Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 1
UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES
Definición 35.- Un espacio vectorial V sobre un campo F es un conjunto de
elementos llamados vectores, junto con dos operaciones, adición vectorial y
multiplicación por escalares, que satisfacen las siguientes propiedades
(A1) ( ) , ,v w V v w V
(A2) ( ) ( ), , ,u v w u v w u v w V
(A3) , ,v w w v v w V
(A4) Existe un elemento neutro, llamado vector cero o vector nulo, 0 V tal que
0 ,v v v V
(A5) Para cada v V , existe un elemento v V tal que ( ) 0v v
(M1) , ,v V F v V
(M2) ( ) ( ) , ,v v F v V
(M3) ( ) , , ,v w v w F v w V
(M4) ( ) , , ,v v v F v V
(M5) 1 , , 1v v v V F
Ejemplo 38.
1.- El conjunto 1, ( )n n n de n-adas de números reales con la suma y
multiplicación por escalares definidas por:
Si 1 2 1 2, , , ,..., , , ,...,t tn
n nx y x x x x y y y y , entonces:
1 1 2 2, , ,...,t
n nx y x y x y x y y 1 2, ,..., ,t
nx x x x donde
Es un espacio vectorial sobre .
Nota: el vector 0 de n es 0 0,0,...,0t
2.- El conjunto m n de matrices reales de orden m n es un espacio vectorial sobre
3.- El conjunto m n de matrices complejas de orden m n es un espacio vectorial
sobre
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Notas de curso 2
4.- El conjunto : 0,1V f de funciones de 0,1 a , es un espacio vectorial
sobre .
Nota: el elemento 0 de V es la función 0 o función nula 0 :[0,1]f
, , :[0,1] , :[0,1]f g V f g
:[0,1]f g y :[0,1] ,f
5.- Sea n
V x el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o
igual que n e indeterminada x . Entonces V es un espacio vectorial sobre .
Nota: El vector 0 de V es el polinomio cero o polinomio nulo: 20 0 0 0 ... 0 nx x x
Ejercicios
1.- Sea 2, 0, 0t
V x y x y . ¿Es el conjunto V un e.v. sobre donde las
operaciones en V son las operaciones usuales en 2
2.- Consideremos el conjunto 2 , ,t
x y x y y el campo de números
complejos. ¿Es 2 un espacio vectorial sobre ?
3.- ¿Es n un espacio vectorial sobre ?
4.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K . Demuestra que el vector nulo 0 de
V es el único con la propiedad: 0 ,v v v V
5.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K . Si v V , entonces v V es el
único con la propiedad: ( ) 0v v
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Notas de curso 3
Teorema.- Sea V un e.v. sobre un campo F . Entonces se cumple:
1) 0 0,v v V
2) ( 1) , , 1v v v V F
3) 0 0, 0 ,V F
4) ( ) ,v v v V
5) ( ) ( ) ( ), ,v v v v V F
6) ( )( ) , ,v v v V F
7) u w v w , entonces u v , , ,u v w V
8) Si , 0, ,F u v entonces , ,u v u v V
9) Si 0,v entonces 0 ó 0v
3.1 SUBESPACIOS VECTORIALES
Definición 36.- Sea V un e.v. sobre un campo F . Se dice que un subconjunto W de
V , W , es un subespacio vectorial de V si W es por sí mismo un espacio vectorial
sobre F con las mismas operaciones definidas en V .
Teorema: Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V sobre F es un
subespacio de V si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones.
1) Si ,v w W entonces v w W
2) Si ,v W F entonces v W
Demostración:
) Como W es un subespacio vectorial de V , entonces W es por sí mismo un espacio
vectorial sobre F . Así que se cumplen las 10 propiedades de la definición de e.v. en
particular se satisface las propiedades (A1) y (M1) que son las condiciones 1) y 2)
) Queremos probar que W es un subespacio de V , para ellos veamos que W es un
espacio vectorial sobre F .
