1º bachillerato-‐ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. 1
IES SANTIAGO SANTANA DÍAZ. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASCURSO 2018/2019
1ºBACHILLERATO. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES.
ALUMNADO MATERIA PENDIENTE
A. Criterios de evaluación/ estándares de aprendizaje evaluables /contenidos.
Crit erio de ev a luació n 1 . Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolución de problemas en contextos reales (numéricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obtenidas y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Practicar estrategias para planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, a partir de la resolución de un problema y el análisis posterior; la profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; así como elaborando en cada situación un informe científico oral y escrito con el rigor y la precisión adecuados, superando bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollando actitudes personales relativas al quehacer matemático, analizando críticamente otros planteamientos y soluciones así como reflexionando sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado, individualmente o en grupo, analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, hipótesis, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.) de problemas relacionados con las ciencias sociales y la economía, utiliza diferentes estrategias de resolución (ensayo-error, heurísticas, estimación, modelización, etc.), así como si reflexiona sobre el proceso seguido y las soluciones obtenidas. También se trata de confirmar si planifica, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, conoce su estructura (problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.), reflexiona y saca conclusiones sobre la resolución y la consecución de objetivos así como si plantea posibles continuaciones de la investigación y establece conexiones entre el problema real y el mundo matemático. Todo ello usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación, desarrollando actitudes personales relativas al quehacer matemático (esfuerzo, perseverancia, curiosidad e indagación, etc.) y analizando críticamente otros planteamientos y soluciones.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.
1. Planificación del proceso de resolución de problemas. 2. Desarrollo de estrategias y procedimientos puestos en práctica: ensayo-error, reformulación del
problema, resolución de subproblemas, recuento exhaustivo, análisis inicial de casos particulares sencillos, búsqueda de regularidades y leyes, etc.
3. Reflexión sobre los resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos.
4. Planteamiento de investigaciones matemáticas en contextos numéricos, funcionales, estadísticos yprobabilísticos relacionados con la realidad.
5. Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados y conclusiones del proceso de investigación desarrollado.
6. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad. 7. Desarrollo de la confianza en las propias capacidades para el desarrollo de actitudes adecuadas y
afrontamiento de las dificultades propias del trabajo científico. 8. Comunicación del proceso realizado, los resultados y las conclusiones con un lenguaje preciso y
apropiado (gráfico, numérico, algebraico, etc.), mediante informes orales o escritos.
Crit erio de ev a luació n 2 . Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas; así como utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la interacción. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado selecciona y emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, y las utiliza para la realización de cálculos numéricos y algebraicos cuando su dificultad impide o no aconseja hacerlos manualmente; y si elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, vídeo, sonido,…) como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante y los comparte para su discusión o difusión. Asimismo, se pretende evaluar si utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas, extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas, comprobar los resultados de interpretación de las propiedades globales y locales de las funciones en actividades abstractas y problemas contextualizados, organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico, calcular parámetros y generar gráficos estadísticos y diseñar representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas. Todo ello para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje, recogiendo la información de las actividades, utilizando los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.
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ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
7, 15, 29, 32, 33, 34, 35, 57.
1. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para: a) la recogida ordenada y la organización de datos. b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos. c) facilitar la comprensión de propiedades funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico. d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas. e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidas. f) la comunicación e intercambio, en entornos apropiados, de la información y las ideas matemáticas.
Crit erio de ev a luació n 3 . Identificar y utilizar los números reales y sus operaciones para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información cuantitativa en situaciones de la vida real. Resolver problemas de capitalización y de amortización simple y compuesta. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado reconoce los distintos números reales, los utiliza para interpretar información cuantitativa en situaciones de la vida real, los representa mediante intervalos, los compara, ordena, clasifica y realiza operaciones entre ellos empleando el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora, programas informáticos..., utilizando la notación más adecuada en cada caso y controlando el error cuando realiza aproximaciones. Asimismo se trata de evaluar si interpreta y contextualiza parámetros de aritmética mercantil para resolver problemas del ámbito de la matemática financiera (capitalización y amortización simple y compuesta) mediante los métodos de cálculo o la utilización de recursos tecnológicos apropiados.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
36, 37, 38, 39. 1. Identificación de números racionales e irracionales. 2. Representación de los números reales en la recta real. Uso de intervalos. 3.Aproximación decimal de un número real. Estimación, redondeo y errores. 4.Realización de operaciones con números reales. 5.Uso de potencias, radicales y la notación científica
Crit erio de ev a luació n 4 . Traducir al lenguaje algebraico o gráfico situaciones reales en el ámbito de las ciencias sociales y resolver problemas contextualizados mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, utilizando para ello técnicas matemáticas y herramientas tecnológicas apropiadas e interpretando las soluciones obtenidas. Con este criterio se pretende evaluar si el alumnado utiliza el lenguaje algebraico para traducir situaciones reales y si resuelve problemas relativos a las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones o sistemas de ecuaciones aplicando diferentes métodos. Además, se trata de constatar que interpreta y contrasta los resultados obtenidos, valora otras posibles soluciones o estrategias de resolución aportadas por las demás personas, acepta la crítica razonada y describe el proceso seguido de forma oral y escrita.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
41, 42, 43. 1. Realización de operaciones con polinomios. Descomposición en factores. 2. Resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas y reducibles a ellas, exponenciales y logarítmicas. 3. Resolución de sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado con dos incógnitas. Clasificación e interpretación geométrica. 4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: método de Gauss 5.Aplicaciones de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones para la resolución de problemas reales.
Crit erio de ev a luació n 5 . Identificar, interpretar, analizar y representar gráficas de funciones reales elementales, relacionadas con fenómenos sociales, teniendo en cuenta sus características. Interpolar y extrapolar valores de funciones a partir de tablas interpretándolos en situaciones reales. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado analiza funciones expresadas en forma algebraica, por medio de tablas o gráficamente, y las relaciona con fenómenos cotidianos, económicos, sociales y científicos; si estudia e interpreta gráficamente sus características y selecciona de manera adecuada ejes, unidades y escalas para representarlas gráficamente reconociendo e identificando los errores de interpretación derivados de una mala elección. Además, se propone evaluar si el alumnado obtiene valores desconocidos mediante interpolación o extrapolación a partir de tablas y los interpreta dentro de un contexto real; todo ello con la ayuda de los medios tecnológicos adecuados.
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ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
44, 45, 46, 47. 1. Identificación y análisis de las características de funciones reales de variable real.Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas.
2. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones reales de variable real(polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera, y racionales e irracionales sencillas) a partir de sus características, así como de funciones definidas a trozos.
