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ESPACIOS VECTORIALES.
Espacio vectorial. Propiedades
Definición: Sea V un conjunto no vacío. V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , si en
V están definidas dos leyes de composición u operaciones: una interna que se denomina suma
de vectores (+) tal que Vvv 21, está definido un elemento Vvv 21 y otra externa
llamada producto por escalares ( ) tal que VvK , existe un elemento Vv que
cumplen las siguientes propiedades:
a) Asociativa de la suma de vectores: 321321 )()( vvvvvv
Vvvv 321 ,,
b) Existencia de elemento neutro de la suma de vectores: vvvV 00/0
Vv
c) Existencia de elemento opuesto: 0)()/( vvvvVv Vv
d) Conmutativa de la suma de vectores: 1221 vvvv Vvv 21,
e) Asociativa de escalares: vv )()( 2121 VvK ,, 21
f) Distributiva del producto con respecto a la suma de escalares:
vvv 2121 )( VvK ,, 21
g) Distributiva del producto con respecto a la suma de vectores:
))( 2121 vvvv VvvK 21,,
h) vv 1 Vv
Esta estructura suele representarse como la cuaterna ordenada ),,,( KV y se lee Espacio
Vectorial V sobre el cuerpo K o simplemente K – espacio vectorial.
Ejemplos:
1. La recta R , el plano 2R y el espacio
3R y los vectores pertenecientes a ellos con la
suma y el producto conocidos, son espacios vectoriales.
En general, ),,,( RRn es un espacio vectorial con la suma y el producto conocidos,
siendo nR , con n 1, el conjunto de las n-uplas de números reales ),....,,( 21 nxxx
con Rxi porque cada n-upla es una matriz.
2. }0{V con la suma y producto usuales es un espacio vectorial sobre R : espacio
vectorial trivial, porque VV 00.0,000 y se cumplen todas las
propiedades de la definición.
2
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3. fijoRpxpyRyxV ,./),( 2, recta del plano que pasa por el origen,
es un espacio vectorial sobre R ya que:
- Si 22
2
22211
2
11121 ./),(./),(, xpyRyxvxpyRyxvVvv
)..,().,().,(),(),( 21212211221121 xpxpxxxpxxpxyxyxvv
Vvvxxpxx 212121 )(.,
- Sean VvR , .
Si xpyRyxvVv ./),( 2
Vvxpxxpxxpxyxv .)..(,.)..,.().,(),(
Además se cumplen:
- a), d), e), f), g) y h) por ser los elementos de V vectores de 2R , que es un espacio
vectorial.
- b) vvvVp 00/)0.,0()0,0(0 Vv
- c) Si xpyyxvVv ./),( y
0)()/()).(,( vvvvVxpxv
4. RaaaaxaxaxpRP nn
nn
n ,......,,/.......)()( 10
1
10 polinomios de
grado menor o igual que n con coeficientes reales, con las operaciones habituales, es
un espacio vectorial sobre R .
5. RanjmiaARM ijij
nm /,....,1;,....,1],[)( matrices reales nm ,con la
suma y producto por escalares usuales, es un espacio vectorial sobre los reales.
Propiedades
Sea V un espacio vectorial sobre K . Entonces :
1. 00 v Vv
2. 00 K
3. Si 000 vv
4. )()( vv K , Vv
3
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Demostración:
1. vvvv 00)00(0 por ser 0 el elemento neutro de la suma de vectores y
por la propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares.
Es decir: vvv 000 (1)
Por otro lado: 0].0[.0/.00 vvVvVv por la existencia de
elemento opuesto..
