Instituto de Matemticas, Fsica y Estadstica
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LIMITES DE FUNCIONES REALES
INTRODUCCION
Usted, como alumno, es posible que ms de alguna vez se ha visto en la necesidad de conseguir la nota mnima de aprobacin, 3,95 Cierto? es decir el valor lmite mnimo necesario para aprobar el curso es dicho valor.
Tambin es de uso habitual el comentar sobre los lmites entre pases vecinos, nos podemos acercar tanto como se quiera a ellos pero no cruzarlos, al menos en la forma que est dentro de las normas establecidas entre los pases.
El concepto de lmite es crucial en el clculo diferencial, es previo a la nocin fundamental de derivada, concepto que segn la historia fue introducido en forma independiente y casi con notaciones similares por Newton y Leibniz.
Para tener una idea geomtrica de este concepto,
consideremos la funcin definida por , nos podemos preguntar qu sucede con las imgenes cuando se acerca al valor de .
En la figura se muestra su grfico. En ella podemos ver que entre ms cerca se encuentren de 3, los valores de , entonces los valores de se encuentran ms cercanos a 12.
La tabla de valores, indicada ms abajo, corrobora este hecho y garantiza lo que se percibe en el grfico. Podemos ver en la tabla que, a medida
que tomamos valores de ms prximos a 3,
tanto para valores mayores que tres como para valores menores que3, los valores de seaproximana 12. Este hecho se expresa diciendo que el lmite de es 12 cuando se acerca a 3.
Tabla
hacia3 por la izquierda ( 3)
2.5 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 3.5
8.75 11.31 11.9301 11.9930 12.007001 12.0701 12.71 15.25
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El ejemplo anterior nos permite descubrir el concepto de lmites laterales, adems se verifica la igualdad siguiente, para este ejemplo:
DEFINICION 1
Para cualquier funcin real llamamos:
a) Lmite lateral izquierdo de una funcin real
Lo cual significa que nos acercamos al punto por su izquierda, es decir
b) Lmite lateral derecho de una funcin real
Lo cual significa que nos acercamos al punto por su derecha, es decir
Si ambos lmites laterales son iguales entonces se verifica:
Si los lmites laterales son distintos entonces el lmite en cuestin no
existe.
OBSERVACION 1.
La definicin formal del concepto de lmite, la damos a continuacin,
debemos recalcar la dificultad de su uso, ella involucra trabajar con
desigualdades, lo que lleva asociado el mayorar o minorar una expresin
algebraica lo cual siempre crea dificultades anexas.
DEFINICION 2.
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Si recordamos operatoria con el concepto de valor absoluto, las desigualdades
anteriores son equivalentes a:
Se observa en la figura que al movernos en torno al punto a (en el eje entonces
las respectivas imgenes (en el eje se mantienen tambin en torno al valor L.
(Vlido para cada que satisface la condicin anterior).
EJEMPLO 1.
Solo como una muestra de las dificultades, mostremos, con la definicin, que:
13)14(lim3
xx
Solucin:
Se debe probar que dado 0 existe (,3) > 0 tal que:
si 0
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, (,3) tal que 0
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.int,)(lim
)(lim
)(
)(lim)
)(lim)(lim))()((lim)
)(lim)(lim))()((lim)
.tan,)(lim))((lim)
cerodeodistserdebeqdondeq
p
xgax
xfax
xg
xf
axiv
qpxgax
xfax
xgxfax
iii
qpxgax
xfax
xgxfax
ii
realteconsunaesCdondepCxfax
CxfCax
i
OBSERVACION5.
En la prctica, el calcular lmite de una funcin, que en principio presenta una
forma indeterminada, como por ejemplo
, en fin, consiste en
eliminar dicha forma( cuando sea posible) utilizando recursos algebraicos, como
factorizaciones, tambin cambios de variables, en otros casos lmites especiales.
EJEMPLOS VARIOS.
