8/15/2019 Análisis de Fourier - Ejercicios Resueltos
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EJERCICIOS FOURIER MATEMÁTICA APLICADA
FEBRERO DE 2015
4º MATEMÁTICA – NIEKRASZEWICZ LEONARDO
I.S.F.D. Y T. Nº 24 – BERNARDO HOUSSAY
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EJERCICIOS RESUELTOS FOURIEREJERCICIO 1
Sea < < 0 0 < < de período 2, hallar su serie de Fourier
2 ∫ cos
− 1 ∫ c o s
− 1 ∫ c o s
1 ∫ c o s− ∫ c o s 1 cos −
1 0 0 cos0 cos 0 1 1 c o s
1 1 1
∀ ∈ ℕ
1 ∫ − 1 ∫ 1 2 −
⇒
0 ∀ ∈ ℕ
1 , ∈ ℕ
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2 ∫ sen
− 1 ∫ s e n
− 1 ∫ s e n
1 ∫ s e n
− ∫ s e n
1 sen −
1 sen0 sen 0 0 0 1 1 c o s cos 1 c o s ∀ ∈ ℕ
; ;
~ ∑ ∞
=
Hasta n=5
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1 2 sen 2 2.0 sen. 0 2 0 . 0
1
2 cos
π cos
2
21 2
1
+ ; ;
~ ∑ ∞
=
Hasta n=10
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EJERCICIO 3
Sea 0 < < 0 0 < < de período 2, hallar su serie de Fourier
2 ∫ cos
− 1 ∫ 0 c o s
− 1 ∫cos
1 ∫cos
1
cos1 21
cos1 21
1 cos1 21 cos1 21 cos1 . 021 cos1 . 021 1 cos1 21 cos1 21 221 1
1 1+21 1+21 221 1
1 1 1+ 1 1+ 221 1 1 1 1 1 221 1 22 1 11 1 ∀ ∈ ℕ }
⇒
≥ 2
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1 ∫ 1 cos ; 1 ∫ cos 1 sen2
2 ∫ cos− 1 ∫ 0 s e n− 1 ∫sen 1 ∫sen 1 sen1 21 sen1 21
1 sen1 21 sen1 21 sen1 . 021 sen1 . 021
1 sen1 21 sen 121 ∀ ∈ ℕ } 1 ∫sen 1 2 sen24
1 2
;
; ; ;
~ ∑ ∞
=
Hasta n=5
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EJERCICIO 4
A) Sea para < < de período 2, hallar su serie de Fourier
2 ∫ cos
− 1 ∫ c o s
− 1 cos −
1 cos cos 1
cos
cos
, ∀ ∈ ℕ
1 ∫ − 1 t2 −
2 ∫ sen
− 1 ∫ s e n
− 1 sen −
1 sen sen 1 1 1 , ∀ ∈ ℕ
⇒
es impar ya que ,debido a ello se anulan los
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; ;
~ ∑ ∞=
B) Ahora con
para
0 < < 2
2 ∫ cos 1 ∫ cos 1 cos
1 2 2 cos2 0.. 0 cos. 0
1 1 1 , ∀ ∈ ℕ
1 ∫ 1 t2
Hasta n=5
Desarrollo impar omediante senos
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2 ∫ sen 1 ∫ sen 1 sen
1
2 2
sen2
0.. 0
sen. 0
1 2 , ∀ ∈ ℕ ; ;
~ ∑ ∞= Hasta n=5
⇒
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EJERCICIO 5
Siendo 2 con para < < , hallar su serie de Fourier
2
∫ cos
−
1
∫ cos− 1
2t cos
2
−
1 2 cos 2 2π cosπ π 2 π
1 2 cos 2π cosπ 2ππ 21 ∀ ∈ ℕ
1
∫
−
1
3
−
Ya dijimos que los se anulan por ser función par, pero igual lo calculamos. 2 ∫ sen
− ∫ sen
− 1 2t sen 2 −
⇒ es par pues , entonces los se anulan.