Como se cumplen las condiciones 1) y 2), entonces se satisfacen las propiedades (A1) y
(M1). Así que solo resta probar que se satisfacen las 8 propiedades restantes. Como W
es un subconjunto de V , entonces W hereda automáticamente las propiedades (A2),
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Notas de curso 4
(A3), (M2), (M3), (M4) y (M5). Así solo resta probar que se satisfacen las propiedades
(A4) y (A5). Ahora como W , sea v W
( 1)v W por 2), pero ( 1)v v , luego v W , pero ( ) 0v v y además
( )v v W , luego 0 W
Se satisfacen las propiedades (A4) y (A5)
W es un subespacio vectorial de V
Ejemplo 39.
1.- Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, V es un subespacio de sí
mismo y el conjunto 0W es también un subespacio de V , llamado subespacio
trivial.
2.- Consideremos el e.v. 2 sobre y sea ,0t
W x x , entonces W es un
subespacio de 2 . (Comprobar)
3.- consideremos el e.v. 2 2V sobre y sea
0,
0
xW x y
y
. Entonces W
es un subespacio de V . (Comprobar)
Ejercicio.- Consideremos el e.v. nV sobre y sea 0Ax un sistema homogéneo
de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Sea nW s s es solución del sistema
0Ax . Entonces W es un subespacio vectorial de n , llamado espacio nulo de A .
3.2 COMBINACIONES LINEALES
Definición 37.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sean 1 2, ,..., rv v v V . Se dice que el
vector v V es una combinación lineal de los vectores 1 2, ,..., rv v v si existen escalares
1 2, ,..., r F tales que 1 1 2 2 ... r rv v v v
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Notas de curso 5
Ejemplo 40.
1.- Consideremos el e.v. 3 sobre . Sean 3
1 21,2, 1 , 6,4,2t t
v v ,
entonces el vector 9,2,7t
v es c.l. de los vectores 1v y
2v .
Solución:
Hallemos escalares 1 2, tales que
1 1 2 2v v v . Así:
1 2 1 2 1 2 1 29,2,7 1,2, 1 6,4,2 6 ,2 4 , 2t t t t
1 2
1 2
1 2
6 9
2 4 2
2 7
Resolviendo el sistema: 1 3 y
2 2
v es combinación lineal de 1v y 2v
2.- Sea 2V sobre . El vector 22,1t
v no es c.l. de los vectores 1 1,0t
v
y 2 2,0t
v .
Solución:
Ya que no existen escalares 1 2, tales que 1 1 2 2v v v
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sean 1 2, ,..., rv v v V . Demuestra:
1) 0 es c.l. de 1 2, ,..., rv v v
2) iv es c.l. de 1 2, ,..., rv v v , con 1,2,...,i r
Definición 38.- Consideremos ahora un e.v. V sobre F y sea 1 2, ,..., rS v v v un
subconjunto de V . Denotemos con S ó ( )span S al conjunto de vectores v V tal
que v es c.l. de los vectores de S , o sea 1 2. . , ,..., rS v V v es c l de v v v
Teorema.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sea 1 2, ,..., rS v v v V , entonces S
es un subespacio vectorial de V . Más aún S es el más pequeño de los subespacios de
V contienen a los vectores 1 2, ,..., rv v v
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Notas de curso 6
Nota: S se conoce como el subespacio de V generado por S si V S se dice que
S genera a V .
Ejemplo 41.
1.- Sea 2V sobre y sea 1 2,S e e , donde 1 2
1 0,
0 1e e
, entonces
2 S
Demostración:
Es claro que 2S , ahora probemos que 2 S .
Sea 2
xv
y
1 2
0 1 0
0 0 1
x xx y xe ye
y y
2 2, ,v S S S
2.- Consideremos el e.v. n sobre y sea 1 2, ,..., n
nS e e e , donde
0,0,...,0,1,0,...,0t
ie para 1,2,...,i n , (El numero 1 situado en la i-esima posición),
los vectores ie se conocen como vectores unitarios de n . Entonces n S
3.- Consideremos el e.v. n
V x sobre y sea 21, , ,..., nS x x x V . Entonces
V S .
