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Page 1: algebra fase 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

GRUPO COLABORATIVO

301301_935

INTEGRANTES:

JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ - CÓDIGO: 88236748

ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI - CÓDIGO: 76332940

DARWIN FABIÁN ARIAS - CÓDIGO: 88271070

RAFAEL ANTONIO LEAL – CÓDIGO: 88263847

YEZID ALVEIRO VERA – CÓDIGO: 88034776

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

MAYO DE 2015

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo nos muestra el desarrollo de los ejercicios del trabajo colaborativo

momento 6, dicha actividad revisa los conceptos estudiados en la unidad 3 del curso de

algebra, trigonometría y geometría analítica. Por lo tanto se trataran temas relacionados con

los conceptos básicos de la recta, secciones cónicas, sumatorias, productorias y

demostraciones en Geogebra.

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DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:

Temáticas revisadas: Secciones cónicas, Sumatorias y Productorias.

Estrategia de aprendizaje: Basado en tareas

Actividades Previas: Ninguna

Pasos para el desarrollo del Trabajo Colaborativo del Momento # 6:

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

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1. De la siguiente elipse 4 x2+ y2 –8 x+4 y – 8=0 Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

SOLUCIÓN:

Completamos los cuadrados:

4 ( x2−2x+1 )+( y2+4 y+4 )−8−4−4=0

4 (x−1)2+( y+2)2=16

Dividimos por 16:

(x−1)2

4+( y+2)2

16=1

Elipse con eje vertical:

(xh)2

b2 +( yk )2

a2 =1

Centro (1, -2)

a2=16

a=4

Foco (1 ,−2± c )=(1 ,−2±√12 )=(1 ,1.46 ) y (1 ,−5.46)

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Vértice: (1 ,−2± a )= (1,2± 4 )=(1 ,−16 ) y (1 ,2)

b2=4

b=2

c2=a2−b2=16−4=12

c √ 12

EJERCICIO 1. DEL COMPAÑERO JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ

Page 6: algebra fase 3

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones

indicadas:

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

Centro

1= y0+a

9= y0−a

10=2 y0

y0=102

=¿ y0=5

X 0=3

El centro es c= (3,5 )

1=5+a

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a=−4

2b=6

b=3

( x−3 )2

32 +( y−5 )2

42 =1

Ecuación canónica de la elipse ( x−3 )2

9+

( y−5 )2

16=1

Partiendo de la ecuación canónica podemos hallar la ecuación general.

x2−6 y+99

+ y2−10x+2516

=1

16 ( x2−6 y+9 )+9( y2−10 x+25)144

=1

16 x2−96 x+144+9 y2−90 y+225144

=1

16 x2−96 x+9 y2−90 y+369=144

16 x2+9 y2−96 x−90 y+225=0

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Ingresamos la ecuación general en geogebra y comprobamos los vértices.

Page 9: algebra fase 3

EJERCICIO 2. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS

3. De la siguiente hipérbola 4 x2−9 y2−16 x−18 y−29=0 Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

SOLUCIÓN:

Se agrupa al lado izquierdo las mismas variables:

( 4 x2−16 x )−( 9 y2+18 y )=29

Se factoriza:

4 ( x2−4 x )−9 ( y2+2 y )=29

Se completa el trinomio:

4 ( x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=29+16−9

4 ( x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=36

Se factorizan los paréntesis:

4 ( x−2 )2−9 ( y+1 )2=36

Se dividen ambos lados

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4 (x−2)2

36−

9 ( y+1 )2

36=36

36

(x−2)2

9−

( y+1 )2

4=1

Donde a2=9 y b2=4siendo una hipérbola horizontal en donde se tiene la variable x.

Obtenemos h=2k ;k=−1 ;a=3 ;b=2

Relación de constantes:

c=√a2+b2

c=√9+4

c=3.6

Centro: (2 ,−1 )

Vértice: v1 (2−3 ,−1 )=v 1 (−1 ,−1 )

v2 (2+3 ,−1 )=v 2 (5 ,−1 )

Foco: f 1 (2−3.6 ;−1 )=f 1(−1.6 ;−1)

f 2 (2+3.6 ;−1 )=f 1 (5.6 ;−1)

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EJERCICIO 3. DEL COMPAÑERO JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ

4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:

V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16)

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Ubicamos el centro (h,k)

Centro (1,-2)

Distancia del centro al vértice “a”

a=13

Distancia del centro al foco, ”c”

c=14

Hallar b

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c2=a2+b2

b2=c2−a2

b2=142−132

b2=196−169

b2=27

b2=3√3

Como sabemos que la hipérbola es paralela al eje y, la ecuación general es

( y−k )2

a2 −( x−h)2

b2 =1

( y+2)2

132 −(x−1)2

3√32 =1

y2+4 y+4169

− x2−2x+127

=1

27( y¿¿2+4 y+4 )−169(x2−2 x+1)4563

=1¿

27 y2+108 y+108−169 x2+338 x−1694563

=1

27 y2+108 y−169 x2+338x−61=4563

−169 x2+27 y2+338 x+108 y−4624=0

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RTA/: La ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y

V2 (1, -5), F1 (1,12) y F2 (1, -16) es

−169 x2+27 y2+338 x+108 y−4624=0

Comprobación en geogebra.