3. Aplicación de la interpolación y extrapolación lineal y cuadrática para la resolución deproblemas reales.
Crit erio de ev a luació n 6. Estudiar la continuidad en un punto de funciones reales elementales para extraer conclusiones en un contexto real, así como para estimar tendencias de una función a partir del cálculo de límites. Este criterio trata de evaluar si el alumnado determina y analiza la continuidad de funciones reales (polinómicas, racionales, logarítmicas y exponenciales) en un punto; calcula, representa e interpreta sus asíntotas, así como si estima sus tendencias a partir del cálculo de límites en un punto y en el infinito, para extraer conclusiones en un contexto real en el ámbito de las ciencias socialesESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
48,49,50 1. Interpretación del límite de una función en un punto.2. Cálculo de límites sencillos. Uso de los límites como herramienta para el estudio de la
continuidad de una función3. Aplicación de los límites en el estudio de las asíntotas.
Crit erio de ev a luació n 7 . Utilizar las reglas de derivación para calcular la derivada de funciones elementales y resolver problemas en un contexto real mediante la interpretación del significado geométrico de la derivada de una función en un punto a partir de la tasa de variación media. Con la aplicación de este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las reglas de derivación de las funciones elementales y sus operaciones (suma, producto, cociente y composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas), si identifica tasas de variación de una función, si comprende el concepto de derivada relacionándolo con su interpretación geométrica y con la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto; y si utiliza todo lo anterior para resolver problemas contextualizados, ayudándose de calculadoras gráficas y programas informáticos cuando sea necesario ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
51,52. 1. Interpretación de la tasa de variación media y tasa de variación instantánea.Aplicación al estudio de fenómenos económicos y sociales.
2. Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.Cálculo de la recta tangente a una función en un punto.
3. Uso de las reglas de derivación de funciones elementales sencillas que sean suma,producto, cociente y composición de funciones polinómicas, exponenciales ylogarítmicas.
Crit erio de ev a luació n 8 . Interpretar y cuantificar la relación lineal entre las variables de una distribución bidimensional a partir del coeficiente de correlación, valorando la pertinencia de ajustarlas a una recta de regresión y, en su caso, la conveniencia de realizar predicciones, evaluando la fiabilidad de las mismas para resolver problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales, y utilizar para ello el lenguaje y los medios más adecuados.
Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado distingue el carácter funcional o aleatorio de una distribución bidimensional y cuantifica el grado de relación existente entre dos variables mediante la información gráfica aportada por la nube de puntos y la interpretación del coeficiente de correlación. Además, se quiere constatar si realiza estimaciones a partir de las rectas de regresión valorando la fiabilidad de las mismas, con el fin de interpretar y extraer conclusiones al resolver problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales y si utiliza adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico, detectar errores en las informaciones que aparecen en los medios de información, calcular parámetros y generar gráficos estadísticos, comunicando sus conclusiones con el lenguaje más adecuado. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 70, 71 1. Análisis de la relación de variables en distribuciones bidimensionales mediante: el uso detablas de contingencia, el estudio de la distribución conjunta, de las distribucionesmarginales y de las distribuciones condicionadas; y el cálculo de medias y desviacionestípicas marginales y condicionadas.
2. Estudio de la dependencia e independencia de dos variables estadísticas y representacióngráfica de las mismas mediante una nube de puntos.
3. Análisis de la dependencia lineal de dos variables estadísticas. Cálculo de la covarianza yestudio de la correlación mediante el cálculo e interpretación del coeficiente de correlaciónlineal.
4. Cálculo de las rectas de regresión para la realización de estimaciones y prediccionesestadísticas y análisis de la fiabilidad de las mismas.
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Crit erio de ev a lu a ció n 9 . Asignar probabilidades a sucesos aleatorios, independientes o no, correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos; utilizando para ello la regla de Laplace, técnicas de recuento y la axiomática de la probabilidad, con la finalidad de tomar decisiones ante situaciones relacionadas con las ciencias sociales, argumentándolas. Este criterio trata de comprobar si el alumnado determina la probabilidad de sucesos de fenómenos aleatorios simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento para tomar decisiones ante situaciones relacionadas con las ciencias sociales, explicándolas y argumentándolas. Se pretende, asimismo, evaluar si construye la función de probabilidad de una variable discreta y la función de densidad de una variable continua asociada a un fenómeno sencillo y calcula sus parámetros y algunas probabilidades asociadas. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
CONTENIDOS
62, 70, 71. 1. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de sufrecuencia relativa. Axiomática de Kolmogorov.
2. Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades. 3. Identificación de experimentos simples y compuestos. Cálculo de probabilidad
condicionada. 4. Identificación de la dependencia e independencia de sucesos.
Los ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES son los siguientes: 1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y
la precisión adecuados.2. Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones, conocimientos
matemáticos necesarios, etc.).3. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contrastando su
validez y valorando su utilidad y eficacia.4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexionando sobre
el proceso seguido.5. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.6. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.7. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o
teorema a demostrar.8. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de
investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.9. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y
el problema de investigación planteado.10. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o
los resultados, etc.11. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad
y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.).12. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación.13. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación.14. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.15. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en la búsqueda
de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.
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16. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de investigación.17. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolución del
problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posibles continuaciones de lainvestigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personalessobre la experiencia.
18. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.19. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando del problema
o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios.20. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o
problemas dentro del campo de las matemáticas.21. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.22. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los
modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.23. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables,
impresiones personales del proceso, etc.24. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y
aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisiscontinuo, etc.
25. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativoy a la dificultad de la situación.
26. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscarrespuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.
27. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización o demodelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad.
28. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia,sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc.
29. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos,algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente.
30. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicascomplejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.
31. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante lautilización de medios tecnológicos.
32. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar ycomprender propiedades geométricas.
33. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, vídeo, sonido,…), como resultado delproceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuaday los comparte para su discusión o difusión.
34. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.35. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo
la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico yestableciendo pautas de mejora.
36. Reconoce los distintos tipos números reales (racionales e irracionales) y los utiliza para representar einterpretar adecuadamente información cuantitativa.
37. Representa correctamente información cuantitativa mediante intervalos de números reales.38. Compara, ordena, clasifica y representa gráficamente, cualquier número real.39. Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel,
calculadora o programas informáticos, utilizando la notación más adecuada y controlando el error cuandoaproxima.
40. Interpreta y contextualiza correctamente parámetros de aritmética mercantil para resolver problemas delámbito de la matemática financiera (capitalización y amortización simple y compuesta) mediante los métodosde cálculo o recursos tecnológicos apropiados.
41. Utiliza de manera eficaz el lenguaje algebraico para representar situaciones planteadas en contextos reales.42. Resuelve problemas relativos a las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones o sistemas de
ecuaciones.43. Realiza una interpretación contextualizada de los resultados obtenidos y los expone con claridad.44. Analiza funciones expresadas en forma algebraica, por medio de tablas o gráficamente, y las relaciona con
fenómenos cotidianos, económicos, sociales y científicos extrayendo y replicando modelos.45. Selecciona de manera adecuada y razonadamente ejes, unidades y escalas reconociendo e identificando los
errores de interpretación derivados de una mala elección, para realizar representaciones gráficas de funciones.46. Estudia e interpreta gráficamente las características de una función comprobando los resultados con la ayuda
de medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextualizados.47. Obtiene valores desconocidos mediante interpolación o extrapolación a partir de tablas o datos y los interpreta
en un contexto.48. Calcula límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las tendencias de
una función.49. Calcula, representa e interpreta las asíntotas de una función en problemas de las ciencias sociales.
