eman ta zabal zazu
1
1.
Análisis de respuesta transitoria2.
Análisis de respuesta permanente
3.
Análisis en el dominio de la frecuencia.4.
Estabilidad
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad
eman ta zabal zazu
2
t
r(t)1
Entrada Escalón
L-1(Y(s))
G(s)R(s) Y(s)
L(r(t))
Tablas/ simulación
t
y(t)1
transitorio
permanente
RESPUESTA
t
r(t)
Entrada Rampa
G(s)R(s) Y(s)
L(r(t)) L-1(Y(s))
t
y(t)
1
transitorio
permanente
RESPUESTA
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad
eman ta zabal zazu
3
RESPUESTA TRANSITORIA
Para analizar la respuesta de un sistema, debemos definir que entrada se le aplica (escalón, rampa, parabólica...) y que tipo de sistema es. Podemos distinguir tres tipos
de sistemas en cuanto a su numero de polos
(polos= raíces del denominador de la función de transferencia), tenemos:
1) SISTEMAS DE 1er
ORDEN. Numero de polos n=1
2) SISTEMAS DE 2º
ORDEN. Numero de polos n=2
3) SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR. Numero de polos n>2, y n>m
22
2
2)(
nn
n
wswswk
sG+∂+
=
1)(
+=
sTksG
nnnn
mmmm
asasasabsbsbsb
sRsYsG
++++
++++==
−−
−−
11
10
11
10
...
...)()()(
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
eman ta zabal zazu
4
SISTEMA DE 1er ORDEN
1)(
+=
sTksGR(s) Y(s)G(s)
K= ganancia del sistema
T= constante de tiempo
Polo en -1/T
Supongamos entrada escalón unitario R(s)=1/s, la respuesta y(t) seria:
11
1)()(
+=
+=
sTk
ssTksRsY
Transformada Inversa
de LaplaceTt
ekkty−
−=)(
respuesta transitoriaSi T>0, entonces:
t
y(t)k
T
Conclusiones:1) K es el valor final del sistema (t=∞), para T>02) Si T aumenta el sistema responde mas lentamente
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
eman ta zabal zazu
5
SISTEMA DE 2º
ORDEN
R(s) Y(s)G(s)
K= Ganancia del sistema
δ= Coef. de amortiguamientoWn=Frecuencia natural
Supongamos entrada escalón unitario R(s)=1/s y 0<δ<1,
la respuesta y(t) seria:
22
2
21)(
nn
n
wswswk
ssY
+∂+= )1arctg1(
1)(
22
2 ∂∂−
+∂−∂−
−=−∂
twsinekkty n
twn
respuesta transitoria
22
2
2)(
nn
n
wswswk
sG+∂+
=
jwws nn21 ∂−±∂−=polos
t
y(t)k
transitorio
Sistema Subamortiguado
o con oscilaciones amortiguadas
REBOSE
T1
TIEMPO DE PICO
TpTIEMPO DE ESTABLECIMIENTO
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
eman ta zabal zazu
6
SISTEMA DE 2º
ORDEN
22
2
2)(
nn
n
wswswk
sG+∂+
= jwws nn21 ∂−±∂−=
REBOSE
TIEMPO DE PICO
TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
100)(
)()(100(%) max1 2 x
tytyty
xeRfinal
final−== ∂−
−πδ
t
y(t)
k
transitorio
T1 Tp
R
sC
R
x
x-δ
wn
jwn21 ∂−
211 ∂−
=nw
t π
∂=
∂=
np
np
wt
wt
4
3
%)2(
%)5(
eman ta zabal zazu
7
SISTEMA DE 2º
ORDEN CON CEROS Y POLOS AÑADIDOS
22
2
2)1()(
nn
n
wswsaswksG+∂+
+=
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
Cero añadido
)1)(2()( 22
2
aswswswksG
nn
n
++∂+=
Polo añadidoEscalón unitario R(s)=1/s y 0<δ<1:
C
R
x
x
x-1/a
eman ta zabal zazu
8
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIORPara el estudio teórico de la respuesta tanto transitoria como permanente de los sistemas de orden superior, es necesario realizar fundamentalmente dos aproximaciones, mediante las cuales reduciremos el sistema a uno
de 1er
o 2º
orden.Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema G(s):
)10)(3)(1(75.2)(
++++
=sss
ssG xxx o-1
-2.75-3-10
Plano s
eje Real
eje imaginario
Podemos realizar dos simplificaciones:1) Despreciar el polo en -10 por estar muy alejado del -1, que es el polo dominante.2) Anular el polo en -3 con el cero -2.75 por su cercanía.