1243x
lim.1
xCalcular
Solucin:
.,2712351253x
lim realnmerounesdirectaevaluacinlax
xx
xx
3
122
1xlim.2
Solucin:
2
3
)1(
12
1xlim
)1)(1(
)1)(12(
1xlim
3
122
1xlim
xx
x
xxx
xx
xx
xx
11lim.3
0 x
xCalcular
x
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Solucin:
Este ejemplo, es de aquellos lmites que se calculan con el mtodo de
racionalizacin, pues involucra races cuadradas. Tambin se utiliza cuando existe
presencia de tales races en el numerador.
Multiplicaremos por un factor 1 disfrazado, dado por
:
211
)11(lim
11
11
11lim
00
x
xx
x
x
x
x
xx
6
5
315
5
2lim
)315)(2(
)2(5
2lim
)315)(2(
105
2lim
)315)(2(
915
2lim
315
315
2
315
2lim
2
315
2lim
:
2
315
2lim.4
xx
xx
x
xxx
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
Solucin
x
x
xelCalcule
24
)4(2
312)4)(4(
4lim
312
312
312
16
4lim
312
16
4lim
:
312
16
4lim.5
22
2
x
xxx
xx
x
x
x
xx
x
x
Solucin
x
x
xelCalculemos
OBSERVACION 6.
Uno de los lmites de mayor utilidad y que simplifica el clculo de lmites
trigonomtricos, es el
.1lim0
x
senx
x
Ejemplo 1:
Mostremos que 01cos
lim0
x
x
x.
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Debido a la identidad fundamental dada por es conveniente
multiplicar por un factor 1, dado por
, es decir:
x
senxcalculesimilaresideasUsandoEjercicio
ceroatiendesegundalayatienderesin
primeralapuesx
senx
x
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
11lim,:
.1exp
,01cos
lim)1(cos
lim)1(cos
1coslim
1cos
1cos1coslim
0
0
2
0
2
00
Ejemplo 2:
.
,,
?)()(
0lim
.7
3))()((
0lim
)(
0lim
)()(
0lim)
1
)(
1
0lim
)(
0lim
11
0lim
)()(
0lim).2
:
)()1
)()
:,)()(
0lim
22233
2
3
ldiferenciaclculo
elenutilidadenormedeesconceptodichoelladederivadafuncinlaesrealfuncinunaa
asociadolmiltedichoqueeslfundamentaraznLah
xfhxf
helcalcularquPor
NOBSERVACIO
xh
xxhxhxh
hh
xhx
hh
xfhxf
hb
xxhxhh
xhx
h
hh
xhx
hh
xfhxf
ha
Solucin
xxfbx
xfa
pordadasfuncioneslasparah
xfhxf
helCalcule
Lmites cuando la variable independiente crece indefinidamente (lmites al infinito).
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Si bien es posible dar una definicin precisa de este concepto, preferimos una explicacin geomtrica .Para ello consideremos la funcin real definida por:
xxf
1)( , que es fcil de graficar y nos muestra geomtricamente, de forma
simple la situacin, usted estar de acuerdo en que su dominio es el conjunto de
los nmeros reales sin considerar el cero, vale decir 0-IRDom f . Construyamos una tabla de valores para la funcin, es decir para ciertos valores de la variable encontraremos sus imgenes respectivas asociadas a la funcin, la primer columna los valores indicados, en la segunda columna las imgenes:
x
xxf
1)(
1.000.000 0,000001
500.000 0,000002
100.000 0,00001
50 0,02
1 1
-100 -0,01
-5.000.000 - 0,0000002
0,0006 1666,666667
0.00000012 8333333,333
12 .........................
120432 .........................
-12347 .........................
0,00234 ........................
15.000.000 ........................
Luego de completar la tabla anterior, se observa que:
a) la funcin es positiva para , vale decir el grfico se ubica sobre el eje y a la derecha del eje
b) la funcin es negativa para < 0,con lo cual el grfico se ubica ahora bajo el eje , en definitiva el grfico es :
Y
X
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A partir del grfico podemos afirmar:
a) x
1lim
0x b)
x
1lim
-0x c) 0
1lim
-x
x d) 0
1lim
x
x
OBSERVACION 8: 1) El lgebra de lmites se cumple tambin para los lmites al . 2) Se verifican los siguientes lmites:
a) 0si,01
limx
x
b) 0si,1
limx
x
Por ejemplo,
6
x6xxlim
1lim,0
1lim x
xx.
