CURSO TÉCNICO EM MINERAÇÃO - MÓDULO II
Topografia e
Geoprocessamento
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CE SBOC - Centro Educacional Profissionalizante Ltda.
Capítulo 1 - Generalidades e DefiniçõesCapítulo 2 - PlanimetriaCapítulo 3 - AltimetriaCapítulo 4 - PlanialtimetriaReferências Bibliográficas
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1 - Introdução1 - Introdução
“ _ ... a topografia não é mais a mesma !”, “ _ ... podemos jogar nossos antigos equipamentos no lixo,
para inserirmos no mercado !? ...”;
“ _ ... para que desenhar em papel se existe o computador !?”, “ _ ... trena !? ... pra que isso !?”, “
_ ... tudo está mais fácil ...., mas aonde é que liga esse “trem” mesmo ... !?”.
Estas são apenas algumas das indagações que constantemente escuta-se na comunidade prestadora
de serviços em topografia.
Ampliando o rol de usuários e formadores de opinião sobre a ciência topográfica, aonde inclui-se
desde aqueles inseridos nos processos acadêmicos até os empresários do setor, percebe-se, às vezes,
um descompasso na atividade produtiva.
Nas últimas décadas, verificou-se um avanço tecnológico nunca registrado na
história, dificultando a natural percepção do homem frente a estas mudanças. Pela “falsa
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competição” entre as empresas, seu “layout” foi rapidamente modificado, em busca da dita
“modernidade”.
“ ... pronto ! ... compramos ! ... e agora quem vai operar ... !?”
Então se retoma a real importância da existência da Tecnologia, ou seja, o Homem. Tecnologia esta,
que foi idealizada por homens, devendo ser executada também por homens, em benefício da
sociedade.
Na prática destas duas ações grifadas acima é que se encontram atualmente as grandes dificuldades
do avanço da topografia no Brasil. Temos num extremo a tecnologia muitas vezes não idealizada por
nós, prejudicando a execução por pessoas também não conhecedoras dos fundamentos básicos da
topografia.
Cooperando com a ciência e certificado que a minimização deste problema está no conhecimento
dos fundamentos básicos da Topografia e temas correlacionados, discutem-se estes assuntos com os
seguintes enfoques: No capítulo 1 faz-se um resumo histórico da topografia e definem-se os
fundamentos básicos da Geodésia e Topografia. No capítulo 2 restringe-se ao assunto planimetria,
destacando-se principalmente os processos de levantamento topográfico e o cálculo de planilha de
coordenadas. Busca-se também adotar a NBR 13.133, da ABNT, nos cálculos em questão. No capítulo
3, discute-se os métodos de levantamento altimétrico, dando ênfase ao nivelamento geométrico
composto. Cita fatos atuais da altimetria e também se aplica a NBR 13.133. No capítulo 4, comenta-
se o assunto planialtimetria, exemplificando o tema.
Os próximos capítulos têm como subtítulo “Aspectos Básicos”. Esta sugestão ocorre por três
motivos: da dificuldade em expor todos as vertentes da técnica ou ciência em estudo, da constante
evolução do tema ou da importância relativa deste tema ao aprendizado do engenheiro ou técnico
na disciplina de Topografia. Desta forma são assim discutidos:
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos;
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos;
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos;
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Capítulo 8 - Locação - Aspectos Básicos;
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos.
2 - Resumo Histórico2 - Resumo Histórico
A percepção e entendimento das técnicas, procedimentos e instrumentos topográficos ocorreu sempre paralelo às aspirações do homem. Sabe-se que a principal necessidade natural da sobrevivência humana é o conhecimento das peculiaridades, e principalmente das adversidades da natureza. Esta preocupação remonta dos primórdios da civilização até os dias atuais.
Pode-se dizer que a Topografia em sua forma elementar é tão antiga como a história da civilização e
igualmente às outras ciências, tomando do ponto de vista histórico, pode-se dividi-la em épocas.
2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga
É fato, que o homem ao se erguer e iniciar a busca ao alimento e moradia, este começou a requerer
sentidos de localização.
Sendo vasto o ambiente que o cercava, sua capacidade de
guardar informações era restrita, havendo a necessidade e
uma tendência inata de rabiscar ou rascunhar este
pensamento. Após a confirmação e aprimoramento destes
símbolos, o homem começou a se posicionar. Este podia agora
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... então, acordo, ando em direçãoao sol, avisto uma grande árvore,fujo do “dino”, viro em direção àpedra sagrada, e subo o monte ...daí já avisto ...
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encontrar água ou abrigos com mais facilidade, pois possuía a noção de posições relativas do local
em que habitava.
Com a evolução natural, principalmente praticando o sedentarismo, ocorreu o início da organização
social e política, evoluindo à criação do Estado. O fato marcante desta época (cerca de 4.000 a.C.) foi
denominado de Revolução Agrícola. Mais uma vez surgia a necessidade do reconhecimento dos
acidentes do relevo, e principalmente dos limites entre as propriedades agrícolas. Surgem os
primeiros procedimentos para demarcação destas áreas.
A maioria dos primeiros Estados de que se tem notícia formaram-se na região conhecida como
Oriente Próximo. Correspondem às civilizações que surgiram e se desenvolveram por meio da
agricultura, praticada nas terras cultiváveis às margens de grandes rios, como o Nilo, o Tigre, o
Eufrates e o Indo. Registra-se que a representação gráfica mais antiga que a humanidade conhece,
foram os confeccionados pelos Mesopotâmios, em aproximadamente 3.500 a.C., na histórica região
entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje se encontra o Iraque. A prática destes métodos de medição
e representação foi repassada aos gregos, e este a denominaram de Topografia1, onde topo
significava lugar, ambiente e grafia um desenho, representação gráfica, logo, representando a
descrição de um lugar.
Ainda sobre essas civilizações, na idade Antiga (4.000 a.C. a 476 d.C), reconhece-se que controlavam
a água dos rios, construindo açudes e canais de irrigação. Percebe-se agora não só preocupação de
posicionamento e registro do ambiente, mas também a implantação de um projeto, ou seja, a
locação de uma obra já planejada. Nesta época ocorre um grande desenvolvimento da matemática,
no qual era necessário para o conhecimento da produção agrícola nas épocas das enchentes pelos
escribas2.
Devido ao grande porte destes projetos, o controle das águas era empreendido pelo Estado, que
passou a ser o grande proprietário de terra, além de dirigir todos os aspectos da sociedade. Com o
Estado responsável pela gerência de bens e produtos, seus representantes normatizaram regras de
convivência entre as classes sociais. Surgem as primeiras leis do Direito Agrário, onde eram
conhecidos os termos de desapropriação, hereditariedade sobre os bens, etc.
1 Topografia: Do gr. e lat. topographia, de topos, lugar + graphein, escrever.2 Escribas: Classe de funcionários públicos, formado por indivíduos muito cultos que
supervisionavam toda a administração pública, responsabilizando-se pela geração da ciência, pelas leis e pela cobrança de impostos.
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Como o Estado era dominado por parte das camadas superiores; para garantir esta dominação, os
reis, imperadores e príncipes organizavam exércitos. Surgem as primeiras batalhas pela expansão
territorial e apropriação de riquezas. Surge a real necessidade de confecção de mapas para estudar
estratégias de batalha e referenciar as conquistas obtidas, ocorrendo grandes avanços na
Cartografia.
Por volta do século VII a.C. florescem importantes escolas de pensamento, principalmente na Grécia.
Com os primeiros pensadores gregos, denominados freqüentemente de físicos, em razão da procura
de explicações físicas para a Terra e o Universo, surgem as primeiras especulações do formato da
Terra porém ignora-se a que época remonta-se as primeiras idéias sobre a esfericidade terrestre.