)1(092.0)(+
=s
sG Se reduce a un sistema de 1er
orden
Nota: se puede comprobar que en el caso de una entrada escalón unitaria los dos sistemas tienden a 0.092 (Teorema del valor final)
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
eman ta zabal zazu
9
Angulo de posición
Antena
θ
Ejemplo: SISTEMA DE ORIENTACION
KmtetBtJ )()()( =+ ϑϑ &&&
)()()()(
BJssKm
sEssG
+==
ϑ
J= 12 m2
kgB= 14 m2
kg/sKm= 10.5m2
kg/s2
Entrada Escalón
E(s) θ(s))1412(
5.10+ss
e(t)1
θ(t)
e(t)
E(s)=1/s
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])step(G)
eman ta zabal zazu
10
Ejemplo: SISTEMA DE ORIENTACION
e(t)
Entrada Rampa
E(s) θ(s))1412(
5.10+ss θ(t)
e(t)
θ(t)
e(t)
e(t)
E(s) θ(s))1412(
5.10+ss
E(s)=1/s2
Entrada Parabólica E(s)=1/s3
t2
t
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria
eman ta zabal zazu
11
RESPUESTA PERMANENTEG(s)
H(s)
+
-
R(s) Y(s)E(s)Consideremos el siguiente sistema realimentado. Para analizar la respuesta en régimen permanente
es
necesario el estudio de los errores
(E(s)) que se producen cuando al sistema se le aplica una entrada.
)()()()()()()(
sYsHsRsEsEsGsY
−==
)()(1)(
)()()(
sHsGsG
sRsYsGLC +
==Función de Transferenciaen lazo cerrado GLC
(s)
Función de Transferenciaen lazo Abierto G (s)H(s)
)()(1)()(
sHsGsRsE
+=
Función de Transferenciadel Error E(s)
Se define el error en régimen permanente
como:
)()(1)()()(
00 sHsGsRslimsEslimtelime
sstss +
===→→∞→
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
eman ta zabal zazu
12
)()(1)()()(
00 sHsGsRslimsEslimtelime
sstss +
===→→∞→
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
Coeficientes estáticos de error:
R(s)=1/sp
sss KsHsGe
+=
+=
→ 11
)()(11lim
0)()(lim
0sHsGkp
s→=
j\
R(s) 1/s 1/s2 1/s3
j= 0 ∞ ∞
j= 1 0 ∞
j= 2 0 0
j>= 3 0 0 0
R(s)=1/s2
vsss KsHsG
se 1)()(1
/1lim0
=+
=→
R(s)=1/s3a
sss KsHsGse 1
)()(1/1lim
2
0=
+=
→
Coef. de error aceleración:
Coef. de error Posición kp:
Coef. de error Velocidad:
)()(lim0
sHsGskvs→
=
)()(lim 2
0sHsGska
s→=
)1)...(1()1)...(1()()(
1
1
++++
=− spspsscscksHsG
jnj
m
Tipo de sistema: j=nº
de polos en el origen Kp+1
1
Kv1
Ka1
eman ta zabal zazu
13
θ(t) LA
e(t)θ(t) LC
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
θ(s)5.101412
5.102 ++ ss
1
1)()(lim)(lim)(lim00
===→→∞→
sGsRssst LCsstϑϑ
0)()(1
)(lim)(lim)(lim00
=+
==→→∞→ sHsG
sRssEstesst
ERROR (permanente):
VALOR FINAL:
Entrada EscalónR(s)=1/s
5.1014125.10
)()(1)(
)()()( 2 ++
=+
==sssHsG
sGsRssGLC
ϑ
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)-+
eman ta zabal zazu
14
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
∞=++
===→→→∞→ 5.101412
5.101lim)()(lim)(lim)(lim 22000 sssssGsRssst
sLCsstϑϑ
33.15.10
14
)1412(5.101
1lim
)()(1)(lim)(lim)(lim
2
000==
++
=+
==→→→∞→
ss
sssHsG
sRssEstessst
ERROR de Seguimiento:
VALOR FINAL:
Entrada Rampa
θ(s)5.101412
5.102 ++ ss
1
R(s)=1/s2
θ(t) LA
θ(t) LCe(t)
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)-+
eman ta zabal zazu
15
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
∞=++
===→→→∞→ 5.101412
5.101lim)()(lim)(lim)(lim 23000 sssssGsRssst
sLCsstϑϑ
∞=
++
=+
==→→→∞→
)1412(5.101
1lim
)()(1)(lim)(lim)(lim
3
000
ss
sssHsG
sRssEstessst
ERROR de Seguimiento:
VALOR FINAL:
Entrada Parabólica
θ(s)5.101412
5.102 ++ ss
R(s)=1/s3
θ(t) LA
e(t)
θ(t) LC
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)-+
eman ta zabal zazu
16
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
SISTEMA DE ORIENTACION: Descomposición en fuerzas
)( BJssKm+
Θr(s) Θ(s)E(s)-+
KmBJssKm
sssG
rLC ++
==)()(
)()(ϑϑ
J= 12 m2
kgB= 14 m2
kg/sKm= 10.5 m2 kg/s2
KmssKmssBsJs r )()()()(2 ϑθθθ =++
)()())()(( 2 ssBsJsKmssr θθθϑ +=−
)()()( 2 sJsssBKmsE θθ =−
Θr(s)Θ(s)E(s)
-+Km
Km
E(s)
-+
B
s1
s1S Θ(s)s2Θ(s)
J1
aceleración velocidad Ang. PosiciónPar motor
fuerzas fricción