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1 2 sen 2 2 sen 2
1
2
2
1 2 2 , ∀ ∈ ℕ
; ;
~ ∑ ∞= Hasta n=3
Desarrollo par omediante cosenos
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EJERCICIO 6
Encontrar la serie de fourier de 1 < < 00 0 < < si es 2
2 ∫ cos
− 1 ∫ c o s− 1 ∫ 0 . c o s
1 ∫ c o s− 1 − 1 . 0
1
, ∀ ∈ ℕ
1 ∫ 1− 1 −
2
∫ sen
−
1
∫ s e n− 1
∫ 0 s e n 1
∫ s e n−
1 cos − 1 cos. 0 cos , ∀ ∈ ℕ
; ;
⇒
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~ ∑ ∞
=
EJERCICIO 7
Encontrar la serie de fourier de 3 4 < < 00 0 < < 4 si es de período 8.
2 ∫ cos
− 28 ∫ 3 cos 4
− 28 ∫ 0 c o s 4
Hasta n=5
⇒ 2 8 /
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34 ∫ cos 4 − 34 cos4 4
t sen 4 4 −
34 cos 4 0 4 0 sen 4 0 4 cos 4 4 4 4 sen 4 4 4 34 1 4
cos 4 34 16 1 1 , ∀ ∈ ℕ
14 ∫ 3
− 34 t
2 −
34 162
2 ∫ sen
− 14 ∫ 3 sen 4
− 3
4sen 4
4
t cos 4
4
−
34 sen 4 0 4 0 cos 4 0 4 sen 4 4 4 4 cos 4 4 4
34 4 cos 4 34 16 1 , ∀ ∈ ℕ
; ;
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~ ∑ ∞
=
EJERCICIO 8
Desarrollar 2 en el intervalo 0,1 siendo el período 1.
2 ∫ cos
2 ∫ 2
cos 2
4 ∫
cos 2
4 2cos2 2 2 22sen2π n t 4 2cos2 2 12 22 sen2π n 0cos2 02 02 22sen2π n 0
Hasta n=5
⇒
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4 2cos2 2 4 . 2 12 , ∀ ∈ ℕ
2 ∫ 2 4 3
2 ∫ sen 2 ∫ 2 sen 2 4 ∫ sen 2 4 2sen2
2 2
2
2cos2π n t
4 2sen2 2 22 12 cos2π n 2.0sen2 02 22 02 cos2πn 0
4 223 12 . 1 223 . 1 4 12 , ∀ ∈ ℕ
;
;
~ ∑ ∞
=
Hasta n=5
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EJERCICIO 9
Desarrollar 1 2 < < 1 1 < < 11 1 < < 2
con período 4.
2 ∫ cos
− 12 ∫ cos 2 −− 12 ∫ c o s 2 − 12 ∫ c o s 2
12 sen2 2 −
−
12 sen2 2
12 cos2 2 sen
2 2 −
12 sen22 sen
2 sen 2
sen 2 2 12 cos 2 2
sen 2 2 −
12 sen2
2
sen 2
2
sen
2
sen
2
12 cos2
2
sen 2
2
−
12 cos 2 22 sen 2 2 cos 2 22
1sen 2 2
⇒ / es impar → ∀ ∈ ℕ
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12 cos 2 22
cos 2 22 sen 2 2
sen 2 2 , ∀ ∈ ℕ
12 ∫ 1−− 12 ∫ − 12 ∫ 1 12 −− 12 12 t2 − 12 12 0
2 ∫ sen
−
12 ∫ sen 2 −− 12 ∫ sen 2 − 12 ∫ s e n 2 12 cos2 2 −
− 12 cos2 2
12 sen2 2
cos 2 2 −
12 cos2
2
cos 2
12 cos 2
cos 2 2
12 sen2
2
cos 2 2
−
12 cos 2 c o s cos cos 2 2 12 sen 2 2 cos 2 2 −
2 cos 2 11 12 sen
222 cos 2 2
sen 2 22 1cos 2 2
2 cos 2 1
1
12 2sen 222 2cos
2 2
2 cos 2 11 2 2sen
2 2 cos 2
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2 cos2 11 cos 2 2sen
2 2
; ;
~ ∑ +
∞=
Para los n pares se anula entonces si tomamos 2 1 nos queda:n 2 k 1 → n 4k 4 k 1senn π2 1+
1+
1−+
1
1senn π2 t s e n 2 k 1 π2 t
~ ∑ + ∞
=
Hasta n=5
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EJERCICIO 10
Encontrar la serie de Fourier de 1 < < 0
1 0 < <
con
Como es impar, entonces , ∀ ∈ ℕ
2 ∫ sen − 2 ∫ sen 2 − 2 ∫ s e n 2
2 cos2
2
−
2 cos2
2
2 2 cos 2 0 cos 2 2 2 2 cos 2 2cos 2 0
1 1 c o s 1 cos 1 1 2 21 , ∀ ∈ ℕ
⇒ /
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Pero es nulo para todo exponente par, entonces solo nos quedan los impares quetendrán la forma
mediante el remplazo de , generando unicamente lostérminos que no se anulen.