Sabe-se, contudo, que há dois milênios e meio Pitágoras se recusava a aceitar a concepção simplista
de uma Terra plana; enquanto Sócrates, tinha as mesmas idéias porém incapaz de prová-las.
Desta forma, o homem passou a não se preocupar apenas em entender o que as vistas alcançavam,
ou seja, praticar a Topografia; mas no conhecimento da forma e tamanho do planeta. Surge o termo
Geodésia como a ciência destinada a buscar respostas para esta forma e dimensão da Terra como
um todo. Em 350 a.C. Aristóteles argumentou e demonstrou a teoria da esfericidade, antes admitida
através de considerações puramente filosóficas, e passa a ser considerado o fundador da ciência
geográfica. Considere seus argumentos:
“ ... o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipse da Lua; a variação do aspecto do
céu estrelado com a altitude; a diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para
observadores situados em meridianos afastados.”.
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A
grande
proeza
estava
reservada ao grande astrônomo e matemático Erastótenes, que viveu aproximadamente entre os
anos 276 a.C. e 196 a.C., onde determinou o raio da Terra com uma grande precisão para sua época.
A experiência de Erastótenes baseava nos seguintes fatos (Figura 1.1) (Figura 1.2):
Constatou-se que no dia de solstício de verão, o sol iluminava o fundo de um poço em Siena;
Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de 7o 12’ (1/50 do
círculo), ou seja, 360o/7o 12’ = 50
Com estas afirmações, faz ainda algumas considerações:
No dia de solstício de verão, o sol do meio dia se colocava diretamente sobre a linha da zona
trópica de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena estava inclinada nesta linha;
A distância linear entre Alexandria e Siena eram de aproximadamente 500 milhas;
Siena e Alexandria pertenciam ao mesmo meridiano.
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Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastóstenes.
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Logo, a circunferência da terra seria igual a 50 x 500, ou seja, 25.000 milhas. Observa-se que foi
notável sua precisão (aproximadamente +0,40% do atualmente aceito pela UIGG3), pois:
Siena não estava inclinada nesta linha do solstício, mas 37 milhas ao norte;
A distância entre Alexandria e Siena era de 453 milhas;
Siena e Alexandria não estão sobre o mesmo meridiano, mas com diferença de 3o 30’.
Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes.
3 UIGG: União Internacional de Geodésia e Geofísica.9
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3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia
Os objetivos da Topografia e da Geodésia como ciência são similares, ocupando ambas na
representação de porções sobre a superfície da Terra. Sua diferença está no campo de atuação, onde
a Topografia estuda o particular, ou seja, se limita a representação de áreas de dimensões reduzidas;
enquanto a Geodésia4, parte para o geral, preocupando-se em determinar a forma geométrica,
tamanho da Terra e o campo gravitacional ou estudo de grandes extensões desta superfície.
Segundo GEMAEL, 1995, costuma-se considerar sua evolução em duas etapas principais:
a) Pré-história
De Erastótenes (século II a.C.) às expedições francesas (1870).
b) História
1o. Período: das expedições francesas a 1900
Dimensões do melhor elipsóide (Triangulações);
Elipsóide não-homogêneo;
Especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de uma massa fluida isolada no
espaço e submetida a ação da gravidade;
Método dos Mínimos Quadrados;
Trabalhos de astro-geodésia.
2 o. Período: no presente século até o lançamento do Sputnik I;
4 Geodésia: Do gr. geodaisia, divisão das terras.10
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Geodésia Física;
Equipamentos eletrônicos (distanciômetro);
Vulgarização dos computadores e lançamento do Sputnik I.
Em 4 de outubro de 1957, a URSS surpreendeu o mundo ao lançar o primeiro satélite artificial, o Sputnik 1. Era uma esfera de metal do tamanho de uma bola de praia, com quatro antenas que transmitiam sinais de rádio para a Terra, inclusive um "bip-bip" contínuo. O satélite levou instrumentos para medir a temperatura e a densidade do topo da atmosfera e enviou os resultados durante 21 dias, até que suas baterias se esgotaram. Depois de passar 96 dias em órbita, o Sputnik 1 reentrou na atmosfera e incendiou-se devido ao atrito com o ar. O nome Sputnik significa "companheiro de viagem" em russo.
3 o. Período: o que estamos vivendo.
Geodésia tridimensional;
Sistema geodésico mundial (geocêntrico);
Posicionamento automático;11
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Geodésia extraterrestre;
Estrutura do campo da gravidade.
3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal, Plana e Esférica3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal, Plana e Esférica
Considerações devem ser feitas para as representações de feições da superfície da Terra, tanto na
Geodésia quanto na Topografia. Partindo do geral (Geodésia), em primeira aproximação, a superfície
que mais se aproxima da forma da Terra é a que se denomina de Geóide.
Logo, geóide é o nome dado à figura que melhor representa a forma da terra. Esta é obtida através
do prolongamento do nível médio dos mares, em repouso, através dos continentes e normal em
cada ponto à direção da gravidade. Esta figura é bem definida fisicamente em um ponto mas
matematicamente tem sido alvo de exaustivos estudos
pela comunidade geodésica.
Pela dificuldade da utilização do geóide através de uma equação analítica, adotou como forma da
Terra a de um Elipsóide de revolução, girante em torno de seu eixo menor. Com isso, o elipsóide de
revolução constitui uma figura com possibilidade de tratamento matemático, que mais se assemelha
ao geóide. Sua construção é oriunda da rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor (Figura
1.4).
Um sistema elipsóidico global está relacionado ao elipsóide de referência como a melhor figura da
terra como um todo. A origem do elipsóide geralmente coincidente com o centro de massa da Terra
(geocêntrico). O conjunto de parâmetros que descreve a relação entre um elipsóide local particular e
um sistema de referência geodésico global é chamado de Datum Geodésico.
Um sistema elipsóidico ou geodésico é caracterizado por cinco parâmetros geométricos:
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Figura 1.4: Elipsóide de Revolução.
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a) Dois parâmetros definem o elipsóide de referência:
Semi-eixo maior (a);
Achatamento (f).
onde b é o semi-eixo menor (Figura 1.4).
b) Três definem a orientação desse modelo em relação ao corpo terrestre:
e - Componentes do desvio da vertical;
N - Ondulação do geóide.
Na maioria dos sistemas geodésicos, os valores das componentes do desvio da vertical e da
ondulação do geóide são arbitrados iguais a zero, o que leva o elipsóide e o geóide a se tangenciarem
no datum.
Além destes parâmetros geométricos, são definidos parâmetros dinâmicos: J2 (fator de elipticidade
geopotencial ou fator de forma); GM, sendo G a constante gravitacional de Newton e M a massa da
terra; W, velocidade angular da terra.
Tendo definido a melhor forma para a Terra, a busca incessante dos cientistas foi pela definição do
melhor elipsóide. Com o passar dos anos vários elipsóides de referência foram adotados, sendo
substituídos por outros que proporcionassem parâmetros mais precisos (Tabela 1).
O elipsóide de Hayford foi recomendado pela Assembléia Geral da União Internacional de Geodésia e
Geofísica (UIGG) em Madrid em 1924. Em 1967, a UIGG, em Lucena, o sistema 1924/1930 foi
substituído pelo Sistema Geodésico de Referência 1967, e atualmente utilizado no Brasil. Em 1979,
em Camberra, a UIGG reconheceu que o sistema geodésico de referência 1967 não representava a
medida, forma e campo da gravidade da terra com a precisão adequada. Este sistema foi substituído
pelo sistema geodésico de referência 1980. Este último sistema constitui a base do WGS-845, o
sistema de referência utilizado pelo sistema GPS6 (Cap. 5).
Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros.
5 WGS: World Geodetic System.6 GPS: Global Position System.
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Nome Datum Semi-eixo maior (a) Semi-eixo menor (b) Achatamento (f)
Hayford Córrego Alegre 6.378.388,000
b = a – f x a
1/297
SGR-67 SAD-69 6.378.160,000 1/298,25
SGR-80 WGS-84 6.378.137,000 1/298,257223563
Fonte: IBGE, 1996.
Porém uma segunda aproximação para a forma da Terra é proposta: a forma esférica. Em
representações que permitem menor precisão, então é adotada a redução do elipsóide a uma esfera
de raio igual à média geométrica dos raios de curvatura das seções normais7 que passa por um ponto
sobre a superfície do elipsóide terrestre em questão. Na Geodésia, esta aproximação permite a
implantação e densificação de pontos geodésicos, a partir da execução de triangulações geodésicas,
cujas figuras geométricas são tratadas como triângulos esféricos.
Esta opção também é muito utilizada no estudo de Projeções Cartográficas, onde se tem o conceito
de esfera-modelo, que é uma esfera desenhada na escala da projeção e que serve como construção
auxiliar para obtenção das projeções geométricas. Com este recurso, além de facilitar o cálculo, o
erro obtido é quase insignificante, devido às escalas de projeção.
O raio desta esfera depende diretamente da escala, sendo:
E > 1/500.000 e E < 1/500.000
Como dito anteriormente a Topografia considera trechos de dimensões limitadas. Logo uma terceira
aproximação é sugerida: considerar a superfície terrestre como plana. Desta forma depreza-se a
curvatura terrestre, constituindo o que se denomina de campo topográfico.
Definindo com clareza, o campo topográfico é a área limitada da superfície terrestre que pode ser
representada topograficamente, isto é, tal que seja desconsiderado a curvatura da terra, supondo-a
7 Seções normais principais: a seção meridiana (M) e a seção do primeiro vertical (N), e o modelo para o raio da Terra esférica será a média geométrica dado por R = (N . M)1/2
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esférica. O limite da grandeza desta área, de forma que possa considerar a terra como plana em
determinada faixa de sua superfície, é função da precisão exigida para sua representação.
Segundo a NBR 13.133 da ABNT, o campo topográfico possui as seguintes características:
As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção
localizado no infinito;
A superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre
considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum
vertical;
As deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e à refração
atmosférica têm as seguintes expressões aproximadas:
l (mm) = - 0,004 * l3 (km)
h (mm) = + 78,5 * l2 (km)
h’ (mm) = + 67 * l2 (km)
onde
l = Deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;
h = Deformação altimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;
h’ = Deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração
atmosférica, em mm;
l = Distância considerada no terreno, em km.
O plano de projeção tem a dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que
o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1/35.000 nesta
dimensão e 1/15.00 nas imediações da extremidade desta dimensão.
Existem alguns fundamentos matemáticos para definir o limite do campo topográfico.
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a) Considerando um plano tangente em ponto médio da porção considerada.
Denominando de erro de esfericidade, o erro cometido ao substituir o arco pela tangente em uma
extensão da superfície terrestre, tem-se (Figura 1.5):
Erro de esfericidade (e)
(1)
1 - Pelo triângulo ABC, tem-se:
(2)
2 - Considerando a
circunferência terrestre,
tem-se:
(3)
e AF = AF’
3 - (2) e (3) em (1), tem-se:
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Figura 1.5: Extensão do campo topográfico.
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Para exemplificar, considere os seguintes valores:
Raio da terra 6.367.000 m; e = 0o 30’.
Para estes valores, tem-se a seguinte solução:
= 55563,96 m - 55562,55 m 1,41 m
O valor acima pode ser considerado desprezível nas operações topográficas correntes, em face da
precisão dos instrumentos usados. Logo, pode-se afirmar que em uma área limite, de
aproximadamente 55 km de raio, é satisfatória para limitar o campo topográfico. Acima deste valor,
deve-se fazer considerações à precisão imposta.
b) Considerando o erro de graficismo
Uma vez que a planta topográfica é representada sob um erro de graficismo da ordem de 0,1mm, a
limitação do campo topográfico para obtenção da precisão desejada pode ser função, também, da
escala adotada.
Considere o erro de esfericidade (e) da alínea anterior:
Sendo muito pequeno em relação a R, desenvolvendo tan em série e desprezando os termos
acima de 5, tem-se:
Denominando o arco R de D, o erro D da distância D será:
e
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temos finalmente:
Para exemplificar, considere os seguintes valores:
Admitindo o erro de graficismo de 0,2 mm, escala de 1:1.000, pergunta-se qual o valor de D para
limitar o campo topográfico. Esta solução será dada por:
= 3*6.367.0002*0,0002*1.000
D 46 Km
4 - Conceitos Fundamentais da Topografia4 - Conceitos Fundamentais da Topografia
As definições para a ciência topográfica, estão todas direcionadas para explicar o seu principal
objetivo, que é a obtenção da planta topográfica.
Logo, a Topografia pode ser definida como: “ A ciência, baseada na geometria e trigonometria plana,
que se utiliza de medidas horizontais e verticais, com fim de obter a representação em projeção
ortogonal sobre um plano de referência, dos pontos capazes de representar a forma, dimensão e
acidentes naturais e artificiais de uma porção limitada do terreno”.
Para atingir os objetivos executam-se os levantamentos topográficos. O levantamento topográfico é
um conjunto de operações, realizadas no campo e no escritório, usando-se processos e instrumentos
adequados para obtenção de elementos necessários à confecção da planta topográfica.
4.1 - Divisão da Topografia4.1 - Divisão da Topografia
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Para estudo da topografia, e com relação às operações topográficas, esta se divide em duas partes:
Topometria e Topologia.
A topometria8 trata dos processos e instrumentos para avaliação de grandezas (lineares e/ou
angulares) que definam os pontos topográficos, considerando os planos horizontal e vertical. Ponto
Topográfico é todo ponto do terreno que servindo de apoio para execução de medida lineares e
angulares, contribui para a representação da forma da área considerada e dos acidentes existentes.
Para facilidade em seu estudo, ainda se divide em: planimetria (Cap. 2) e altimetria (Cap. 3).
A planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias,
considerando um plano horizontal.
A altimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de distâncias verticais ou diferenças
de níveis e ângulos verticais. Para isto executa-se o nivelamento.
Para atender o objetivo da topometria, este pode ser executado de duas formas:
a) Efetuando trabalhos sobre a superfície terrestre.
Pode-se executar, por exemplo, as operações planimétricas e altimétricas separadamente; ou
conjuntamente, pelo processo denominado de taqueometria9, ou mais recentemente, com auxílio de
aparelhos eletrônicos, resultando na planialtimetria (Cap. 4). Também participam desta classe os
trabalhos de fotogrametria terrestre (Cap. 6);
b) Efetuando trabalhos acima da superfície terrestre
As técnicas que participam desta categoria são aquelas que modernizaram alguns conceitos da
topografia. Nesta categoria é prudente subdividi-la:
8 Topometria: Do gr. topos, lugar + metron, medida.9 Taqueometria: Do grego takhys, rápido + metrum, medida. São levantamentos topográficos
planialtimétricos (LOCH & CORDINI, 1995).19
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Técnicas do Sensoriamento Remoto (SR)10, como por exemplo, a Fotogrametria Aérea,
utilizando-se das fotografias aéreas (Cap. 6) e o SR orbital, utilizando-se das imagens
digitais.
Técnicas do posicionamento por satélites artificias, exemplificando, o rastreio de satélites dos sistemas GPS e GLONASS (CAP. 5).