EJERCICIO 4. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS

5. Demostrar que la ecuación x2+ y2−8 x−6 y=0 es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

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b. Radio

SOLUCIÓN

(x-h)² + (y-k)² = r²

Hallando:

x² + y² - 8x - 6y = 0

Agrupamos las "x" y las "y"

(x²-8x) + (y² -6y) = 0

Para formar cuadrados tenemos que agregar la mitad del segundo término al cuadrado, sin

la variable:

Ejemplo: 8x/2 = 4; ahora 4² =16

6y/2 = 3; ahora 3² =9

y para que no se afecte agregamos al otro lado la misma cantidad

(x²-8x+16) + (y²-6y+9) =0 + 16 + 9

(x²-8x+16) + (y²-6y+9) =25

Entonces si:

(x-4)² + (y-3)² = 5²

(x-h)² + (y-k)² = r²

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Son iguales las ecuaciones entonces es una circunferencia:

a) Hallamos el centro que es igual (h,k) = (4,3)

b) Hallamos el radio que es r = 5

EJERCICIO 5. DEL COMPAÑERO ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI

6. De la siguiente parábola − y2+12x+10 y−61=0 Determine:

a. Vértice

b. Foco

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c. Directriz

SOLUCIÓN

La escribimos con el término cuadrático positivo.

y² - 12 x - 10 y + 61 = 0

La forma de la ecuación es:

(y - k)² = 2 p (x - h) donde (h, k) son las coordenadas del vértice y p es la distancia entre el

foco y la recta directriz.

Completamos cuadrados en la ecuación general.

y² - 10 y + 25 = 12 x - 61 + 25 = 12 x - 36

(y - 5)² = 12 (x - 3)

Luego el vértice es V(3, 5); p = 6

Foco: F(h + p/2, k) = F(3 + 3, 5) = (6, 5)

Directriz: x = h - p/2 = 3 - 3 = 0; (es el eje y)

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EJERCICIO 6. DEL COMPAÑERO ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI

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7. Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas:

Pasa por (1,7); paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).

Hallo la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (-2, 1).

m=∆ y∆ x

= y 2− y 1x 2−x1

(2, 5) y (-2, 1)

X1 y1 x2 y2

m= 1−5−2−2

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m=−4−4

m=1

La ecuación de la recta que queremos hallar tiene pendiente 1 por ser paralela a la recta

anterior y pasa por el punto (1,7)

(x1,y1)

Ecuación punto pendiente

y− y1=m ( x−x 1 )

y−7=1 ( x−1 )

y−7=x−1

x− y+6=0

Rta: la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,7) y es paralela a la recta que pasa por

el punto (2,5) y (-2,1) es

x− y+6=0

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EJERCICIO 7. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS

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8. Calcular las siguientes sumatorias:

a. ∑i=1

300

2 i

b. ∑i=1

3

(2 i+1 )2

SOLUCIÓN:

Primero resolvamos

∑i=1

5

2 i=2 (1 )+2 (2 )+3 (2 )+4 (2 )+2(5)

2+4+6+8+10 = 30

Entonces para:

∑i=1

300

2 i=2 (1 )+2 (2 )+2 (3 )+2 ( 4 )+2 (5 )+………+2(300)

∑i=1

300

2 i=90300

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B.

∑i=1

3

(2 i+1 )2

(2 (1 )+1 )2+(2 (2 )+1 )2+ (2 (3 )+1 )2

32+52+72

9+25+49

83

EJERCICIO 8. DEL COMPAÑERO YEZID ALVEIRO VERA

9. Calcular las siguientes productorias:

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a. ∏i=2

4

3i+7

b. ∏i=2

n 4i

(i−1 )+3

SOLUCIÓN:

a. ∏i=2

4

3i+7

[3 (−1 )+7 ] . [3 (0 )+7 ] . [3 (1 )+7 ] . [3 (2 )+7 ] . [3 (3 )+7 ] . [3 (4 )+7 ]

[ 4 ] . [ 7 ] . [10 ] . [13 ] . [16 ] . [ 19 ]

= 1106560

b. ∏i=2

n4i

( i−1 )+3

[ 22−1

+3] . [ 3(3−1 )

+3] .[ 4(4−1 )

+3][ 21+3] .[ 3

2+3] . [ 4

3+3]

= 97,5

EJERCICIO 9. DEL COMPAÑERO YEZID ALVEIRO VERA

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CONCLUSIONES

Como se puede observar los integrantes del grupo colaborativo del momento 6,

lograron comprender y aplicar los conceptos aprendidos en la unidad 3, en resumen

tiene conocimientos necesarios para desarrollar actividades referentes a Secciones

Cónicas, Sumatorias y Productorias. Durante la realización de los ejercicios se

originó un debate entre los miembros sobre las respuestas correctas y las

correcciones para su buen desarrollo.

Podemos concluir que el trabajo resulto productivo y cumplió con los objetivos

planteados en la guía de la actividad.

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BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas Preuniversitarias. Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda.

docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/Ecuaciones

%20de%20la%20recta.ppt

Shirley Bromberg, Raquel Valdés

docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/FunTrigo.ppt

Abraham García Roca

www.sectormatematica.cl/ppt/CIRCUNFERENCIA_AB.ppt

iesillue.educa.aragon.es/tic/ppt/Rectas%20y%20circunferencias.ppt