Demostración:
Es claro que S V , veamos que V S .
Sea ( )P x V , donde 2
0 1 2( ) ... n
nP x a a x a x a x
2
0 1 2( ) (1) ( ) ( ) ... ( )n
nP x a a x a x a x
( ) , ,P x S V S V S
4.- Consideremos el e.v. 2 2V y sean
1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1v v v v
. Entonces 1 2 3 4, , ,S v v v v
genera a V .
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Notas de curso 7
Demostración:
Es claro que S V . Probemos que V S . Sea 2 2v , entonces a b
vc d
1 0 0 1 0 0 0 0, ,
0 0 0 0 1 0 0 1v a b c d v S V S V S
5.- El conjunto infinito 21, , ,...S x x genera al e.v. [ ]x sobre .
Ejercicio.- Consideremos el e.v. 3 sobre y sean
1 2 31,1,2 , 1,0,1 , 2,1,3t t t
v v v , determina si 1 2 3, ,S v v v genera a 3 .
3.3 OPERACIONES CON SUBESPACIOS
Teorema.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .
Entonces 1 2W W es un subespacio de V . (Demostrar)
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V . ¿Es
1 2W W un subespacio de V ?
Definición 39.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .
Entonces la suma de 1W y 2W , denotada 1 2W W es:
1 2 1 2 1 1 2 2,W W v V v w w con w W y w W
Teorema.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .
Entonces 1 2W W es un subespacio de V . (Demostrar)
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V . Si
1 2W W es un subespacio de V . Demuestra que 1 2W W ó 2 1W W .
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Notas de curso 8
3.4 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Definición 40.- Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nv v v V se dice que es
linealmente independiente (l.i.) si toda combinación lineal de los vectores de ,
igualada a 0 implica que todos los escalares de la c.l. son cero. Es decir si
1 1 2 2 ... 0n nv v v entonces 1 2 ... 0n .
En caso contrario se dice que es linealmente dependiente (l.d.). Es decir es l.d. si
existe una c.l. 1 1 2 2 ... 0n nv v v con algún 0i .
Ejemplo 42:
1.- Consideremos el e.v. 2 sobre y sean 1 4,2t
v , 2 2,1t
v ¿Es 1 2{ , }v v l.i.
o l.d.?
Solución:
Como 1 21 2 0v v o sea (4,2) 2(2,1) 0t t
es l.d.
2.- Sea 2 sobre y 1 2{ , }v v con 1 1,2t
v , 2 5,6t
v ¿Es 1 2{ , }v v l.i. o
l.d.?
Solución:
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
(1,2) (5,6) (0,0)
( 5 ,2 6 ) (0,0)
5 0 , 2 6 0
t t t
t
Sea v v
1 5, | | 4 0
2 6Si A entonces A
A es invertible por lo cual el sistema tiene una única solución (la trivial)
1 2 0
es l.i.
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Notas de curso 9
3.- Sea 3 sobre y 1 2 3{ , , }v v v con 1 2,3,1t
v , 2 1,1,1t
v 3 2, 3, 1t
v ¿Es
1 2 3{ , , }v v v l.i. o l.d.?
Solución:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
0
(2,3,1) (1,1,1) ( 2, 3, 1) (0,0,0)
(2 2 ,3 3 , ) (0,0,0)
2 2 0, 3 3 0, 0
2 1 2 2 1 2
Si 3 1 3 , entonces | | 3 1 3
1 1 1 1 1 1
t t t t
t t
Sea v v v
A A
2 1 2
3 1 3 0
1 1 1
Entonces A es singular, así el sistema 0Ax tiene una infinidad de soluciones, es
decir existe un 1 2 3( , , )ts tal que 0As con algún 0i .