A topologia11 cuida do estudo das formas do relevo. Esta é dirigida para a representação em planta
do relevo do terreno, através das curvas de nível e dos pontos cotados.
10 Sensoriamento Remoto: “Sensoriamento remoto é aquisição de informações sobre um objeto sem que haja um contato físico” (por Simonett, em COLWELL (1983)).
11 Topologia: Do gr. topos, lugar + logos, tratado.20
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4.2 - Importância e Aplicações4.2 - Importância e Aplicações
Ao considerar que a ciência é um conjunto de conhecimentos e princípios objetivos e sistemáticos de
um fenômeno qualquer, a Topografia é uma ciência, pois guia-se por um conjunto de princípios e
métodos científicos, para proporcionar que as pessoas realizem seu trabalho de forma mais eficiente.
Se a arte é a capacidade de realização para obter um resultado desejado, aplicando conhecimento e
habilidades, a Topografia também é arte, pois em muitos caso, a criatividade e a execução
apropriada dos princípios e conhecimentos, contribuem para obter as metas desejadas. E também
uma técnica, pois é um conjunto de procedimentos e métodos.
É indiscutível a importância da Topografia para a Engenharia. Ao iniciar qualquer projeto da
construção civil, o conhecimento dos elementos naturais e artificiais que os cercam são
fundamentais para sua concepção. Logo, a planta topográfica é a primeira e insubstituível
ferramenta para o estudo no campo da
engenharia.
Entre os vários ramos da Engenharia, com
relação à aplicação da Topografia, pode-se
citar:
Construção Civil - Edificações de modo geral
(estradas, pontes, viadutos, túneis, barragens,
etc.);
Urbanismo - Planejamento de cidades
(zoneamentos), loteamentos, cadastros imobiliários, etc.;
Saneamento - Planejamento de adutoras, estudos da hidrologia, redes de abastecimento de água e esgotos;
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Vias de comunicação - Planejamento e locação do sistema viário (rodovias, ferrovias, hidrovia,
dutos), análises na área de transporte e tráfego, citando, estudos batimétricos para transporte
marítimo, navegação aérea, redes elétricas, telecomunicação, etc.;
Geologia - Definição de aspectos geológicos, definição e demarcação de jazidas, demarcação de
áreas de riscos, etc.;
Ciências florestais e agrárias - Gerenciamento e Controle de reflorestamentos, cadastros florestais,
projetos de irrigação e drenagem, controle de safras, divisão de terras, etc.;
Defesa Nacional - Reconhecimento e exploração de áreas, estratégias, simulações, etc.
5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia
O conhecimento dos sistemas de referências na Geodésia e Topografia é um dos fundamentos
básicos para o posicionamento. Em meio à grande revolução impulsionada pela automação digital de
processos, o mundo se torna cada vez “menor”. A seguir têm-se sucintamente alguns conceitos e
definições sobre sistemas de referências, e tendências mundiais e nacionais.
Segundo GEMAEL (1988), o objetivo da geodésia do século XIX, centrada na busca dos melhores
parâmetros do elipsóide, e até nos dias atuais, pelo posicionamento preciso GPS (Global Positioning
System), a definição de HELMERT (1880) - “ ...a geodésia é a ciência das medidas e mapeamento da
superfície da terra.” - ainda é válida. Validando a definição, e com visão contemporânea, constata-se
uma evolução na acurácia das observações, requerendo novos estudos relativos a sistemas de
referência, principalmente voltados a precisão, busca de padrões e transformações entre os vários
sistemas.
Segundo FREITAS (1980), do ponto de vista físico, um referencial é o conjunto de um ou mais eixos
com orientação definida no espaço e com uma escala adequada, onde através deste, uma posição ou
uma orientação possam ser definidas sem ambigüidade.
Para estabelecer um sistema de referência, algumas etapas devem ser concebidas (KOVALEVSKY,
1979):
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a) Concepção do sistema
Pode-se considerar um Sistema de Referência Terrestre Ideal (ITRS) como um sistema
tridimensional, com uma origem e um vetor-base definindo a escala e a orientação. Um ITRS é
especificamente quase-geocêntrico, com uma orientação equatorial de rotação. A escala é definida
como comprimento unitário, em unidades do sistema internacional (SI).
b) Definição do sistema
Concebido tal ITRS, pode-se definir vários sistemas de coordenadas no qual são amarrados a este,
podendo citar os principais:
1 - Sistema de coordenadas astronômicas ou geográficas, sobre o geóide;
2 - Sistema de coordenadas geodésicas ou elipsoidais, após selecionar um elipsóide;
3 - Sistema de coordenadas planas, após selecionar uma projeção específica (ex. projeção UTM);
4 - Sistema de coordenadas topográficas locais.
Estes sistemas citados acima se interagem, e se constituem em apoio aos trabalhos cartográficos.
Alguns utilizam-se de elementos geográficos, a saber:
Eixo Terrestre - É o eixo ao redor do qual a terra faz seu movimento de rotação;
Plano meridiano - É o plano que passa pelo eixo terrestre e corta a superfície da terra. Este define
os meridianos, que são linhas de interseção entre o plano meridiano e superfície da terra;
Plano paralelo - É o plano normal ao plano meridiano. Este define os paralelos, que são linhas de
interseção entre o plano paralelo e superfície da terra, sendo o maior deles o Equador terrestre;
Vertical de um ponto - É a trajetória percorrida por um ponto no espaço, no qual partindo do
estado de repouso, cai sobre si mesmo pela ação da gravidade.
5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas
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No sistema de coordenadas geodésicas ou elipsoidais tem-se como referência a figura do elipsóide.
As coordenadas geodésicas (latitude geodésica (g) e longitude geodésica (g)) são determinadas por
procedimentos de levantamentos geodésicos. A altura é calculada indiretamente pela soma da altura
ortométrica (H) e a ondulação geoidal (N) (Figura 1.8).
Para densificação ou transporte de coordenadas geodésicas utiliza-se das triangulações geodésicas e
atualmente pelo processo de rastreamento de satélites, principalmente na utilização do sistema GPS
(Cap. 5).
A latitude geodésica é definida como o ângulo que uma normal ao elipsóide forma com sua projeção
equatorial (Figura 1.7).
A longitude geodésica é definida como o ângulo formado pelo meridiano geodésico de Greenwich e
pelo meridiano geodésico do ponto (Figura 1.7);
A altura é definida pela distância entre o elipsóide e o terreno. Esta é avaliada de forma indireta
(Figura 1.8).
Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas.
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5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas
5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM
A Cartografia trata da representação gráfica de uma extensa área terrestre, em um plano horizontal.
Como nem o geóide ou o elipsóide são superfícies desenvolvíveis, quando se quer representa-los em
formas de cartas ou mapas, lança-se mão dos sistemas de projeção.
A teoria das projeções compreende o estudo dos diversos sistemas de projeção em uso, incluindo a
exposição das leis segundo as quais obtêm-se as interligações dos pontos de uma superfície (Terra)
com os da outra (Carta) (Figura 1.9).
O sistema de coordenadas UTM (Universal
Transverso de Mercator) é a mesma
projeção conforme12 de Gauss-Tardi
disciplinada por um conjunto de
especificações e aplicada na representação
plana do elipsóide terrestre.
A comunidade geodésica e cartográfica aprendeu a conviver com a coexistência de um grande
número de projeções, e as vezes uma mesma área era recoberta por diferentes projeções. Após a 1o
guerra, as projeções conformes passaram a ser as geralmente utilizadas para confecção de cartas
topográficas.
12 Na projeção conforme, no qual ao representar um ponto da Terra sobre a carta, os ângulos não se deformam (GEMAEL, 1976).
