8/18/2019 Aula 01 de Sistemas de Controle I
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Universidade Federal do ABC – UFABC
EN2704: SISTEMAS DE CONTROLE I
AULA 1
ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA E DE REGIME ESTACIONÁRIOPARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
PRO F. DR. ALFREDO D EL SOLE LORDELO
TEL A C HEIA PRÓXIMA
http://fullscreen/http://fullscreen/http://fullscreen/http://fullscreen/http://fullscreen/
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Análise de estabilidade
Considere o sistema dinâmico descrito por
ẋ(t) = f (t, x) (1)
com condição inicial x(0) = x0 cujo ponto de equilı́brio xe é determinado de maneira que f (t, xe) = 0,
∀t ≥ 0.
Considere também S (δ ) uma região que consiste em todos os estados tais que ||x(t) − xe|| ≤ δ e
S (ξ ) a região que consiste em todos os estados nos quais ||x(t) − xe|| ≤ ξ , para todo t > 0.
Figura 1: Análise de estabilidade segundo Lyapunov.
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
para sistemas de primeira ordem
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Análise de estabilidade
• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é estável no sentido de Lyapunov (Figura 1 (a)), se para
cada S (ξ ) houver um S (δ ), de maneira que para toda condição inicial x0 em S (δ ), a trajetória de
estado não deixe S (ξ ) à medida em que t aumenta.
• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é assintoticamente estável (Figura 1 (b)), se for estável no
sentido de Lyapunov e se para toda condição inicial x0 em S (δ ), a trajetória de estado convirja paraxe, sem deixar S (ξ ), à medida em que t aumenta.
• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é instável (Figura 1 (c)), se para algum S (ξ ) e S (δ ), não
importando o quanto pequeno sejam, há sempre uma condição inicial x0 em S (δ ), tal que a trajetória
de estado iniciada neste ponto deixe a região S (ξ ).
Figura 1: Análise de estabilidade segundo Lyapunov.
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
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Introduç ˜ ao
A análise e o projeto de sistemas de controle deve ter uma base de comparação de desempenho
para vários sistemas de controle.
Essa base é estabelecida através de sinais especı́ficos aplicados na entrada desses sistemas de
controle e comparando-se as respostas.
Os critérios de projeto têm como base as respostas dos sistemas a esses sinais ou às alterações
nas condições iniciais.
O comportamento da entrada a que o sistema será submetido com maior freqüência determina
quais sinais de entrada devem ser utilizados na análise das caracterı́sticas do sistema.
Os sinais de entrada para teste geralmente utilizados são as funções degrau, rampa, parábola,
impulso e seno.
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
para sistemas de primeira ordem
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Resposta transitória e resposta estacionária
A resposta temporal de um sistema de controle c(t) é constituı́da de duas partes:
A resposta transitória ctr(t), que vai do estado inicial ao estado final.
A resposta estacionária css(t), que reflete o comportamento do sinal de saı́da à medida em que t
tende ao infinito.
Assim,
c(t) = ctr(t) + css(t)
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
para sistemas de primeira ordem
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau unitário
A relação entre a entrada r(t) e saı́da c(t) de um sistema de primeira ordem é dado pela função de
transferência na formaC (s)
R(s) =
1
T s + 1 (2)
Considere que a entrada r(t) seja a função degrau unitário definida como
r(t) =
1 se t ≥ 0
0 se t
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau unitário
na qual
a1 = s × 1
s(T s + 1)
s=0
= 1 e a2 = (T s + 1) × 1
s(T s + 1)
s=− 1
T
= −T
e, portanto
C (s) = 1s
− T T s + 1
= 1s
− 1s + 1
T
(3)
Aplicando a transformada inversa de Laplace da equação (3), temos que
c(t) = 1 − e−tT para t ≥ 0 (4)
Pela equação (4), a resposta c(t) se inicia em zero e se torna unitária e t = ∞.
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau unitário
Em t = T , a resposta de c(t) alcança, aproximadamente, 63, 2% do valor de estado estacionário, pois
c(T ) = 1 − e−T T = 1 − e−1 = 0, 632
Também temos que
c(2T ) = 1 − e−2 = 0, 865
c(3T ) = 1 − e−3 = 0, 950
c(4T ) = 1 − e−4 = 0, 982
c(5T ) = 1 − e−5 = 0, 993
Na prática, considera-se que o valor de regime permanente é alcançado em quatro constantes de
tempo, ou seja, que a resposta do sistema esteja a menos de 2% do valor de estado estacionário.
A inclinação da reta tangente à curva exponencial de resposta c(t) = 1 − e−tT , em t = 0, é
dc(t)
dt
t=0= −e−
tT
−
1
T
t=0=
1
T e−
tT
t=0=
1
T (5)
e, portanto, quanto menor a constante de tempo T , mais rapidamente o sistema responde.
