Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10
Un problema de Aproximación
Evolución de la temperatura diurna
4
8
20
6 8 10
12
14
16
18
20
22
6
10
12
14
16
18
22
Hora
Gra
dos
Interpolación
Interpolación Polinomial
Polinomios Osculadores: Interpolación de
Hermite
Interpolación Racional: Aproximaciones de
Pade
Interpolación segmentaria: Splines
Otros
Ajuste Polinomios de Taylor
Mínimos Cuadrados
Minimización de normas
Aproximación Racional
Series de Fourier
Curvas de Bezier
B-Splines
Interpolación Polinómica Segmentaria
Limitaciones de la interpolación polinómicaGrado del polinomio Carácter de la función a interpolar
Alternativa propuesta: Splines.Numéricamente estableMatrices dispersasAgradable a la vista
Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines
Interpolación Segmentaria
Interpolación Segmentaria Lineal
Interpolación Segmentaria Cúbica
Condiciones Naturales
Condiciones sobre la derivada
Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge
-1 0 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
yx
1
1 25 2
Perfil para un diseño
Polinomio interpolador
Aplicaciones
Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario
Interpolación Polinómica Segmentaria
D a d o s n + 1 p u n t o s ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) c o nx 0 < x 1 … < x n , u n a f u n c i ó n s p l i n e d e o r d e n k ( k - S p l i n e )s o b r e d i c h o s p u n t o s e s u n a f u n c i ó n S v e r i f i c a n d o : ( i ) S ( x ) = q k ( x ) p o l i n o m i o d e g r a d o k , x [ x k , x k + 1 ] ,k = 0 , 1 , . . . , n - 1 ( i i ) S ( x k ) = y k , k = 0 , 1 , . . . , n ( i i i ) 1
0 1,kS C x x
Splines Lineales
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
q xx x
x xy
x x
x xyk
k
k kk
k
k kk( )
1
1 11
q x f x f x x x x
yy y
x xx x
k k k k k
kk k
k kk
( ) [ ] [ , ]( )
( )
1
1
1
Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge
-1 0 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
yx
1
1 25 2
Splines Cúbicos Spline cúbico
4n incógnitas Condiciones de interpolación
n+1 ecuaciones Condiciones de conexión
3(n-1) ecuaciones
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
( )k kS x y
1 1 1
' '1 1 1
'' ''1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
k
k
k k k k
k k k
k k k
q x q x
q x q x
q x q x
ha a
ha a
kk k
kk k
1
11
3 3( ) ( )
h c h h c h ck k k k k k k
1 1 1 1
2 ( )
a f x k nk k ( ), , ,...,0 1
bh
a ah
c c k nkk
k kk
k k
1
32 0 1 11 1( ) ( ), , ,...,
d c c h k nk k k k ( ) / ( ), , ,1 3 0 1 1
h x xk k k 1
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas
Condiciones Naturales
Teorema 1
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entoncesexiste un único s(x) spline interpolante cúbicopara f(x) en [x0,xn] tal que
s’’(x0) = 0 y s’’(xn) = 0.
cn = s’’(xn)/2 = 0s’’(x0) = 2c0 = 0 c0 = 0.
Matriz del sistema
M
h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h h
n n n
n n n n
n n n
2 0 0 0 0
2 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
4 3 3
3 3 2 2
2 2 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
ha a
ha a
ha a
ha a
nn n
nn n
3 3
3 3
12 1
01 0
11
21 2
( ) ( )
( ) ( )
Términos independientes
Ejemplo de la temperatura
5 10 15 206
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Gra
dos
Spline cúbico
5 10 15 206
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Gra
dos
Polinomio interpolador
Condiciones sobre la derivada
Teorema 2
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un únicos(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que
s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn).
23
30 0 0 10
1 0 0h c h ch
a a f x ( ) ' ( )
h c h c f xh
a an n n n nn
n n
1 1 11
12 33
' ( ) ( ).
Matriz del sistema
M
h h
h h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h
n n n
n n n n
n n
2 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0
0 0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
3 2 2
2 2 1 1
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
Términos independientes
p
ha a f x
ha a
ha a
ha a
ha a
f xh
a a
nn n
nn n
nn
n n
33
3 3
3 3
33
01 0 0
12 1
01 0
11
21 2
11
( ) ' ( )
( ) ( )
( ) ( )
' ( ) ( )
Interpolación segmentaria con MATLAB
Interpolación segmentaria cúbica ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los
coeficientes
[x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes
ps = mkpp(x,s)
syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx)
Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx)
-1 0 1
0
0.5
1 Spline Natural
-1 0 10
0.5
1 Spline Derivada
-1 0 10
0.5
1 Interpolación Lineal
-1 0 1
0
0.5
1 Spline de MATLAB
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