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50. Examina, analiza y determina la continuidad de la función en un punto para extraer conclusiones ensituaciones reales.
51. Calcula la tasa de variación media en un intervalo y la tasa de variación instantánea, las interpretageométricamente y las emplea para resolver problemas y situaciones extraídas de la vida real.
52. Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de una función y obtener la recta tangente auna función en un punto dado.
53. Elabora e interpreta tablas bidimensionales de frecuencias a partir de los datos de un estudio estadístico, convariables discretas y continuas.
54. Calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en variables bidimensionales para aplicarlos ensituaciones de la vida real.
55. Halla las distribuciones marginales y diferentes distribuciones condicionadas a partir de una tabla decontingencia, así como sus parámetros para aplicarlos en situaciones de la vida real.
56. Decide si dos variables estadísticas son o no estadísticamente dependientes a partir de sus distribucionescondicionadas y marginales para poder formular conjeturas.
57. Usa adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico,calcular parámetros y generar gráficos estadísticos.
58. Distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística y estima si dos variables son o noestadísticamente dependientes mediante la representación de la nube de puntos en contextos cotidianos.
59. Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables mediante el cálculo e interpretacióndel coeficiente de correlación lineal para poder obtener conclusiones.
60. Calcula las rectas de regresión de dos variables y obtiene predicciones a partir de ellas.61. Evalúa la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión mediante el coeficiente de
determinación lineal en contextos relacionados con fenómenos económicos y sociales.62. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las
fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.63. Construye la función de probabilidad de una variable discreta asociada a un fenómeno sencillo y calcula sus
parámetros y algunas probabilidades asociadas.64. Construye la función de densidad de una variable continua asociada a un fenómeno sencillo y calcula sus
parámetros y algunas probabilidades asociadas.65. Identifica fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial, obtiene sus parámetros y
calcula su media y desviación típica.66. Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabilidad, de la
tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica y las aplica endiversas situaciones.
67. Distingue fenómenos que pueden modelizarse mediante una distribución normal, y valora su importancia enlas ciencias sociales.
68. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribuciónnormal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramientatecnológica, y las aplica en diversas situaciones.
69. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribuciónbinomial a partir de su aproximación por la normal valorando si se dan las condiciones necesarias para quesea válida.
70. Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar y la estadística.71. Razona y argumenta la interpretación de informaciones estadísticas o relacionadas con el azar presentes en
la vida cotidiana.
B. Criterios específicos de calificación de las pruebas.Para superar la prueba será necesario la obtención de cómo mínimo 5 puntos. La puntuación de cada pregunta
estará indicada en la hoja del examen.
C. Planes de refuerzo y recuperación para la superación de la prueba.
Esta guıa pretende ser orientativa para la preparación de la prueba y presenta sólo un número mınimo de ejercicios por unidad didáctica, suficientes para alcanzar los contenidos mınimos exigibles, ası como las competencias básicas necesarias para superar la material pendiente. El alumnado deberá ampliar su estudio utilizando los ejercicios y problemas realizados en clase. El profesorado correspondiente hará un seguimiento del trabajo de este material y resolverá las dudas que el alumnado le plantee.
Para la superación de la prueba se proponen las siguientes actividades como modelos para su preparación:
BLOQUE DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1) Simplifica:
a) 42012
1644
8149
−cdcba (Sol: 7
3 3
9
dabc ) b) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 142121
2331423
····
−−−−
−−−
− baaabbaba (Sol: 327ba )
2) Efectúa:
a)227243
4485
3754122 +−+− (S: 3
631− )
b) 15 8212 710 32 ·· baabba (S: 12 55bab )
3)
i) Expresa como un solo logaritmo la expresión CBA loglog2log23
+− (S: 2
3 ·logB
CA )
ii) Calcula 78log3 ( 97,3≅ ) iii) Sabiendo que 3,2log2 =x y 2,1log2 =y ; calcula utilizando las propiedades de los
logaritmos: 3
5
28log
yx (Sol: 5,15)
BLOQUE DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1) Calcula:
a)
−+−
+−
54
23·
21
41
32 223 xxxx (Sol:
52
21
2011
6047
2425 2345 −+−−+− xxxxx )
b) ( )2·1433
2·3
24
2
+
−−
+
− xxxx (Sol: 382
811
169 23 −++− xxx )
2) Divide : a) 34 5145 xxx ++− entre 23 x− (Sol: C(x) = 155 2 −−− xx , R(x) = 8x + 31) b) xx −7 entre 2+x (Sol: C(x) = 633216842 23456 +−+−+− xxxxxx , R(x) = -126 ) 3) Factoriza los siguientes polinomios: a) ( ) xxxxP 98282 23 +−= (Sol: ( ) ( )272 −= xxxP ) b) ( ) 614102 23 −+−= xxxxQ (Sol: ( ) ( ) ( )312 2 −−= xxxQ )
c) ( ) 345 4146 xxxxT ++= (Sol: ( ) ( )
++=
3126 3 xxxxT )
4) Efectúa:
a) 273
2932
93 2
2
−−
−−
++ x
xxx
xx (Sol: ( )33
2−
−x
)
b) 111 2
+
+−
xx (Sol:
( )2
2
122
++
xx )
c) 2
15205·1552
445 2
2
2
+++
+−
+−−
xxx
xx
xx (Sol:
2
2
−xx )
d) 2
2
44
33
xx
xx
−−
+−− (Sol: -2)
e) xxx
xxxxxx
96546:
6512123
23
3
2
2
+−−
+−+− (S: ( )32
2+−
xx )
Resuelve las siguientes ecuaciones: BLOQUE DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1) 4
31
22
21
3+
=+− x
x
x
(Sol: 234
=x )
2) xxx −=
+
−−−− 11
312 (Sol: x =
81 )
3) ( ) 0852 2 =−−− x (No tiene solución)
4) xx23110 2 =− (Sol:
52 x ,
41
=−=x )
5) x
xxx =−2 (Sol: x = 1)
6) 3332 −=−− xxx (No tiene solución)
7) 1
813 22
+=+
xx (Sol : x = 1, x = -1)
8) ( )( ) 03·1 22 =+− xxx (Sol : x = 1, x = -1, x = 0, x = -3) 9) 0635 234 =++−− xxxx (Sol : x = 2, x = -1, x = 3 , x = 3− ) 10) 01615 48 =−− xx (Sol : x = -2, x = 2) 11) 045 36 =+− xx (Sol : x = 1, x = 3 4 )
12) 34
12
2213
2 +−
=−
−+−
xxx
xx (Sol : x = 1, x =
213
− )
13) 57
342:
2312 −
=−+
−+
xx
xx (Sol : x = -1, x =
6143 )
14) 6427
43 32
=
−x
(Sol: x = 3)
16) 10839 1 =+ +xx (Sol : x = 2) 18) ( ) 01ln 2 =+x (Sol : x = 0) 19) ( ) 54log314log 22 =−−x (Sol : x = 25,512 )
20) ( )( ) 1
15log6log34log
2
22 =++−
xx (Sol : x = 1)
23) 5453
1+=+
+ xx (Sol : x = 11)
BLOQUE DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
PROBLEMAS DE SISTEMAS (RESUELVE LOS SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS)
1) Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B, C. Los precios de las entradas son, respectivamente, 2, 4 y 7 euros. Un determinado día entraron a las tres salas un total de 210 personas, siendo la recaudación conjunta igual a 810 euros. Teniendo en cuenta que la novena parte de los visitantes de la sala A es igual a la séptima parte de los visitantes de la sala B, determinar el número de visitantes de cada sala. (Sol: Ha habido 90 visitantes en la sala A, 70 en la B y 50 en la C) 2) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre. (Sol: 30 kg de semillas de lentejas, 5 kg de semillas de alubias y 10 kg de semillas de garbanzos) 3) Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compra 10 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de carne de ternera y les sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, y les sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el kilo de carne de pollo, de cerdo y de ternera? (Sol: 7,1 € cuesta el kilo de ternera; 5,1 € el kilo de carne de cerdo y 2,5 € el kilo de carne de pollo) 4) Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115 €. Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 €, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que ha pagado el billete entero. (Sol: 150 viajeros han pagado el billete entero; 300 han pagado el 20% del billete y 50 han pagado la mitad)
BLOQUE DE ANÁLISIS
DOMINIO DE DEFINICIÓN Y RECORRIDO 1) Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es el dominio de definición y cuál es su recorrido: a) b) c) d)
Solución: a) { }1 ,1−−= RD Recorrido = R b) ( ) [ )+∞∪−∞−= ,01,D Recorrido = [ )+∞,0 c) [ )+∞−= ,10D Recorrido = [ )+∞,0 d) [ ]3,2−=D Recorrido = [ ]3 ,0 2) Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) 5243 3 +−= xxy ( )RD = b)
3132 +−
=xxy ( )RD =
c) 75
132 ++
+=
xxxy ( )RD = d)
152
2 −+
=xxy ( { }1 ,1−−= RD )
e) xx
y2
12 −
= ( { }2,0−= RD ) f) xy 32 −= (
∞−=
32,D )
g) 3
1+=
xy ( [ )+∞−= ,1D ) h) 12 += xy ( RD = )
i) 12 −= xy ( ( ] [ )+∞∪−∞−= ,11,D ) j) x
y 1= ( ( )+∞= ,0D )
BLOQUE DE ANÁLISIS
FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES 1) Representa gráficamente las siguientes funciones( mediante una tabla de valores)
a) ( ) 121
−= xxf ( ]2,4−∈x b) 23
−=y c) 10050
−=xy
Solución: a) b) c)
BLOQUE DE ANÁLISIS
FUNCIONES CUADRÁTICAS
1) Representa gráficamente la función 322 ++−= xxy hallando previamente todos sus elementos principales (vértice y puntos de corte con los ejes de coordenadas) Solución:
2) Representa gráficamente las siguientes parábolas: hallando previamente todos sus elementos principales (vértice y puntos de corte con los ejes de coordenadas)
a) 822 −−= xxy b) 321 2 +−= xy
Solución:
c) ( )( )1·2 −+= xxy d) 432 −+−= xxy , [ )4,0∈x Solución:
BLOQUE DE ANÁLISIS
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
1) Representa estas funciones e indica el dominio de cada una de ellas: Nota: para representar las rectas o funciones de grado 1 lo hacemos mediante tabla de valores y para representar las parábolas o funciones de 2º grado hallamos vértice y puntos de corte con los ejes) a) b)
>+
≤<≤
=
3 x, 2
1x3x2 , 1-
2 x,2x -3y
>≤<
≤
=4 x, 2
4x0 , x
0 x, 3x-
y
c) d)
<<≤≤
<
=5x3 , 3-x3x0 ,3x -x
0 x,x -2y
>
<<+
−≤+
=
1 x, x1
1x1- ,2x x-1 x, 2x
2y
Solución: a) D = R b) D = R
c) ( )5,∞−=D d) { }1−= RD
BLOQUE DE ANÁLISIS
CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES
1) ( )4lim 23
2−−
→xx
x 2) ( )35lim 2
1+−
→xx
x 3)
2lim
0 +→ xx
x 4) ( )33lim 23
++−−
∞−→xxx
x
5) ( )33lim 23 ++−−+∞→
xxxx
6)
12lim 2
3
−+
+∞→ xx
x 7)
35653lim 2
2
- ++−
∞→ xxx
x 8)
71lim 5
23
−++−
∞−→ xxx
x
9) 124lim 23 +
+→ x
xx
10) 5
lim2
5 −−→ xx
x 11)
525lim
2
5 −−
+→ xx
x 12)
12lim 21 −
+→ x
xx
13) 2
44lim2
2 +++
→ xxx
x 14)
121lim 21 +−
−−→ xx
xx
15) 3
121lim
−+
+∞→ xx
x 16)
33lim 23 −
+→ x
xx
17) 32212105lim 23
23
3 +−++++
−→ xxxxxx
x 18)
211422lim 23
34
2 −−+−+−
→ xxxxxx
x 19)
xxx
x 525lim 2
2
5 −−
→ 20)
2146lim 23
23
2 ++++−
→ xxxxx
x
21) 9157
935lim 23
23
3 +++−++
→ xxxxxx
x 22) 23
4
0
3limxx
xx +→
23) x
xxx 2
2lim2
0
+→
24) 32
2
2 2365lim
+−+−
→ xxxx
x
25) 12lim 2
3
−+
