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SUPERFICIE Y REA
IntroduccinLa medida de magnitudes es una tarea muy importante desde el punto de vista
social y cientfico. Desde el inicio de las matemticas hasta nuestros das se viene
haciendo referencia a medidas de diversa ndole. Cabe pensar que una de las
justificaciones del inters de las matemticas deriva de que satisfacen necesidades que los
hombres sienten, relacionadas con las medidas. De hecho, desde la antigedad, los
gobiernos se han preocupado de regular y controlar las unidades de medida y sus usos,
haciendo de ello en ocasiones un instrumento poltico (Kula, 1980). No es de extraar
por tanto que la medida de magnitudes haya estado presente en los distintos planes de
estudios y en las propuestas curriculares oficiales que se han sucedido en el tiempo. En el
Decretos de Educacin Secundaria Obligatoria de matemticas aparece un bloque relativo
a la enseanza de las medidas: Medida, estimacin y clculo de magnitudes (MEC,
1991), con lo que se le ha reconocido una autonoma propia al tema de las magnitudes y
su medida.
De igual forma en los Estndares para la Educacin Matemtica del NCTM
(Ferrini-Mundy y otros, 2000, NCTM 1991), tambin se contempla la medicin como un
tema separado de la aritmtica y de la geometra. Para los grados 6-8 este documento
considera que en la medicin se debe prestar atencin a la comprensin de los atributos,
unidades y sistemas de medidas, as como la aplicacin de una variedad de tcnicas y
herramientas para resolver problemas relativos a la medida de longitudes y reas, entre
las cuales aparecen las frmulas de clculo del rea. Como se observa se propone prestar
ms atencin a estrategias diversas, con vistas a captar los conceptos ligados a las
magnitudes y sus medidas, entre estas estrategias aparece el empleo de frmulas del rea.
Sin embargo, es habitual en nuestros centros enfatizar el empleo de las frmulas
del rea, su memorizacin y aplicacin ocupan una gran parte del trabajo matemtico
dedicado a la medida y la geometra. Para combatir esta tendencia tratemos de
profundizar en las razones de estas recomendacin de los currculos oficiales y de los
Estndares de que adems de "memorizar y manipular frmulas" se atienda
mayoritariamente a otras destrezas y conceptos. Las directrices actuales en la enseanza
de las matemticas, especialmente las surgidas de la consideracin de la matemtica
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como actividad cultural (Bishop, 1999), pretenden formar matemticamente a los
alumnos de la educacin obligatoria en aquellos aspectos que van a necesitar para su vida
como ciudadanos. Parece que la intencin es que prevalezcan los problemas ligados a la
realidad sobre los problemas matemticos de inspiracin en la escuela. Podramos decirque es ms prximo a la realidad el problema de determinar el nmero de losetas que
tiene que comprar un cliente que quiere enlosar un suelo, que aquel que lo convierte en
un problema de manejo de la frmula del rea (medir las longitudes del suelo, aplicar la
frmula para determinar el rea de la habitacin y posteriormente dividir por el rea de
cada loseta). Observemos que en el primer caso est recubriendo mentalmente el suelo
con una unidad de referencia, mientras que en el segundo est determinando un nmero a
partir de las longitudes de los lados y las operaciones con esos nmeros. En el primer
caso est midiendo de manera directa mientras que en el segundo est llevando a cabo un
proceso complejo, basado en determinar la medida de superficie a partir de la medida de
longitud (con lo que ello conlleva de dominio de las formas geomtricas, de la magnitud
longitud y superficie, de las unidades de medida de longitud-generalmente del sistema
mtrico decimal, nico referente para cualquier problema de medida-, de las frmulas de
determinacin del rea sencillas si las figuras son rectangulares, pero muy complicadas
si tienen formas complejas-, y de la comparacin de reas por medio de la divisin de
nmeros).
La recomendacin de los Estndares y del Decreto de Secundaria quieren llamar
la atencin sobre la complejidad del sistema de medida y trata de evitar la algebrizacin
temprana de la misma que supone identificar el rea con su clculo aritmtico. Proponen
ambos documentos que se dedique tiempo y trabajo escolar a caracterizar la superficie
que tienen los objetos, y sus formas de comparacin. De esta forma se estar en
condiciones de dedicarse a medir superficies (llamaremos rea a esta medida) con todo lo
que esto conlleva (fijar una unidad de referencia, comparar la cantidad medida y la
unidad, expresarla por medio de un nmero y atender al significado de este nmero). De
nuevo, como en toda la referencia algebraica, el Decreto de Matemticas de Secundaria
(MEC, 1991) propone que la algebrizacin llegue cuando se hayan sentado las bases
precisas para poder hacer abstraccin de los razonamientos y est el alumno en
condiciones de trabajar con el lenguaje numrico y literal sin aludir a su significado. Se
supone que de esta forma el alumno estara en condiciones de abordar las frmulas
cuando se hayan realizado prcticas sobre la superficie (identificacin de la cualidad,
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comparacin para establecer la equivalencia y el orden, estrategias de descomposicin,
estudio de figuras ms cmodas para comparar, etc.) para una comprensin mayor de los
conceptos y relaciones implicados en la superficie y su medida.
