5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 1/10
Análisis de Fourier con las señales
Utilizaremos como señal la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud
física o de otra naturaleza.
Por ejemplo:
La intensidad de la corriente eléctrica
El nivel de gris de los puntos de una imagen
Un electrocardiograma
Un sonido
La evolución del índice de la bolsa de valores
La representación matemática (el modelo matemático) de una señal corresponde
a la noción de función (de una o varias variables: tiempo, espacio, etc). Sin
embargo las distribuciones (o funciones generalizadas) constituyen un modelo
más general y satisfactorio.
Las señales las representaremos por y=f(t), donde t es la variable independiente, y
la variable dependiente admiten diferentes caracterizaciones:
Estocástica
Determinística
Continua (Analógica)
Discreta (Digital)
Periódica
Exacta
Aproximada
La frecuencia λ es una medida para indicar el numero de repeticiones de
cualquier fenómeno o suceso en la unidad de tiempo por tanto λ = 1/T.
Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX,quien
encontró que una función periódica se puede representar como una suma infinita
ponderada de términos en senos y cosenos (la serie de Fourier), mientras
que en el caso de funciones no periódicas la representación se da por
medio de una integral (la transformada de Fourier).
Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que estudia la
representación de funciones o señales como superposición de ondas de base (los
armónicos). En el caso de las series de Fourier estos son sinusoidales y por tanto
las series son trigonométricas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX se
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 2/10
aplica esta teoría a datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen,
el clima, la mecánica cuántica o las neurociencias.
Serie de Fourier
Un contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis de Fourier es
el de los espacios de Hilbert (espacios vectoriales normados, cuya norma
proviene de un producto escalar y completos). Aquí trabajaremos en el
espacio de las funciones continuas por tramos.
Una función f(t) es continua por tramos en un intervalo I pertenece a los números
reales si admite un numero finito de discontinuidades de salto. Evidentemente una
función continua en un intervalo I es continua por tramos en I.
La operación de la Serie de Fourier esta basada en una señal de tiempo que es
periodica. Esto es una señal de tiempo cuya forma se repite en una cantidad
infinita de veces. Fourier demostró que una señal de este tipo es equivalente a
una colecciòn de funciones senos y cosenos cuyos frecuencias son múltiplos del
recíproco del periodo de la señal de tiempo. El resultado un poco inesperado es
que cualquier forma de onda, siempre y cuando no sea infinita en longitud se
puede representar como la suma de una serie de componentes armónicos, y la
frecuencia fundamental de la serie de armónicos es 1 entre la longitud de la forma
de onda. Las amplitudes de los varios armónicos se llaman los coeficientes
Fourier, y sus valores se pueden calcular facilmente si se conoce la ecuación parala forma de onda. También se puede calcular graficamente la forma de onda. Se
sabe que en una clase de física los estudiantes hicieron eso con el perfil de
Marilyn Monroe. Pusieron los coeficientes de MM en el pizarrón de anuncios como
una broma para "enterados".
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 3/10
Análisis de Fourier
Las ondas armónicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya
que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como
temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se
pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen losinstrumentos musicales.
El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por
hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de
hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma
de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia
Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes
de su época como Lagrange, Laplace, etc.
Descripción
A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas
representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica,
se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un
número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie
armónica.
Toda función f (t ) periódica de periodo P , se puede representar en forma de una
suma infinita de funciones armónicas, es decir,
donde el periodo P= , y a 0 a 1 ...a i ... y b 1 b 2 .... b i .... son los denominados
coeficientes de Fourier.
Conocida la función periódica f (t ), calculamos los coeficientes a i y b i del siguientemodo
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 4/10
Las integrales tienen como límite inferior -P /2 y como límite superior P /2.
En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P , en
mediante un simple cambio de escala en el
eje t . Escribiendo t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo
de x , y la función f (t ) convertida en
definida en el intervalo que va de -
simple
donde
Si la función g(x ) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.
Si g (x ) es una función par, g (x)=g(-x), los términos b i son nulos
Si g (x ) es impar g (x )=-g (-x ), los coeficientes a i son nulos
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 5/10
Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se
obtienen los siguientes coeficientes.
AnálisisdeFourierysusaplicaciones
Unhechoimportanteesque,engeneral,cualquierseñalquepaseatravésdeun sistemalinealeinvarianteenelBemposedistorsiona,esdecir,cambiasuforma.
LaúnicaseñalquenosedistorsionaalpasaratravésdeunsistemadeesteBpoesunasinusoidalpura.
Unaseñalsinusoidalpuranocambiasuformaperosicambian: – Suamplitud. – Sufase.
Engeneral,elcambioenlaamplitudyenlafasedependen: – delsistema. – delafrecuenciadelaseñalsinusoidal.
ElanálisisdeFourierpermitedeterminarlaamplitudyfasedecadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñal.
• ParaseñalesperiódicasseuBlizanlasseriesdeFourier.• ParaseñalesnoperiódicasseusalatransformadadeFourier.• LasseriesdeFourierpermitendeterminarlaamplitudyfasede
cadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñalperiódica.
• ExistendosformasdelaseriedeFourier: – Formarectangular. – Formacompleja
Six(t)esunaseñalperiódicaconperíodoT 0 ,suseriedeFourierenforma
rectangulares:
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 6/10
Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales• LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:
LaseriedeFourierenformacomplejaparaunaseñalperiódicax(t)conperíodoT 0 ,es:
Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales• LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 7/10
• ¿ParaquéseaplicaelanálisisdeFourier?Seaplicapara:
– Analizarcontenidodefrecuenciadelasseñales. – Determinarcómocambialaamplitudylafasedelas señales
sinusoidalescuandoéstaspasanatravésdeunsistemalinealeinvarianteenelTiempo.
¿DóndeseaplicaelanálisisdeFourier? – Seutilizaenmuchasáreasdeingenieríadondeseanalizanydiseñan
sistemasdinámicos.Algunasáreasson:
– Comunicaciones. – Ingenieríamecánica. – Ingenieríadecontrol. – CamposelectromagnéBcos. – Procesamientodeseñalesdeaudio. – Procesamientodeimágenes. – –Eneláreamédica.
Encomunicaciones: – Paraanalizarcontenidodefrecuenciadelasseñales. – Diseñarlossistemasdetransmisióndeseñalespara – transmitirinformación. –
Analizarloscambiosqueocurrencuandolasseñalesviajanatravésdeunmediodetransmisión.
– Diseñarsistemasparacompensarladistorsióndelasseñalesenlossistemasdetransmisión.
– Paradiseñarsupresoresycanceladoresdeecoenlíneastelefónicas.
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 8/10
Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.
Usando la forma rectangular de la serie se obtiene:
Usando la forma compleja de la serie se obtiene:
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 9/10
Ejemplos
5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-fourier-con-las-senales 10/10
Conclusión
El Análisis de Fourier se utiliza para estudiar la frecuencia de las señales y poder
saber como cambia la amplitud y fase de las señales sinusoidales cuando pasan a
través de un sistema lineal y el tiempo. A demás por medio de este estudio o bien
análisis se utiliza para diseñar sistemas para evitar distorsiones de la señal asícomo el diseño de los sistemas para la propagación de la misma. Así como el
estudio de las vibraciones dentro del ámbito de la mecánica y dentro de muchas
otras aplicaciones como filtrar datos e imágenes.
Fuentes
http://www.dliengineering.com/vibman-spanish/laseriedefourier.htm
http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml
http://www.slideshare.net/Nhynoska/serie-de-fourier
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/fourier/Fourier.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
http://www.cienciamatematica.com/descarga/calculo/analisis_de_Fourier.pdf
Top Related