2 1 1 → 2 1− 12 1 2 22 1 , ∀ ∈ ℕ
; ;
~ ∑ ∞
=
Hasta k=5
(5 términos efectivos)
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EJERCICIO 11
Encontrar la serie de Fourier de en , si es 2
2 ∫ cos
− 1 ∫
cos
− 1
(cos )1 −
1 (cos )1 −(cos )1 1 cos − cos1 − 11 , ∀ ∈ ℕ
⇒
⇒
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2 ∫ sen
− 1 ∫ sen
− 1 (sen )1 −
1
(sen )1 −
(sen )1
1 cos − cos1 − 11 ,∀ ∈ ℕ
;
;
~ ∑ ( )∞
=
Hasta n=5 (Azul)
Hasta n=20 (Naranja)
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EJERCICIO 12
Encontrar la serie de Fourier de − para 1 < < 1 con período 2.
2 ∫ cos
− 22 ∫ − cos
− −(cos )1 −
−
(cos )1
(cos )1
− cos cos1 − 11 ,∀ ∈ ℕ ⇒
2 ∫ sen− 22 ∫ − sen − −(sen )1 −
⇒
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−(sen )1 (sen )1
− cos cos
1 −
1
1
, ∀ ∈ ℕ
; ;
~ ∑ ( )∞=
Hasta n=5
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EJERCICIO 13
Encontrar la serie de Fourier de:
La función es con 2 y es impar, , por lo tanto los coeficientes , ∀ ∈ ℕ, quedando un desarrollo mediante senos.
2 ∫ sen
− 22 ∫ sen
− sen cos −
sen cos sen cos
cos
cos
, ∀ ∈ ℕ
; ;
⇒
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~ ∑ ∞
=
EJERCICIO 14
Desarrollo de Fourier para | |. Grafique.Primero vamos a analizar la función
.
(No confundir el de f(t) con el de los coeficientes de la serie, que los vamos a llamar )
Hasta n=5
/
⇒
/
⇒
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Siendo período fundamental de la función a analizar y su frecuencia angular fundamental.Además es par pues , por tanto , ∀ ∈ ℕ . Por tanto, utilizando
,
y teniendo en cuenta que en
,
se cumple que
= | | se puede calcular: 2 ∫ cosΩ 2 ∫ cos2
2 ∫ cos2
2 cos( 2 )2 2 cos( 2)2 2
2 [cos 2 2 2
cos 2 2 2 cos( 2.0)2 2 cos( 2. 0)2 2
]
2 cos(1 2 )2 2 cos(1 2 )2 2 12 2 12 2
2 22 2 22 2
2 11 2 11 2 2 1 2 1 2 1 4 , ∀ ∈ ℕ
⇒
(1 2 ) 1 Coseno de múltiplo
impar de .
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; ;
~ ∑ ∞
=
EJERCICIO 15
Desarrollo para . Usar 2
Hasta n=1 (Azul)
Hasta n=2 (Naranja)
⇒
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La función es impar, por tanto los , ∀ ∈ ℕ y nos queda un desarrollomediante senos.
2 ∫ sen
−
22 ∫
sen
− 1 ∫
−2
sen
−
1 ∫ (10− 10 5− 5 − )32 sen− 1 ∫ 1016 −2 516 −2 116 −2 sen−
1 ∫ 58 516 3 116 5sen− 58 ∫ sen− 516 ∫ 3 sen− 116 ∫ 5sen−
∫ s e nt sennt− dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 1 ∫ s e n3t sennt−
dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por
las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 3 ∫ s e n5t sennt− dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 5 → 58 ∫ − 0 0 58 2 24 −
58 2 2
→ 0 516 ∫ 3− 0 516 2 612 − → 0 0 116 ∫ 5− 116 2 1020 −
(Para todo otro n es )
2 31
1
2
3
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; ∀ ∈ ℕ ,,} ; ; ;
Posee sólo tres términos y coincide exactamente con la función original para cualquier t.