La dificultad de llevar al aula esta recomendacin surge cuando el profesor intentapensar otras tareas sobre el clculo de reas que no sean aplicar y manipular frmulas.
Qu "otras cosas" se pueden hacer adems de aprenderse las frmulas de memoria y
aplicarlas en distintos casos? La respuesta a esta pregunta puede venir sugerida desde
mbitos distintos. Uno de ellos es la investigacin sobre los errores que cometen los nios
en el clculo de reas y las concepciones equivocadas que manifiestan. Uno de los errores
de los estudiantes que ms han puesto de manifiesto los investigadores es la confusin
entre permetro y rea (Dickson, 1991; Olmo y otros, 1989).
Otras sugerencias pueden venir dadas de las investigaciones sobre la naturaleza de
las magnitudes y su medida, y sobre las destrezas que tiene que realizarse en el
aprendizaje y enseanza de la medida. En este artculo nos situaremos en esta perspectiva
y vamos a presentar algunas tareas que ayuden al profesor de matemticas de secundaria
a trabajar los conceptos de superficie y rea trabajando con elementos necesarios para
aposentar las frmulas y desarrollarlas. Comenzaremos por ver de manera resumida el
concepto de de magnitud y su medida.
Consideramos la magnitud como una cualidad de ciertos objetos, y la medida
como una comparacin entre un objeto y el tomado como unidad. La medida de
superficies consistira pues en la comparacin entre una unidad de medida fijada como
unitaria y la cantidad que se quiere medir. Para ello hay que situar la unidad tantas veces
como haga falta hasta rellenar la cantidad que queremos medir. En teora este proceso se
puede aplicar a todas las magnitudes geomtricas, pero en la prctica puede ser
infructuoso en el caso de la superficie (aun en figuras planas), mientras que siempre
debera ser posible en la longitud (especialmente en figuras rectilneas). Estas dificultades
generan que se recurra al empleo de frmulas para la determinacin del rea de un
polgono en lugar de tratar de recubrirlo con la unidad y contar el nmero de veces que la
hemos puesto. El clculo indirecto de la medida de la superficie obedece pues a razones
prcticas, pero cuando en la enseanza se limita su uso al empleo de frmulas estamos
privando al alumno de la percepcin del sentido de las frmulas, adems de no darle la
oportunidad de manipular la magnitud antes de medirla (Segovia y otros, 1996). La
reduccin de la superficie al rea, y la prctica de medida mediante frmulas oscurece el
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trabajo con la magnitud superficie (como cualidad, no como nmero), dificulta la
percepcin de la reiteracin como forma de comparacin (equivalencia y orden),
distancia de la familiarizacin con la cantidad de superficie de la unidad de medida y del
aspecto general de la medida como reiteracin de unidades (aspecto lineal de la medida).Vamos a destacar, en este artculo algunas actividades para la enseanza de la magnitud
superficie, que permitan la familiarizacin del alumno con la propiedad, promuevan
actividades de comparacin de superficies y con ello sienten las bases para poder acceder
a las frmulas. Posteriormente nos detendremos en las frmulas y el tratamiento
algebraico - geomtrico de las mismas, lo que supone trabajar con varios sistemas de
representacin: los nmeros y letras (frmulas), y las figuras, utilizando unos y otros de
manera relacionada, con lo que no se pierde de vista el significado de lo que se hace al
calcular medidas de superficie.
2. Concepto de superficie y rea
En esta vieta observamos uno de los abusos de lenguaje que se cometen con
mucha frecuencia, la identificacin de la medida de la extensin de un terreno con el
contenido del mismo. Lo que ha ardido es el contenido del terreno (los pinos y
matorrales), pero tambin ha ardido el contenido fungible de algunas de las capas de la
tierra que ocupa el monte quemado. Si en la noticia se recurre a las hectreas es para
realzar la gran cantidad de superficie de monte quemado. Si se quiere dar una idea de la
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catstrofe que supone el incendio, habra que indicar la cantidad de pinos quemados, la
medida de la superficie del terreno que se ha visto afectada e incluso la profundidad a la
que ha llegado a afectar. Si bien es cierto que en la comunicacin cotidiana se dan
muchos de estos aspectos por supuestos (slo los conocen los expertos, a los dems nosbasta con saber la superficie del terreno quemado para compararlo con otros incendios, y
sobre todo para concienciarnos del peligro de incendio que existe en una poca
determinada), en un proceso educativo hay que acostumbrar a que los nios diferencien
elementos, y al menos en este caso habra que diferenciar el terreno, sus cualidades, entre
ellas su superficie, la vegetacin que hay en l, su forma y sus medidas de superficie y
longitud.
Comencemos por diferenciar dos aspectos matemticos que hemos mencionado,
superficie y de medida de superficie (rea), y trataremos de mostrar las relaciones y
diferencias entre ambos (Chamorro y Belmonte 1988, Olmo, Moreno y Gil, 1988). Son
sinnimos superficie y rea o hay diferencias entre ellos?
En los diccionarios se define la superficiecomo una cualidad(extensin) y el
rea como medida, como un nmero. La superficie es una cualidad que puede
compararse y sumarse. Por ejemplo, podemos comparar la superficie de un rectngulo y
un paralelogramo, o la de otras figuras con un rectngulo.
