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B-1) Flujo de Campo Eléctrico y Ley de Gauss


Profesor Rodrigo Vergara Rojas

Ingeniero Civil Electrónico

Magister en Ingeniería Electrónica

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

INSTITUTO DE FÍSICA

FÍSICA GENERAL ELECTROMAGNETISMO

Módulo B: Ley de GaussMódulo B: Ley de Gauss

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Contenidos a

Comprender

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Competencias a

Desarrollar

�Determinar, a partir del flujo eléctrico, si dentro de una superficie cerrada hay una fuente neta, un sumidero neto o nada.

�Calcular el flujo eléctrico usando la definición Φ= E�A

�Dada una superficie cerrada con una carga encerrada en su interior, calcular dicha carga o el flujo eléctrico a través de la superficie usando la Ley de Gauss.

�Leer, analizar, plantear y resolver problemas relacionados con los temas anteriores.

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Concepto de Flujo

� El flujo (Φ) es una propiedad escalar de cualquier campo vectorial.

� El campo mismo no está fluyendo, sino que es una representación fija del flujo, donde los vectores indican el campo en cada punto.

� La idea es considerar el campo vectorial como un fluido incompresible, estacionario y uniforme.

� Nos resulta conveniente considerar el flujo como una medida del número de líneas de campo que pasan a través de la espira.

Alambre doblado en forma de espira cuadrada de área A colocada en medio de un campo eléctrico uniforme.

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Flujo a través de una Superficie

� Espira puesta en plano perpendicular a la dirección de flujo.

� Las líneas de campo fluyen a través de toda el área encerrada por el alambre

� E: magnitud del campo eléctrico uniforme.

AE ⋅=Φ

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�Espira puesto paralela a la dirección de flujo.

�No pasan líneas de campo a través de la espira.

0=Φ

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� Espira puesta en un ángulo θ con respecto a la dirección de flujo.

� El nº de líneas que pasan por la espira inclinada de área A es el mismo que pasarían por una espira perpendicular de área A�cos(θ)

( ) AEcosAE •=⋅⋅=Φ θ8

Flujo a través de un

volumen cerrado

� En este caso hay que distinguir entre flujo positivo (que sale de la superficie) y flujo negativo (que entra a ésta).

� El vector flujo total sobre una superficie cerrada como la de la figura de abajo está dada por

( ) AEcosAE��

•=⋅⋅=Φ θ

: vector cuyo módulo es el área A y cuya dirección es normal a la superficie hacia fuera de la superficie cerrada

A�

: vector de velocidad de campo en la superficie

E�

∑ •=Φn

nn AE

E�

A�

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volumen cerrado:

Ejemplo� Suposiciones:

El área de A1 es A

el campo de velocidad es uniforme (tiene la misma magnitud y dirección en todas partes)

EAAE 111 −=•=Φ

0AE 222 =•=Φ

( ) EAcosEAAE 3333 ==•=Φ θ

0AE 555 =•=Φ

0AE 444 =•=Φ

0EAEA5

1nn =−=Φ=Φ ∑

=

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volumen cerrado

� En general, el flujo total a través de cualquier superficie cerrada va a ser cero, a menos que hayan dentro del volumen:lugares donde se cree nuevo fluido

(fuentes)

lugares donde se pierda el fluido existente (sumideros)

entrasaletotal Φ−Φ=Φ

0total >Φ

0total <Φ

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�Las fuentes de campo “agregan” campo.

�Las líneas que salen de la fuente son más que las que entran

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�Los sumideros de campo “quitan” campo.

�Las líneas que salen del sumidero son menos que las que entran

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volumen cerrado

� Se puede generalizar el análisis anterior para campos no uniformes y superficies de forma y orientación arbitrarias.

� Se divide la superficie en elementos infinitesimales dA, y se integra

∫ •=Φ AdEtotal

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Flujo de Campo Eléctrico

� Se divide la superficie en elementos de área infinitesimales

� En el círculoθ > 90º

E apunta hacia adentro de la superficie

Flujo entrante (sumidero)

ΦE < 0

∑ ∆=Φ AEE

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� En el círculoθ = 90º

E es perpendicular a la superficie

Flujo nulo

ΦE = 0

∑ ∆=Φ AEE

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� En el círculoθ < 90º

E apunta hacia afuera de la superficie

Flujo saliente (fuente)

ΦE > 0

∑ ∆=Φ AEE

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� Al llevar a límite diferencial la ecuación anterior se llega a la siguiente integral sobre una superficie cerrada S.

∑ ∆=Φ AEE

∫ •=ΦS

E AdE

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Ley de Gauss: Formulación

� SuposicionesColección de cargas positivas y negativas que crean un campo

eléctrico E en una cierta región del espacio.

Se construye en ese espacio una superficie gaussianaimaginaria, que puede o no encerrar a alguna de las cargas

� El flujo total ΦE a través de esta superficie con la carga neta q encerrada por ella es

0S

E0

qAdEq

εε =•⇒=Φ ∫

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+

-

Superficies gausseanas en

un dipolo eléctrico

� Superficie S1

Campo eléctrico sale de la superficie en todas partes

Flujo positivo en toda la superficie.

Carga neta encerrada positiva que actúa

como fuente de campo.

S1

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+

-

Superficies gausseanas

en un dipolo eléctrico

� Superficie S2

Campo eléctrico entra a la superficie por todas partes

Flujo eléctrico negativo en toda la superficie.

Carga neta encerrada negativa que actúa como

sumidero de campo.

S2

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+

-



� Superficie S3

Flujo neto cero.

Entran tantas líneas de campo como las que salen.

La superficie no encierra ninguna

carga.

S3

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+

-



� Superficie S4

Carga neta total cero (cargas negativa y positiva iguales)

Flujo neto cero.

Entran tantas líneas de campo como las que salen.

S4

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Flujo neto de una carga externa

a la superficie gausseana

� Cada línea de flujo que atraviesa una superficie gausseana a partir de una carga exterior a ella entre y sale.

� Su contribución neta al flujo a través de la superficie es cero.

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Superficies gausseanas en

torno a una carga

�En la figura, vemos superficies gausseanasde diversas formas que rodean una carga q.

�El flujo eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies.

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Profesor Rodrigo Vergara Rojas

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