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EJERCICIO 16
Desarrollo para cos . Usar 2 y 2
La función es par, pues es par por ser producto de pares y es par porser producto de dos impares, por tanto, los , ∀ ∈ ℕ.
2 ∫ cos
− 22 ∫ cos cos
−
1 ∫ −2 −2 cos− 1 ∫ − 3 3 −8 − 24 cos− 116 ∫ (2 − 2 − − )2 cos−
116 ∫ 2 ( − )2 − 2 (− )2 cos− 116 ∫ 2cos cos3cos5 cos−
⇒
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116 2∫ cos cos − ∫ cos3 cos − ∫ cos5 cos −
∫ cost cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 1 ∫ cos3t cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 3 ∫ cos3t cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 5 → 18 ∫ cos − 0 0 18 2 24 −
18 2 2 → 0 116 ∫ cos3 − 0 116 2 612 −
→
0 0 116 ∫ cos
5
− 116
2
1020 −
(Para todo otro n es )
∀ ∈ ℕ ,,} ; ; ; ;
Posee sólo tres términos y coincide exactamente con la función original para cualquier t.
1
2
3
2 31
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EJERCICIO 17
Desarrollo de:
(a) por cosenos en 0, Si está definida en un intervalo y es un desarrollo por cosenos, entonces debe hacerse una extensión
par de de modo tal que los y solo resten los términos de coeficiente .
2 ∫ cos− 22 ∫ cos− 2 ∫ cos 2 ∫ cos 2 cos1 21 cos1 21
⇒ /
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2 cos1 21 cos1 21 cos1 . 021 cos1 . 021
2 1−
121 1−
121 1 1
11 1
11
1 1 1 [1 1 1 ] 2 1 11 ∀ ∈ ℕ } Para los n impares mayores que 1, los coeficientes son nulos, por tanto haciendo el
reemplazo , con ∈ ℕ, se evitan los términos que dan cero. 2
1 1
2
1
[
] →
2 ∫ cos
; [ ] ;
̃ ~ = ∀ ∈ 0,
Hasta k=2
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(b) || Teniendo en cuenta que || en el intervalo 0, o bien recurriendo al ejercicioal ejercicio 14 que dice:
ℎ | | ⇒ ℎ ~ 2 4 cos24 1= Con 1 y 1 se obtiene que el desarrollo de será exactamente igual al item (a):
~ 2 4 cos24 1
=
EJERCICIO 18
Desarrollo de:
(a) cos mediante senos en 0, Si está definida en un intervalo y es un desarrollo por senos, entonces debe hacerse una extensión
impar de de modo tal que los y solo resten los términos de coeficiente .
2 ∫ sen
− 22 ∫ sennt
− 2 ∫ sen ⇒
/
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2 ∫ cos 2 cos 1 2 1 cos 1 2 1
2
cos 1 2 1
cos 1 2 1
cos 1 . 02 1
cos 1 . 02 1
2 1−2 1 1−2 1 12 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 , ∀ ∈ ℕ }
2 ∫ cos
; ; ∀ ∈ ℕ} ;
̃ ~
= ∀ ∈ 0,
̃ ~
= ∀ ∈ 0,
Para n impar se anulan los
coeficientes. Se puede
hacer el reemplazo n=2k
Hasta k=5
o bien n=10
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(b) |cos|
Como es par tenemos que los . También tenemos que tener en cuenta que en , es
|| pero en
,
es
|| entonces:
2 ∫ cos
− 1 ∫ cos
− 2 ∫ cos 2 ∫ coscos
2 ∫ coscos
2
sen1 21
sen1 21
2
sen1 21
sen1 21
1 sen1 2 1 sen1 21 0 0 1 0 0 sen1 2 1 sen1 21 1 sen1
2 1 sen1 21 1 sen1
2 1 sen1 21
1 2sen1 21 2 sen1 21 2 1sen1 2 1 sen1 21
∀ ∈ ℕ }
/
sen1 2 sen1 2 ∀ ∈ ℕ
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→
2 ∫ cos
2 ∫ cos
Pero resulta ser que va tomando los valores ,,,,…, es decir, se anulapara los valores de n impares, y alterna entre 1 y -1 para los pares (incluyendo al 0).