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Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção.
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Em um breve histórico pode-se citar Gauss, que no levantamento da região de Hanover estabeleceu
o seguinte sistema de projeção:
a)
Cilindro tangente à terra;
b) Cilindro é transverso, tangente ao meridiano de Hanover.
Krüger aplicou a projeção de Gauss em sistemas parciais de 3o de amplitude, chamados fusos (Gauss-
Krünger). Tardi introduz um artifício segundo o qual, este sistema passa a ser aplicado em fusos de 6o
de amplitude, idêntico a carta ao milionésimo (Gauss-Tardi) (GEMAEL, 1976).
Em 1935 a UIGG (União Internacional de Geodésia e Geofísica) propôs a escolha de um sistema
universal. Em 1951 a UIGG recomendou, num sentido mais amplo, para o mundo inteiro, o sistema
UTM.
As especificações deste sistema são as seguintes:
a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante (Figura 1.10).
b) Decomposição em sistemas parciais correspondendo a fusos de 60 de amplitude em número de 60,
a partir do antimeridiano de Greenwich.
c) Coeficiente de redução de escala Ko = 0,9996, no meridiano central.
d) Limitação do sistema até a latitude 80o.
e) Origem das coordenadas planas, em cada sistema parcial, no cruzamento do equador com o
meridiano central (transformadas).
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Figura 1.10: Projeção UTM.
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f)
Utilização da letra “N” para as coordenadas relacionadas ao eixo das ordenadas, sendo positivas ao
norte e negativas ao sul; e da letra E, relacionado às abscissas, positivas a leste e negativas a oeste
(Figura 1.11).
g) Numeração dos fusos segundo critério adotado para a Carta Internacional ao Milionésimo (1 a 60 a
partir do antimeridiano de Greenwich).
h) Para evitar valores negativos as ordenadas são acrescidas, no hemisfério Sul da constante
10.000.000,000 metros e às abscissa de 500.000,000 metros (Figura 1.11).
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Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM.
Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM.
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Ainda uma particularidade para minimizar a deformação do sistema é a secância do cilindro ao
elipsóide. Nesta linha produzida pela secância, as distâncias estão em verdadeira grandeza. O fator
de escala (ou coeficiente de redução ou ampliação de escala) é variável conforme o afastamento em
relação ao meridiano central (Figura 1.12).
Geralmente a terceira coordenada está relacionada com a altitude do ponto, ou seja, a altura
ortométrica.
Este sistema tem sido muito empregado em todos os centros urbanos e grandes projetos rurais, por
se tratar de um sistema global e não regional. Sua principal utilização vem do fato da crescente
automação digital dos cadastros e mapeamentos urbanos e rurais, onde a manipulação destas
informações se torna simplificada com as coordenadas UTM.
5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas
Em Topografia as coordenadas são referidas ao plano horizontal, ou seja, ao plano topográfico. Este é
definido como um sistema plano retangular XY, sendo que o eixo das ordenadas Y está orientado
segundo a direção norte-sul (magnética ou verdadeira) (Cap. 2); e o eixo das abscissas X está
orientado na direção na direção leste-oeste. A terceira coordenada, esta relacionada à cota ou
altitude (Cap. 3).
Geralmente este sistema é arbitrário, ou seja, são sugeridas coordenadas para o primeiro vértice da
poligonal (X, Y e cota), de forma que as demais tenham esta como referência para o levantamento.
Deve-se evitar valores no qual ocorram coordenadas negativas para os vértices da poligonal e
irradiações.
As coordenadas topográficas são calculadas no escritório em função das medidas de campo, ou seja,
avaliação dos ângulos e distâncias entre os pontos topográficos.
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5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas
Como dito anteriormente, tanto o sistema UTM quanto o sistema topográfico são representações
planas do terreno.
Como as coordenadas topográficas estão referidas a um sistema arbitrário, podem acarretar
inconvenientes, quando, por exemplo, possuir duas plantas topográficas confrontantes, com
sistemas arbitrários distintos e se queira unificar esta representação numa mesma planta.
Para solucionar este agravante lança-se mão da transformação das coordenadas topográficas para
coordenadas no sistema UTM, onde este segundo é considerado fixo e reconhecido mundialmente.
Esta operação é feita pela translação de eixos, de modo que sua origem coincida com um marco
geodésico de coordenadas UTM conhecidas.
Considere, por exemplo, que Em e Nm são as coordenada UTM do marco geodésico P. Sejam X0 e Y0 as
coordenadas da origem do sistema topográfico, onde o eixo X coincide com a direção leste oeste e o
eixo Y coincide com a direção norte-sul. Sejam XP e YP as coordenadas de um ponto P no sistema
topográfico. As coordenadas UTM de P será determinado pela seguinte relação:
EP = Em X0 XP
NP = Nm Y0 YP
6 - Sistema Geodésico Brasileiro6 - Sistema Geodésico Brasileiro
O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é composto do conjunto de pontos geodésicos implantados na
porção da superfície terrestre delimitada pela fronteiras do país.
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Para o SGB, a imagem geométrica da Terra é definida pelo Sistema de Referência 1967. O referencial
altimétrico coincide com o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas na
baía de Imbituba.
O SGB integra o Sistema Sul-Americano (SAD 69), definido a partir dos parâmetros:
a) a (semi-eixo maior) = 6.378.160,000 m;
b) f (achatamento) = 1/298,25.
O eixo de rotação é paralelo ao eixo médio terrestre com sentido positivo para o CIO (Conventional
Internatinal Origin). O Plano meridiano de origem é paralelo ao plano meridiano de Greenwich, como
definido pela BIH (Bureau International de l’Heure).
Ponto origem (datum) o vértice Chuá (Minas Gerais), da cadeia de triangulação do paralelo 200 S.,
com as seguintes coordenadas:
6.1 - Situação Atual do SGB6.1 - Situação Atual do SGB
A rede fundamental do SGB é composta de aproximadamente 4.000 estações, entre vértices de
triangulação e poligonação e foram ajustadas em blocos, num total de 60 blocos, dos quais 10, que
correspondem a 60% do SGB, foram ajustadas por volta de 1972 pelo IAGS (Interamericam Geoditic
Survey) por ocasião da definição do Datum Sul-Americano.
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O IBGE, através de sua diretoria de Geodésia e Cartografia, passou a fornecer a partir de 1980, a
relação das coordenadas geodésicas e UTM de vértices de triangulação e estações de poligonal,
altitudes de RN e descritivos de localização e acesso desses marcos geodésicos.
O método de levantamento utilizado para implantação de redes fundamentais foi durante anos e
ainda se aplica é a Triangulação Geodésica. Recentemente vem se utilizando o sistema GPS para
definição e implantação de marcos geodésicos.
A resolução PR-22 de 21-07-83 do IBGE, traz especificações e normas gerais para levantamentos
geodésicos. No quadro 1.1 - Classificação dos Levantamentos Geodésicos - pode-se observar algumas
particularidades da rede fundamental ou de 1o ordem para a planimetria, altimetria e gravimetria.
Observa-se também nesta mesma referência, especificações e normas que conduzem a classificação
de 1o ordem ou Fundamental, para os levantamentos planimétricos (Triangulação, Poligonação e
Trilateração), levantamentos altimétricos (Nivelamento Geométrico) e levantamentos gravimétricos.
Quadro 1.1 - Classificação dos Levantamentos Geodésicos.