Entonces existe una c.l. 1 1 2 2 3 3 0v v v con al menos un i diferente de cero.
es l.d.
Ejercicio.- Sea el espacio vectorial 2 2x sobre el campo y sean
1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1v v v v
, demuestra que
1 2 3 4{ , , , }v v v v es l.i.
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{0, , ,..., }nS v v v V ¿Es S l.i. ó l.d.?
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea S V con S l.i., si T S ¿Es T l.i.?
Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea S V con S l.d., sea T V con S T ¿Es
T l.i. o l.d.?
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Notas de curso 10
Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nS v v v V , con S l.i. y sea v V ,
entonces { }S v es l.i. v S
Demostración:
) Por hipótesis tenemos que { }S v es l.i. y queremos probar que v S . Por
contradicción, supongamos que v S
1 1 2 2 ... n nv v v v para ciertos i F
1 1 2 2 ... ( 1) 0n nv v v v
{ }S v es l.d.!! porque { }S v es l.i.
v S
) Tenemos ahora que v S y queremos probar que { }S v es l.i.,
Por contradicción, supongamos que { }S v es l.d. Entonces existe una c.l.
1 1 2 2 ... 0n nv v v v con al menos un escalar distinto de cero. Nótese que
0 , ya que en caso contrario, si 0
1 1 2 2 ... 0n nv v v con al menos un 0i
S es l.d !! contradicción porque S es l.i. por hipótesis.
1 1 2 2
1 21 2
...
...
n n
nn
v v v v
v v v v
v S !! porque v S
{ }S v es l.i.
Y ya.
3.5 SUBESPACIOS FUNDAMENTALES ASOCIADOS CON UNA MATRIZ A DE ORDEN mxn
Definición 41.- Sea ( ) mxn
ijA a F donde F es un campo, entonces:
a) ( ) { | 0 }nmxnN A x F Ax
Se denomina espacio nulo de A
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 11
b) ( ) { | , }m nR A b F x F Ax b
1 1 1
2 2 2| ,m
n n m
x x b
x x bb F x A
x x b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 *1 2 *2 *
1 2
1
2
1 *1 2 *2 *
...
......
...
...
( ) | , ...
( )
n
n
n n
n n nn n m
m
n n
n
a a a x b
a a a x bx A x A x A b
a a a x b
x
xR A b F x b x A x A x A
x
R
P o
b
r
A
e
1
2
*1 *2 *| , , ,...,m
n
n
x
xF x b A A A
x
( )R A se denomina espacio columna de A
c) 1( ) { | 0 }t m tnxN A y F A y
1{ | 0 }m txny F y A
Se denomina espacio nulo izquierdo de A
d) ( ) { | , }t n m tR A c F y F c A y
*1 *2 *
1* 2* *
, ,...,
, ,...,
t t t
m
m
A A A
A A A
Se denomina espacio renglón de A
Nota: Los conjuntos ( ), ( ), ( ), ( )t tN A R A R A N A se conocen como los 4 subespacios
fundamentales asociados con una matriz A de orden mxn.
Siempre podemos encontrar estos 4 subespacios asociados con A.
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 12
Teorema: Sea mxnA F , entonces:
1) ( ) ( )tN A y R A son subespacios vectoriales de nF
2) ( ) ( )tR A y N A son subespacios vectoriales de mF
Teorema: Sea mxnA F . Los siguientes enunciados son equivalentes:
a) Las columnas de A son l.i.
b) ( ) 0N A
c) ( )Rango A n
Demostración:
) )a b
Es obvio que {0} ( )N A así probamos que ( ) {0}N A
Sea 1 2 3( ), ( , , ,..., ) , 0t
nx N A x x x x x Ax
1 *1 2 *2 *... 0n nx A x A x A
Como las columnas de A son l.i. por hipótesis, entonces 1 2 ... 0nx x x
0
( ) {0}
( ) {0}
x
N A
N A
) )b c ya está probado.
