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Si un sistema cuntico puede estar
en uno de dos estados, entonces puede
estar tambin en cualquier
Superposicin linear de esos dos
estados.
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sPueden ser nmeros
,cuando se normalizen
de forma que:
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Por ejemplo:
es un estado cunticoperfectamente vlido
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La superposicin
es la unidad bsica deinformacin codificada
en las computadorascunticas y es llamado
qubit.
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La amplitud
es una medida de su
inclinacin hacia el estadofundamental.
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Es tentador pensar que
es la probabilidad de que el
electrn est en estadofundamental o tierra.
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el estado si fuese negativoo un nmero imaginario?
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Esta superposicin lineal es
e mun o pr va o e e ec r nPara que nosotros podamosobtener una aproximacin
del estado del electrndebemos hacer una medicin
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,obtendremos un nico bit deinformacin (ya sea 0 o 1).
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Si el estado del electrn es
entonces la probabilidad deque la salida de la medicin
sea 0 es
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Cuando realizamos la
medicin forzamos al sistemaa cambiar su estado, es
decir, si la salida de lamedicin es 0, entonces
el nuevo estado delsistema es
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El principio de superposicinno se limita slo a
como el que acabamosde describir, sino que se
aplica en general asistemas de k-niveles.
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As podramos considerarun sistema de k niveles
denotado por:
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Y por el principio desuperposicin, el estado
de este sistema sera:
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Y por el principio desuperposicin, el estado
cuntico general
de este sistema sera:
donde:
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Si midiramos el estado delsistema obtendramos un
- ,salida j ocurra con
probabilidad:
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Para codificar n bits deinformacin podramos escoger
=
tomo de hidrogeno, pero paracomprenderlo bien,
comencemos usandosimplemente n qubits.
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Para empezar, consideremosel caso de 2 qubits, esto es,el estado de los electrones
de 2 tomos de hidrgeno.
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Debido a que cada electrn puedeestar en estado fundamental
o excitado, en fsica clsica,
este sistema tendra un totalde cuatro estados 00,01,10,11-
y debido a ello, es posible
almacenar 2 bits de informacinen este sistema.
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En fsica cuntica, el principio de
superposicin nos dice que el estadocuntico de 2 electrones va ms
ll n m in i n lin l
de los cuatro estados clsicos.
Normalizado a:
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Si medimos el estado del sistema,
obtendremos 2 bits de informacin.Como antes, si la salida de la
medicin es k , entonces el nuevo
estado del sistema es:
Si jk=10, por ejemplo, entonces
el primer electrn est enestado excitado y el segundo
electrn en estado fundamental.
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Ahora consideremos el casogeneral de n tomos de hidrgeno.
Pensemos en n como un nmero
relativamente pequeo de tomos,como n =500. De forma clsica
los estados de 500 electrones
serviran para almacenar 500bits de informacin en la forma obvia.
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Pero el estado cuntico de un
sistema de 500 qubits es lasuperposicin lineal de todos
los estados clsicos posibles!
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Es como si la naturaleza tuviera
pedazos de papel, cada uno
con un nmero complejo escritoen l, slo para llevar el registrodel estado de un sistema de
500 tomos de hidrgeno.
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Ahora que si hablamos de unsistema ue evoluciona en el
tiempo, la naturaleza deberatachar los nmeros y
remplazarlos con su nuevo valor.
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El nmero es mucho mayorque los estimados del nmero
e par cu as e emen a es queexisten en el universo.
Dnde almacena entonces
la naturaleza esta informacin?
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En este fenmeno se
encuentra la motivacin bsicade la computacin cuntica.
,computacin es tanextravagante al nivel
cuntico, porqu conformarnoscon la fsica clsica?
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En este fenmeno se
encuentra la motivacin bsicade la computacin cuntica.
,computacin es tanextravagante al nivel
cuntico, porqu conformarnoscon la fsica clsica?
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Aqu surge un problemafundamental:Esta ex onencialmente lar a
superposicin lineal es elmundo privado de los electrones.
Medir el sistema slo nosrevela n bits de informacin.
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Un algoritmo cuntico es unaestructura que refleja la tensin
exponencial de un sistema de
n-qubits y los meros n bits que
se obtienen con la medicin.
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La entrada de un algoritmocuntico consiste de n bitsclsicos la salida tambin
consiste de n-bits clsicos.Es mientras el sistema cuntico
no es observado donde los
efectos cunticos hacen lo suyo.
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Si la entrada es un string binario-
computadora cuntica tomarcomo entrada n-qubits en
estado
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Luego una serie de operacionessern ejecutadas para
transformar el estado de nqubits a la superposicin
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Finalmente se realiza unamedicin, y la salida ser un
string binario de n bits con probabilidad
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Observe, querido espectador,
que esta salida es aleatoria.Siempre y cuando
correcta con una probabilidadsuficientemente alta, podemos
repetir el proceso algunasveces para hacer el porcentajede error minsculo.
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Ahora veamos con mayornfasis la parte cuntica delalgoritmo. Algunas de las
operaciones cunticas clavepueden pensarse como la
bsqueda de ciertos
patrones en una superposicinde los estados.
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,
pensar en el algoritmo comosi tuviramos dos etapas.
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En la primera etapa, los n bitsclsicos son desempaquetados
hacia una superposicin linear
exponencialmente larga,la cual sabemos que tiene un
patrn escondido o una especie
de regularidad que, cuando sedetecte, solucionar el problema.
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La segunda etapa consiste en
cunticas, seguidas por unamedicin, que revelan el patrn
escondido.
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La operacin ms importanteque se puede ejecutar de forma
eficiente por una computadoracuntica es la versin cuntica
del algoritmo rpido de la
transformada de Fourier.
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La transformada rpida de
Fourier (FFT) tiene una entradade un vector de tamao M y
.
del vector debe ser potenciade 2, es decir M=
La salida es un vector
devalores complejos y detamao M.
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El algoritmo clsico FFT escapaz de realizar su clculo en
slo O( ) pasos.
Las computadoras cunticaspueden implementar un FFT
exponencialmente ms
rpido, en tiempoO( ).
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El algoritmo clsico FFT escapaz de realizar su clculo en
slo O( ) pasos.
Las computadoras cunticaspueden implementar un FFT
exponencialmente ms
rpido, en tiempoO( ).
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Pero cmo es posible que
cualquier algoritmo tomemenos tiempo que M,
el tamao de la entrada?
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Escribiramos estasuperposicin como:
donde sera la amplituddel string binario de m bits
que corresponde al nmeroen la forma natural.
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Aqu podemos ver que lanotacin
vector, donde el ndice de cadaentrada del vector se escribe
de forma explcita entreestos smbolos .
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Hasta ahora slo hemos
su velocidad.Pero veamos ahora la otra
cara de la moneda.
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El algoritmo clsico de FFT tiene
como output los M nmeroscomplejos:
En contraste, QFT prepara
una superposicin:
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Y como vimos con anterioridad,
estas amplitudes son parte delmundo privado de este sistema
. ,
manera de poner nuestrasmanos en el resultado es
midindolo, y midiendo el estadodel sistema slo nos dam = log M bits clsicos
.
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De forma especfica, la salida es -
(esto es, 0j M-1),de la distribucin de probabilidad
Pr[j]=
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