, veuràs que és molt més avantatjós su-primir el radical del denominador (vegeu-ne el marge).
Malgrat que amb les eines de càlcul senzilles i potents de què disposem ac-tualment no cal, encara tendim a donar els resultats finals dels problemesmitjançant expressions numèriques que no tinguin radicals en el denomi-nador.
En cada cas, ens farem aquesta pregunta: Per quina expressió he de multipli-car el denominador perquè el producte no tingui radicals? Un cop trobadal’expressió, també multiplicarem per aquesta el numerador perquè el re-sultat final no variï.
PRIMER CAS: ARRELS QUADRADES. Per exemple:
= =
SEGON CAS: ALTRES ARRELS. Per exemple:
= = =
TERCER CAS: SUMES I RESTES D’ARRELS. Per exemple:
= = =
= = = = 6 – 21—2
76 – 21
—2
9 – 26 – 21
—2
32 – (1—2)22 · (3 – 1
—2)
(3 + 1—2) · (3 – 1
—2)
23 + 1
—2
1—5 + 1
—3
21—5 + 1
—3
(1—5)2 – (1—3)21 · (1—5 + 1
—3)
(1—5 – 1—3) · (1—5 + 1
—3)
11—5 – 1
—3
5
1—73
7
5
1—73
5
1—75
5
1—73
5
1—72 ·
5
1—73
15
1—72
21—3
32 · 1
—3
1—3 · 1
—3
21—3
El procés pel qual fem desaparèixer els radicals del denominador s’ano-mena racionalització de denominadors.
1—2
21 · 1
—2
1—2 · 1
—2
11—2
112
1—2 = 1,14142...
És més difícil fer la primera ope-ració que la segona:
1,00000000 1,41420100600 0,7071...
01606001918
1,4142 2014 0,7071...
020
I el resultat és el mateix.
OBSERVA
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
L’expressió 1—a – 1
—b s’anome-
na conjugat de 1—a + 1
—b.
I, al revés, 1—a + 1
—b és el con-
jugat de 1—a – 1
—b.
T INGUES EN COMPTE
1.23 Racionalitza els denominadors:
a) b) c) d) e) f ) 32 – 1
—3
41—3 + 1
—2
25
1—32
13
1—2
1—5
1—7
51—2
ACTIVITATS
RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL
Nombres enters
Decimals exactes
N O M B R E S R A C I O N A L S
Es poden expressar com una fracció denombres enters.
Decimals periòdics
Propie ta ts de ls rad ica ls
• =
• = ·
• =
• ( )p =
• = m·n1a
m1 n1–a
n1apn
1a
n1an1b
n
1ab
n1bn
1an1a · b
n1a
np1ap
NOMBRES REALS
Els nombres racionals, juntament amb els irracionals, omplen tota la recta numèrica.
N O M B R E S I R R A C I O N A L S
No es poden expressar com una fraccióde nombres enters.
RADICALS
Arrel n-èsima de a: = b si bn = a Exemple: = 12, ja que 123 = 1 728
Notació exponencial: = a Exemple: = 3 = 3 = 13332
644
136mnn
1am
311 728n
1a
APROXIMACIÓ DECIMAL
A la pràctica, n’hi ha prou d’expressar, tant els nombres racionals com els irracionals, amb unes quantes xifressignificatives.
D E C I M A L S N O E X A C T E S
La seva expressió requereix infinites xifresno periòdiques.Per exemple: , , p, Φ.4
1513
Rac ional i tzac ió de denominadors
Consisteix a eliminar les arrels del denomi-nador.Per exemple:
• = · = =
• = =
= = 3 + 6 1631–2 · 1–3 + 31–2 · 1–23 – 2
31–2 (1–3 + 1–2)(1–3 – 1–2) (1–3 + 1–2)
31–2
1–3 – 1–2
51––22
2
51––22
51–25
51––22
51–22
15123
1518
EXERCIC IS DE LA UNITAT
1
Potències i arrels
1.36 Expressa en forma exponencial.
a) b) ( )3 c) d)
e) ( )–3 f ) g) ( )2 h)
1.37 Expressa com una arrel.
a) 151/2 b) (a2)1/3 c) (x–1)5/4 d) (a1/5)–4
e) (a2/3)1/2 f ) a2 · a1/2 g) (3–2/5)10/3
1.38 EXERCIC I RESOLT
Expressem com a potència de base 2 cadascun delsnombres que van entre parèntesis i fem, després, l’ope-ració.