B s Θ(s)
Ang. Referencia Error
eman ta zabal zazu
17
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
J= 12 m2
kgB= 14 m2
kg/sKm= 10.5 m2 kg/s2
Θr(s) Θ(s)E(s)
-+Km
Km
E(s)
-+B
s1
s1sΘ(s)s2Θ(s)
J1aceleración velocidad
Ang. PosiciónAntena
Par motor
fuerzas fricción
B s Θ(s)Ang. Ref
Error
eman ta zabal zazu
18
Amplificador
K1
Potenciómetro
Motor
Potenciómetro
Inercia
evia
Ra
La
Jo bo
θA
T θ
θr
n
va
b
abaaa
a
eKedt
tdKe
eetiRdt
tidL
1
3)(
)()(
=
=
=++
θ
)(
)()(
2
2
2
tiKT
Tdt
tdbdt
tdJ
a
oo
=
=+θθ
Ejercicio: Modelo completo Motor+Antena
Ecuaciones eléctricas motor:
Ecuaciones dinámicas motor+antena:
)()()]()([
tntttKe
A
Arov
θθθθ
=−=
Medida de posición y engranaje:Pot. medida
Posición ang. Antena
Fuerza c.e.m
Tensión inducido motor
Par motor
Se pide:1)Obtener las siguientes función de transferencia:
2)Dibujar el diagrama de bloques del sistema, indicando las diferentes variables del sistema:Tensiones, corrientes, fuerzas,3)Analizar la respuesta del sistema para el caso de una entrada escalón, rampa y parabólica (datos)
)()()(,
)()()(
ttsG
ssEsG
r
ALC
vV θ
θθθ ==
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente
eman ta zabal zazu
19
R(s) Y(s)G(s)t
r(t)
A
r(t)= A sin(wt)
y(t)
t
A(w)
Φ(w)
y(t)= A(w) sin(wt+ Φ(w))
Para el estudio de los sistemas en el dominio de la frecuencia se considera lo siguiente:
1) señal de entrada sinusoidal: r(t)= A sin (wt)2) variación de la frecuencia w=(0,+∞)3) Régimen permanente
Teniendo en cuenta esto, tenemos lo siguiente:
Amplitud dependiente de la frecuencia de entrada
Desfase dependiente de la frecuencia de entrada
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis en el dominio de la frecuencia
eman ta zabal zazu
20
R(s) Y(s)G(s)r(t)= A sin(wt)
Ventajas de la representación en frecuencia:1) Facilidad para obtener la respuesta con un generador de señales2) La relación entre las señales de salida y de entrada se obtiene simplemente realizando el cambio de s por jw
Como inconveniente principal es que la relación entre la frecuencia y el tiempo es complicada y de aplicación difícil.
yrp
(t)= A G(jw) sin(wt+ Φ(w))
Esto es, la función de transferencia en el plano frecuencial se calcula sustituyendo s por
jw.
Ejemplo sistema de 1er
orden:
1)(
1)(
+=⎯⎯ →⎯
+= →
jwTkjwG
sTksG jws
Modulo
Fase1)(
)(2 +
=wTkjwG
)()( Twarctgw −=Φ
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis en el dominio de la frecuencia
eman ta zabal zazu
21
Como se puede apreciar la transformación del plano temporal al frecuencial es sencilla, pero su representación
grafica
puede resultar muy complicada si el
sistema es de orden superior. Por ello, en el caso del
modulo
de la función de transferencia se utiliza la escala logarítmica y se define el decibelio:
Gdb
= G(jw) db
= 20 log G(jw) [decibelio]
También se define la década
como: f2
/f1
=10. Así, dos frecuencias están a n décadas cuando su relacione su relación es: f2
/f1
=10n
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis en el dominio de la frecuencia
decada
eman ta zabal zazu
22
Modulo en decibelios: wjwjwGdb 1214log20log205.10log20)( +−−=
)14
12(90)( warctgw −−=Φ
Fase en grados:
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis en el dominio de la frecuencia
)1412(5.10)(
)1412(5.10)(
+=⎯⎯ →⎯
+= →
jwjwjwG
sssG jws
LA
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)
-+
Sistema en lazo abierto
Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])bode(G)
eman ta zabal zazu
23
La estabilidad de los sistemas realimentados esta relacionada únicamente con la propia naturaleza del sistema, no con el tipo de entrada que se le aplica. Por lo tanto, la estabilidad
se definirá
en la función de transferencia
que representa al
sistema, concretamente en los polos de la F.T.