Ms claramente podemos ver esta diferencia estudiando la estructura algebraica
de ambos conceptos. La superficie es una magnitud, lo que se caracteriza
matemticamente como un semimdulo ordenado, construido sobre los polgonos (la
superficie es una cualidad de los polgonos), estableciendo una relacin de equivalencia y
definiendo en ellos una operacin interna, la suma, y otra externa, el producto por un
escalar, y una relacin que es de orden.
Es decir, sea el conjunto de los polgonos del plano. En este conjunto definimos
una relacin R de la siguiente forma: Sean p y p elementos de : pRp s, y slo si
existen dos descomposiciones T1, T2, .., Tnde p y T1, .., Tn de p y p, respectivamente,
tal que un movimiento del plano que transforma T i en Ti. Esta relacin es de
equivalencia, y define el conjunto cociente /R = M, y a cada clase la llamamos cantidad
de superficie. As un polgono delimita una cantidad de superficie, que ser la misma,
independientemente de la unidad de medida de superficie que adoptemos, y que es la
misma que la de cualquier polgono obtenido por descomposicin y recomposicin de
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este polgono. En este conjunto M podemos definir una suma de cantidades de superficie,
juntando los polgonos representantes de las cantidades sumandos.
Se puede definir una relacin de orden, compatible con la suma, basada en la
descomposicin (ptendr ms superficie que ps, y slo si hay una descomposicin de pen polgonos que permite obtener py quedan algunos polgonos de la descomposicin
sin utilizar). Tambin podemos definir una operacin externa (, producto de un nmero
por una cantidad de superficie) sobre Q (o R), de manera que m/npes una cantidad de
superficie representada por un polgono que resulta de dividir un representante de pen n
partes de igual cantidad de superficie, y tomar mde ellas. Con ello M adquiere estructura
de semimdulo ordenado.
Esta caracterizacin matemtica de la superficie nos permite buscar tareas
escolares que den cuenta de algunas de los elementos que definen formalmente a las
magnitudes. En concreto podemos abordar tareas para destacar los siguientes aspectos: la
cualidad superficie, la comparacin de cantidades de superficie (por descomposicin y
recomposicin), la suma, la multiplicacin externa. Para afrontar y familiarizar al alumno
con ellos tenemos que hacerlo trabajar con los elementos que aparecen recogidos en sus
definiciones, es decir, los polgonos, la descomposicin de polgonos, la bsqueda de
descomposiciones y recomposiciones adecuadas para poder comparar su superficie, y la
obtencin de sumas y multiplicaciones de cantidades de superficie por nmeros
racionales.
Una tarea para facilitar que los alumnos se ejerciten en la percepcin de la
cualidad superficie y en la comparacin de cantidades de superficie puede consistir en
realizar descomposiciones y recomposiciones de figuras hasta obtener la relacin que
tiene su superficie con la de un rectngulo (figura 2), que hay que describir.
La tarea de la figura 2 puede ayudar al alumno a ejercitarse en la comparacin de
superficies. Una comparacin especialmente llamativa es la que demanda la bsqueda de
todas las descomposiciones y recomposiciones posibles para identificar una figura con
otros polgonos. Como ejemplo, en el cuadro siguiente presentamos la mayor parte de las
descomposiciones del trapecio issceles (Flores, en prensa) para transformarlo en otras
figuras (paso previo para poder obtener, en su momento, la frmula de clculo de su rea
en funcin de las longitudes de los elementos que lo definen -las bases, la altura, la
longitud de los lados iguales, las diagonales, etc.-)
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Figura 2: Equivalencia de superficies de polgonos con el rectngulo:
COMPARACIN DE SUPERFICIES
Un PARALELOGRAMO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga
de base LA MISMA y altura LA MISMA
COMPLETAR
Un TRAPECIO ISOSCELES tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO quetenga de base ________________________________________
___________ y altura ______________________________
Un TRAPECIO RECTNGULO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO quetenga de base ______________________________________ y altura
______________________________________
Un TRAPECIO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga de base
_______________________________________________________y altura ___________________.
Un TRINGULO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga de base________________________________________________________y altura ___________________
Este cuadro puede sugerirla variedad de descomposiciones que se pueden hacer de
una figura, lo que nos da ideas para proponer tareas en el aula que traten de que los
alumnos obtengan descomposiciones similares de polgonos, por medio de
descomposiciones, bsqueda de lneas auxiliares, descripcin de estas lneas y de los
resultados obtenidos, divisin de segmentos y de figuras, etc.
3. Medida de superficies, el rea y las frmulas.
Recordemos que llamamos rea a la medida de la cantidad de la superficie, por lo
que el rea de un polgono es un nmero, que est relacionado con la unidad de medida
buscada. Para reflexionar sobre el rea vamos a distinguir dos pasos: qu es medir
superficies y cmo se puede medir superficies.
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Cuadro 1: Transformacin del trapecio issceles en otros polgonos
Cuadro 1: Superficie del trapecio
Para determinar la superficie del trapecio podemos compararlo con otras figuras y obtener, por
descomposicin y recomposicin, un polgono equivalente. Esta figura acepta muchos procesos de
descomposicin y composicin, por lo que vamos a clasificarlas segn la figura que se obtiene o con la que
se compara, y luego estudiaremos las relaciones mtricas que aparecen, y el grado en que estas se perciben.