+∞→ xx
x 26)
112lim 2
2
1 −+−
→ xxx
x 27)
xxxx
x +−→ 23
2
0
6lim 28) 35
653lim 2
3
++−
∞−→ xxx
x
29) 1
1lim2
+++
+∞→ xxx
x 30) 5
2 523limx
xxx
++−+∞→
31) 1
1lim2
+++
−∞→ xxx
x 32)
61224lim 3
23
+−
+∞→ xxx
x
33) 3
5lim 2 +−
+∞→ xx
x 34)
−−
++∞→ x
xxx
12
52lim2
35) 44
1lim 2 +−+∞→ xxx 36) 3
18limx
xx
−+∞→
37) 55lim 25 −
−→ x
xx
38) 0
1 1lim1x
xx→
− −+
39) 943lim
−−
∞−→ xx
x 40)
725123lim 3
2
1 −+−−
→ xxxx
x
55) 49
lim 27 −→ xx
x 56)
1lim
1 −→ xx
x
57) 23lim
2
2 ++
−→ xx
x 58)
xxx +→ 20
1lim 59) 2
1lim2 −−→ xx
60) 2
1lim−+∞→ xx
61) 30
1limxx +→
62) 20
1limxx→
63) 2
1limxx +∞→
64) ( )( )1lnlim0
+→
xx
65) 9
27lim 2
3
3 −−
→ xx
x 66)
273lim 33 −
+−→ x
xx
67)
−
++−
+∞→x
xxx
x 11lim
2
68)
−
+−
+∞→ 23
15lim
2 xx
xxx
SOLUCIONES : BLOQUE DE ANÁLISIS
CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES 1) 0 2) -1 3) 0 4) ∞+ 5) ∞− 6) ∞+
7) 53
8) 0
9) 57
10) ∞− 11) 10 12) No existe
13) 4 14)
21
− 15) 27 16) 1
17) 137 18)
179
19) 2 20) 0
21) 21
22) 0 23) 1 24) 1
25) ∞+ 26) 0 27) 0 28) ∞− 29) ∞+ 30) 0 31) ∞− 32) 2 33) 0
34) 25
35) 0 36) 2
37) 10
5 38) 0 39) 3
40) 174
55) No existe 56) No existe 57) No existe 58) No existe 59) ∞− 60) 0 61) ∞+ 62) ∞+ 63) 0 64) 0
65) 29
66) 0 67) -2 68) ∞−
DERIVADAS BLOQUE DE ANÁLISIS
Halla la derivada de las siguientes funciones:
1) ( )32
43
23
+−=xxxf 2) ( )
5122 +−
=xxxf
3) ( ) ( ) xexxf 23 −=
4) ( ) 23
23
1 xxx
xf +−= 5) ( )x
xxxxf 123 43 ++−= 6) ( ) 5ln
32
23 2
2 +−=x
xxf
7) ( ) 523 +−=
xxxf 8) ( )
2ln3
432 xxf += 9) ( )
12 −=
xexf
x
10) ( )1212
+−
=x
xxf 11) ( ) ( ) xexxf x ln12 −−= 12) ( ) ( )42 1−= xxf
13) ( )3
21
+−
=xxxf 14) ( )
( )311
−+
=xxxf 15) ( )
+−
=41ln
xxxf
16) ( ) ( )xxf x 8·ln2 14 2 −= 17) ( ) ( )x
xxf−+
=1
32 2
18) ( )2
15
+=
+
xexf
x
19) ( )x
xxf2ln
= 20) ( )2+
=xxexf
x
21) ( )431
+−
=xxxf
22) ( )213
++
=xxxf 23) ( )
+−
=4312ln
xxxf
24)
( ) ( ) 4ln5
12
+−
=xxxf
25) ( ) ( )( )42·532 ++−−= xxxxf 26) ( ) ( )32 1265 −+= xxxf 27) ( )xx
xxf+
−= 33
1
28) ( ) ( )351 xxf += 29) ( ) ( )3 22 2xxxf += 30) ( ) ( ) 1212 ++= xexxf
BLOQUE DE ANÁLISIS
SOLUCIONES DERIVADAS
1)2
)(' 2 xxxf −= 2)5
22)(' −=
xxf 3) )31()(' xexf x +=
4) xxx
xf 49
11)('3 22 +−
−= 5) 2
2 129)('x
xxxf −+−= 6) xx
xf343)(' 3 −
−=
7) 4
62
1)('xx
xf += 8) =)(' xfx2
3 9) 22
2
)1()12()('
−−−
=x
xxexfx
10) 2
2
)12(222)('
+++
=x
xxxf 11)x
xxexf x 1)12()(' 2 −−+= 12) 32 )1(8)(' −= xxxf
13) 4
2
)2()1(9)('
+−
=xxxf 14) 4)1(
42)('−−−
=x
xxf 15)43
5)(' 2 −+=
xxxf
16)
xxxxf
xx
1414
22 2)8ln(2ln8·2)('
−− +=
17) 2
2
)1(2184)('
xxxxf
−++−
= 18) 2
15
)2()95()('
++
=+
xxexf
x
19) 2
2lnln2)('x
xxxf − 20) 2
2
)2()22()('
+++
=x
xxexfx
21)( )24312
103)('+−
+−=
xxxxf
22)13)2(2
25)('2 +++
=xx
xxf 23)456
11)(' 2 −+=
xxxf 24)
xxxf
1015)('
2 −=
25) 246)(' 2 ++−= xxxf 26) ( ) ( )212·12615)(' 22 +−+= xxxxf
27) 23
23
)3(196)('
xxxxxf+
−−=
28)2
5115)(' xxf += 29)
3 2 2344)('
xxxxf+
+= 30) )44()(' 12 += + xexf x
ASÍNTOTAS
EJERCICIOS RESUELTOS
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 1
1) Estudia las asíntotas de la función 2 13
xf xx
.
Asíntotas horizontales
(por ambos lados)
2 1 2lim lim lim lim 2 23 2 es una asíntota horizontal de
2 1 2lim lim lim lim 2 23
x x x x
x x x x
x xf xx x y fx xf x
x x
Posición de la curva respecto de la asíntota Le damos un valor lo suficientemente elevado x .
2 100 1 199100 2.0515 2100 3 97
f
Por lo tanto, por la derecha x , la curva está por encima de la asíntota. Le damos un valor lo suficientemente bajo x .
2 100 1 201 201100 1,9515 2100 3 103 103
f
Por lo tanto, por la izquierda x , la curva está por debajo de la asíntota.
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 2
Asíntotas verticales Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales en los valores que anulen a su denominador.
3 0 3x x Estudiamos los límites laterales en 3x .
3 3
(por ambos lados)
3 3
2 1 5lim lim3 0 3 es una asíntota vertical de
2 1 5lim lim3 0
x x
x x
xf xx x fxf x
x
Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales
Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 3
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 4
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 5
2) Estudia las asíntotas de la función 2
2 4xf x
x
.
Asíntotas horizontales
2 2
2 2
2 2 (por ambos lados)
2 2
lim lim lim lim 1 14 1 es una asíntota horizontal de
lim lim lim lim 1 14
x x x x
x x x x
x xf xx x y f
x xf xx x
Posición de la curva respecto de la asíntota Le damos un valor lo suficientemente elevado x .
2
2
10 100 2510 1,0417 110 4 96 24
f
Por lo tanto, por la derecha x , la curva está por encima de la asíntota. Le damos un valor lo suficientemente bajo x .
2
2
10 100 2510 1,0417 196 2410 4
f
Por lo tanto, por la izquierda x , la curva está por encima de la asíntota.
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 6
Asíntotas verticales Posibles asíntotas verticales
2 4 0 2x x
2x Estudiamos los límites laterales en 2x .
2
22 2
2 (por ambos lados)
22 2
4lim lim4 0 2 es una asíntota vertical de
4lim lim4 0
x x
x x
xf xx x f
xf xx
Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales
2x Estudiamos los límites laterales en 2x .
2
22 2
2 (por ambos lados)
22 2
4lim lim4 0 2 es una asíntota vertical de
4lim lim4 0
x x
x x
xf xx x f
xf xx
Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 7
Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 8
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 9
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 10
3) Estudia las asíntotas de la función 2 4
1xf xx
.