Haciendo con ∈ ℕ 4 sen
2 2 24 1 4 sen2 4 1 4 14 1
; ∀ ∈ ℕ ; ~
=
(c) ¿Cómo podría definirse (a) en t=0 y t= para que la serie converja en 0 ≤ ≤ ?Como la serie converje al promedio de los límites laterales, que en este caso es: 0− 0+2 − +2 0 ⇒ < < ∨
Hasta k=3
o bien n=6
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EJERCICIO 19
Desarrollar con 0 < < 2 en semi-períodos de senos y cosenos:Si es mediante senos significa que se realiza una extensión impar tal que los
∀ ∈ ℕ
2 ∫ sen
− 22 ∫ sennt
− 2 ∫ sen
22 ∫ sen 2 sen2 2
cos 2 2
sen 2 2
2
2cos 2 2
2
sen 2 0
2
0.cos 2
2
0 21 2 0 0 ∀ ∈ ℕ
⇒ / /
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; ;
̃ ~
= ∀ ∈ 0,2
Si es mediante cosenos significa que se realiza una extensión par tal que los ∀ ∈ ℕ
Hasta n=10
/ ⇒ /
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2 ∫ cos
− 1 ∫ cos
− 2 ∫ cos
22 ∫ cos 2 cos 2 2 t sen 2 2
cos 2 2 2
2 sen 2 2 2 cos 2 0 2
0 sen 2 0 2 1
2 0 1
2 0
∀ ∈ ℕ
∫
; ; 0
̃ ~ = ∀ ∈ 0,2 Hasta n=3
Los coeficientes de subíndice par se anulan, pero una sustitución de n=2k-1 no simplifica en gran
medida la expresión, por tanto se ha dejado sin modificar.
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EJERCICIO 20
Desarrollar { 0 || < 10
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4 5 5 2 5
∀ ∈ ℕ
25 ∫ 10 4
; ;
̃ ~ = ∀ ∈ 5, 5
En los valores de ± y ± la serie converge al promedio de los límites, es decir, 5.
Hasta n=10 (Naranja)
Hasta n=20 (Azul)
Hasta n=30 (Verde)
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EJERCICIO 21
Desarrollar 0 < < 48 4 < < 8 con un desarrollo de:(a) Medio rango impar
Realizamos una extensión impar y calculamos los ya que los serán nulos.
2 ∫ sen
28 ∫ sen 8
28 ∫ 8 sen 8
14 sen8 8
cos 8 8 84 cos
8 8 14 sen
8 8 cos 8 8
14 sen8 4
8
4 cos 8 4 8
2 cos 8 8 8
cos 8 4 8
14 sen 8 8 8 8 cos 8 8 8 sen 8 4 8 4cos 8 4 8
⇒ / /
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14 sen 2 14 sen 14 sen 2 8
cos 2 2cos 2cos 2 2cos cos 2 8 64 [12 sen 2 14 sen]
,∀ ∈ ℕ
; ;
̃ ~
= ∀ ∈ 0,8
Hasta n=10
Los coeficientes de subíndice par se anulan, pero una sustitución de n=2k-1 no simplifica en gran
medida la expresión, por tanto se ha dejado sin modificar.
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(b) Medio rango par
Realizamos una extensión par y calculamos los ya que los serán nulos.
2 ∫ cos
28 ∫ cos 8
28 ∫ 8 cos 8
14 cos8 8
sen 8 8 84 sen
8 8 14 cos
8 8 sen 8 8
14 cos8 4
8
4 sen 8 4 8
cos 8 0
8
2 sen 8 8 8
sen 8 4 8
14 cos 8 8 8 8sen 8 8 8 cos 8 4 8 4sen 8 4 8
14 cos 2 14 14 cos 14 cos 2 8
sen 2 2sen 2sen 2 2 sen sen 2 8 12 cos 2 14 14 1 8
644 2cos 2 1 1
¡
14 ∫ 14 ∫ 8 14 2 14 8 2
; ;
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̃ ~
= ∀ ∈ 0,8
Si n es impar se anula tanto cos como 1 1 entonces si hacemos 2 resulta: ̃ ~
=
̃ ~
=
∀ ∈ 0,8 Bastante más sencilla de evaluar y que sólo arroja términos no-nulos.
