Anillos de Ehrhart
Rafael Heraclio Villarreal Rodrıguez
Departamento de MatematicasCINVESTAV-IPN, Mexico
XLVII Congreso NacionalSociedad Matematica Mexicana
Area de AlgebraDurango, Dgo., 26–31 Octubre, 2014.
Bosquejo de la Platica
Politopos Enteros
Funcion y Polinomio de Ehrhart
Ley de Reciprocidad
Volumen de Politopos Enteros
Los Politopos aparecen en Programacion Entera,Geometrıa Algebraica y Variedades Toricas
Anillo de Ehrhart y Politopos Enteros
Politopos
Sea A = {v1, . . . , vq} un conjunto de vectores en Zn y sea
conv(A) :=
{ q∑i=1
aivi
∣∣∣∣∣ ai ∈ R+;
q∑i=1
ai = 1
}
la envoltura convexa de A en Rn.
DefinicionAl conjunto conv(A) se le llama un politopo entero en Rn.Usaremos P para denotar a un politopo entero:
P := conv(A)
Politopo Entero P en R3:
P = conv(v1, . . . , v5)
tv4 = (0,0,0)
tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)
tv1 = (1,1,3)
t v5 = (1,1,−3)
\\\\\\\
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�������
\\\\\\\
p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppp
pppppppp
Politopo Entero P en R2:
-
6
1
2
3
4
5
6
y
0 1 2 3 4 5 6 xAAAAA
�����JJJJJJJ�
��
����
sss s
s
s
Sea P un politopo. Entonces tenemos que:P es convexo. Es decir dados x , y ∈ P se tiene que
tx + (1− t)y ∈ P ∀0 ≤ t ≤ 1
P es compacto. Esto es P es cerrado y acotado.
Conjuntos Convexos Compactos
Politopos
Sea H un hiperplano afın de Rn definido por:
a1x1 + · · ·+ anxn = b1,
y sean H+ y H− los semiespacios definidos por:
a1x1 + · · ·+ anxn ≥ b1
a1x1 + · · ·+ anxn ≤ b1
DefinicionUna cara propia de un politopo P ⊂ Rn es un subconjunto∅ 6= F ⊂ P tal que
(a) F = P ∩ H, P 6⊂ H,(b) P ⊂ H+ o bien P ⊂ H−.
Las caras impropias son P y ∅.
Teorema (Celosıa de Caras “Face Lattice”)
Sea P un politopo. Se tiene lo siguiente:
Si F es una cara de P, entonces F es tambien unpolitopo y solo hay un numero finito de caras de P.
Si F1 y F2 son caras de P, entonces F1 ∩ F2 estambien cara de P.
TeoremaSi P es un politopo =⇒ P es el conjunto de soluciones deun sistema de desigualdades lineales:
a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...
......
...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm
El recıproco es cierto si P is acotado.
Este sistema de desigualdades se escribe en formamatricial como
Ax ≤ b,
con A = (aij), x = (x1, . . . , xn)> y b = (b1, . . . ,bm)>.
Politopos y Programacion Lineal
Algunos problemas en Investigacion de Operaciones sereducen a un problema de programacion lineal:
Maximizar c1x1 + · · ·+ cnxn (ci ∈ R)
Sujeto a a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...
......
...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm
Politopos en Geometrıa Algebraica
Sea f = f (x1, . . . , xn) =∑
a∈Nn caxa un polinomio enC[x1, . . . , xn], donde ca ∈ C, xa = xa1
1 · · · xann . El politopo de
Newton es el politopo entero:
PN(f ) = conv({a ∈ Nn | ca 6= 0})
Teorema (Bernstein-Kushnirenko-Khovanskii)Si hay solo un numero finito de soluciones en (C∗)n delsistema
f1 = · · · = fn = 0,
con f1, . . . , fn polinomios, entonces el numero desoluciones es acotado por arriba por el “volumenmezclado” de PN(f1), . . . ,PN(fn).
Definicion (La dimension de un politopo P)Sea afın(P) la envoltura afın de P:
afın(P) :=
{ q∑i=1
aivi
∣∣∣∣∣ ai ∈ R,q∑
i=1
ai = 1
}
Notar que podemos escribir
afın(P) = x0 + V ,
donde V es un subespacio vectorial de Rn.
La dimension de P se define como:
dim(P) := dimR(V ).
Una cara F = {x0} de dimension cero se llama vertice, yuna cara de dimension dim(P)− 1 se llama careta.
DefinicionEl f -vector de un politopo P es:
f (P) = (f0, f1, . . . , fd−1),
donde d = dim(P) y fi es el numero de caras de P dedimension i .
Ejemplo
uv4
uv3 uv2
uv1
uv5
\\\\\\\
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p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppp
pppppppp
f0 = 5 (vertices)
f1 = 9 (caras de dim=1)
f2 = 6 (caras de dim=2)
f (P) = (5,9,6)
Formula de Euler:f0 − f1 + f2 = 1 + (−1)3−1
= 2
Funcion de Ehrhart
Consideremos un politopo entero:
P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,
La funcion de Ehrhart de P se define como la funcionnumerica E : N→ N dada por:
E(i) = |Zn ∩ iP|,
donde iP = {ix | x ∈ P},|Zn ∩ iP| = numero de puntos en Zn ∩ iP.