Sumando ).0( v a ambos miembros de (1) y aplicando la propiedad asociativa de la
suma de vectores resulta:
)].0(0[00)].0([)00()].0([0 vvvvvvvv
vv .000.00
0.0 v
2. Se prueba de manera similar :
0.0.)00.(0
Es decir: 0.0.0 (2)
Pero 0)]0.([0./)0.(0 VV
Sumando )0.( a ambos miembros de (2):
)]0.([)0.0.()]0.([0.0.0.0
0.000.0)]0.(0.[0.0
0 v
3. Sea 0/0 Kv
Si 1/0 111 K
Si 0v , multiplicando ambos miembros por 1 , aplicando la propiedad
asociativa de escalares, la propiedad 2 recién demostrada y la propiedad vv 1 ,
obtenemos:
00.10)...(0.)..(0 111 vvvvv
000 vv
4. 0.0).()( vvvv por propiedad distributiva con respecto a la
suma de escalares y la propiedad 2 .
0)( vv
Sumando a ambos miembros )( v :
)]([0)]([])[(0)( vvvvvv
)()()(0)()()]}([{)( vvvvvvvv
por propiedad asociativa de la suma de vectores y por ser 0 elemento neutro de la
suma.
)()( vv
4
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Subespacio vectorial. Propiedades
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V . W es un
subespacio vectorial de V si , con la suma de vectores y el producto por escalares, es un
espacio vectorial .
Propiedad:
Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio
vectorial de V si y sólo si la suma de vectores y el producto por escalares son cerradas.
Es decir:
WVW /
W es un subespacio vectorial de
WwWwK
WwwWwwV
,
, 2121
Demostración:
) Si W es un subespacio vectorial, obviamente la suma y el producto por escalares son
cerradas por ser un espacio vectorial en sí mismo.
) Si la suma y el producto por escalares son cerradas en W , para probar que W es un
subespacio vectorial debemos probar que se cumplen los axiomas de la definición de espacio
vectorial:
Como VW , los elementos de W pertenecen al espacio vectorial V y se cumplen por lo
tanto las propiedades asociativa y conmutativa de la suma de vectores, la asociativa de
escalares, las distributivas con respecto a la suma de escalares y a la suma de vectores y
ww 1 Ww .
Además se verifica la existencia del elemento neutro de la suma de vectores: W0
porque Ww0 Ww por ser cerrado el producto por escalares y
00 w Ww por ser W un espacio vectorial y por propiedad 1 de
espacios vectoriales.
Por otro lado se cumple existencia de elemento opuesto: Ww Ww
Porque Ww )1( Ww por ser cerrado el producto por escalares y
www )1()1( Ww por ser W un espacio vectorial y por propiedad
4 de espacios vectoriales.
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Observaciones:
En virtud de la propiedad anterior
1. W0 para todo subespacio vectorial W de un espacio vectorial V .
2. Para probar que un subconjunto W es un subespacio de un espacio vectorial V , basta
con probar que la suma de vectores y el producto por escalares son cerradas.
Ejemplos:
1. 2RV , yxRyxW /),( 2
W es un subespacio de V porque:
- Si
22
2
22222
11
2
11111
21,),(
,),(,
yxRyxconyxw
yxRyxconyxwWww
),(),(),( 2121221121 yyxxyxyxww
2121
2
2121 , yyxxRyyxxcon
Www 21
- Sean WwR , .
Si yxRyxconyxwWw 2,),(
yxRyxconyxyxw 2,),(),(
Ww
2. RanjniaRMV ijij
n /,....,1;,....,1],[)(
jiaRMaW ij
n
ij 0/)(][ es un subespacio de V :
- Si
jibnjnibw
jianjniawWww
ijij
ijij
0/,....,1;,....,1],[
0/,....,1;,....,1],[,
2
1
21
jibanjnibaww ijijijij 0/,....,1;,....,1],[21
Www 21
- Sean WwR , .
Si jianjniawWw ijij 0/,....,1;,....,1],[
jianjniaaw ijijij 0./,....,1;,....,1,.][
Ww
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Propiedad:
Sean U y S dos subespacios de un espacio vectorial V . Entonces:
1. }/{ SsUusuSU
2. }/{ SwUwwSU
son subespacios vectoriales de V .
Demostración:
1. SU es un subespacio vectorial porque:
- Si
SsUuconsuw
SsUuconsuwSUww
22222
11111
21,
)()()()( 2121221121 ssuususuww
SssUuucon 2121 por ser U y S subespacios.