Por último probemos ) )b a
Así, probemos que las columnas de A son l.i.
Consideremos la c.l. 1 *1 2 *2 *... 0n nA A A
Como 1 2, ,..., 0,0,...,0t t
nA , donde 1 2, ,...,t
ns
Entonces s es solución del sistema 0Ax , pero ( ) {0}N A
Entonces 0s , o sea 1 2 ... 0n
Por lo tanto las columnas de A son l.i.
Y ya.
Ejercicios:
1.- Consideremos el e.v. nxn sobre y sea { | , }nxn
ij ijW A a a i j ¿Es
W un subespacio de nxn ?
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 13
2.- Sea A una matriz de orden mxn de rango n. Si 1 1 2{ , ,..., }rv v v es un conjunto de
vectores l.i. en n entonces 2 1 2{ , ,..., }rAv Av Av es l.i.
3.- Exprese el vector general ( , , )tx y z como combinación lineal de los siguientes
vectores:
1 2 3
1 1 1
2 , 0 , 2
1 1 1
v v v
Teorema: Cualquier conjunto de n vectores en mF donde n m , es l.d.
Demostración.
Sean 1 2, ,..., m
nv v v F con n m
Sean *1 1 *2 2 *, ,..., n nA v A v A v y *1 *2 *, ,..., nA A A A
Consideremos el sistema homogéneo 0Ax de m ecuaciones lineales con n incógnitas,
con m n , entonces rango ( ) , pues rango ( )A n A m n
Entonces el sistema 0Ax tiene alguna solución distinta de la trivial.
Por el teorema anterior esto implica que las columnas de A son l.d.
Por lo tanto 1 2, ,..., nv v v son linealmente dependientes.
Y ya.
Teorema: Sea nxnA F entonces *1 *2 *det( ) 0 , ,..., nA A A A son l.i.
Demostración:
det( ) 0A A es invertible
0Ax solo tiene la solución trivial.
( ) {0}N A
*1 *2 *, ,..., nA A A son l.i.
Y ya.
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 14
Ejercicio.- Sea nxnA F si las columnas de A son l.i., ¿También lo son los renglones
de A?
Teorema: Sea 1 2{ , ,..., }nv v v V donde V es un e.v. sobre F y es l.i., si
v , entonces la representación de v como c.l. de los vectores del conjunto , es
única.
Demostración:
Como v , entonces 1 1 2 2 ... n nv v v v , para ciertos i F
Probemos que esta expresión para v es única.
Así supongamos que existe otra representación para v .
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
...
... ...
( ) ( ) ... ( ) 0
n n
n n n n
n n n
v v v v
v v v v v v
v v v
Y como es l.i., entonces 1 1 2 20 , 0, ..., 0n n
Entonces 1 1 2 2, , ..., n n
La representación para v es única.
Y ya.
3.6 BASES Y DIMENSIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES
Definición 42: Sea V un e.v. sobre un campo F . Una base para V es un subconjunto
de V tal que:
a) es l.i.
b) genera a V es decir V .
Definición 43: Sea V un e.v. sobre un campo F . Se dice que V es de dimensión finita
si V tiene una base finita (es decir tiene un numero finito de elementos) o si
0V . En caso contrario V es de dimensión infinita.
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 15
Ejemplos 42:
1.- Consideremos e.v. sobre . Una base para es 1 .
Demostración:
1) Veamos que es l.i.
Sea (1) 0 0x x .
Entonces es l.i.
2) Veamos que
Sea r , como (1)r r entonces 1 , y como 1 entonces .
1 es una base de .
2.- Consideremos el e.v. 2 sobre . Una base para 2 es (1,0) , (0,1)t t , llamada
base canónica de 2 .
3.- Consideremos el e.v. 2 sobre . El conjunto (1,0) , (1,1)t t , es una base de
2 .
En efecto:
1)Veamos que es l.i.