Asíntotas horizontales
2 2
2 2
4lim lim lim lim1 no tiene asíntotas horizontales4lim lim lim lim1
x x x x
x x x x
x xf x xx x f
x xf x xx x
Como no tiene asíntotas horizontales, puede tener asíntotas oblicuas. Asíntotas verticales
Posible asíntota vertical 1 0 1x x
Estudiamos los límites laterales en 3x .
2
1 1
2 (por ambos lados)
1 1
4 3lim lim1 0 1 es una asíntota vertical de 4 3lim lim1 0
x x
x x
xf xx x f
xf xx
Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 11
Asíntotas oblicuas y mx n
2
2 2
2 2
441lim lim lim lim lim 1 1
x x x x x
xf x x xxm
x x x x x
2 2 24 4 4lim lim lim lim lim lim 1 1
1 1 1x x x x x x
x x x x x xn f x mx xx x x x
Por lo tanto, 1y x es una asíntota oblicua de f por ambos lados
Posición de la curva respecto de la asíntota Comparamos la función f x con la asíntota 1a x x
Le damos un valor lo suficientemente elevado x .
210 4 96 3210 10,666710 1010 1 9 3
10 10 1 11
ff a
a
Por lo tanto, por la derecha x , la curva está por debajo de la asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo x .
210 4 9610 8,7273 10 1010 1 1110 10 1 9
f f aa
Por lo tanto, por la izquierda x , la curva está por encima de la asíntota.
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 12
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 13
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 1
TEMA 9 – DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES NUBES DE PUNTOS Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN EJERCICIO 1 : Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemáticas y en Física han sido las siguientes:
Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Solución:
Viendo la representación, observamos que el coeficiente de correlación es positivo y alto. Por tanto, r 0,94.
EJERCICIO 2 : Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron el número de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La información se recoge en la siguiente tabla:
Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores te parece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Solución:
Observando la representación, vemos que el coeficiente de correlación es positivo y bajo. Por tanto, r 0,44.
EJERCICIO 3 : En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:
Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te parece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Solución:
Vemos que la relación entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto, r 0,2.
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 2 EJERCICIO 4 : Considera la siguiente distribución:
Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4. Solución:
Vemos que hay una relación positiva entre las variables, pero es baja. Por tanto, r 0,4.
COVARIANZA, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN EJERCICIO 5 : En un reconocimiento médico a los niños de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en centímetros. Aquí tienes los datos de los primeros seis niños:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:
x i y i x i2 y i
2 x iy i
120 25 14400 625 3000110 30 12100 900 3300
140 35 19600 1225 4900130 25 16900 625 3250125 20 15625 400 2500115 20 13225 400 2300
740 155 91850 4175 19250
Medias: 83,25
6155y
33,1236
740x
Desviaciones típicas:
35,564,2883,25
64175
90,904,9833,1236
91850
2y
2x
Covarianza: 72,2272,2283,2533,1236
19250xyxy
Coeficiente de correlación: 43,0r43,035,590,9
72,22ryx
xy
La relación entre las variables es positiva, pero débil. EJERCICIO 6 : En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:
Medias:67,61
6370y
33,6336
3800x
Desviaciones típicas:
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 3
02,2314,53067,616
26000
32,1578,23433,6336
050.2408
2y
2x
Covarianza: 87,5087,5067,6133,6336
234650xyxy
Coeficiente de correlación: 14,0r14,002,2332,15
87,50r
La relación entre las variables es muy débil. Podemos decir que no están relacionadas. EJERCICIO 7 : Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes resultados:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:
Medias: 15,9
69,54y
846
504x
D.T: 18,139,115,9
667,510
08,1167,122846
43072
2y
2x
Covarianza: 17,917,915,9846
6,4666xyxy
Coeficiente de correlación: 70,0r70,018,108,11
17,9r
Hay una relación positiva y relativamente alta entre las variables. EJERCICIO 8 : Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:
Medias:17,3
619y
5,46
27x
D.T: 67,045,017,3
663
96,092,05,46
127
2y
2x
Covarianza: 40,040,017,35,46
88xyxy
Coeficiente de correlación: 62,0r62,067,096,0
40,0r
Hay una relación positiva, aunque no demasiado fuerte, entre las variables.
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 4 EJERCICIO 9 : Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las variables? Solución:
Medias:33,3
620y
83,3623x
D.T:76,058,033,3
670
08,116,183,36
95
2y
2x
Covarianza: 079,0σ079,033,383,36
77xyxy
Coeficiente de correlación: 096,0r096,076,008,1
079,0r
La relación entre las variables es prácticamente nula. RECTAS DE REGRESIÓN, ESTIMACIONES EJERCICIO 10 : Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
0,85).que(Sabemoses?estimacionestasválidas¿Son.10e52,Calculab) ryy ˆˆ Solución: a)
Medias:17,62
6373y
37,26
2,14x
Varianza de X: 23,037,2606,35 22
x
Covarianza: 47,317,6237,26
9,904xy
Coeficiente de regresión: 1,1523,047,3
2 x
xyyxm
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X: 38,26x1,15y37,2x1,1517,62y kcal 13,6438,265,21,155,2yb) ; kcal 38,17738,26101,1510y
Como la correlación es alta, r 0,85, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo de datos. Para un porcentaje del 2,5 de grasa, las kilocalorías serán, aproximadamente, 64,13. Sin embargo, la segunda estimación no es válida porque x 10 está muy alejado del intervalo de datos que hemos considerado. EJERCICIO 11 : Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
0,79). que (Sabemos ?estimación estafiable ¿Es120Calculab) ry .ˆ
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 5 Solución: a)
Medias:67,6
640y
33,986
590x
Varianza de X: 54,2533,986
58166 22x
Covarianza: 89,167,633,986
5,3946xy
Coeficiente de regresión: 07,054,25
89,1m2x
xyyx
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre x: 21,0x07,0y33,98x07,067,6y 19,821,012007,0120yb)
Como x 120 está alejado del intervalo que estamos considerando, la estimación no es fiable. EJERCICIO 12 : En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad útil de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
0,85). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .6Calculab) r y Solución: a)
Medias:58,2
65,15y
28,66
7,37x
Varianza de X: 39,028,66
97,238 22x
Covarianza: 52,058,228,66
35,100xy
Coeficiente de regresión: 33,139,052,0m
2x
xyyx
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X: 77,5x33,1y28,6x33,158,2y 21,277,5633,16yb)
Sí es fiable, puesto que la correlación es fuerte, r 0,85, y x 6 está dentro del intervalo de datos que estamos considerando. Para un peso de 6 kg la capacidad de la bolsa será, aproximadamente, de 2,21 litros. EJERCICIO 13 : En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
0,87). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .55,Calculab) ry
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 6 Solución: a)
Medias: 92,5
65,35y
2,66
2,37x
Varianza de X: 32,02,66
54,232 22x
Covarianza: 46,092,52,66
223xy
Coeficiente de regresión: 44,132,046,0m
2x
xyyx
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X: 3x44,1y2,6x44,192,5y 92,435,544,15,5yb)
Sí es fiable la estimación, puesto que la correlación es fuerte, r 0,87, y x 5,5 está dentro del intervalo de valores que estamos considerando. Por tanto, estimamos que si la nota de Matemáticas es 5,5, la de Inglés será muy probablemente 4,9. EJERCICIO 14 : Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?