SUww 21
- Sean SUwR , .
Si SsUuconsuwSUw
SsUuconsusuw )( por ser U y S
subespacios.
SUw
2. - Si
SwUw
SwUwSUww
22
11
21 , SwwUww 2121 por
ser U y S subespacios.
SUww 21
- Sean SUwR , .
Si SwUwSUw SwUw por ser U y S
subespacios.
SUw
Por lo tanto SU es un subespacio vectorial .
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Combinación lineal
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n Una combinación
lineal de nvvv ,......,, 21 sobre K es cualquier elemento de la forma
nnvvv ......2211 con Kn ,......,, 21 .
Ejemplos:
1. En 2RV
)14,3( es combinación lineal de )0,1()2,4(,)4,1( y porque
)0,1.(2)2,4).(1()4,1.(3)14,3(
2. En )(3 RMV
136
717
522
es combinación lineal de
015
412
301
y
114
113
120
ya que
114
113
120
).1(
015
412
301
.2
136
717
522
Sistemas de generadores
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sea nvvv ,......,, 21 un subconjunto de V .
nvvv ,......,, 21 es un sistema de generadores de V , si cualquier vector de V puede
expresarse como combinación lineal de nvvv ,......,, 21 .
nvvv ,......,, 21 sistema de generadores de V
/,.....,, 21 Kn nnvvvv ......2211 Vv
Ejemplos:
1. )1,0(),0,1( es un sistema de generadores de 2RV porque
2),( Ryxv , )1,0.()0,1.( yxv
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2. )2,1(),5,3( es un sistema de generadores de 2RV
)2,()5,3(),()2,1.()5,3.();(/, 22112121 yxyxvR
21
21
212125
3)25,3(),(
y
xyx
Resolviendo el sistema se obtiene: 11
21
yx y
11
352
yx
Por lo tanto )2,1(),5,3( es un sistema de generadores de 2R .
3. nxxx ,......,,,1 2es un sistema de generadores de )(RPV n pues cualquier
polinomio )()( RPxp n se puede escribir
n
nnn xaxaxaaxp 0
2
21 ......1.)(
4. Dada cualquier matriz )(2 RMdc
ba
10
00.
01
00.
00
10.
00
01. dcba
dc
ba
Luego
10
00,
01
00,
00
10,
00
01 es un sistema de generadores de )(2 RM .
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sea nvvv ,......,, 21 un subconjunto de V .
El conjunto de todas las combinaciones lineales de nvvv ,......,, 21 es el espacio generado por
dicho conjunto de vectores.
KvvvvVvvvvgen nnnn ,.....,,,....../,......,, 21221121
Observación:
nvvvgen ,......,, 21 es un subespacio vectorial de V .
Ejemplos:
1. En 2RV
RvRvgen 2121
2 ,,)1,0.()0,1.(/)1,0();0,1(
2
2121
2 ,,),(/ RRvRv
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2. En 3RV
RvRvgen 2121
3 ,,)0,1,0.()0,0,1.(/)0,1,0();0,0,1(
RvRv 2121
3 ,,)0,,(/
)0,1,0();0,0,1(gen (plano xy )
3. En 3RV
RvRvgen 2121
3 ,,)6,1,4.()4,1,2.(/)6,1,4();4,1,2(
RvRv 21212121
3 ,,)64,,42(/
Rcon
z
y
x
Rzyx 21
21
21
21
3 ,
64
42
/),,(
Trabajamos con el sistema
21
21
21
64
42
z
y
x
y eliminamos 1 y 2 :
2121 yy
2222221 224224).(242 yxyxyxx
2
22
yx
2222221 246446).(464 yzyzyzz
2
42
yz
02042422
4
2
2
zyxyzyxyzyx
yzyx
02)6,1,4();4,1,2( zyxgen ( plano que pasa por el origen y que
contiene a los vectores que lo generan)
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Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n
nvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes (ld) si existen escalares, no todos nulos, tales que
la combinación lineal de ellos es igual a 0 y son linealmente independientes (li) en caso
contrario.