Partamos del siguiente trapecio issceles:
1. Obtencin de un Paralelogramoequivalente:
i) Duplicar el trapecio
ii) Dividir el trapecio por una paralela media
iii) Descomponer en trapecio rectngulo y tringulo
rectngulo y trazar el simtrico del tringulo
iv) Descomponer en un paralelogramo y un tringulo
issceles.
2. Rectnguloequivalente:
i) Descomponer en trapecio rectngulo y tringulo
rectngulo y cambiar de sitio el tringulo.
ii) Descomponer el trapecio en dos trapecios rectngulos
iguales y cambiar uno de sitio
iii) Descomponer en hexgono y dos tringulos rectngulos
y cambiar estos de sitio
3. Tringulo.
i) Prolongar los lados no paralelos hasta que
se corten
ii) Trazar las diagonales, descomponerlo en tringulos
y componer estos para formar un tringulo.
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Medir la superficie de un polgono pes asignar un nmero a la cantidad de
superficie de ese polgono. Para ello se fija una cantidad de superficie [u] = U de M,
representada por un polgono (que suele tomarse cuadrado), a la que se llama unidad, y
se busca el nmero que permite obtener pa partir de U (es decir, el nmero mtal que p=mU). A este nmero mse le llama rea depen unidad U. Como se puede apreciar el
rea (la medida) es un isomorfismo que conserva el orden entre el semimdulo M y un
semimdulo numrico (en la educacin secundaria obligatoria sera el de los nmeros
reales). Insistamos, la cantidad de superficie de un polgono es nica, e igual a la de
cualquier otro polgono obtenido por descomposicin y recomposicin. Sin embargo, el
rea de este polgono es un nmero que est ligado a la unidad de medida establecida.
Medir la superficie de un polgono es buscar un procedimiento para comparar su
cantidad de superficie con la superficie unidad. El mtodo ms sencillo sera colocar el
polgono unidad tantas veces como sea posible para rellenar el polgono problema. Para
poder hacer esto necesitamos que el polgono unidad tenga una forma que tesele el plano
(que recubra el plano sin solaparse). La figura que se toma habitualmente es el cuadrado,
lo que genera el nombre de las unidades de medida de superficie (metro cuadrado). Medir
superficies consistira en ver cuntos cuadrados unidad caben en el polgono que se mide.
Se dice que la medidaes directasi se hace materialmente la superposicin de unidades en
el polgono para ver cuntas caben.
La comparacin entre la unidad y la figura que se pretende medir no es siempre
sencilla por lo que se recurre a mtodos indirectosque consisten en medir longitudes de
los segmentos del polgono problema, y obtener el nmero de veces que contienen a la
unidad por medio de una operacin entre esas longitudes de segmentos bien elegidos del
polgono. Esta segunda forma nos lleva a determinar estrategias para determinar el rea
en funcin de las longitudes, y a estas estrategias aritmticas se les llamafrmulas.
En los textos (preferentemente de Educacin Primaria) se pueden encontrar tareas
encaminadas a realizar la medida de manera directa en las que siempre quedara
perfectamente definida la unidad para poder superponerla cuantas veces haga falta. Al
trabajar con frmulas se hace abstraccin de la unidad. Ello nos lleva a cometer abusos en
la expresin, como cuando se dice:
A:El rea del rectngulo es igual al producto de su base por su altura.
En esta frmula cometemos abusos de lenguaje. Si vamos eliminando
sobreentendidos gradualmente tenemos que comenzar por concretar qu es base y
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altura, lo que nos lleva a la nueva expresin:
B:El rea del rectngulo es igual a la medida de la longitud de la base
multiplicada por la medida de la longitud de la altura del rectngulo.
Aun en esta nueva frase estamos dando por supuesta la unidad de referencia, ya que loque queremos decir es:
C:El nmero de cuadrados unidad que caben en un rectngulo (rea del
rectngulo en unidades cuadradas) es igual al producto entre el nmero
de veces que cabe el lado de la unidad en la base (medida de la longitud
de la base en unidades el lado del cuadrado), y el nmero que cabe en la
altura (medida de la longitud de la altura) del rectngulo.
Esta ltima frase es demasiado larga, y por ello en la enseanza se simplifica a su
primera expresin. Pero con ello se corre el riesgo de perder de vista su significado. En la
enseanza de las matemticas se suele reducir la expresin para simplificar lo que hay
que recordar (dos y dos son cuatro, en lugar de el resultado de la sumar dos ms dos es
cuatro, por ejemplo, o el enunciado famoso de la propiedad commutativa el orden de los
sumandos no altera la suma). Se trata de reglas mnemotcnicas que facilitan el recuerdo.
Pero, tal como indican los estndares curriculares (Ferrini-Mundy 2000, y NCTM 1991),
y el currculo de secundaria (MEC 1991), el recuerdo no puede hacer perder significado a
lo aprendido. Para abordar la superficie y el rea sin perder su sentido tenemos que buscar
estrategias de aprendizaje que permitan dar por supuestos los sobreentendidos, para lo
que necesitamos ver que las frases A y la C son equivalentes, es decir que el alumno
entienda C aunque diga A, con ello evitaremos convertir la frmula en una definicin
demasiado completa que pueda generar dificultades de comprensin.