Levantamentos Geodésicos
Finalidade
De Alta Precisão
Âmbito Nacional
De Precisão
Âmbito Regional
Para Fins
Topográficos
Cien
tífico
Fundamental(ou de 1o ordem)
Para áreas mais
desenvolvidas (ou de 2o ordem)
Para áreas menos desen-
volvidas (ou de 3o
ordem)
Local
~
Pontos básicos para amarrações e controle de trabalhos geodésicos e cartográficos, desenvolvidos segundo especificações internacionais,
constituindo um sistema único de referência. ~ ~ ~
Planimetria
Exatidão ~ Melhor que 1:100.000 ~ ~ ~
Desenvol-vimento
~Arcos de meridianos e paralelos espaçados de 10, estações com
espaçamento desejável de 15 e no máximo 25 Km.~ ~ ~
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Exemplos de Utiliza-
ção~
Elaboração de cartas gerais; apoio e controle das obras de engenharia e estudos científicos em geral.
~ ~ ~
Altimetria
Exatidão ~ Melhor que 2mm . k ~ ~ ~
Desenvolvimento
~
Em circuitos com até 400 Km de perímetro e estações materializadas, afastadas de no máximo 3 Km. Nas áreas metropolitanas dar-se-á
preferência ao desenvolvimento em circuitos, em função da urbanização, com estações materializadas e espaçadas de,
preferencialmente, 1Km
~ ~ ~
Exemplos de
Utilização
~Elaboração de cartas gerais; apoio e controle de obras de engenharia e
estudos científicos em geral.~ ~ ~
Gravimetria
Finalidade
~Pontos básicos para amarrações e controle de trabalhos geodésicos e
geofísicos, implantados segundo especificações internacionais, constituindo o sistema único de referência ao IGSN-71
~ ~ ~
Exatidão ~ Melhor que 0,05 ~ ~ ~
Desenvolvimento
~Em circuitos com estações espaçadas de até 100 Km, ou acesso para as
medições com tempo inferior a 48 horas.~ ~ ~
Exemplos de
Utilização
~Estudos do campo gravitacional e estrutura da crosta terrestre;
prospecção mineralógica; estudos de movimentos da crosta.~ ~ ~
Fonte: IBGE, 1983.
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1 - Introdução1 - Introdução
Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas
para representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e
instrumentos de medida de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da
planimetria, divide-se inicialmente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a
serem avaliadas em campo, ou seja, as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia -
Item 4).
No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos
próximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto
está associado à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma
revisão associada aos sistemas de unidades de medidas.
2 - Sistemas de Unidades de Medidas2 - Sistemas de Unidades de Medidas
Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada
padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.
Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades - SI”, apesar de alguns
sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são comentadas as
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unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumétricas e
angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.
2.1 - Unidade de Medida Linear2.1 - Unidade de Medida Linear
A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima
milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus
múltiplos e submúltiplos (Figura 2.1):
Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.
Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro.
Solução:
10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm.
98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.
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Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.
Solução:
21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.
Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas,
como:
Quadro 2.1: Outros sistemas lineares.
1 polegada inglesa13 = 25,4 mm; 1 pé = 30,479 cm;
1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; 1 milha terrestre = 1.609,34 m;
1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35
m;
1 vara = 5 palmos = 1,10 m; 1 milha (bras.) = 2.200 m;
1 braça14 = 2 varas = 2,20 m; 1 corda = 15 braças = 33 m;
1 légua de sesmaria = 6.600 m. 1 légua geométrica = 6.000 m.
Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros.
Solução:
1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m
1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m
13 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm14 Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).
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Saiba desta ... !
Curiosidades sobre o Metro
A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda,
formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e Pedro
Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 10o do meridiano,
que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Barcelona.
Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se deduziria a quarta parte
do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade fundamental escolhida.
O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas,
cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta
por Borda, de metro (metron = medida).
O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico francês
Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET
DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês.
Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre 10.002,286,
chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro
arquivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por
que na Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais
países do mundo entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil,
próximo a Paris, para a sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos
trabalhos de metrologia. Foram então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa
liga de 90% de platina e 10 % de irídio, e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em
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26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o metro protótipo internacional, e as outras distribuídas
pelos países participantes da conferência, seriam os protótipos nacionais.
Saiba também ... !
Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ?
A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos –
esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a
1.000 passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião
tomados como base eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente
a 63.360 polegadas, ou 1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica.
Como a terra possui um formato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do
equador mede aproximadamente 40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360
partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 minuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a
milha marítima. Por convenção internacional, esse valor foi arredondado para 1.852 metros.
Saiba ainda... !
Qual a medida da LÉGUA ?
Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias
interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale
a 3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000
metros enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que
vale 3 milhas, ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau.
Tem-se ainda a légua quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também
chamada de vinte e cinco ao grau.
Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa
esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um
“logo ali” do mineirinho.37
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2.2 – Unidade de Medida de Superfície2.2 – Unidade de Medida de Superfície
A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de grandes
extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000
m2.
Are (a) => 100 m2
Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a
Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a
Exemplo 4: Seja transformar:
23,34 ha = 233.400 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
1 km2 = 1.000.000 m2
Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (Antigo
Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões;
citando:
1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha
1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha
1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha
38
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1 alqueire goiano = 96.800 m2
Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos.
Solução:
200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos.
Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como:
1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres
1 pé quadrado = 929,0 cm2
1 acre15 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha)
1 Braça quadrada = 4,84 m2
Saiba desta ... !
Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 braças,
também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.
Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alqueires
de 100 x 100 braças.
Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas.
Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à
superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.
Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, seja
um quadrado de 50 m de lado.
15 Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos.
39
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Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.
2.3 – Unidade de Medida de Volume2.3 – Unidade de Medida de Volume
A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.
Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas: 1 litro = 1 dm3; 1 jarda cúbica = 0,7645 m3.
Exemplo 6: Transforme:
1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3
= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3
Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes
dimensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).
Solução:
Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3
Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros
Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbicas
por viagem.
Solução:
1 jarda cúbica = 0,7645 m3
24 jardas cúbicas = 18,348 m3
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Capacidade = 18,348 m3
2.4 – Unidade de Medida Angular2.4 – Unidade de Medida Angular
As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o
radiano.
2.4.1 - Sistema Sexagesimal2.4.1 - Sistema Sexagesimal
É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é dividido
em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).
Figura 2.2: Sistema sexagesimal.Círculo: 360o
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Unidade básica: 1o
Submúltiplos:
Minuto: 60’ = 1o
Segundo: 3.600” = 1o
Logo: 1o = 60’ = 3.600”
Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades
de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 –
Goniologia).
Exemplo 9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cinco
segundos).
Pode-se executar as seguintes operações algébricas:
a) Adição
Adicionar as unidades comuns.
Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43”
Solução:
50o 20’ 30”
+ 20 o 45’ 43”
70o 65’ 73”
= 71o 06’ 13”
Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13”
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b) Subtração
Subtrair as unidades comuns e iguais.
Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40”
Solução:
50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90”
10 o 42’ 40” 10 o 42’ 40” 10 o 42’ 40”
39o 37’ 50”
c) Multiplicação
Multiplicar apenas por números adimensionais;
Não multiplicar ângulos por ângulos.
Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5
Solução:
80o 20’ 30”
x 5
400o 100’ 150”
Corretamente tem-se 401o 42’ 30”
d) Divisão
Dividir apenas por números adimensionais.
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Não dividir ângulos por ângulos.
Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4.
Solução:
Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes
devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo:
sen 30o 30’ sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas).
pois sen 30o 30’ = 0,507538362921
sen 30,30o = 0,504527623815
A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas,
devendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.
Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule:
a) 30o 30’
b) 20o 06’ 18”
c) tan 30o 20’ 01,20”
Solução:
a) 60’ equivalem a 1o, logo, 30’ equivale a 0,5o, então:
30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o
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b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a
0,005o; então:
20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o
c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646
2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano
O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na
atualidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como
unidade básica o grado (Figura 2.3).