Sea 1 2(1,0) (1,1) (0,0)t t t
1 2 2
1 2 2
1 2
( , ) (0,0)
0 y 0
0
t t
Por lo tanto es l.i.
2)Veamos que genera a 2.
Así, sea 2( , )tv x y . Debemos hallar escalares 1 2, tales que
1 2(1,0) (1,1) ( , )t t tx y
Entonces 1 2 2( , ) ( , )t tx y
Entonces 1 2 x y 2 y
Entonces 1 x y y 2 y
Por lo tanto genera a 2.
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 16
4.- Consideremos el espacio vectorial n sobre . Una base para n es
(1,0,0,...,0) ,(0,1,0,...,0) ,..., (0,0,0,...,1)t t t , llamada base canónica de n .
5.- Consideremos el espacio vectorial n
x sobre . Una base para n
x es
21, , ,..., nx x x , llamada base canónica de n
x .
6.- Consideremos el espacio vectorial 2 2x sobre el campo y sean
1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1v v v v
. Entonces 1 2 3 4{ , , , }v v v v es
una base para 2 2x .
7.- Para el espacio vectorial trivial 0W , no existe ningún conjunto linealmente
independiente que lo genere. Por lo tanto 0W no tiene base o podemos considerar
al como una base de él.
Ejercicios:
1.- Consideremos el e.v. 3 sobre y sea el conjunto
3( , , ) | 2 3 0tW x y z x y z
a) Demuestra que W es un subespacio vectorial de 3
b) Halla una base para W .
2.- Consideremos el e.v. 3 3x sobre y sea W el subespacio de 3 3x de las matrices
simétricas cuya traza sea igual a cero. Hallar una base para W .
Teorema: Sea V un e.v. sobre F . El conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v V es una base de V
si y solo si todo vector v V se expresa de manera única como una c.l. de los vectores
de .
Demostración:
) Como es una base de V , entonces es l.i. y por teorema ya probado, cualquier
vector v V se expresa de manera única como c.l. de los vectores de .
) Como todo vector v V se expresa (de manera única) como una c.l. de los vectores
de , entonces genera a V , veamos que es l.i.
Sea 1 1 2 2 ... 0n nv v v
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 17
Pero 1 20 0 ... 0 0nv v v
Y como la expresión para 0 es única entonces 1 2 ... 0n
es una base para V .
Y ya.
Teorema: Si 1 2{ , ,..., }nv v v es una base de un e.v. V de dimensión finita sobre F
entonces cualquier subconjunto de V con más de n vectores es l.d.
Corolario: Si V es un e.v. de dimensión finita, entonces cualesquiera dos bases de V
tienen el mismo número de elementos.
Demostración:
Sean 1 1 2{ , ,..., }nv v v y 2 1 2{ , ,..., }mw w w dos bases cualesquiera de V .
P.D. 1 2# # es decir n m .
Por contradicción supongamos que n m , entonces n m ó n m
Caso 1) Si n m entonces 2 sería l.d.!! ya que 2 es l.i. por ser base de V
Caso 2) Si n m entonces 1 sería l.d.!! ya que 1 es l.i. por ser base de V
n m
Y ya.
Definición 44: Sea V un e.v. de dimensión finita, si V es el espacio trivial cero,
0V , entonces la dimensión de V es cero, si V no es el espacio trivial nulo,
entonces la dimensión de V es el número de elementos de una base cualquiera de V .
Nota: La dimensión de V se denota por dim V .
Ejemplo 43:
1.- dim 1 , 2dim 2 , en general dim n n .
Si F es un campo y consideramos a nF como un e.v. sobre F , entonces dim nF n .
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 18
2.- dim xmxnF m n
3.- dim [ ] 1nx n
4.- Consideremos el e.v. 2V sobre .
Sea (2,5)t V y sea (2,5) (2,5) ,t tW v V v
Sabemos que (2,5)t es l.i.