Con objeto de que se aprecie el significado de la frase C anterior, sugerimos una
serie de tareas para que sta adquiera sentido. No resulta muy complicado proponer en
clase de secundaria que los alumnos traten de obtener las frmulas que permitiran
determinar el nmero de tringulos equilteros iguales que caben en una serie de
polgonos(Castro y otros, 1997). Para ello es conveniente emplear papel isomtrico,
comenzando por obtener el nmero de tringulos que caben en figuras que encierran una
cantidad entera de lados de tringulo en su base y/o en su altura (figura 3). La
generalizacin de esta situacin se enriquece con el manejo de fracciones y su
comprobacin, empleando para ello papel isomtrico milimetrado.
Figura 3: Numero de tringulos equilteros que caben en figuras dadas.
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A = 5 * 5 = 52 T A = (3+3/4)2T
A = 2 * 5 * 4 = 20 T
A = 6,5 * 3 = 19,5 T
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Comenzando por el recuento de tringulos se puede tratar de que los alumnos
lleguen a sugerir frmulas y a comprobar su validez para casos particulares. Pero tambin
se pueden obtener o comprobar la validez de esta frmulas buscando relaciones con las
frmulas para unidades cuadradas. Se puede partir de descomponer un cuadrado en dostringulos issceles y rectngulos, con lo que el nmero de tringulos issceles y
rectngulos es doble que el nmero de cuadrados (figura 4). A partir de esta conjetura se
abre la posibilidad de continuar el razonamiento transformando el cuadrado en dos
tringulos equilteros, pero el proceso no es evidente ya que eso exigira transformar en
un rombo cuya altura no sera la del cuadrado, sino la del tringulo equiltero.
La repeticin en clase de estos procesos de conteo y relacin con las frmulas del
rea con unidades cuadradas favorece que los alumnos perciban que las frmulas de
clculo del rea son relativas a la forma de la figura, con lo que al decir la frase A anterior
deberemos tener como referente siempre al nmero de cuadrados.
Tal como hemos visto las frmulas del rea de las figuras dependen de la forma y
el tamao de la unidad. En la figura 5 podemos ver las frmulas de las reas de algunos
polgonos en las dos opciones.
Figura 5: Frmulas del rea en unidad triangular, comparacin de frmulas
El nmero de cuadrados que caben en
RECTNGULO es igual al producto entre el nmero que caben en la
base por el nmero que caben en la altura
producto entre el nmero de veces que ellado del cuadrado cabe en la base por elnmero de veces que cabe en la altura
producto entre la medida de la base por la
medida de la altura
* a x b
El nmero de tringulos equilteros quecaben en
RECTNGULO es igual al doble del producto entre el nmero que
caben en la base por el nmero quecaben en la altura
doble del producto entre el nmero deveces que el lado del tringulo cabe en labase por el nmero de veces que cabe enla altura
doble del producto entre la medida de labase por la medida de la altura
* 2 x a x b
Pero no es necesario obtener de manera directa cada una de las frmulas, sino que
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gracias a tareas como la de la figura 2, bastar con determinar algunas frmulas para
poder obtener otras. En la figura 2 veamos que la superficie de un tringulo es la mitad
de la superficie del paralelogramo de igual base y altura; a su vez la superficie de un
paralelogramo es la misma que la del rectngulo transformado de igual base y altura (enel libro I de Los Elementos de Euclides, proposicin 45, ya se explicaba el procedimiento
de transformacin de un polgono cualquiera en un paralelogramo, Puertas, 1991). Las
equivalencias anteriores (descomposicin en figuras ms simples o transformaciones en
figuras equivalentes) permiten obtener las frmulas para el clculo de las reas de los
polgonos. Dado que cualquier polgono puede ser descompuesto en tringulos, la
frmula del rea de un polgono se podr expresar como una frmula que corresponda a
la suma de las que permiten obtener las figuras resultantes de la descomposicin
realizada. Por tanto la frmula del rea de un polgono puede obtenerse a partir de la del
rea del tringulo.
Si partimos de estas equivalencias para las reas en unidades cuadradas resulta
bsica la frmula del rea del rectngulo, ya que el cuadrado y el rectngulo es la figura
que ms fcilmente se descompone en cuadrados. Luego se pueden obtener todas las
dems frmulas de las reas de los polgonos por descomposiciones de estos. Sin
embargo, si el rea es la cantidad de tringulos equilteros, es ms cmodo partir de
paralelogramos sesentngulos, o bien de tringulos equilteros o sesentngulos, ya que
ellos se pueden teselar ms fcilmente con tringulos equilteros. Posteriormente se
obtendran todos las frmulas de las reas de los dems polgonos, fruto de
descomposiciones y recomposiciones. En la figura 6 aparecen los esquemas ms
corrientes para obtener unas frmulas a partir de otras, de la manera ms natural en
unidades cuadradas y triangulares.
Como ejemplo de aplicacin de unas frmulas para la determinacin de otras, en
el cuadro 2 aparece la expresin de las distintas frmulas del clculo del rea del trapecio
issceles a partir de las transformaciones hechas anteriormente del trapecio en otros
polgonos (cuadro 1). En este cuadro se considera el rea como nmero de cuadrados.