Círculo - 400g Unidade básica: 1g
Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g
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Figura 2.3: Sistema centesimal.Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta e
nove decimiligrados).
O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4).
2 R ==> 360o
a ==>
Logo 1 radiano =
Figura 2.4: Sistema radiano.
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Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormente.
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares.
Graus Grados Radianos
0o 0gr 0 rd
90o 100gr /2 rd
180o 200gr rd
270o 300gr 3/2 rd
360o 400gr 2 rd
Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente
ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por
exemplo) possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.
Exemplo 16: Seja transformar:
a) 358o (para grado) = 397,7g
b) 120o (para grado) = 133,3g
c) 76o (para grado) = 84,4g
d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’
e) 96g (para grau) = 86o 24’
f) 78g (para grau) = 70o 12’
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g) 100o (para radiano) = 1,74 rd
h) 2 rd (para grau) = 114o 36’
A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).
GrandezaNome Símbolo Definição
Comprimento Metro m“ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo. ” (1983).
Massa Quilograma kg“ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e irídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de massa. ” (1889).
Tempo Segundo s
“ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967).
Corrente elétrica Ampére A
“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circular transversal desprezível, situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946).
Área Metro quadrado m2 -
Volume Metro cúbico m3 -
Freqüência Hertz Hz s-1
Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3 -
Velocidade Metro por segundo m/s -
Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2 -
Força Newton N kg . m/s2
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Pressão Pascal Pa N/m2
Trabalho/Energia Joule J N.m
Potência Watt W J/s
3 - Gramometria3 - Gramometria
A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre
dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto.
3.1 - Processos Diretos3.1 - Processos Diretos
Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamente
os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.
Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior
de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m.
As fitas de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo
(Tabela 2.3) tem-se uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão.
Baixa precisão
* Passo (por ex.: p 0,80 m)
* Régua graduada (por ex.: bambu)
* Medidor topográfico
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Média precisão
* Fitas- De aço
- De fibra de vidro
* Trenas
- De lona
- De aço
- De fibra de vidro
Alta precisão * Fio ínvar
Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos
pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num
plano horizontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na
horizontal. Logo, caso o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das
extremidades no ponto mais alto, e a outra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas
(Figura 2.5).
Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro
total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os
erros mais comuns.
a) Erro no comprimento do diastímetro
Deve ser corrigido.
Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros.
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Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB.
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Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua
verdadeira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade
teria apenas 24,9 m.
Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a
distância real ?
Solução:
100 m 25,0 m
x m 24,9 m
x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)
Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se
medir no campo ?
Solução:
x m 25,0 m
100 m 24,9 m
x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)
b) Erro de dilatação do diastímetro
Deve ser corrigido.
, onde:
e - Erro; L - Distância medida; - Coeficiente de dilatação;
T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição ( 20o C).
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c) Falta de horizontalidade do diastímetro
Como os pontos A e B devem ser projetados considerando um plano horizontal, caso ocorra uma
inclinação do diastímetro, a distância tomada será sempre maior que a real. Deve ser evitado, por
exemplo, com auxílio de uma 3o pessoa verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).
d) Erro de catenária
Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos menores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).
e) Desvio vertical da baliza
Em virtude das balizas não estarem perfeitamente na vertical, a distância medida pode ser maior ou
menor que a distância real AB (Figura 2.8).
Deve ser evitado, por exemplo, com a utilização de um nível de cantoneira.
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Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro.
Figura 2.7: Erro de catenária.
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f) Erro de desvio lateral do diastímetro
Considerando dois pontos topográficos, a distância horizontal entre eles deve ser tomada
materializando um alinhamento reto, ou seja um traço da interseção do terreno com apenas um
plano vertical que contém estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do balizamento
(Figura 2.9).
g) Enganos
Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do zero
no diastímetro, erro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erro tem de ser
evitado.
3.2 - Processos Indiretos3.2 - Processos Indiretos
Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os
instrumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser:
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Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.
Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro.
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Óticos
Mecânicos
Eletrônicos
Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros.
O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de
levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização
de instrumentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta.
Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e
das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se
instrumentos denominados taqueômetros.
Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos
estadimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados
às miras verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre
dois pontos.
Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e
diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.
3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal
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O princípio de construção está ilustrado
figura 2.10, onde:
(01)
(02)
(03)
sendo
AC - Distância a ser determinada (D)
AF - Distância focal (f)
BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI)
EG - Altura dos fios do retículo (h)
(04)
onde
D - Distância horizontal;
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Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I.
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m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI;
onde FS - Fio superior do retículo;
FI - Fio inferior do retículo;
FM - Fio médio do retículo;
g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;
Existe ainda a seguinte relação:
Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.
Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11):
Solução:
FS = 2,800 m; FI = 1,200 m
g = 100
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2 . FM FS + FI
Figura 2.11: Fios estadimétricos.
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2 . FM (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200)
=> 4,000 = 4,000 OK !
m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m
D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m
Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o centro do instrumento (alática) ou
coincidir (analática) (Figura 2.12).
No caso da luneta alática, para determinação das distâncias horizontal e vertical, deve-se considerar
a constante “c” mais a distância focal “f”.
A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.
Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.
3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado
Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado:
BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical;
FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada;
AC = n . g (05);
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AE = AC . cos (06)AE = n . g . cos (07)
Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figura
2.13), os ângulos:
(08)
n = m . cos (09)
(09 em 07)
D = m . g . cos . cos (10)
Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –
Goniologia), a fórmula estadimétrica será:
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Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.
D = m . g . cos2
D = m . g . sen2 Z
CURSO TÉCNICO EM MINERAÇÃO - MÓDULO II
3.2.3 - Diferença de Nível3.2.3 - Diferença de Nível
Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o
ponto F e a projeção do ponto A.
BD => Leitura estadimétrica - m;
FG => Diferença de nível;
LE => D = m . g . cos2 (12)
CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo;
EG => i - Altura do instrumento.
Definição:
FG = CG - CF (13)
CG = CE + EG (14)
(14) em (13)
FG = CE + EG - CF (15)
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Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica.
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CE = LE . tg (16)
(16) em (15)FG = LE . tg + EG - CF (10) (17)
Substituindo, tem-se:
dn = m . g . cos2 . tg + i – alvo (18)
Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula taqueométrica será:
Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e
diferenças de nível.
Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas.
Analática60
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Plano horizontal
Distância horizontalD = m . g
Plano inclinado
Distância horizontal
D = m . g . cos2 ()
D = m . g . sen2 Z (Z)
Plano inclinado
Diferença de nível
()
(Z)
Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por
taqueometria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:
Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causados
pela refração atmosférica;
Erros nas constantes c, f, g;
Falta de verticalidade da mira;
Erro na medição do ângulo de inclinação ( ou Z).
3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas
Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas
pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou
pelo aspecto prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro.
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Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor da
constante g.
Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a
150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada.
Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15) e
sem conferência (Figura 2.16).
Dados:
L (tamanho da mira) = 4,000 m
g = 100
Solução:
Obs.: A máxima distância entre dois pontos é aquela tomada na horizontal, logo:
D = m . g
m = FS - FI
m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m
D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)
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Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo.
Figura 2.16: Máxima distância teórica sem
conferência.
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Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está
impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:
m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m
D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)
Exemplo 22: Sejam os dados abaixo, calcule a mínima distância teórica conferindo (Figura 2.17).
Dados:
menor subdivisão = 0,010 m
g = 100
Solução:
D = m . g
m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m
D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo)
Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada
considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a
distância horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).
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Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo.
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Dados:
FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m;
g = 100; = 30o 30’; i = 1,5 m
Solução:
a) Distância horizontal
D = m . g . cos2
D = (FS - FI) . 100 . cos2 (30o 30’)
D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2 (30,5o) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m
b) Diferença de nível
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4 - Goniologia4 - Goniologia
A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu
estudo alguns autores a dividem em:
Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos;
Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em
campo.
Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comentados
nos itens 4.1 e 4.2.
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Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.
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Figura 2.19: Ângulos na Topografia.
Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de
goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19),
internos ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação
numérica dos ângulos. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de
graduação:
Sexagesimal (grau) Centesimal (grado)
4.1 - Ângulos Horizontais4.1 - Ângulos Horizontais
O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais,
considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou
alinhamento que serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos.
Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de
azimutes e rumos;
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Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo
denominados de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.
Figura 2.20: Ângulo horizontal .
4.1.1 - Ângulos Azimutais4.1.1 - Ângulos Azimutais
a) Azimutes
É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul
e um alinhamento, tendo por origem o sentido do norte
e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21).
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Figura 2.21 : Medição de azimutes.
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O azimute recíproco de um alinhamento AB (vante) é o azimute deste alinhamento em sentido
contrário, isto é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja (Figura 2.22):
(19)
b) Rumos
É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a
direção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23).
c) Conversão de Rumo em Azimute
Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo para
cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes
podem ser relacionados entre si (Figura 2.24).
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Figura 2.22: Azimute de vante e ré.
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4.1.2 - Ângulos Goniométricos4.1.2 - Ângulos Goniométricos
a) Ângulos horários internos e externos
É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o,
internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).
b) Ângulos de deflexão
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Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos.Figura 2.23: Medição dos rumos.
Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos.
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É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento em estudo,
contado para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza limitada entre 0o e 180o (Figura
2.26).
4.1.3 - Azimutes Calculados4.1.3 - Azimutes Calculados
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Figura 2.26: Ângulos de deflexão.
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Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro
alinhamento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros
métodos para medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou
externo) ou deflexão. Desta forma, às vezes, é
necessário calcular os demais azimutes de cada
alinhamento. Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do rumo dado (Figura 2.27).
Dados:
AZA-B = 100o; RumoB-C = 50o SO
Solução:
AZB-C = 50o + 180o = 230o
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Figura 2.27: Azimute calculado a partir do
rumo.
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Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da deflexão dada (Figura 2.28).
Dados:
AZA-B = 110o; DeflexãoB-C = 110o Dd
Solução:
AZB-C = 110o + 110o = 220o
Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do
ângulo horário dado (Figura 2.29).
Dados:
AZA-B = 100o; Ângulo HorárioB-C = 320o
AZB-C = 100o + 320o - 180o = 240o
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Figura 2.28: Azimute calculado a partir da
deflexão.
Figura 2.29: Azimute calculado a partir do
ângulo horário.
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4.2 - Ângulos Verticais4.2 - Ângulos Verticais
O ângulo vertical é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos horizontais,
considerando-se um eixo. De acordo com a origem para medição do ângulo, estes podem ser de
inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é necessária, podendo ser
visualizada na figura 2.30.
4.2.1 - Ângulo de Inclinação4.2.1 - Ângulo de Inclinação
Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura
2.30).
4.2.2 - Ângulo Zenital4.2.2 - Ângulo Zenital
Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste local),
com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado
(Figura 2.30).
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Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital.4.3 - Magnetismo Terrestre4.3 - Magnetismo Terrestre
Tendo a terra propriedades de um grande magneto, as extremidades da agulha de uma bússola são
atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos
magnéticos da terra, os quais não coincidem com os pólos geográficos.
A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. A linha que une os pólos
geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira.
O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola.
4.3.1 - Declinação Magnética4.3.1 - Declinação Magnética
A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográfico.
Com relação a posição dos meridianos, a declinação magnética pode ser (Figura 2.31):
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Ocidental - Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro;
Oriental - Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro;
Nula - Coincidência entre os dois meridianos
Atualmente no Brasil, a declinação é ocidental.
Figura 2.31: Declinação magnética.
O valor da declinação magnética é variável, podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográficas),
quanto no tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), além das acidentais.
Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de
campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos.
a) Mapas isogônicos e isopóricos
Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética;
Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação.
b) Cálculo da declinação magnética
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Fórmula
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] (20)Onde,
DM - Declinação Magnética
Cig - Curva isogônica (valor interpolado)
Cip - Curva Isopórica (valor interpolado)
A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.,1980 para 1982 =
02)
Fa - Fração do ano
c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês
01 jan - 19 jan - 0,0
20 jan - 24 fev - 0,1
25 fev - 01 abr - 0,2
02 abr - 07 maio - 0,3
08 maio - 13 jun - 0,4
14 jun - 19 jul - 0,5
20 jul - 25 ago - 0,6
26 ago - 30 set - 0,7
01 out - 06 nov - 0,8
07 nov - 12 dez - 0,9
13 dez - 31 dez - 1,0
Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982.
Solução:
DM = - 19o 45’ + [ ( 2 + 0,5 ) . ( - 5,2’ ) ]
DM = - 19o 45’ - 13’
DM = - 19o 58’ (ou 19o 58’ ocidental ou 19o 58’ W)
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Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura
2.32).
Solução:
Isogônicas1cm => 1o
0,4 cm => xo
Isopóricas4,5cm => 1’
2,0 cm => x’
Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980.
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ]
DM = - 18,4o + [ ( 18 + 0,2 ) . ( - 7,44’ ) ]
DM = - 18,4o - 135,41’
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DM = - 18o 24’ - 2o 15’ 25” = -20o 39’ 25” (20o 39’ 25” W - ocidental)
Exemplo 29: Considere que o Azimute Magnético
A-B = 40o 30’ em 1980. Qual será o valor atual
deste azimute magnético A-B e o valor do
azimute verdadeiro (Figura 2.33).
Solução:
Az. magnético A-B (1988,4) = 40o 30’ + 2o 15’ 25”
= 42o 45’ 25”
Az.verdadeiro A-B = 40o 30’ - 18o 24’ = 22o 06’
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Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro.
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5 - Métodos de Levantamento Planimétrico5 - Métodos de Levantamento Planimétrico
Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e
distâncias), capazes de definir um trecho da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em
planta, denomina-se levantamento topográfico.
Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento topográfico, em qualquer de suas finalidades, deve
ter, no mínimo, as seguintes fases:
a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem;
b) Apoio topográfico;
c) Levantamento de detalhes
d) Cálculos e ajustes
e) Original topográfico
f) Desenho topográfico final
g) Relatório técnico
Quanto ao Relatório Técnico, a norma explicita que, quando do término de todo e qualquer levantamento topográfico ou serviço de topografia, deve conter, no mínimo, os seguintes tópicos:
a) Objeto;
b) Finalidade;
c) Período de execução;
d) Localização;
e) Origem (Datum);
g) Precisões obtidas;79
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h) Quantidades realizadas;
i) Relação de aparelhagem utilizada;
j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico;
l) Documentos produzidos;
m) Memórias de cálculo, destacando-se:
* Planilhas de cálculo das poligonais;
* Planilhas das linhas de nivelamento.
O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e
à sua representação, podendo ser:
Planimétrico - São coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias horizontais, onde estes
são projetados num mesmo plano horizontal;
Altimétrico - São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes
projetados num plano vertical (perfil) (Cap. 3);
Planialtimétrico - São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa-
los (Cap. 4).
Ainda, de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo, o
levantamento pode ser classificado em:
Expedito - Uso de instrumentos de baixa precisão. Sua execução é fácil e rápida.
Comum - Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos.
De precisão - Uso de instrumentos de alta precisão, propiciando maior aperfeiçoamento nas
medições.
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Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico, que são
baseados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão, estes
podem ser classificados em métodos principais e secundários.
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