A s i g n a t u r a : M atemática I
Tema: S is tema de Ecuaciones L ineales
PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa; 28/6/2020 1
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U . N a . F . – F . C . S .
C a r r e r a s : L i c e n c i a t u r a e n B r o m a t o l o g í a
T é c n i c o e n L a b o r a t o r i o d e A n á l i s i s C l í n i c o s
As ignatura:
Matemática I
Tema: Sistema de
ecuaciones Lineales
PROFESOR: Jorge Mora
U . N a . F . – F . C . S .
C a r r e r a s : L i c e n c i a t u r a e n B r o m a t o l o g í a
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29/6/2021
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PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
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29/6/2021
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PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;
SISTEMAS NORMALES DE ECUACIONES
LINEALES
TEOREMA DE CRAMER
REGLA DE CRAMER
29/6/2021
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APLICACIONES
ECONOMIA
ADMINISTRACION DE
EMPRESAS (Laboratorios)
NUTRICION
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El Licenciado responsable de un laboratorio registró en una
planilla los datos que corresponden a tres especies B1; B2 y B3 de
bacterias que existen en tubos de ensayo y que descomponen
tres tipos de sustancias orgánicas: I, II, III.
PROBLEMA A RESOLVER
29/6/2021
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B1 B2 B3
SUSTANCIA I 1 1 1
SUATANCIA II 1 2 3
SUSTANCIA III 1 2 5
El siguiente cuadro muestra cuántas unidades de cada tipo de
esas sustancias, descomponen diariamente una bacteria, según
su especie.
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Se sabe que diariamente se suministran 17.000 unidades de la
sustancia I, 42.000 unidades de la sustancia II y 62.000 unidades III.
Se supone que las sustancias suministradas se descomponen
totalmente.
Determinar el tamaño de la población de cada especie de
bacteria.
El tamaño de la población (cantidad de cada especie de bacteria)
¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles son las incógnitas?
Las unidades de cada sustancia que descomponen cada tipo de
bacteria según su especie y el total de cada sustancias
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¿Qué cantidad de unidades de sustancia orgánica descompone
diariamente cada tipo de bacteria?
x2: representa el número de individuos de bacterias del tipo B2
Cada individuo del tipo B1, B2 y B3 descompone una cierta cantidad de cada
sustancia
¿Cómo identificaríamos a las incógnitas?
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x1: representa el número de individuos de bacterias del tipo B1
x3: representa el número de individuos de bacterias del tipo B3
Recordando lo trabajado en clases anteriores sobre ecuaciones
lineales con una y con varias incógnitas.
Si se descomponen 17.000 unidades de la sustancia I ¿cuál es la cantidad
de bacterias de cada especie que conviven en el tubo de ensayo?
1x1 + 1x2 + 1x3 = 17.000
¿y del tipo II y III?
1x1 + 2x2 + 3x3 = 42.000
1x1 + 2x2 + 5x3 = 62.000
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17.000
42.000
62.000
Se observa que quedó formado un sistema de 3 ecuaciones
lineales con 3 incógnitas:
1x1 + 1x2 + 1x3= 17000
1x1 + 2x2 + 3x3 = 42000
1x1 + 2x2 + 5x3 = 62000
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Un sistema es normal o cuadrado, cuando el número de ecuaciones
es igual al número de incógnitas.
SISTEMAS NORMALES
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Para la situación planteada, corresponde un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas, no homogéneo porque los términos independientes
son no nulos.
RESOLUCION ANALITICA Y GRAFICA DE UN SISTEMA NORMAL
3yx
8y3x2
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Recordemos lo que han estudiado en el nivel Secundario y en la Unidad1 con
respecto a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Clasificación: inicialmente se puede indicar que
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Un sistema normal es crameriano si y solo si el determinante de la
matriz principal o matriz de los coeficientes, es no nulo.
SISTEMAS CRAMERIANOS
TEOREMA DE CRAMER
Recordemos la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
A . X = B. Donde:
A es la matriz de los coeficientes, simbólicamente es A= [aij ]nxn,
con 1≤ i ≤ n y 1≤ j ≤ n
Todo sistema crameriano admite solución única
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B es la matriz de los términos independientes, Simbólicamente es B = [bi ]nx1 ,
con 1≤ i ≤ n
X es la matriz de las incógnitas X = [xj]nx1 con 1≤ j ≤ n
Por ser un sistema crameriano, el determinante de A es distinto de 0, por lo
tanto A es inversible, entonces existe A-1 y A-1 Є Knxn
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Recordando que: Dos matrices son conformables para el producto cuando el
número de columnas de la 1° matriz es igual al N° de filas de la 2° matriz.
Entonces podemos premultiplicar por A-1 ambos miembros del sistema
expresado matricialmente y obtendremos: A-1. A . X = A-1. B
Recordando además que A-1. A = I y que I . X = X, resulta: X = A-1. B
Enunciado: Sea el sistema de ecuaciones lineales A.X = B con A Є Knxn no singular.
Entonces dicho sistema admite solución única y el valor de cada incógnita (xj) es el
cociente entre el |Aj| (determinante de la matriz asociada a una cualquiera de sus
incógnitas) el que resulta de sustituir en el |A| (determinante de la matriz del
sistema) la columna j por la de los términos independientes, y el |A| (determinante
de la matriz del sistema).
REGLA DE CRAMER
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A
AXenteSimbólicam
j
j :
Por lo indicado en la regla de Cramer, resulta
Determinante de la
matriz asociada a la
incógnita xj
A
AX
j
j Siendo
nna
...n2
an1
a
...