Otros ejemplos.
1.- Calcule 67
72
x 11103
1853lim
xxx
xx
Solucin: Cuando se trata de una divisin de polinomios, basta efectuar la divisin del
numerador y denominador por una potencia de con el mayor exponente que se
presenta en el lmite pedido, en el caso anterior dividamos por 7x . Esdecir:
67
72
x 11103
1853lim
xxx
xx
=
2
1
10
5
11103
1853
lim
7
6
7
7
7
77
7
7
2
7
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
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2.- Calcule 18104654lim 22x
xxxx
Solucin: Parece ser una buena idea usar el proceso inverso de racionalizar, para ello trabajemos solamente con la expresin :
18104654 22 xxxx
18104654
1810465418104654
22
2222
xxxx
xxxxxxxx
2
2
2
222
22
18104
654
245
18104654
)18104(654
xxx
xxx
x
xxxx
xxxx
22
18104
654
245
xxxxx
xx
, entonces:
18104654lim 22x
xxxx
4
5
44
5
18104
654
245
lim
22
xxxxx
xx
x
OBSERVACION 8.
Uno de los lmites especiales de uso habitual para calcular ciertos lmites cuando
la variable crece hacia(ms) infinito, es el conocido nmero e que corresponde a
la base de los logaritmos naturales.
Consideremos la funcin 0,1
1)(
xx
xf
x
Algunos valores de y sus imgenes respectivas: x x
xxf
11)(
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1 221
2 25,2
2
32
15 632878718,2
15
1615
100.000 718268237,2
000.100
001.100000.100
1.000.000 718280469,2
000.000.1
001.000.1000.000.1
160.000.000 71828182,2
000.000.160
001.000.160000.000.160
Se puede demostrar que independientemente del crecimiento de la variable los valores de la funcin no sobrepasan de 3, vale decir:
.0-IR,3)( xxf En definitiva se obtiene el siguiente lmite:
, ....2,71828... e1
1lim
x
x x
EJEMPLOS:
1.- Calcular
2
54
124lim
x
x x
x
Debemos observar que al evaluar directamente se obtiene la forma , con lo cual ledejamos una pregunta ser que todos los lmites que tienen esta forma se pueden calcular usando el lmite especial ya descrito?
4 7
2
222
e1
11
1lim)(
11lim,
4
571
54x
7 doconsideran
54
71lim1
54
1241lim
54
124lim
4134
7
457
yyyx
y
yx
y
xx
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
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2.- Calcular
x
x x
x
102
32lim
Procedemos similarmente:
7
5
2
107
e
111
11lim)(
11lim
2
1071
10x2
7-Sea
102
71lim1
102
321lim
102
32lim
27
yyyx
y
yx
y
xx
x
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES.
Definicin 2:
Sea una funcin real definida en un intervalo que contiene en su interior al punto
a. Se dice que la funcin es continua en a si y solo si:
a. Existe a)(f , vale decir a)(f es un nmero real. (Bien definida en a)
b. Existe )(a
lim xfx
, es decir, )()()( limlimlim xfxfxfaxaxax
c. a)()(lima
fxfx
OBSERVACION 9:
1) En la prctica se suele decir que una funcin es continua en un punto de
ella si localmente en torno a dicho punto se puede graficar sin necesidad de
levantar el lpiz (como sucede cuando graficamos funciones definidas por
trazos o sectores).
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2) Una funcin se dice continua en todo su dominio (o parte de l), si y solo si
lo es en cada punto de dicho dominio.
3) De acuerdo a lo que ya conocemos con respecto a grficos de funciones
(en cursos anteriores) podemos recordar como funciones continuas: toda
funcin lineal, toda funcin cuadrtica, toda funcin polinomial(que contiene
a las dos anteriores) toda funcin racional entendida como divisin de dos
polinomios en la cual el denominador es distinto de cero. Las funciones
trigonomtricas seno y coseno (usted recordar que es una onda que est
entre una franja por sobre son continuas en todo ,
as como la funcin tangente en su rama principal, cuyo dominio es,en esa
rama, el intervalo
. Se considera el intervalo abierto, pues en sus
extremos la funcin tangente tiene dos asntotas verticales.