Por lo tanto es una base de W.
Ejercicio.- Sea V un e.v. de dimensión finita, 0V ¿Puede tener V más de una
base?
Teorema: Sea V un e.v. generado por un conjunto finito de vectores 1 2{ , ,..., }nv v v .
Entonces todo conjunto l.i. de vectores de V es finito y además no contiene más de n
elementos.
Ejercicios:
1.- En 3 ¿El conjunto 15 5{(1,3, 2) ,( ,0,1) ,( ,5.2,1) ,(4, 13,2) }t t t te puede ser una
base de 3 ?
2.- Sea V un e.v. sobre F , si 1 2{ , ,..., }nv v v es una base de V ¿Es
1 1 2 2' { , ,..., }n nk v k v k v , donde 0ik y ,ik F i , una base de V ?
3.- Considera el e.v. 3 3xV y sea 1W y 2W subespacios de V dados por:
1
2
|
|
t
t
W A V A A
W A V A A
Halla una base para 1W , una base para 2W y 1 2dim W W
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 19
Definición 45: Un conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v de vectores de un e.v. V sobre F es un
conjunto minimal de vectores generadores de V si ese cumple:
1) V
2) Si 1 2{ , ,..., }mw w w es otro conjunto generador de vectores de V , entonces n m
Definición 46: Un conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v de vectores de un e.v. V sobre F , es un
conjunto maximal de vectores l.i. si se cumple:
1) es l.i.
2) 1 2 1 2, { , ,..., } { } { , ,..., , }n nv V v v v v v v v v Es l.d.
Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nv v v V , las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) es una base de V
2) es un conjunto minimal de vectores generadores de V
3) es un conjunto maximal l.i.
Teorema: Sea V un e.v. sobre F tal que dim V n . Entonces:
1) No existen conjuntos l.i. con más de n vectores.
2) Cualquier subconjunto que genere a V tiene como subconjunto una base de .V
3) No existen conjuntos con menos de n vectores que generen a V
4) Cualquier conjunto con n vectores que genere a V , es una base de V
5) Cualquier subconjunto l.i. de V es parte de una base de V
6) Cualquier conjunto l.i. de V que tenga n vectores es una base de V
Ejercicios: Sea V un e.v. sobre F y sean 1 2 3 4, , ,v v v v V , sean 1 2 3 4{ , , , }v v v v y
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4' { , , , }v v v v v v v v v v dos subconjuntos de V . Demuestra que
es base de V si y solo si ' es base de V .
Teorema: Sea V un e.v. sobre F de dimensión finita y sea W un subespacio de V ,
entonces:
a) dim dim W V
b) Si dim dim W V , entonces W V
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 20
Teorema: Sea V un e.v. sobre F de dimensión finita y sean 1 2,W W subespacios de V ,
entonces: 1 2 1 2 1 2dim dim dim dimW W W W W W
3.7 SUMAS DIRECTAS
Definición 47: Sea V un e.v. sobre F , sean 1 2W W subespacios de V . La suma
1 2W W es llamada suma directa de 1W y 2W , lo cual se denota por 1 2W W , si cada
vector del subespacio 1 2W W tiene una única representación como la suma de un
vector de 1W y un vector de 2W .
Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1W y 2W dos subespacios de V . Las dos
condiciones siguientes son equivalentes:
a) 1 2V W W
b) 1 2V W W y 1 2 0W W
Ejercicio: Sea 2 2xV sobre un e.v. y sean 1 ,
0 0
a bW a b
y
2
0,
0
aW a b
b
subespacios de V ¿es 1 2W W una suma directa?
3.8 BASES PARA LOS 4 ESPACIOS FUNDAMENTALES
Teorema: Sea m nA . Entonces el conjunto de columnas básicas de A es l.i.
Teorema: Sea m nA con ( )rango A r . Entonces dim ( )R A r y dim ( )tR A r
Teorema: El conjunto de las columnas básicas de A es una base para ( )R A .