...
...
...
nb
...2
b1
b
...
...
...
...
2n
...22
a12
a
1na
...21
a11
a
jA
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RESOLUCION DEL PROBLEMA
x1: representa el número de individuo del tipo de bacteria B1
x2: representa el número de individuo del tipo de bacteria B2
x3: representa el número de individuo del tipo de bacteria B3
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Volviendo al problema dado y teniendo en cuenta que:
El sistema correspondiente es:
1x1 + 1x2 + 1x3= 17.000
1x1 + 2x2 + 3x3 = 42.000
1x1 + 2x2 + 5x3 = 62.000
5
3
1
2
2
1
1
1
1
ALa matriz de los coeficientes es:
La matriz de las incógnitas es:
3
2
x
x1
x
X
La matriz de los términos independientes
000.62
000.42
000.17
B
5
3
1
2
2
1
1
1
1
ACalculando el
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El sistema expresado matricialmente es A .X = B
1512
131-2 . .1 )1(
11 41
21 24 2
BXA .
Concluimos que el sistema es crameriano y por lo tanto aplicando
el Teorema de Cramer, resultará que B.AX 1
Es decir, que el sistema expresado matricialmente es
¿Cómo es el sistema si el ?0A
1A
A
Para obtener podemos iniciar la actividad calculando
la adjunta de la matriz
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5
3
1
2
2
1
1
1
1
A
Luego determinamos la inversa de teniendo en cuenta que:A
21
11
31
11
31
21
21
11
51
11
51
21
22
11
53
11
53
22
AAdj
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1
2
1
1
4
3
0
2
4
5
2
1
3
2
1
1
1
1T
A
A
AAdjA
.1
Por último calculamos:
000.62
000.42
000.17
Realizando las verificaciones correspondientes, comprobamos que efectiva-
mente S = {(2.000; 5.000; 10.000)} es solución del sistema planteado, es decir
que en el tubo de ensayo existen 2.000 individuos del tipo de bacteria B1; 5.000
individuos del tipo de bacteria B2 y 10.000 individuos del tipo de bacteria B3. 29/6/2021
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2
1
2
10
1212
1
2
32
1
2
1
1
4
3
0
2
4
2
.
2
1
2
10
1212
1
2
32
X
2.000
5.000
10.000
5
3
1
2
2
1
1
1
1
241
21.)1.(1 11
A
5
3
1
2
2
1
162000
42000
17000
A
Determinante de
la matriz de los
coeficientes:
Determinante
asociada a la
primer incógnita:
RESOLUCION DEL PROBLEMA APLICANDO
REGLA DE CRAMER
Entonces, unidades
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323000
19000 .
)1.(1 31 000.4
000.22
000.4
1
1 A
AX
2
5
3
1
62.000
42.000
17.000
1
1
1
A 000.10 000.234
000.92 )1.(1 31
Determinante asociada
a la segunda incógnita:
Entonces unidades 000.52
000.10
2
2 A
AX
000.62
000.42
000.17
2
2
1
1
1
1
3
A 000.20 000.281
000.81 )1.(1 11 Determinante asociada
a la tercer incógnita:
Entonces unidades 000.102
000.20
3
3 A
AX
Que son los mismos valores que hemos determinados mediante el
Teorema de Cramer.
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REPRESENTACION GRAFICA DEL SISTEMA
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Sistema de m ecuaciones con n incógnitas
𝑨.𝑿 = 𝑩
Expresión matricial del sistema
𝑨 = [𝒂𝒊𝒋]𝒎𝒙𝒏 𝑨 ∈ 𝑲𝒎𝒙𝒏ó Matriz de los coeficientes
𝑿 = [𝒙𝒋]𝒏𝒙𝟏 𝑿 ∈ 𝑲𝒏𝒙𝟏ó Matriz de las incógnitas
𝑩 = [𝒃𝒊𝒋]𝒎𝒙𝟏 𝑩 ∈ 𝑲𝒎𝒙𝟏ó Matriz de los términos independientes
𝒃𝒊 = 𝒋=𝟏𝒏 𝒂𝒊𝒋. 𝒙𝒋 ∀𝒊 = 𝟏, 𝟐,…𝒎Por medio del símbolo de sumatoria:
29/6/2021PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;
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29/6/2021PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;
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1 1 1 17.0001 2 3 42.0001 2 5 62.000
Resolución del Sistema por el método de Gauss Jordan
1 1 1 17.0000 1 2 25.0000 0 1 10.000
1 1 1 17.000
0 1 2 25.000
0 1 4 45.000
1 1 1 17.000
0 1 2 25.000
0 0 2 20.000
1 1 1 17.0000 1 2 25.0000 0 1 10.000
1 1 1 17.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000
𝑭𝟐 − 𝟐.𝑭𝟑𝑭𝟐− 𝑭𝟏
𝑭𝟑− 𝑭𝟏
𝑭𝟑− 𝑭𝟐
𝟎, 𝟓 ∗ 𝑭𝟑
1 1 0 7.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000
𝑭𝟏− 𝑭𝟑
1 0 0 2.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000
𝑭𝟏 − 𝑭2
𝑨 𝑩
𝒓 𝑨 = 𝟑;
𝒓 𝑨𝑩 = 3
𝒏 = 3
El Sistema es compatible determinado,
S = {(2.000; 5.000; 10.000)}
cuadrado y no homogéneo
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