Un sistema será estable cuando todos sus polos estén en el semiplano negativo del plano s. Esto es, cuando la parte real de los mismos sea negativa.
G(s)
H(s)
+
-
R(s) Y(s)E(s)
1)( =sH
Siendo:
14.01)( 2 ++
=ss
sG
SISTEMA EN LAZO ABIERTO:
14.01)()()( 2 ++
==ss
sHsGsGLA
x
-0.2
Plano s
eje Real
x
+0.98j
-0.98jESTABLE
SISTEMA EN LAZO CERRADO:
24.01
)()(1)()( 2 ++
=+
=sssHsG
sGsGLC
x
-0.2
Plano s
eje Real
x
+1.38j
-1.38jESTABLE
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio del tiempo
eman ta zabal zazu
24
Ejemplo:
1632)( 23 +++
+=
sassbssG
¿Para que valores de a y b el sistema es estable?Para cualquier valor real de b el sistema es estable debido a que los ceros no afectan a la estabilidad
Para analizar la influencia de a
tenemos que aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:a)a>0, debido que todos los coeficientes el del denominador deben de ser
estrictamente positivos.b) Realizar la tabla: S3
S2
S1
S0
3 a
6 1
(6a-3)/6 1
1
Los coeficientes de la primera columna deben ser positivos
para que el sistema sea estable.
(6a-3)/6 > 0 a > 1/2
Conclusión:Para cualquier b y para a>1/2
el
sistema es estable.
Plano s
eje Real
ESTABLE INESTABLE
a > 1/2 a < 1/2
a = 1/2
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio del tiempo
eman ta zabal zazu
25
Como ya se vio anteriormente, la estabilidad de los sistemas depende de la posición de los polos de la función de transferencia en el plano s. Si los polos se encuentran el el semiplano negativo, el sistema será
estable. Esto ultimo se refiere a la estabilidad
absoluta.Cuando se diseña un sistema de control se requiere que el sistema sea estable en términos absolutos, pero además es necesario que tenga una estabilidad relativa.
G(s)
H(s)
+
-
R(s) Y(s)E(s)G(s)H(s)1/H(s) +
-
R(s) Y(s)E(s)
En el caso de los sistemas de fase mínima, en los cuales la F.T en lazo abierto no tiene ni polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s, se definen dos parámetros que nos indican en que grado el sistema es estable en lazo cerrado. Estos parámetros son el margen de fase
y el margen de ganancia.
Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio de la frecuencia
eman ta zabal zazu
26
ESTABILIDAD RELATIVAMargen de fase (MF):Se define como la cantidad de retraso de fase que se requiere añadir al sistema para llevarlo a la inestabilidad.
Margen Ganancia (MG):Se define como la cantidad de ganancia que se que se requiere añadir al sistema para llevarlo a la inestabilidad.
)(180 gcwMF Φ+=
)(log20 fcwGHMG −=
dbjwHGjwGHw gcdbdbgcgc 0)(1)( =→=→
Frecuencia de ganancia critica
º180)( −=Φ→ fcfc ww
Frecuencia de fase critica
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio de la frecuencia
eman ta zabal zazu
27
ANALISIS DE ESTABILIDAD RELATIVAUn sistema de fase mínima será
estable
si el margen de ganancia
y el margen de
fase son positivos. En La figura se representan los diagramas de bode de un sistema estable y otro inestable.
-180
wgcMG<0
MF<0
INESTABLEGdb
Φ(w)
log w
log w
wfc-180
wgc
MG>0
MF>0
ESTABLEGdb
Φ(w)
log w
log w
wfc
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad Estabilidad en el dominio de la frecuencia
eman ta zabal zazu
28
ESTABILIDAD RELATIVA
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad Estabilidad en el dominio de la frecuencia
MG=∞
dbMF= 60.7º
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)
-+ Estable
Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])bode(G)margin(G)
eman ta zabal zazu
29
Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad Estabilidad en el dominio de la frecuencia
SISTEMA DE ORIENTACION
)1412(5.10+ss
R(s) Θ(s)E(s)
-+
Sistema en lazo cerrado
5.1014)(125.10)(
5.1014125.10)( 22 ++
=⎯⎯ →⎯++
= →
jwjwjwG
sssG jws
LC
Ancho de Banda: w Є
[0, 1.14 rad/s]
Ancho de Banda
Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])G2=feedback(G,1)bode(G2)
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