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SIMON BOLIVAR
Análisis de series de tiempo
Tercera clase
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Métodos de descomposición de series de tiempo
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Métodos de suavizamiento – pronóstico
• Promedios– Simples – Simple Móvil– Doble Móvil
• Suavizamiento exponencial– Simple– Doble (Holt, Brown)– Triple (Winters, Brown)
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Modelos con variables exógenas
• Ver ejemplo de contaminación, temperatura y mortalidad.
• Gráficos por pares...
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Análisis de tendencia – Series derivadas
ttt
tt
t
ttt
xy
y
yx
ˆˆ
:residuos de seriela
con trabaja se y ˆ;estima Se
ioestacionarser pudiera
Tendencia
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Opciones:
• Una tendencia determinística
• Una tendencia aleatoria
• En la primera hay que ajustar un modelo
• En la segunda para eliminarla hay que trabajar con la primera diferencia (hablar de las segundas ...)
• NOTACIÓN:
tt 10
ttt w 1
1
1
)1(
ttt
tt
xxx
B
BBx
Ir a R
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Suavizamiento - Revisitado
• Tendencias de largo plazo pueden ser examinadas con la serie ‘suavizada’ por ejemplo
k
kj j
jj
k
kj jtjt
a
aa
xam
1
ponderado Promedio
:simetrico
anteriores las de ncombinació
ondas'' desuma
p grado de t en polinomio
t
t
ttt
f
f
yfx
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Suavizamiento - Revisitado
• Nucleo
n
j
t
n
i ttt
bjt
K
bit
Ki
xif
1
1
)(
)(ˆ
Lowless"" :tipo
ponderada localmente regresión
como osofisticad más método un o
cercanos' más vecinos' usando
n)(predicció local regresión
t
ttt
f
yfx
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Splines
• Se divide el soporte de los datos en k intervalos y en cada intervalo se ajusta una regresion polinomica de manera que sea diferenciable en todas partes
n
tttt dtffx
1
22 )(min
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Estudio de tendencia (Series climatológicas)
• Referencia: – Notas de Richard Smith sobre estadística ambiental.– Material puede ser bajado de la pagina
http://www.cesma.usb.ve/~lbravo/co6324/notas.html
Notas Smith
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Análisis de series de tiempo a la manera de Box-Jenkins
)(gaussiano varmedia, blanco ruido
;0
ioestacionar supone se
2
2211
wt
p
t
tptpttt
σw
x
wxxxx
Recordar que pasa si xt media no cero
Notación Libro:
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Operadores polinómicos
tt
pp
tt
wxB
BBBB
BxBx
)(
comoescribir puede se AR(p) el quemanera de
1)(
ivoautoregresOperador 2
21
1
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Ejemplos de AR(1)
AR(1) = +.9
Time
x
0 20 40 60 80 100
-20
24
AR(1) = -.9
Time
x
0 20 40 60 80 100
-40
4
AR(1) = +.9
Time
x
0 20 40 60 80 100
-6-2
2
AR(1) = -.9
Time
x
0 20 40 60 80 100-4
04
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AR(1) : El ejemplo!!! (ecuación recursiva)
0
1
0
121
... Iterando
jjt
j
k
jjt
jkt
k
tttttt
w
wx
wwxwxx
Leer Teorema de representación de WoldApendice B del libro
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AR(1) : El ejemplo!!! (ecuación recursiva)
2
2
0
22
0
2
00
1
)(
hw
j
jhw
j
hjjw
kkt
k
jjht
j wwEh
Siempre y cuando...
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AR(1)Anticipación y “estacionariedad” (suponga |
0
1
0
11
11
11
... Iterando
jjt
j
k
jjt
jkt
k
ttt
ttt
w
wx
wxx
wxx
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AR(p) como un promedio móvil infinito:
identidadoperador )()(
)(
como escribirlo quiero
)(
0
1
BB
wBwx
wxB
BxBx
jtjtjt
tt
tt
Hacer el ejemplo con AR(1) (otra vez)
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Análisis de series de tiempo a la manera de Box-Jenkins
)(gaussiano varmedia, blanco ruido
;0
2
2211
wt
q
qtqtttt
σw
wwwwx
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Operadores polinómicos
tt
tt
wBx
BBBB
BxBx
)(
comoescribir puede se MA(q)el quemanera de
1)(
AOperador M2
21
1
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Ejemplos MA(1)
MA(1) = +.5
Time
x
0 20 40 60 80 100
-3-1
13
MA(1) = -.5
Time
x
0 20 40 60 80 100
-3-1
1
MA(1) = +.5
Time
x
0 20 40 60 80 100
-3-1
1
MA(1) = -.5
Time
x
0 20 40 60 80 100-2
02
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MA(1)
10
1
1)1(
)( 2
22
h
h
h
h w
w
• Auto-covariancia es igual a cero para h > q• Auto-correlación es igual para diferentes valores de lo que presenta un problema de identificabilidad...• más aún, distintas combinaciones de sigma y theta dan resultados iguales en auto-covariancia
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MA(q) como un AR infinito
identidadoperador )()(
)(
como escribirlo quiero
)(
0
1
BB
xBxw
wBx
BxBx
tj
jtjt
tt
tt
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MA(q)
• La representación MA(q) no es única (dan mismos resultados).
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Modelos ARMA
• Son combinaciones de lo anterior; para un proceso estacionario con media cero
0
0
)()(
q
p
tt wBxB
)1( 1
11111
p
qtqtttptt wwwxxx
distinta de cero
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ACF
0
2
00
0
)cov()(
)(
jhjjw
kktk
jjhtj
tht
jtjtjt
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xxh
wBwx