EJERCICIO 22
Desarrollo de medio rango para { 0 <
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2 ∫ cos 2 ∫ 4 cos
2 ∫ 4 cos
12 cos sen 2 cos sen 12 ∫ cos
12 cos2 1
2 sen 2 2 cos cos2
2 sen 2 12 ∫ cos 12 cos
2 1 1 cos 2 2 sen 2 2 sen 2 12 ∫ cos
∫ cos 2 cos 2sen
21 cos 2
4 sen 2 2sen 2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
12 cos 2 1 1 cos 2 21 cos2 12
2 sen 2 2 sen 2 4 sen 2 12 2sen 2
, ∀ ∈ ℕ
2 ∫ 4 20 2 ∫ 4 2 12 22 0
2 12 22 33 2 216 12 36 312
1
1
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;
;
̃ ~ = ∀ ∈ 0,
EJERCICIO 23
Representar la siguiente función por una serie de Fourier de cosenos y trazar una gráfica de la
correspondiente extensión periódica de con 0 < < .
Hasta n=5 (Naranja)
Hasta n=10 (Azul)
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El período de la es , entonces , y llamando M (Pues L ya está en uso) setiene . Realizada la extensión par calculamos los coeficientes :
2 ∫ cos 2 cos 2 cos 2
2 cos
2 1 cos 2 1
cos 02 1 cos 02 1
2 2 cos 11 cos 11 1 1− 11 1− 11
1 1 1 [ 21 ] , ∀ ∈ ℕ } → Para los n impares se anulan los coeficientes, entonces haciendo n=2k resulta:
[ ], ∀ ∈ ℕ Finalmente
; ; ̃ ~
= ∀ ∈ 0,
Hasta n=5
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EJERCICIO 24
Demostrar que para 0 < < es:(a)
∑
=
En primer lugar observamos que en sumatorio sólo intervienen cosenos, lo cual nos permite
realizar un desarrollo de medio rango par de f(t) entre y , con y . 2 ∫ cos 2 ∫ cos
2 cos sen 2 ∫ cos
2 cos2 sen cos. 02 22 cos 2sen 2 1n 12 2 2 1 2 1n 1 2 12 , ∀ ∈ ℕ Se cancela para los n impares entonces eligiendo n=2k queda:
4 [ 14]
2 ∫ 2 2 3
; ;
̃ ~ = ∀ ∈ 0, L.Q.Q.D.
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(b) ∑ (+)+= Se trata de la misma función pero con un desarrollo mediante senos, entonces, al igual que
antes tenemos
y
, y procedemos al cálculo de los
.
2 ∫ sen 2 ∫ sen 2 sen cos
2 22 sen 23 2 cos0
2 2 cos 2 2 1 2
2 1 2 21n3 21n 23 2 1 2 1n 13 21n Como para los n pares se cancelan, haciendo n=2k+1 con ∈ ℕ se obtiene:
[
]
; ; [ ] ̃ ~ ( )
= ∀ ∈ 0,
L.Q.Q.D.
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EJERCICIO 25
Calcular utilizando el ejercicio anterior:
=
El que tiene una forma similar es ~ ∑ + ( )∞ con ∈ ,.Para que el ( ) se transforme en hay que elegir un t conveniente en elintervalo dado.
El seno toma los valores 1 y -1 para múltiplos impares de /, por tanto si elegimos ,el cual pertenece a ,, nos queda .
→ = Evaluando y despejando se obtiene el valor de la suma infinita:
8 1k2 13
= 4 ⇒
=
= Nos queda por usar ~ ∑ ∞ con ∈ ,.Para transformar el en recordamos que se da para los múltiplos de ,entonces elegimos , que pertenece al intervalo, y queda:
→
=
Evaluando y despejando se obtiene el valor de la suma infinita: 6 1 2
=
4 ⇒
=
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EJERCICIO 26
Encontrar la serie compleja de Fourier para la función diente de sierra definida por con
0 < < y
, y reducir a la forma trigonométrica.
L0s coeficientes de la forma compleja de la serie de Fourier son:
1 − 1 − − 2
1 2
2 2 1 2 1 2 1 2 [ 2 2 2 1 2 2] [
(cos2 2) 2 (cos2 2) 1
2 2 ] 2 0. 2 , ∀ ∈ ℕ
1 0 2 22 0 La forma compleja es ~ ∑ =−≠ , entonces:
;
⇒ /
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~
=−≠
Para llevarlo a la forma trigonométrica recordamos las fórmulas de conversión:
2 ; 2 2 2 ⇒⏞
2 0 2 2 ⇒
2
2 ⇒
; ;
~
=
Usando trigonométrica
Hasta n=5
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EJERCICIO 27
Encontrar la serie compleja de Fourier de la sinusoide rectificada con0 < < 1 si 1 .