Solución:
Medias:83,3
623y
17,4625x
D.T.:71,0498,083,3
691
67,044,017,46
107
2y
2x
Covarianza: 36,083,317,46
98xy
Coeficientes de regresión: 82,0
44,036,0m sobre yx xy 72,0
498,036,0m sobre xy yx
Rectas de regresión: 41,0x82,0y17,4x82,083,3y sobre xy
41,1y72,0x 83,3y72,017,4x sobre yx 96,1x39,1y72,0
41,1xy
Representación:
b) La correlación entre las dos variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy
76,071,067,0
36,0r :esn correlació de ecoeficient el que sComprobamo próximas.
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 7 EJERCICIO 15 : La estatura, en centímetros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres viene recogida en la siguiente tabla:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?
Solución: a)
Medias:5,177
61065y
1656
990x
D.T.:79,492,225,177
6189175
57,967,911656
163900
2y
2x
Covarianza: 17,295,1771656
175900xy
Coeficientes de regresión: 32,067,9117,29m sobre yx xy 27,1
92,2217,29m sobre xy yx
Rectas de regresión: 7,124x32,0y165x32,05,177y sobre xy
5,177y27,1165x sobre yx 43,60y27,1x 58,47x79,0y27,1
43,60xy
Representación:
b) La correlación entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy
636,079,457,9
17,29r :esn correlació de ecoeficient el que sComprobamo próximas.
EJERCICIO 16 : Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación
entre las dos variables? Solución: a)
Medias: 3
618y
5,26
15x
Desviaciones típicas:15,133,13
662
96,092,05,2643
2y
2x
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 8
Covarianza: 17,035,2644
xy
Coeficientes de regresión: 18,092,017,0m sobre yx
xy 13,0
33,117,0m sobre xy
yx
Rectas de regresión: 45,3x18,0y5,2x18,03y sobre x y 3y13,05,2x sobre yx 89,2y13,0x x89,2y13,0
23,22x69,7y13,0
89,2xy
Representación:
b) La correlación es prácticamente nula; las rectas son casi perpendiculares. EJERCICIO 17 : Considera la siguiente distribución:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?
Solución: a)
Medias: 17,11
667y
33,4626x
Desviaciones típicas:43,373,1117,11
6819
61,158,233,46
128
2y
2x
Covarianza: 97,417,1133,46
320xy
Coeficientes de regresión: 93,158,297,4m sobre yx xy 42,0
73,1197,4m sobre xy yx
Rectas de regresión: 81,2x93,1y33,4x93,117,11y sobre xy
17,11y42,033,4x sobre yx 36,0y42,0x 86,0x38,2y42,0
36,0xy
Representación:
b) La correlación es muy alta, puesto que las dos rectas están muy próximas, casi coinciden.
9,043,361,1
97,4r :esn correlació de ecoeficient el que sComprobamo
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 9 OTROS EJERCICIO 18 : Los gastos que una empresa tuvo en la publicidad de un determinado artículo en miles de euros y las ventas, también en miles de euros, de dicho artículo se recogen en la siguiente tabla:
GGaassttooss eenn ppuubblliicciiddaadd ((mmiilllloonneess)) 1 2 3 4 5 6 7 8
Ventas (millones) 15 16 14 17 20 18 18 19
Halla las medias, varianzas y desviaciones típicas de las dos variables, así como la covarianza de la distribución. Solución:
xi yi xi2 yi
2 xi yi 1 15 1 225 15 2 16 4 256 32 3 14 9 196 42 4 17 16 289 68 5 20 25 400 100 6 18 36 324 108 7 18 49 324 126 8 19 64 361 152 36 137 204 2375 643
Media de x: x = 36/8 = 4,5 miles de euros Media de y: y = 137/8 = 17,13 miles de euros
Varianza de x: 25,55,48
204 22x Desviación típica de x: 29,225,5x miles de euros
Varianza de y: 61,313,178
2375 22y Desviación típica de y: 9,161,3y miles de euros
Covarianza: 29,33,17.5,48
643xy
EJERCICIO 19 : La siguiente tabla recoge las medidas de los pesos en kg y las alturas en m de 20 alumnos:
Nº de alumnos 4 3 2 5 4 2 Peso (X) en kg 73 76 73 78 80 82
Altura (Y) en m. 1,65 1,68 1,70 1,72 1,76 1,80
Estima las medias, varianzas y desviaciones típicas de las variables estudiadas, así como la covarianza de ambas. Solución:
xi yi ni xi ni yi ni xi yi ni xi2 ni yi
2 ni
73 1,65 4 292 6,60 481,80 21316 10,8900 76 1,68 3 228 5,04 383,04 17328 8,4672 73 1,7 2 146 3,40 248,20 10658 5,7800 78 1,72 5 390 8,60 670,80 30420 14,7920 80 1,76 4 320 7,04 563,20 25600 12,3904 82 1,8 2 164 3,60 295,20 13448 6,4800 20 1540 34,28 2642,24 118770 58,7996
Media de x: x = 1540/20 = 77 Kg Media de y: y = 34,28/20 = 1,714 m
Varianza de x: 5,97720
118770 22x Desviación típica de x: 082,35,9x Kg
Varianza de y: 002,0714,1207996,50 22
y Desviación típica de y: 045,0002,0y
Covarianza: 134,0714,1.7720
24,2642xy
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 10 EJERCICIO 20 : Halla los parámetros que caracterizan la distribución estadística de dos variables X e Y reflejadas en la tabla:
Y 0 2 4
1 2 1 2 2 1 4 5
X
3 3 2 0
Es decir: Medias, desviaciones y covarianza. Solución:
xi yi ni xi ni yi ni xi yi ni xi2 ni yi
2 ni
1 0 2 2 0 0 2 0 2 0 1 2 0 0 4 0 3 0 3 9 0 0 27 0 1 2 1 1 2 2 1 4 2 2 4 8 8 16 16 16 3 2 2 6 4 12 18 8 1 4 2 2 8 8 2 32 2 4 5 10 20 40 20 80 3 4 0 0 0 0 0 0 20 40 42 78 90 140
Media de x: x = 40/20 = 2 Media de y: y = 42/20 = 2,1
Varianza de x: 5,022090 22
x
Desviación típica de x: 707,05,0x
Varianza de y: 59,21,220
140 22y
Desviación típica de y: 609,159,2y
Covarianza: 3,01,2.22078
xy
EJERCICIO 21 : Los números 0,1; 0,99; 0,6 y 0,89 son los valores absolutos del coeficiente de correlación de las distribuciones bidimensionales cuyas nubes de puntos adjuntamos. Asigna a cada diagrama su coeficiente de correlación cambiando el signo cuando sea necesario.