4) Como la continuidad se define en trminos de lmites, y ya conocemos el
lgebra de lmites, se deduce el lgebra de funciones continuas, como la
suma, diferencia, producto, divisin y ponderacin de una funcin por una
constante son tambin funciones continuas, como tambin lo es la
composicin de funciones continuas, por ejemplo la funcin definida por:
es una funcin continua pues la funcin seno es
continua, as como tambin lo es la funcin cuadrtica.
EJEMPLOS:
1. Si f (x) =
1
12
2 xsix
xsix ,
Analicemos la continuidad en
Solucin:
El grfico de la funcin f es
f ( x ) = 2x f( x ) = -x + 2
1
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Notar que la funcin est bien definida en 1 puesto que , para la parte
(b) de la definicin debemos asegurar la existencia del lmite en dicho punto,
para ello debemos calcular los lmites laterales:
1lim)(lim;1)2(lim)(-lim2
1x1x11x
xxfxxf
x, como se verifica la igualdad de
limites laterales, podemos afirmar que .)1(1)(lim1x
fxf
En consecuencia la
funcin es continua en dicho punto.
OBSERVACION 9.
Naturalmente, si falla al menos una de las tres condiciones de la definicin de
continuidad, la funcin no es continua en dicho punto. Dependiendo de cul o
cules sean las fallas se introduce los siguientes conceptos:
i) La discontinuidad es irreparable si y solo si no existe el lmite en dicho
punto, vale decir los limites laterales son distintos, aunque ellos sean
valores reales, su diferencia da cuenta del salto que tiene la
discontinuidad en ese punto.
ii) La discontinuidad es reparable si y solo si existe el lmite en dicho
punto, con lo cual los lmites laterales son iguales y bastara definir para
reparar la discontinuidad:
)(lim)(a
xfafx
EJEMPLOS.
1. La funcin dada por
tiene discontinuidad
irreparable en
Basta calcular sus lmites laterales en dicho punto, veamos:
,
,
Como ambos lmites son distintos la discontinuidad es irreparable.
2. Determine valores de A y B (si existen) de modo que la funcin
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xsix
x
xsiBxA
xsix
xA
xf
4,4
16
41,2
1,)1(
)1(
)(
2
2
Sea continua en los puntos
Debemos exigir en cada caso, las siguientes igualdades:
Entonces, para
Ax
xxA
x
xAxf
xxx2
)1(
)1)(1(lim
)1(
)1(lim)(lim
1
2
11
, y
BABAxxfxx
4)2(lim)(lim11
, luego )(lim1
xfx
, existe si y solo si
se verifica 2 A = 4 A+B ;
procediendo similarmente con el punto a = 4 ,tenemos :
8)4(
)4)(4(lim
4
16lim,8)2(lim
4
2
44
x
xx
x
xBABAx
xxx , entonces )(lim
4xf
x,
existe si y solo si , en consecuencia debemos resolver el
sistema de ecuaciones dado por :
02
88
BA
BA , cuya solucin es A =
3
4 y B =
3
8 .
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f es una funcin continua en a , b , con f ( a ) f ( b ), entonces toma
todos los valores entre f ( a ) y f ( b ) en el intervalo .
Dado t f (a), f (b), c a, b
f(b)
t
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tal que t = f (c).
APLICACION.
Si se tiene una funcin continua en el intervalo y adems su recorrido es el
mismo intervalo, entonces existe un punto c en el intervalo para el cual
Geomtricamente, significa que toda funcin definida en el cuadrado de lado 1,
tiene que cortar alguna vez a la recta (funcin identidad).
Para verificar este resultado basta definir la funcin la cual es
continua por algebra de funciones continuas, se tiene
Ahora , (si se cumpliera la igualdad ya se tiene el resultado),
como el producto entonces por el teorema del valor intermedio
debe haber un punto c entre ambos valores de modo que pero se tiene
que
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