1 − 11 − − − 2 cos 2
− 4 4
2
4
1 1
4
1
cos2 2 1 1
4
1
∀ ∈ ℤ
⇒ ~
=− A trigonométrica:
2 14 1 2 ⇒⏞
⇒
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2 2 ⇒
; ; ~
=
EJERCICIO 28
Encontrar la serie compleja de Fourier de la función en el intervalo 0, si es .
Hasta n=2
⇒
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1 − 1 −
1
−
2 4cos
2 4 4.3.1
2 4 2
1244 2 2 0 34 2 2 2 2cos 22 22 2.1.1222 22 − 0
324 21 2 − 324 21 2− 1 2 34 14 21 2 cos2 2 ∀ ∈ ℤ ,±,± 0 → ∫ ±1 → − ∫ −
±2 → − ∫
−
Una manera sencilla de hallarlos es desarrollar usando −/ ⇒ − − Para pasarlo a trigonométricas simplemente agrupamos términos semejantes
convenientemente (sin necesidad de usar fórmulas de conversión)
38
12
−
2 18
−
2
Las cuales tienen 5 y 3 términos respectivamente y coinciden exactamente con la original en
todo punto.
Evaluado en y en es
Evaluado en y en es
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EJERCICIO 29
Encontrar la serie compleja de Fourier de la función en el intervalo 0,2 si es 2.
1 − 12 − 12 − 12 − 1
12 − 11 12 (cos2 2) 11
12
11
⇒ ~
=−
⇒
.
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En forma trigonométrica:
2 ⇒⏞
; ;
~
=
EJERCICIO 30
Hallar la integral de Fourier para 1 || < 10 || > 1
Hasta n=10
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La integral de Fourier es 12 − 12 − − −
1
2 0. −
−
− 1 . −
− 0 . −
−
12 − − − 12 − − − 12 − − 22 − 2 −
− −
A forma trigonométrica:
1 − 1 ( ) −
1 cos − sen −
∴ , ∀ ∈ ℝ ± ±
→ → …
Converge al
promedio en
los puntos de
discontinuidad
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EJERCICIO 31
Utilizar el ejercicio anterior para deducir ∫ ∞−∞ Tomando
, que pertenece al intervalo, se tiene que
cos 1 ∀ ∈ ℝ, por lo que la
serie se reduce a:
0 2 Pero, recurriendo a la función original , se sabe que 0 1 por tanto:
1 2 ⇒ EJERCICIO 32
Hallar la integral de Fourier en forma trigonométrica del 13 suponiendo que estádefinida en el intervalo 1,1
La integral de Fourier trigonométrica es
1 cos
− cos sen
− sen
1 cos− cos sen− →
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1 2 sen 2 sen
2
2
, ∀ ∈ ℝ ± − + ∧ − +
∴ , ∀ ∈ ℝ ±
EJERCICIO 33
Hallar la integral de Fourier compleja del 13 12 − − − 12 − 1− −
12 − − −
12 2
−
2 2
−
2
−
− −
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EJERCICIO 34
Idem que 32 sabiendo que es imparSi se sabe impar
⇒ ∫
EJERCICIO 35
Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular definido por 1 || /2 La transformada es ℱ − −
−
− − −
2
−
2
EJERCICIO 36
Encontrar la transformada de Fourier de − > 00 < 0 con > 0 − − −+ −+
1 → −+
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→ −+ 1 → −+ 1 → − (cos ) ⇒
⇒ →−+
0
⇒ EJERCICIO 37
Si
ℱ hallar la transformada de Fourier de
.cos
. −− − 2 −− 12 (− −−)− 12 −−− 12 −+−
12 12
.
EJERCICIO 38
Sea
1 0 < <
0 > 0 hallar las transformadas infinitas de seno y coseno
: : } − }
Infinitésimo Acotado
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1 12 0
cos
cos 1
1 12 0 sen
sen 0
∧
EJERCICIO 39
Sea 1 1 < < 1 < < 1 < < 1
0 || > 1
hallar la transformada de Fourier
01∞ 112
1 1 12
12 11
12 0∞
1 − 1 − −
− − − − − 1
12 1 1 1 − − − 1 1 −
− 12 1
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2 − − − −
2 −
1 −2 2 −2 2 −2
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