nvvv ,......,, 21 ld Kn ,.....,, 21 , no todos nulos 0....../ 2211 nnvvv
nvvv ,......,, 21 li 0......2211 nnvvv 0.....21 n
Ejemplos:
1. En 2RV , )0,1(1 v y )1,0(2 v son li porque:
)0,0(),0()0,()0,0()1,0.()0,1.(0 21212211 vv
0)0,0(),( 2121
2. En 2RV , )2,1(1 v y )4,2(2 v
)0,0()4,2()2,()0,0()4,2.()2,1.(0 2211212211 vv
042
02)0,0()42,2(
21
21
2121
Resolviendo el sistema:
2121 202
0.004)2.(2042 22221 2 puede tomar cualquier
valor y no es necesariamente nulo.
Por lo tanto )2,1(1 v y )4,2(2 v son ld ( )2 12 vv
3. En )(2 RMV
10
00,
01
00,
00
10,
00
014321 vvvv son li:
04432211 vvv
00
00
10
00
01
00.
00
10
00
014321
000
004321
43
21
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Propiedades:
1. Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n
nvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes si y sólo si uno de ellos es combinación
lineal de los restantes.
2. Sean n
n Rvvv ,......,, 21 y A la matriz cuyas filas ( o columnas) son las componentes
de nvvv ,......,, 21 .
nvvv ,......,, 21 son linealmente independientes si y sólo si 0 XA tiene solución
única ( solución trivial)
Observaciones:
1. En virtud de la propiedad 2 y la teoría de los sistemas lineales homogéneos :
- n
n Rvvv ,......,, 21 son linealmente independientes 0 A
n
n Rvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes 0 A
siendo A la matriz cuyas filas (o columnas) son las componentes de nvvv ,......,, 21 .
Ejemplos:
En 3RV
a) )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li porque:
100
010
001
A y 01A
b) )1,4,1(1 v , )0,1,1(2 v y )2,8,2(3 v son ld porque:
282
011
141
A y 0A
- n
n Rvvv ,......,, 21 son linealmente independientes si reduciendo la matriz A ,
cuyas filas (o columnas) son las componentes de nvvv ,......,, 21 , a la forma
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escalonada no se obtiene ninguna fila completa de ceros, y linealmente
dependientes en caso contrario.
Ejemplos:
En 3RV
a) )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li porque:
100
010
001
A y es una matriz escalonada con todas sus filas no nulas.
b) )1,4,1(1 v , )0,1,1(2 v y )2,8,2(3 v son ld porque:
282
011
141
A y su forma escalonada
000
130
141
tiene una fila
completa de ceros.
2. Si 2
21, Rvv son linealmente dependientes, pertenecen a la misma recta ( porque
uno de ellos es múltiplo del otro, por propiedad 1) y a rectas distintas si son
linealmente independientes.
3. 3
321 ,, Rvvv son linealmente dependientes si son coplanares ( porque 0A por
observación 1) y si no pertenecen al mismo plano son linealmente independientes.
Bases y dimensión
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sea nvvv ,......,, 21 un subconjunto de V .
nvvv ,......,, 21 es una base de V si y sólo si es un sistema de generadores de V y sus
elementos son linealmente independientes .
nvvv ,......,, 21 base de
livvv
VvvvgenV
n
n
,......,,
,......,,
21
21
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Ejemplos:
1. En 2RV : )0,1(1 v y )1,0(2 v son li ( ver ejemplo 1 pág. 10)
)0,1(1 v y )1,0(2 v generan 2R (ver ejemplo1 pág. 8)
Por lo tanto: )1,0();0,1( es una base de 2R : Base canónica.
2. En 2RV : )5,3(1 v y )2,1(2 v son li porque 011)5(621
53
)5,3(1 v y )2,1(2 v generan 2R (ver ejemplo 2 pág. 8)
Por lo tanto: )2,1();5,3( es una base de 2R .
3. En 3RV : )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li ( ver ejemplo pág.
11) y generan 3R ( ver ejemplo 2 pág. 9).