(161/4 ) · ( ) · ( )Resolució
161/4 = (24)1/4 = 2
= = 22/6 = 21/3 2 · 21/3 · 2–3 = 2–5/3
= = 2–3
1.39 Expressa com a potència única.
a) b) 2 c)
d) e) f ) a
1.40 Soluciona amb la calculadora.
a) b) c) ( )3d) e) 283/4 f ) 8–1/3
g) 0,03–3/2 h) ( )–1
1.41 Expressa com a potència única.
a) b) c)
d) e) f ) ·
Radicals
1.42 Multiplica i simplifica el resultat.
a) b)
c)
1.43 Simplifica els radicals següents.
a) b) c)
d) e) f )
1.44 Extreu factors dels radicals següents.
a) b) c) ( )10
d) e) f )
1.45 Redueix a índex comú i ordena de méspetit a més gran.
a) , , , ,
b) , ,
1.46 Introdueix dins de l’arrel i simplifica.
a) 2 b) 3 c) 2
d) 2 e) f )
1.47 Divideix i simplifica el resultat.
a) b) c) :
d) e) : f )
1.48 Fes aquestes operacions i simplifica’n el re-sultat.
a) · b) ( · ) : ( · )
c) : d) · 3
1184
1274
1106
120
133
123
1312123
14
61204110
231
321
41a41ab
203
4
1512
4
131412
11213
94
3
123
11212
512
4
1
14
3
1231
321
6
1354
1533
124
6
165
154
143
1312
32a3
45b4125a2bc618a5
b41
11—228x2
75y313
116x6
41x5 · x7
3
18
1(x2y2)212
1a4 · b8
10
1a815
12126
153
1a18a3b110ab15a
3
1b23
1b43
1a23
1a16a13a12a
a3
1a
3
1—a2
a2
3
1—a2
a1—a
4
121212
1—125
3
1—25
1a
4
13
1—a7
a4
5
10,0025
4
15–9
149
4
13
1–1735
19,52
1a1
1a2
3
13
1—a8
a2
1—8
3
1—4
14
3
13
1313
123
18
6
1226
14
18
6
14
5
1a104
1a26
1a31a
3
141
—x
8
1a5 · a25
1a23
1x2
2524
PRACTICA
Nombres rea ls
1.24 Expressa en notació científica:
a) 32 · 105 b) 75 · 10–4
c) 843 · 107 d) 458 · 10–7
e) 0,03 · 106 f ) 0,0025 · 10–5
1.25 Digues quins d’aquests nombres són irra-cionals.
– ; 1,73)
; ; π; ;
1.26 Ordena de més petit a més gran. Utilitzal’aproximació decimal.
a) 1,45; 1,)4; b) ; ;
1.27 a) Observa el diagrama i completa en elteu quadern el quadre adjunt.
b)Situa els nombres següents al lloc que corres-pongui en el diagrama i en el quadre.
3,28)
; ; ; –
c) Com s’anomenen els nombres de DEE’D’?
1.28 Classifica aquests nombres segons quepertanyin als conjunts N, Z, Q i Á.
3 –3/4 7,23
–2 π 0 –4
1/3 11/9
2 2,48 18 1 +
–1 1 1,010203…
In ter va ls
1.29 EXERCIC I RESOLT
Expressem en forma d’interval i representem el con-junt M = {x / –3 < x < 4}.
Resolució
M = (–3, 4] és un interval semiobert que inclou el4 i no inclou el –3.
1.30 Escriu simbòlicament i representa els in-tervals següents.
A = {x / –6 < x < 3} B = {x / –4 < x < 4}
C = {x / 3 < x } D = {x / 0 < x < 5}
E = {x / x > –2} F = {x / 10 > x }
1.31 Escriu en forma d’interval o semirecta i re-presenta els nombres que compleixen la desigualtatindicada en cada cas.
a) 0 < x < 1 b) x < –3 c) x > 0
d) –5 < x < 5 e) –5 < x f ) 1 < x < 3
1.32 Escriu en forma de desigualtat i represen-ta els intervals següents.
P = (1; 2,5) Q = [–2, 3] R = [–7, 0]
S = [–3, +`) T = (2, +`) I = (–5, 2]
1.33 a) Representa les semirectes A = (–`, 2] i
B = [–2, +`) en una mateixa recta.
b)Quins són els nombres que pertanyen a totesdues semirectes?
c) Expressa en forma d’interval la part comuna a Ai B, (A > B).
1.34 Representa en la recta real.
a) (–`, –1] < [3, +`]
b) (–`, 2] < (7, +`)
1.35 Per a quins valors de x són vàlides les ex-pressions següents?
a) b) c) 12x – 113 – x1x – 54
1–5
12
1–53
1–1
12
1918147
139
3
131212
1 + 1–5
219133
4
A
2
2
–3
–19
–458
14,2
0,121221...