Polinomio de Ehrhart
TeoremaExiste un unico polinomio
EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 ∈ Q[x ]
de grado d = dim(P) tal que
E(i) = EP(i) (∀ i ≥ 0)
DefinicionEl polinomio EP(x) se llama el polinomio de Ehrhart de P.
Cuadrado unitario
Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))
Puntos enteros de 4P
-
6
1
2
3
4
0 1 2 3 4
s ss s s sss ss s
sss s
ss s ss s ssss s
|Z2 ∩ 4P| = 25, EP(x) = (x + 1)2
Politopo entero P:
-
6
1
2
3
4
5
6
y
0 1 2 3 4 5 6 xAAAA
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����
s ss s s sss s s
ssss ss
s
Polinomio de Ehrhart: EP(x) = 12x2 + 3x + 1,Area o volumen de P es 12,Numero de puntos enteros en la frontera de P es 6.
TeoremaEl volumen relativo de P es:
vol(P) = limi→∞
|Zn ∩ iP|id ,
donde d = dim(P). Ademas d !vol(P) es un entero,llamado el volumen normalizado de P.
∴ vol(P) es el termino lıder cd del polinomio de Ehrhart:
vol(P) = limi→∞
|Zn ∩ iP|id = lim
i→∞
EP(i)id
= limi→∞
cd id + cd−1id−1 + · · ·+ c0
id = cd .
ObservacionSi EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 =⇒ cd−1 ≥ 0 y c0 = 1.Esto se prueba usando la ley de reciprocidad que vieneenseguida.
Problema AbiertoLos coefficientes c0, c1, . . . , cd son no-negativos si losvertices de P tienen entradas en {0,1}.
Puntos interiores de P
Sea P ⊂ Rn un politopo entero y sea
E+(i) = |Zn ∩ int(iP)|, i = 1,2, . . .
int(iP) = interior relativo de iP.
Teorema (Ley de Reciprocidad de Ehrhart)
E+(i) = (−1)dEP(−i) ∀ i ≥ 1
TeoremaSupongamos P ⊂ R2 y dim(P) = 2. Entonces elpolinomio de Ehrhart de P se escribe como:
EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|
2x + 1,
donde ∂P es la frontera de P.
DemostracionEscribiendo P = int(P) ∪ ∂(P) y EP(x) = c2x2 + c1x + c0
obtenemos por la ley de reciprocidad:
|∂(P) ∩ Z2| = |P ∩ Z2| − |int(P) ∩ Z2|= EP(1)− E+(1)
= EP(1)− EP(−1)
= (c2 + c1 + c0)− (c2 − c1 + c0) = 2c1. 2
Theorem (Formula de Pick)
|Z2 ∩ P| = area(P) +|Z2 ∩ ∂P|
2+ 1
DemostracionHaciendo x = 1 en la formula:
EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|
2x + 1
obtenemos la formula de Pick. 2
-
6
1
2
3
4
5
6
Politopo entero Py
0 1 2 3 4 5 6 xAAAA
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JJJJJ��
��
��
s ss s s sss s s
ssss ss
s|Z2 ∩ P| = 16
|Z2 ∩ ∂P| = 6
Enseguida ilustraremos con este ejemplo
la Formula de Pick, el polinomio de Ehrhart, yla Ley de Reciprocidad.
Formula de Pick:
|Z2 ∩ P| = area(P) +|Z2 ∩ ∂P|
2+ 1.
Polinomio de Ehrhart:
EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|
2x + 1 = 12x2 + 3x + 1.
Ley de Reciprocidad de Ehrhart:
E+(1) = (−1)2EP(−1) = 10.
Enseguida vamos a relacionar
POLITOPOS ENTEROScon
ANILLOS DE EHRHART
Sea K un campo, por ejemplo K = R, y sea
R = K [x1, . . . , xn]
un anillo de polinomios con coeficientes en K .
Hay una correspondencia entre monomios y vectores:
Nn ←→ Monomios de R
a = (a1, . . . ,an) ←→ xa := xa11 · · · xan
n .
Consideremos un politopo entero
P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,
donde vi ∈ Nn. En esta correspondencia tenemos:
A = {v1, . . . , vq} ←→ F = {xv1 , . . . , xvq}.
Asociados a P tenemos el subanillo monomial
K [Ft ] = K [{xv1t , . . . , xvq t}] ⊂ R[t ]
de R[t ] generado por Ft sobre K , donde t es una nuevavariable, y el anillo de Ehrhart
A(P) = K [{xαt i |α ∈ Zn ∩ iP}] ⊂ R[t ]
Anillos normales y cerradura entera
DefinicionSea A un dominio entero y KA su campo de cocientes.