Luego )1,0,0();0,1,0();0,0,1( es una base de 3R : Base canónica.
4.
10
00,
01
00,
00
10,
00
01 es una base )(2 RM porque es un sistema de
generadores de )(2 RM (ver ejemplo 4 pág. 8) y son li. (ver ejemplo 3 pág. 10)
Propiedad 1
Sea V un espacio vectorial sobre K y nvvv ,......,, 21 una base de V .
Entonces, todo elemento del espacio vectorial se puede expresar de manera única como
combinación lineal de elementos de la base.
Es decir
/cos,.....,, 21 úniKn nnvvvv ......2211 Vv
Demostración:
Sea Vv y supongamos que se puede expresar de dos maneras distintas como combinación
lineal de elementos de la base:
nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21
nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21
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Si nnnn vvvvvv ............ 22112211
0............ 22112211 nnnn vvvvvv
0......222111 nnn vvv
0..........2211 nn por ser nvvv ,......,, 21 una base y por lo
tanto li.
Luego nn .;;.........; 2211 , lo que prueba que la representación de Vv es
única.
Propiedad 2
Sea V un espacio vectorial sobre K y nvvv ,......,, 21 , mwww ,......,, 21 son dos bases
cualesquiera de V . Entonces dichas bases tienen el mismo número de elementos.
nvvv ,......,, 21 , mwww ,......,, 21 bases de mnV
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K con una base finita. La dimensión del espacio
vectorial es el número de elementos de cualquier base. En este caso, V es un espacio
vectorial de dimensión finita o finito-dimensional.
Si nvvv ,......,, 21 base de V nV dim
Observación:
Si 0dim0 VV
Ejemplos:
1. 2dim 2 R
2. 3dim 3 R
3. 4)(dim 2 RM
Propiedad
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n . EntoncesV tiene a lo sumo n vectores
linealmente independientes.
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Coordenadas. Cambio de base
Definición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea nvvvB ,......,, 21 una
base de V .
Si Vv /,.....,, 21 Kn nnvvvv ......2211
n ,.....,, 21 son las coordenadas de v en la base B .
Notación:
n
B vC
.
.)(
2
1
Ejemplos:
1. 2RV ; )1,3();2,1( B ; )3,5(v
)2,3()3,5()1,3()2,1()3,5( 2121212211 vvv
1;232
5321
21
21
1
2)(vCB
2. 2RV ; )1,0();0,1(B ; )3,5(v
3
5),()3,5()1,0()0,1()3,5(
2
1
21212211
vvv
3
5)(vCB
3. 2RV ; )0,1();1,0(B ; )3,5(v
5
3),()3,5()0,1()1,0()3,5(
2
1
12212211
vvv
5
3)(vCB
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4. 3PV ; 1;52;3 2 xxxB ; 2532 xxv
)1(.)52()3(532 2
321
2
332211 xxxxxvvvv
3
2
32211
2 523532 xxxxx
5
32
253
)2()53(532
3
21
321
2
321321
2
xxxx
5;2;1 321
5
2
1
)(vCB
5. )(2 RMV ;
10
00,
01
00,
00
10,
00
01B ;
51
12v
44332211 . vvvvv
10
00
01
00
00
10
00
01
51
124321
43
21
0
00
0
00
00
0
00
0
51
12
5;1;1;251
124321
43
21
5
1
1
2
)(vCB
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Observaciones:
1. Si n
n Rv ),......,,( 21 y B la base canónica .
Entonces
n
B vC
.
.)(
2
1
2. Las coordenadas de un vector dependen de la base del espacio vectorial y también
del orden de los elementos de la misma. Es decir, si se cambia la base B del espacio
vectorial o se cambia el orden de los vectores de B , cambian las coordenadas del
vector.
Propiedad. ( Cambio de base)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, sean B y D dos bases de V y Vv .
Entonces
)()( vCPvC BD
donde P es una matriz invertible cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la
base B en la base D .
Demostración:
Sean nvvvB ,......,, 21 y nwwwD ,......,, 21 bases de V y sea Vv .