Volvamos sobre las diferencias entre rea como nmero de cuadrados y rea como
nmero de tringulos. Tal como hemos comentado la eleccin del cuadrado como unidad de
medida va paralela con otras elecciones: el ngulo recto de 90, la malla rectangular, la
nocin de perpendicularidad de 90, la nocin de altura basada en la perpendicularidad, etc.
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Figura 6: esquema de relacin de las frmulas de las reas de los polgonos para launidad cuadrada y para la triangular.
a2 a2
a . b a.b
a . h a.h/2 2.a.b a . h
ap. p/2 2.a.hap. p
r2 2. r2
Cuadro 2: Frmulas del rea del trapecio issceles a partir de su transformacin en otrospolgonos (segn cuadro 1).
Relacin entre base y altura El rea del trapecio issceles esa.i Por construccin:
Bp = B+bAp = h
1
2[( ). ]B b h+
a.ii Por construccin:Bp = B+bAp = h/2
( ).B bh
+2
a.iii Clculos algebraicos.Bp. = b+(B-b)/2Ap = h
B bh
+
2 .
Paralelogramoequivalente
a.iv Por construccinBp=b; Bt=B-bAp=h=At
b h B bh
. ( ).+ -2
Rect
ngulo
b.i Clculos algebraicos.Br = b+(B-b)/2Ar=h
B bh
+
2 .
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b.ii Por construccinBr =B/2 + b/2Ar=h
( ).B b
h2 2
+
b.iii Clculos algebraicosBr=b+2(B-b)/4Ar=h
B bh
+
2
.
c.i Clculos algebraicosBt1=B; Bt2=bAt1=h+m; At2=m
Bh m
bm
.( )
.+
-2 2
Siendom+ h
m
B
b=
Tringulo
c.ii Por construccinBt=B+bAt = h
1
2.( ).B b h+
Si queremos determinar el nmero de tringulos issceles y rectngulos que caben en
las figuras podemos seguir empleando la malla cuadrada y la altura de 90. Pero si queremos
obtener el nmero de tringulos equilteros que caben en determinadas figuras es ms fcil
partir de una trama isomtrica (cada vrtice est a igual distancia de los seis que le rodean),
tal como se observa en la figura 3. Entonces la nocin de altura se ve afectada por el cambio
de unidad de medida. En una geometra del plano en la que el tringulo equiltero fuese la
unidad de medida de superficies la altura cmoda para trabajar debera ser la longitud delsegmento que forma 60 grados con la base, y no 90 como sucede en la geometra en la que
se utiliza el cuadrado como unidad de medida. Por tanto un simple cambio de unidad
conduce a frmulas que estn a medio camino entre las nociones ligadas a una forma
geomtrica y otra. Hay que realizar adems el cambio de alturas para obtener las frmulas
adecuadas.
Figura 7: tringulo con las dos alturas
h90
h60
90 60
b
Unidades cuadradas: rea Tringulo = b . h90
Unidades triangulares: rea Tringulo = b . h60
La eleccin de una unidad triangular tiene adems otros efectos, as para un alumno
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que ha trabajado ya la obtencin de reas de las figuras planas es un ejercicio matemtico
muy motivador e intrigante descubrir que cuando se toma como unidad de medida el
tringulo equiltero, en un tringulo equiltero en cuyo lado cabe "a" veces el lado de la
unidad, caben a
2
tringulos (tiene de rea a
2
). Este puede ser el comienzo para realizar unareflexin sobre las nociones geomtricas que son consecuencia de la eleccin del cuadrado
como unidad de medida y poner de manifiesto cules son consustanciales con la forma
cuadrada y cules no dependen de esta forma geomtrica. Una de las consecuencias ms
conocidas es la de los nmeros cuadrados. Expresados en su nomenclatura ms general los
nmeros cuadradosson laspotencias segundasde los nmeros. El hecho de que el rea de
un cuadrado se obtenga mediante la potencia segunda de la medida de su lado ha ocasionado
que el nombre nmeros cuadradosdesbanque a la terminologa de potencias. Pero cuando
uno mide superficies empleando como unidad de medida el tringulo equiltero observa que
laspotencias segundasestn relacionadas con el rea de los tringulos equilteros(tal como
apreciamos en las figuras 3 y 5). Por tanto, las potencias segundas de los nmeros no son una
propiedad exclusiva de la figura cuadrada. Una civilizacin que hubiera elegido el tringulo
equiltero como unidad de medida posiblemente se hubiera visto conducida a llamar a las
potencias segundas "nmeros equilteros", trmino que etimolgicamente refleja mejor la
representacin geomtrica de las potencias segundas de los nmeros, puesto que resalta la
igualdad de la medida de los lados.
4. Consecuencias de las frmulas en unidades triangulares
El estudio del significado de las frmulas nos ha llevado a preocuparnos por la
unidad de medida y su forma. Podemos continuar este tipo de razonamiento consistente
en trabajar con las frmulas de las reas relacionadas ntimamente con su significado y
con las propiedades de las figuras, y abarcar otros resultados matemticos tradicionales
relacionados con el rea y la superficie. Por ejemplo el Teorema de Pitgoras.
Sabemos que el teorema de Pitgoras tiene muchas formulaciones. La formulacin
que emplea las superficies dice:
En un tringulo rectngulo, la superficie del cuadrado de lado la
hipotenusa es igual a la suma de las superficies de los cuadrados de lados
los catetos.