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau unitário
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
c ( t )
t[s]
63, 2%
86, 5% 95, 0%
98, 2% 99, 3%
Inclinação = 1
T
Figura 2: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada degrau unitário.
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MATLAB
clear
clc
close all
x0=0;
tspan=[0 5];
options=odeset(’RelTol’,1e-12);
[t y]=ode23(inline(’(1/1)*exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1
plot(t,y,’k’)
grid on
xlabel(’t’)
ylabel(’x(t)’)
print -deps h1.eps
% t=linspace(0,5,1000);
% y=1-exp(-t/1);
% plot(t,y,’k’)
% grid on
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
para sistemas de primeira ordem
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Sistemas de primeira ordem: resposta à rampa unitária
Considere que a entrada r(t) seja a função rampa unitária definida como
r(t) =
t se t ≥ 0
0 se t
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Sistemas de primeira ordem: resposta à rampa unitária
Portanto
C (s) = 1
s2 −
T
s +
T 2
T s + 1 =
1
s2 −
T
s + T
1
s + 1T (6)
Aplicando a transformada inversa de Laplace da equação (6), temos que
c(t) = t − T + T e−tT para t ≥ 0 (7)
O sinal de erro é dado por e(t) = r(t) − c(t) = t − t + T − T e−tT = T (1 − e−
tT ) e, portanto, o erro em
regime estacionário é e(∞) = T .
Logo, quanto menor for a constante de tempo T , menor será o erro de regime estacionário para a
entrada rampa.
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
c ( t )
t[s]
Erro de regime estacionárior(t)
c(t)
Figura 3: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa unitária.
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
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MATLAB
clear
clc
close all
x0=0;
tspan=[0 5];
options=odeset(’RelTol’,1e-12);
[t y]=ode23(inline(’1-exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1
plot(t,y,’k’)
grid on
xlabel(’t’)
ylabel(’x(t)’)
print -deps h2.eps
% t=linspace(0,5,1000);
% y=t-1+1*exp(-t/1);
% plot(t,y,’k’)
% grid on
An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao impulso unitário
Considere que a entrada r(t) seja a função impulso unitário definida como
r(t) =
limt0→0
1
t0se 0 < t < t0
0 se t
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Sistemas de primeira ordem: resposta ao impulso unitário
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
c ( t )
t[s]
Figura 4: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada impulso unitário.
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close all
x0=1;
tspan=[0 5];
options=odeset(’RelTol’,1e-12);
[t y]=ode23(inline(’-(1/1ˆ2)*exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1
plot(t,y,’k’)
grid on
xlabel(’t’)
ylabel(’x(t)’)
print -deps h3.eps
% t=linspace(0,5,1000);
% y=(1/1)*exp(-t/1);
% plot(t,y,’k’)
% grid on
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Exemplo
Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98, 2% da resposta a uma entrada em degrau. Su-pondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o
termômetro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10o/min, qual
será o erro apresentado pelo termômetro?
Considerando que o regime permanente é alcançado em quatro constantes de tempo, temos que:
4T = 1 ⇒ T = 1
4 ⇒ T = 0, 25 min
A entrada r(t) é a função rampa dada por
r(t) =
10t se t ≥ 0
0 se t
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Exemplo
Expandindo em frações parciais, temos que
C (s) = 1
T s + 1×
10
s2 =
10
s2(T s + 1) =
b1s
+ b2s2
+ a1
T s + 1
na qual
a1 = (T s + 1) × 10
s2(T s + 1)
s=− 1T
= 10T 2
, b2 = s2
× 10
s2(T s + 1)
s=0 = 10 e
b1 = d
ds
s2 ×
10
s2(T s + 1)
s=0
= d
ds
10(T s + 1)−1
s=0
=
− 10(T s + 1)−2T
s=0= −10T
Portanto
C (s) = 10
s2 −
10T
s +
10T 2
T s + 1 =
10
s2 −
10T
s + 10T
1
s + 1T
Aplicando a transformada inversa de Laplace , temos que
c(t) = 10t − 10T + 10T e−tT para t ≥ 0
O sinal de erro é dado por e(t) = r(t) − c(t) = 10t − 10t + 10T − 10T e−tT = 10T (1 − e−
tT ) e, portanto, o
erro em regime estacionário é e(∞) = 10T = 10 × 0, 25 = 2, 5o.
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Propriedade
A comparação das respostas do SLIT de primeira ordem para essas três entradas mostra que a
derivada de um sinal de entrada pode ser obtida diferenciando-se a resposta do sistema para o sinal
original. Veja as equações (4), (7) e (9).
A resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sistema ao
sinal original e pela determinação da constante de integração a partir da condição inicial de resposta
nula.
Esta é uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT). Os sistemas lineares
variantes no tempo e os sistemas não-lineares não possuem esta propriedade.
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f f
Refer ência principal
Ogata, K.; ”Engenharia de controle moderno“; 4a edição; Pearson & Prentice Hall; 2005.
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