π
17108
– 6
1 – 3 — 2
7 — 3
18 – — 5
0,37
B
B'
C
C'
D
D'
E
E'
ABB' 2, 17,
A…
–3 0 4
NZQÁ
EXERCIC IS DE LA UNITAT
1
1.61 Els costats iguals d’un triangle isòscelesmesuren el doble que la base, la longitud de la qual
és m. Calcula el perímetre del triangle, l’alturai l’àrea. Expressa el resultat en radicals.
1.62 En un cub de cm d’aresta, calcula:
a) La diagonal d’una cara.b) La diagonal del cub.c) El volum del cub.Expressa els resultats en forma radical.
1.63 Redueix a un sol radical.
a) · b) · c)
REFLEXIONA SOBRE LA TEORIA
1.64 Quines d’aquestes arrels no existeixen?
, , , ,
1.65 Escriu un nombre racional i un d’irracio-nal compresos entre els nombres donats.
a) 3,)7 i 3,78 b) i
c) 1–2 i 1
–3 d) i
1.66 Quants nombres racionals hi ha entre 0,)8
i 0,)9? Posa’n exemples i raona la teva resposta.
1.67 Escriu dos nombres racionals, un que si-
gui més gran que i un altre que sigui més petit
que , que es diferenciïn en menys d’una mil·lè-sima.
1.68 Justifica si, en cada cas, els dos radicals sóniguals o diferents.
a) i b) i
c) i d) i
1.69 Explica un procediment per construir unsegment que mesuri exactament cm.
1.70 Calcula el valor de la diagonal en cada cas.
APROFUNDEIX
1.71 Doblega un full DIN A4 i forma un qua-drat. Expressa la diagonal d’aquest quadrat en fun-ció del costat petit, l. Comprova, amb un altre fulligual, que el costat gran mesura el mateix que ladiagonal del quadrat. Quina és la raó entre les di-mensions del full DIN A4?
1.72 Racionalitza i simplifica.
a) b)
c) d)
1.73 Resol i simplifica.
a) ( ) (3 + 21–2) b) – 31
–5
c) (1 – ) : (1 + )1.74 Per a quins valors de x es poden calcular
les arrels següents?
a) b) c) d)
1.75 Si saps que a > 1, com ordenaries elsnombres següents de més petit a més gran?
a, , – , , – 1a + 1
1a + 1
1a
1a
1x2 + 118 – x1–x1x – 2
1–3
1 – 1–3
1–3
1 + 1–3
(1–5 + 1)2
1–5 – 1
1–6 – 1
–3
1–6 + 1
–3
1x + 1x2 – 1
41–15 – 21
–21
21–5 – 1
–7
31–6 + 21
–2
31–3 + 2
2 – 3
123
12
17
6
11254
12512
1166
19
5
1323
1278
1166
18
12
12
4
133
12
6445
7150
4
1–165
12411–16
10,123
1–20
8
1841–3 · 1
–2
6
1a54
1a34
123
122
13
13
27
1.49 EXERCIC I RESOLT
Expressem com un sol radical.
– +
Resolució
Descomponem en factors cada radicand:
= = 3
= = 2 →
= = 4
3 – · 2 + = (3 – 5 + ) = –
1.50 Suma.
a) + – b) 2 + 4 – 7
c) 3 + 4 – +
d) 5 + – 8 +
1.51 Resol.
a) + – b) –
c) + d) –
e) + – f ) –
1.52 EXERCIC I RESOLT
Racionalitzem: a) b)
Resolució
a) Multipliquem numerador i denominador per .
= = =
b) De la mateixa manera multipliquem per 3 – 2.
= =
=
Simplifiquem i comprovem que és igual a .
1.53 Racionalitza i simplifica.
a) b) c) d)
1.54 Racionalitza.
a) b) c) d)
1.55 Racionalitza i simplifica.
a) b) c)
d) e) f )
g) h) i)
PENSA I RESOL
1.56 Troba el valor exacte de l’àrea total i delvolum d’un cilindre de 5 cm de radi i 12 cm d’al-tura. (Expressa’l en funció de p).
1.57 Tallem un sector circular de 120º d’am-plitud d’un cercle la circumferència del qual mesu-ra 30p m. Calcula l’àrea del sector i dóna el seu va-lor en funció de p.