Podemos ver este enunciado en la figura 8
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sobre la hipotenusa es igual a la suma de las superficies de polgonos
semejantes situados sobre los catetos.
Por tanto, tambin sera cierta esta expresin cuando en lugar de situar cuadrados en los
lados del tringulo rectngulo situramos tringulos equilteros. Luego, recordando la frmula
del rea del cuadrado en medida cuadrada y del tringulo en medida triangular podemos afirmar
que la expresin algebraica (h2= a2+ b2) representa ambas situaciones, es decir: el nmero de
cuadrados (tringulos equilteros) que caben en un cuadrado (tringulo equiltero) de lado la
hipotenusa es igual a la suma del nmero de cuadrados (tringulos equilteros) que caben en los
cuadrados (tringulos equilteros) de lados los catetos.
Incluso cabra aceptar que la expresin que llamamos algebraica del teorema es
cierta, sea cual sea el polgono que tomemos como unidad de medida de superficies.
Pero hemos visto que la consideracin de la unidad de medida de superficies en
forma de tringulos equilteros nos poda llevar a considerar que, en la nueva geometra
triangular, la altura (representacin de la perpendicularidad en la geometra de unidad
cuadrada) debe formar un ngulo de 60 con la base. Con ello los que en la geometra de
la perpendicularidad de 90 llamamos tringulos rectngulos, se llamarn ahora
tringulos sesentngulos.
Estudiemos si hay una expresin sinnima del Teorema de Pitgoras (T.P.) en los
tringulos sesentngulos. Para ello trabajaremos en geometra de unidad triangular.
Recordando la demostracin del T.P. podemos tratar de buscar una expresin equivalente
para tringulos sesentngulos. Para ello recordemos una demostracin atribuida a
Pitgoras que toma un cuadrado de lado la suma de los catetos del tringulo rectngulo y
colocar sobre l cuatro veces el tringulo de dos maneras (figura 9). Hagamos el mismo
razonamiento empleando como figura de partida un tringulo sensentngulo y como
polgonos sobre los lados tringulos equilteros. Para estudiar la relacin entre las
superficies de los tringulos equilteros de lados los catetos y la hipotenusa sesentngulos
construimos un tringulo equiltero de lado la suma de los catetos y sobre l colocamos
el tringulo sesentngulo de dos formas distintas (figura 9).
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Figura 9: Teorema del tringulo sesentngulo
T. Pitgoras Demostracin atribuida a Pitgoras
a h Ch bCa T a
b a h
Cb b
Sup Cuadrado = 4Sup T + Sup Ch= 4Sup T + Sup Ca+ Sup Cb
Teorema del Tringulo sesentngulo
Th
Ta T b b
Tb
a h a
3Sup T + Sup Th= 2 Sup T+ Sup Ta+ Sup Tb
La superficie del tringulo equiltero de lado la hipotenusa de un tringulo
sesentngulo es igual a la suma de la superficie de tringulo equiltero de lado un
cateto y la superficie del tringulo equiltero de lado el otro cateto menos la superficiedel tringulo sesentngulo
Tal como aparece en la figura 9, nos aparece una expresin nueva que expresa la
relacin entre estas superficies, es decir, el teorema del tringulo sesentngulodice:
En un tringulo sesentngulo, la suma de las superficies de los tringulos de
lados los catetos, es igual a la superficie del tringulo equiltero de lado la
hipotenusa del tringulo ms la superficie del tringulo sesentngulo dado.
Figura 10: El teorema de Pitgoras y sus aplicaciones:
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TEOREMA DE PITGORAS DEL TRINGULO SESENTNGULO
a2 a2
b2
b2
c2 c2
a2 = b2+ c2
a2 + bc = b2+ c2
APLICACIONES
I) Calcular el tercer lado de un tringulo
c = 5, b = 7, A = 90 c = 5, b = 7, A = 60
II) Obtener ngulos
90 60
52 = 42+ 32 42 + 4.4 = 42+ 42
a = + =25 49 35 39a = + =25 49 74
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Este resultado podra quedarse en una curiosidad, si no nos atenemos a que los
teoremas matemticos tienen una utilidad fuera de la escuela. Para estudiar la utilidad de
este teorema recordemos las utilidades del Teoremas de Pitgoras (figura 10).
Una utilizacin tradicional del Teorema de Pitgoras es calcular la longitud de unlado del tringulo rectngulo, conocidos los otros dos. Gracias a esta aplicacin hemos
podido obtener segmentos de longitud irracional cuadrtica a partir de segmentos dados.
La espiral clsica (figura 11) nos permite calcular todos los irracionales cuadrticos de
nmeros enteros.
Figura 11: Espiral de tringulos rectngulos de Teodoro de Cirens
14
13
12 1 23
114
10 5
9 8 7 6
Otra aplicacin tradicional del teorema de Pitgoras es la que utiliza la tesis para
construir la hiptesis, es decir, partir de unos segmentos que estn en relacin pitagrica
para obtener un tringulo rectngulo, y por tanto un ngulo recto. As para dibujar en un
jardn un seto en ngulo recto es mejor tomar cuerdas de tamaos dados (por ejemplo 3, 4
y 5), y formar un tringulo, el ngulo que se opone al de 5 es rectngulo (figura 10).