Por ser B una base de V : nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21
n
nvvvv
.
...
2
1
21 (1)
Por ser D una base de V : nnwwwv ......2211 con Kn ,.....,, 21
n
nwwwv
.
...
2
1
21 (2)
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Por otro lado, todo vector de la base B se puede expresar como combinación lineal de los
vectores de la base D :
nniiii wwwv ......2211 con Kniii ,.....,, 21 ; ni ,........,2,1
ni
i
i
ni wwwv
.
...
2
1
21 para ni ,........,2,1
Luego:
nnnn
n
n
nn wwwvvv
..
...
...
..
....
21
22221
11211
2121 (3)
Por (1) y (3):
nnnnn
n
n
n
n
n wwwvvvvv
.
.
..
...
...
..
..
.
...
2
1
21
22221
11211
21
2
1
21
(4)
Teniendo en cuenta (2) y (4), por unicidad de coordenadas:
nnnnn
n
n
n
.
.
..
...
...
..
.
.
2
1
21
22221
11211
2
1
19
UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
n
.
.
2
1
son las coordenadas de v en la base B y
n
.
.
2
1
son las coordenadas de v en la base D .
nnnn
n
n
..
...
...
..
21
22221
11211
es una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores
de la base B en la base D , a la que llamamos P .
)()( vCPvC BD
Observación:
P es llamada matriz de transición de la base B a la base D y 1P es la matriz de transición
de D a B .
Ejemplo:
2RV ; )1,0();0,1(B ; )1,1();1,2( D
Si
3
3)(vCB , hallar )(vCD
a) Determinamos las coordenadas de los vectores de la base B en la base D :
),2()0,1()1,1()1,2()0,1( 2121211 v
3
1;
3
1
0
1221
21
21
3
13
1
)( 1vCD
20
UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
),2()1,0()1,1()1,2()1,0( 2121212 v
3
2;
3
1
1
0221
21
21
3
23
1
)( 2vCD
b) La matriz de transición de la base B a la base D es
3
2
3
13
1
3
1
P
c) Las coordenadas de
3
3v en la nueva base D son:
1
2
3
3
3
2
3
13
1
3
1
)()( vCPvC BD
1
2)(vCD
Nulidad y rango de una matriz
Definición: El espacio nulo de una matriz )(RMA nm es el conjunto de soluciones del
sistema 0 XA .
0/)( XARXAN n
Propiedad
El espacio nulo de una matriz )(RMA nm es un subespacio vectorial de nR .
Demostración:
0/)( XARXAN n es un subespacio vectorial porque:
21
UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
- Si 00)(, 2121 XAXAANXX
000)( 2121 XAXAXXA
)(21 ANXX
- Sean RANX ),( .
Si 0)( XAANX
00.).().( XAXA
)(. ANX
Definición: La nulidad de una matriz )(RMA nm es la dimensión de espacio nulo, es decir
la dimensión del conjunto de soluciones del sistema 0 XA .
)(dim)( ANA .
Observación:
Si 0)(0)( AAN
Ejemplo:
321
112A
0/)( 3 XARXAN
032
02
0
0
321
1120
321
321
3
2
1
xxx
xxx
x
x
x
XA
Resolvemos el sistema: Rxxxxxx 333231 ;;
3
3
3
)(
x
x
x
AN
Pero
1
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
1
1
1
es base de 1)(dim)( ANAN
1)( A
22
UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
Propiedad
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su nulidad es cero.
Es decir:
0)()( AsisóloysiinvertibleRMA nn
Demostración:
)(RMA nn invertible 0 A .
Además un sistema homogéneo 0 XA es compatible determinado y su única solución es
la trivial cuando 0A .
Por lo tanto
)(RMA nn invertible 000 XúnicasolucióntieneXAA
0)(0)( AAN
Aplicación:
Si un sistema lineal homogéneo es compatible indeterminado podemos determinar una base
del espacio solución, que es una base del espacio nulo y la dimensión del mismo, que es la
nulidad de la matriz de los coeficientes.