1.58 Calcula l’àrea total i elvolum d’aquest con mitjançantnombres irracionals.
1.59 Calcula l’altura d’un tetraedre regular de8 cm d’aresta. Expressa-la amb radicals.
1.60 Troba el perímetre dels triangles dibui-xats. Expressa el resultat amb radicals.
1–5 – 1
–3
1–5 + 1
–3
1–2
21–2 + 3
1021
–3 – 1
–2
1–3 + 21
–2
1–3 – 21
–2
112 1
–5 + 3
1 + 1–3
1 – 1–3
235 – 1
–2
143 – 1
–2
21 + 1
–2
131–2 + 1
–3
815 – 1
181a5
3315
3115
6112
416
212
12
91–18 – 61
–6 + 61
–6 – 41
–2
(31–3)2 – 22
(3 1–6 + 21
–2) (31
–3 – 2)
(31–3 + 2) (31
–3 – 2)
31–6 + 21
–2
31–3 + 2
13
1–3 + 31
–2
61–3 + 1
–18
2 · 3(1 + 1
–6) 1
–3
2 1–3 1
–3
1 + 1–6
2 1–3
13
31–6 + 21
–2
31–3 + 2
1 + 16213
58
3
11358
3
11241541150
332
5
15
196741
7641
3
123
15415001801320
148175127112
1501321812
118172185133
313413
1723
1743
4173
1752
17
17124 · 71112
17122 · 7128
17132 · 7163
11123
12852
163
26
5 cm
10 cm
1 cm
C
B
A
P
S
R
Q
N
M
1 dn
n
1 d2
21
1 d1
1 d4
4 = 2
1 d3
3
l l l
d
d
1
2928
JOCS PER PENSAR
Rac ionals i i r rac ionals en e l cubEn un cub d’aresta 1, la diagonald’una cara,
k = =
i la diagonal del cub,
d = =
són nombres irracionals.
Esbrina si són racionals o irracionals les distàncies mi n indicades en la figura.
13112 + (1–2)2
12112 + 12
Rec tangles aur i s
Es diu que un rectangle és auri quan els seus costats tenen la proporció divinao àuria. És a dir, que si agafem el costat menor com a unitat, la mida del cos-tat gran és el nombre d’or, Φ = (1 + 1
–5)/2 = 1,618...
Aquests rectangles tenen una propietat ben curiosa: si recolzemun quadrat sobre el costat llarg del rectangle auri, obtenim un al-tre rectangle auri.
Comprova-ho: = + 1 = + 1 = ............... = Φ21–5 + 1
1Φ
1 + ΦΦ
Radis i F ibonacc i
Escriu la sèrie ordenada dels radis de l’espiralque has vist en la pàgina anterior.
R1 = Φ
R2 = Φ + 1
R3 = 2Φ + 1
R4 = 3Φ + 2
R5 = 5Φ + 3
Trobes cap relació entre aquesta sèrie i lasuccessió de Fibonacci?
De lòg ica
Aquí pots veure una sèrie de tres objectes ordenats se-guint un cert criteri:
Quin dels objectes de sota continua la sèrie, seguint aquestmateix criteri?
Esp i ra l i na tura
Si continuem recolzant quadrats –cada cop més grans– en la construcció de l’apartat anterior, obtindrem unasuccessió de rectangles auris sobre els quals es pot dibuixar una espiral formada per arcs de circumferència.
Es tracta d’una espiral molt coneguda en matemàtiques (espiral equiangular o espiral geomètrica). Però el méssorprenent és que existeix de manera espontània i natural en nombroses espècies vegetals i animals (flors, fruits,closques de mol·lusc, etc.)
Calcula el radi dels tres arcs que segueix l’espiral del dibuix.
Dins de l quadratCalcula l’àrea de la zona acolorida.
kd 1
m
n1
A B
CD
12 cm
Φ
Φ
1
1 + ΦΦ
1
1
1 + Φ
Φ2Φ + 1
3Φ + 2
Φ
Ordena de menor a major Va d’espe lmesD’aquestes dues espelmes, la més estre-ta mesura 14 cm i es consumirà del toten 3 hores i mitja. L’altra tardarà 5 ho-res a consumir-se.
Si les deixem cremar, després de dueshores tindran la mateixa alçària. Quinaalçària té ara l’espelma més ampla?
22990000 77330000 889999
332211220011667755 2255 115500
Continua la sèrie ambalguns termes més.
Cases amb parce l · la
Divideix la finca de manera que a cada casa licorrespongui una parcel·la de la mateixa formai mida.
Leonardo de Pisa (1170-1250), tam-bé anomenat Fibonacci (‘fill d’homebo’). El seu pare va ser comerciant icònsul de Pisa a la ciutat de Bugia, al’actual Algèria. Això li va permetreaprendre les matemàtiques dels àrabs,especialment el sistema de numeració
decimal, el qual va contribuir a introduir a Europa. Sel’associa a la famosa sèrie:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
en què cada terme s’obté de la suma dels dos anteriors.Aquesta sèrie té una gran relació amb el nombre auri, Φ.
PROBLEMES D’ESTRATÈGIA
Top Related