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 21
Teorema: Los renglones distintos de cero en la forma escalonada de la matriz m nA , constituyen una base para ( )tR A
Ejemplo 44.-
1.- Sea
1 2 1
1 0 2
5 6 7
A
, halla una base para ( )R A y una base para ( )tR A .
Solución:
2 1
3 1 3 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 0 2 0 2 1 0 2 1
5 6 7 5 0 4 2 2 0 0 0
A R R
R R R R
1
1 2
1 , 0
5 6
es una base para ( )R A y 2 1 2 1 , 0 2 1 es una base
para ( )tR A . dim ( ) 2R A y dim ( ) 2tR A
2.- Extiende el conjunto l.i
1 0
0 0,
1 1
2 2
S
a una base de 4 .
Solución:
Consideremos la matriz
1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0
2 2 0 0 0 1
A
.
Escalonando esta matriz:
1 0 1 0 0 0
10 1 1 0 0
2
0 0 0 1 0 0
10 0 0 0 1
2
AA E
1 0 0 0
0 0 1 0, , ,
1 1 0 1
2 2 0 0
es l.i y como
4# 4 dim , entonces es una base de 4 que contiene a S .
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 22
Teorema.- Sea m nA . Si ( )rango A r y PA U , donde P es una matriz no
singular y U es una matriz que está en su forma escalonada, entonces los últimos m r
renglones de P constituyen una base para ( )tN A
Teorema.- Sea m nA . Entonces el conjunto 1 2, ,..., n rh h h es una base para ( )N A ,
donde las ih se obtienen del conjunto:
1 2
1
2
1 2 ...n rl l l n r
n
x
xS x x x h x h x h
x
Donde S es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo 0Ax .
Ejemplo 45.-
1.- Sea
1 2 2 3
2 4 1 3
3 6 1 4
A
, halla una base para ( )tN A y una base para ( )N A .
Solución: Para encontrar una matriz no singular P tal que PA U esté en su forma
escalonada, procedemos a reducir la matriz aumentada A I a U P .
1 2 03 31 2 2 3 1 0 0 1 2 0 1
2 12 4 1 3 0 1 0 ... 0 0 1 1 03 3
3 6 1 4 0 0 1 0 0 0 0 51 13 3
A I U P
Entonces
1 2 03 3
2 1 03 3
51 13 3
P
Observamos que 3m y ( ) 2rango A r
Entonces los últimos 3 2 1m r renglones de P constituyen una base para ( )tN A
Por lo tanto 151 1
3 3 es una base para ( )tN A .
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 23
Ahora, hallemos una base para ( )N A .
Resolvamos el sistema 0Ux .
Entonces
1
2
3
4
1 2 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
x
x
x
x
.
Luego 1 2 4
3 4
2 0
0
x x x
x x
.
Entonces 1 2 4
3 4
2x x x
x x
.
Entonces
1 2 4
2 2
2 4 2 4
3 4
4 4
2 2 1
1 0, ,
0 1
0 1
x x x
x xS x x x x x x
x x
x x
.
Por lo tanto una base para ( )N A es 2
2 1
1 0,
0 1
0 1
.
Nota: Si A es una matriz de m n , entonces:
a) ( ) 0 ( )N A rango A n
b) ( ) 0 ( )tN A rango A m
Nota: Para cada matriz A de orden m n con ( )rango A r se tiene que:
a) dim ( ) dim ( )R A N A n
b) dim ( ) dim ( )t tR A N A m
Teorema.- Sea m nA , entonces:
a) ( ) ( )m tR A N A
b) ( ) ( )n tR A N A
Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales
Notas de curso 24
Teorema.- Rango de un producto de matrices.
Si A es una matriz de m p y B es una matriz de p n , entonces
( ) ( ) dim ( ) ( )rango AB rango B N A R B
O de manera equivalente:
dim ( ) dim ( ) dim ( ) ( )R AB R B N A R B
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