Un elemento z ∈ KA se dice que es entero sobre A siexiste un polinomio monico:
0 6= f (x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,
con ai ∈ A, n ≥ 1 y f (z) = 0.
La cerradura entera A de A, es el subanillo de todoslos z ∈ KA que son enteros sobre A.
Si A = A decimos que A es normal .
Propiedades del anillo de Ehrhart
A(P) es un anillo normal,
A(P) = K [xγ1tb1 , . . . , xγr tbr ],
K [Ft ] ⊂ A(P) es una extension entera,
K [Ft ] = A(P)⇐⇒ A(P) esta contenido en el campode cocientes de K [Ft ].
ObservacionLa normalidad de A(P) implica que la funcion y elpolinomio de Ehrhart son iguales para todo i ≥ 0.
El anillo de Ehrhart es un anillo graduado:
A(P) =∞⊕
i=0
A(P)i ,
donde la componente de grado i es:
A(P)i =∑
α∈Zn∩iP
Kxαt i ,
Notar que la funcion de Hilbert de A(P):
E(i) = dimK A(P)i = |Zn ∩ iP|
es igual a la funcion de Ehrhart de P.
La serie de Hilbert de A(P) es:
F (A(P), x) =∞∑
i=0
|Zn ∩ iP|x i ,
esta serie es llamada la serie de Ehrhart de P.
Por el famoso teorema de Hilbert-Serre dicha serie esuna funcion racional:
F (A(P), x) =h0 + h1x + · · ·+ hsxs
(1− x)d+1 ,
con h0 + h1 + · · ·+ hs 6= 0 y d = dim(P).
Propiedades de la serie de Ehrhart:
s < d + 1; pues A(P) es normal.
hi ≥ 0 para todo i .
h0 + h1 + · · ·+ hs = d !vol(P).
La ley de reciprocidad para politopos se prueba usandoseries de Hilbert y propiedades algebraicas de A(P).
El estudio de series de Hilbert ha sido util en la solucionde problemas combinatorios y para calcular invariantesde anillos graduados que ocurren en geometrıaalgebraica.
Anillo y Serie de Ehrhart:
A(P) = K [x32 t , x1x2x3
3 t , t , x31 t , x1x2x−3
3 t , x21 t , . . .]
F (A(P), x) =1 + 12x + 36x2 + 5x3
(1− x)4
EP(x) = 1 + 3/2 x + 9/2 x2 + 9x3
tv4 = (0,0,0)
tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)
tv1 = (1,1,3)
t v5 = (1,1,−3)
\\\\\\
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pppppppp
Cuadrado unitario:
Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))
Puntos enteros de 4P
-
6
1
2
3
4
0 1 2 3 4
s ss s s sss ss s
sss s
ss s ss s ssss s |Z2 ∩ 4P| = 25
EP(x) = (x + 1)2
vol(P) = 1
E+(r) = EP(−r)
A(P) = K [Ft ]
F (A(P), x) =∞∑
i=0
|Z2 ∩ iP|x i =1 + x
(1− x)3
Usando que v1, . . . , vq estan en P, obtenemos:
K [Ft ] = K [xv1t , . . . , xvq t ] ⊂ A(P).
Puesto que A(P) = A(P), tomando cerraduras enterasobtenemos:
K [Ft ] ⊂ A(P).
Vamos a presentar condiciones para que ocurra laigualdad
K [Ft ] = A(P).
Esta igualdad es util para calcular el “grado” de unavariedad torica algebraica afın o proyectiva.
NotacionSea B una matriz entera de rango r . El maximo comundivisor de todos los menores (=subdeterminates) no cerode B de orden r se denota por ∆r (B).
TeoremaSea B la matriz:
B =
(v1 · · · vq
1 · · · 1
).
Entonces K [Ft ] = A(P)⇐⇒ ∆r (B) = 1, con r = rango(B).
Variedades Toricas
Sea K = C el campo de los numeros complejos.
Una variedad torica afın V es el conjunto de soluciones
V = V (f1, . . . , fs) ⊂ Cn
de un sistema de ecuaciones f1 = · · · = fs = 0, con fi unbinomio.
EjemploSean f = t1t2 − t3t4 y V (f ) la variedad definida por f :
V (f ) = {(a1,a2,a3,a4) ∈ C4 |a1a2 = a3a4}.
El “ideal anulador” I(V (f )) de V (f ) es igual a (f ).
El anillo de coordenadas de V (f ) es:
C[t1, t2, t3, t4]/(t1t2 − t3t4) ' K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ].
Poniendo K [Ft ] = K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ], y usandoel ultimo teorema, tenemos que:
K [Ft ] = A(P),
con P = conv((1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1)).
Tenemos lo siguiente:
El grado de la variedad V (f ) es el volumennormalizado de P,
El polinomio de Ehrhart de P es:
EP(x) = x2 + 2x + 1,
dim(P) = 2,
grado de V (f )=grado(f )=2,
2 = 2!vol(P).
FIN
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