Se pueden extender estas aplicaciones al Teorema del Tringulo Sesentngulo
(TTS)?. Para responderlo comencemos por convertir la expresin del TTS en superficies
a expresin en reas. En ese momento la frmula resultante es:
En un tringulo sesentngulo: a2+ b2= c2+ a x b. TTS
Esta frmula nos permite, por ejemplo determinar la longitud de la hipotenusa (lado
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opuesto al ngulo de sesenta grados)conocidos los dos catetos (otros dos lados), por medio de una
operacin aritmtica (producto, suma y raz cuadrada), aunque para el problema inverso (calcular
un cateto en funcin de la hipotenusa y el otro cateto) nos vemos obligados a recurrir a la
expresin algebraica que nos lleva a una ecuacin de segundo grado para poder despejar.La construccin de longitudes irracionales es tambin posible a partir del TTS, e incluso
aade alguna nueva expresin. En la figura 12 tenemos una espiral de longitudes irracionales
construida utilizando el TTS.
El TTS no es la nica forma obtener segmentos de longitud irracional, igual que para
obtenerlos en la geometra de medida cuadrada no tenemos que emplear siempre el Teorema de
Pitgoras. Si tomamos un cuadrado de partida y luego vamos dibujando cuadrados de lados las
diagonales del anterior, podemos observar que cada uno de ellos tiene de superficie el doble que el
anterior, ya que el nuevo puede descomponerse en cuatro tringulos rectngulos e issceles iguales
a los dos en que puede descomponerse el cuadrado original. Si aceptamos la frmula (expresin
algebraica) que nos da el rea del cuadrado como el cuadrado de la longitud del lado, tenemos que
aceptar que los lados de los nuevos cuadrados sern el producto del lado por raz de dos (operacin
externa de un segmento por un nmero), para que al elevarlo al cuadrado nos resulte como rea el
doble de la del primero.
Igualmente podemos buscar relaciones entre las superficies de dos tringulos
equilteros, lo que nos permite obtener segmentos resultantes de multiplicar el lado por
un irracional, tal como aparece en las figuras siguientes, en las que se han buscado
relaciones fciles entre las superficies de tringulos equilteros para poder obtener el rea
de uno en funcin del otro, posteriormente se ha aplicado la frmula del rea en unidad
triangular:
Tambin podramos aplicar el nuevo resultado para dibujar ngulos de 60, pero
as como existen nmeros enteros fciles (ternas pitagricas) que forman tringulos
rectngulos, no es tan fcil en el caso de ngulos de 60, salvo que tomemos el tringulo
equiltero (figura 10).
Podramos seguir estudiando otras frmulas conocidas por todos, como las
relativas al cuadrado de la suma (ya que hemos visto que cuadrado de un nmero es
equivalente a decir rea del cuadrado que tiene de medida de lado ese nmero), e
interpretar estas frmulas a partir de superficies en tringulos (figura 16 y 17),
observando que son iguales.
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Figura 12: Espiral de tringulos de hipotenusas irracionales aplicando el TTS
67
13 3921
7
31
19
7
31
43
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Figura 13: espiral de cuadrados y tringulos rectngulos e issceles de lados el anterior
por raz de dos.
Sn= 2
Sn-1= 2
n-1
S1
Ln= 2Ln-1= (2)n-1L1
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Figura 14: Tringulos de superficie 3 veces el anterior, y longitudes irracionales.
Sn= 3Sn-1
Los lados son an= 3 an-1 = (3)n-1a
(3)4a
(3)3a
(
3)2a
3 a
a
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Figura 15: Tringulos de superficie 4/3 del anterior.Lados de longitud 23/3 del anterior, aplicando la frmula de clculo del rea conunidades en forma triangular.
Sn= 4/3 Sn-1
an= (23 an-1) /3 = (23/3)n-1a
16 / 983 / 9
323 / 27 4/ 3
23 / 3
1
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Figura 16: Suma por diferencia en geometra de unidades triangulares
b2 b
a2
(a-b)
b a
(a + b)
Sup T(a+b), (a-b)= Sup Ta Sup Tb
(a+b) (a-b) = a2 b2
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en concreto hemos sugerido que se trabaje el concepto de superficie antes de algebrizar
por medio del empleo de las frmulas. Pero adems hemos querido mostrar que se puede
hacer lgebra de expresiones relacionndolas con su significado y con representaciones
geomtricas, tratando de darle el mximo significado a todas las expresiones elementales.
El anlisis realizado nos ha permitido hacer una serie de propuestas para la
enseanza. Desglosando las frmulas hemos diferenciado rea de superficie, hemos
destacado el papel de la unidad de medida y su repercusin en las mismas frmulas, y por
ltimo hemos visto que incluso se pueden hacer matemticas formales (obtener teoremas)
en la educacin secundaria, y al estudiar su utilidad nos hemos visto abocados a buscar el
sentido y la utilidad de las frmulas tradicionales.
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En resumen, esperamos haber mostrado una parte de la riqueza de tareas que
pueden realizarse sobre reas y superficies para trabajar con algunas de las intenciones
que proponen los documentos que rigen la enseanza de la medida en la educacin
secundaria.
Referencias
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