Ejemplo:
03242
0222
0342
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
La matriz de los coeficientes es
3242
2221
3421
A
Reducimos la matriz a la forma escalonada:
0000
1200
3421
3600
1200
3421
3242
2221
3421
Entonces
02
0342
43
4321
xx
xxxx
43432
102 xxxx
23
UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
032
1.420342 44214321 xxxxxxxx
421421 202 xxxxxx
Luego )(
4
3
2
1
AN
x
x
x
x
X
es:
12
10
1
.
0
0
1
2
.
2
10
0
0
2
2
1
2
42
4
4
4
2
2
4
4
2
42
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
X
Y una base de )(AN y por lo tanto del conjunto solución es
12
10
1
;
0
0
1
2
y la dimensión del espacio solución es 2)( A .
Definición: La imagen de una matriz )(RMA nm es el conjunto
nm RXúnaparaYXARYA lg/)Im(
Propiedad
La imagen de una matriz )(RMA nm es un subespacio vectorial de mR .
Demostración:
nm RXúnaparaYXARYA lg/)Im( es un subespacio vectorial porque:
- Si 22112121 /,)Im(, YXAYXARXXAYY n
)Im()(/ 2121212121 AYYYYXAXAXXARXX n
- Sean RAY ),Im( .
YXAXARXYXARXAY nn .).().(/./)Im(
)Im(. AY
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Definición: El rango de una matriz )(RMA nm es la dimensión de espacio imagen.
)Im(dim)( AA .
Definiciones:
- El espacio fila de una matriz )(RMA nm es el subespacio de mR generado por
sus filas.
mA rrrgenR ,......,, 21 donde mrrr ,......,, 21 son las filas o renglones de A .
- El espacio columna de una matriz )(RMA nm es el subespacio de nR
generado por sus columnas.
nA cccgenC ,......,, 21 donde nccc ,......,, 21 son las columnas de A .
Ejemplo:
321
112A
)3,2,1();1,1,2( genRA )3,1();2,1();1,2( genCA
Propiedades
1. La imagen de una matriz es igual a su espacio columna.
Sea )(RMA nm
ACA )Im(
2. El rango de una matriz es igual a la dimensión de su espacio fila y a la dimensión de su
espacio columna.
Sea )(RMA nm
AA CRA dimdim)(
3. La suma del rango y de la nulidad de una matriz es igual al número de sus columnas.
Sea )(RMA nmnAA )()(
Observaciones
1. Como ACA )Im( y AC está generado por las columnas de A , para determinar
una base y la dimensión del espacio imagen basta con ver cuáles de los vectores
columnas que generan AC son linealmente independientes para formar una base
de AC y por lo tanto de )Im(A .
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UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo
Ejemplo:
321
112A
Vemos cuáles de los vectores que la generan son li. Una forma de hacerlo es
expresar dichos vectores como filas de una matriz y reducir la matriz a la forma
escalonada:
00
50
21
50
50
21
31
12
21
31
21
12
Los 2 primeros son linealmente independientes.
)2,1();1,2()Im( ABase y 2)( A
2. Como ARA dim)( y AR está generado por las filas de A , para determinar el
rango de A debemos ver qué filas son li para formar una base de AR .
Para ello reducimos la matriz A a la forma escalonada y el rango es la cantidad de
filas cuyos elementos no son todos 0.
Ejemplo:
321
112A
550
321
112
321
321
112A
2)( A
Como también ACA dim)( , se puede proceder de manera similar pero
partiendo de la matriz cuyas filas son los vectores que generan AC .
)3,1();2,1();1,2()Im( genCA A
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3. Como nAA )()( . Entonces )()( AnA
Ejemplo:
321
112A
Como 2)( A y 3n , resulta 123)()( AnA
1)( A
Aplicación:
El cálculo del rango lo empleamos para determinar si un sistema lineal homogéneo tiene o no
solución. Recordar que un sistema homogéneo BXA es compatible si )'()( AA e
incompatible en caso contrario, siendo A la matriz de los coeficientes y 'A la matriz ampliada.
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