Solución: a) r = 0,89 b) r = 0,1 c) r = -0,6 d) r = -0,99 EJERCICIO 22 : ¿Qué significa que en una distribución bidimensional el coeficiente de correlación sea? a) r = 1 b) r = -1 c) r = 0,75 d) r = 0 e) r = 0,1 f) r =0,9 Solución: a) r = 1, significa que existe dependencia funcional positiva. b) r = -1, significa que existe dependencia funcional negativa. c) r = 0,75; significa que existe dependencia aleatoria positiva fuerte. d) r = 0; significa que existe independencia aleatoria. e) r = 0,1; significa que existe independencia aleatoria. f) r = 0,9; significa que existe dependencia aleatoria positiva y muy fuerte. EJERCICIO 23 : En una distribución bidimensional la recta de regresión de Y sobre X es y = y siendo y la media de la distribución de la variable Y. ¿Cuál es la recta de X sobre Y? ¿Existe dependencia funcional entre Y y X? Razona la respuesta. Solución: - Si la recta de regresión de Y sobre X es y = y myx = 0 0yx mxy = 0 y por tanto la recta de
regresión de X sobre Y es x - x = 0 x = x - r = 0m.m xyyx No hay correlación, por tanto no hay dependencia funcional entre Y y X.
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 11 .EJERCICIO 24 : Dada esta distribución bidimensional:
x 5 6,5 8 4 3 Y 4,5 7 7,5 5 3,5
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal, interpretando el resultado. b) Determina la recta de regresión de Y sobre X. c) Halla el punto donde se cortan las dos rectas de regresión. Solución:
xi yi xi2 yi
2 xi yi 5,0 4,5 25,00 20,25 22,5 6,5 7,0 42,25 49,00 45,5 8,0 7,5 64,00 56,25 60,0 4,0 5,0 16,00 25,00 20,0 3,0 3,5 9,00 12,25 10,5 26,5 27,5 156,25 162,75 158,5
Media de x: x = 26,5/5 = 5,3 Media de y: y = 27,5/5 = 5,5
Desviación típica de x: 78,13,55
25,156 2x
Desviación típica de y: 52,15,55
75,162 2y
Covarianza: 55,25,3.3,55
5,158xy
a) Coeficiente de correlación: 94,0SS
Sr
yx
xy
Al ser positivo y próximo a la unidad, la correlación es positiva (al aumentar X
aumenta Y) y fuerte.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
21,1x81,0y)3,5x(81,05,5y81,0SS
m 2x
xyx
c) El punto donde se cortan las dos rectas de regresión es: 5,5;3,5y,x__
EJERCICIO 25 : Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos. a) Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. b) ¿Cuál sería el peso aproximado de una niña de 6 años? Solución:
xi yi xi2 yi
2 xi yi 2 14 4 196 28 3 20 9 400 60 5 32 25 1024 160 7 42 49 1764 294 8 44 64 1936 352
25 152 151 5320 894
Media de x: x = 25/5 = 5 años Media de y: y = 152/5 = 30,4 Kg
Desviación típica de x: 28,255
151 2x años
Desviación típica de y: 83,114,305
5320 2y Kg
Covarianza: 8,264,30.55
894xy
a) Recta de regresión de X sobre Y: 84,0y192,0x)4,30y(192,05x192,0SS
m 2y
xyy
b) Recta de regresión de Y sobre X: 65,4x15,5y)5x(15,54,30y15,5SS
m 2x
xyx
Para una niña cuya edad sea x = 6 años, se obtiene un peso de y = 35,55 kilos
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 12 EJERCICIO 26 : Las rectas de regresión de cuatro distribuciones bidimensionales son las siguientes:
1y54x xy d) 2x 3y c)
2y65x 2x
54y b) 4x 2xy a)
Di en qué casos es significativa la correlación lineal. Solución: Basta con representar en un mismo diagrama los pares de rectas de cada apartado. Será más significativa la correlación lineal, cuanto menor sea el ángulo formado por las dos rectas de regresión.
Luego la correlación más significativa es la del apartado d), en segundo lugar b), seguida de a) Las rectas de regresión del apartado c) son perpendiculares, y por tanto, las variables están incorreladas. EJERCICIO 27 : La media de los pesos de una población es de 65 kg y la de la estatura de 170 cm, mientras que las desviaciones típicas son de 5 kg y de 10 cm, respectivamente, y la covarianza de ambas variables es 40. Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas. ¿Cuánto se estima que pesará un individuo de 180 cm de estatura? Solución: Del enunciado se obtienen los siguientes datos:
40S cm; 10S kg; 5S cm; 170y kg; 65x xyyx
__
Recta de regresión de los pesos sobre las alturas: 3y4,0x)170y(4,065x4,0S
Sm
2y
xyy
Para estimar el peso de un individuo que mide y = 180 cm, basta con substituir dicho valor en la recta
anterior, se tiene: kg 6931804,0 x
EJERCICIO 28 : Las estaturas y pesos de diez jugadores de baloncesto de un equipo son:
Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
Teniendo en cuenta que 6,37S covarianza la y 56,6S ;07,6S kg; 1,92y cm; 195x xyyx__
se pide: a) Recta de regresión de Y sobre X. b) Halla el coeficiente de correlación. c) Si el equipo ficha a un jugador que mide 208 cm, ¿se puede predecir su peso? En caso
afirmativo, obtenlo. Solución a) Con los datos suministrados, se tiene la siguiente recta de regresión de Y sobre X:
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 13
8,106x02,1y)195x(02,11,92y02,1SS
m 2x
xyx
b) El coeficiente de correlación es: 94,0SS
Sr
yx
xy
Correlación positiva y muy fuerte.
c) Substituyendo en la ecuación obtenida en el apartado a) el valor x = 208 cm, se tiene un peso y = 105,36 kg. EJERCICIO 29 : Se ha observado una variable estadística bidimensional y se ha obtenido la siguiente tabla:
X 100 50 25
14 1 1 18 2 3
Y
22 1 2
Se pide: a) Calcula la covarianza. b) Obtén e interpreta el coeficiente de correlación lineal. c) Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.
Solución:
xi yi ni nixi xi2ni niyi yi
2ni ni xiyi
100 14 1 100 10000 14 196 1400 100 18 2 200 20000 36 648 3600 50 14 1 50 2500 14 196 700 50 18 3 150 7500 54 972 2700 50 22 1 50 2500 22 484 1100 25 22 2 50 1250 44 968 1100
600 43750 184 3464 10600
Media de x: x = 600/10 = 60 Media de y: y = 184/10 = 18,4 Desv. típica de x:
84,276010
43750 2x
Desviación típica de y:
8,24,1810
3464 2y
Covarianza: 444,18.6010
10600xy
b) Coeficiente de correlación: 56,0SS
Sr
yx
xy
Se trata de una correlación negativa (al aumentar una variable, disminuye la otra) y débil
ya que su valor absoluto está muy alejado de la unidad.
c) Recta de regresión de Y sobre X:
22x06,0y)60x(06,04,18y06,0SS
m 2x
xyx
EJERCICIO 30 : Un examen de cierta asignatura consta de dos partes, una teórica (x) y otra práctica (y). El profesor de la misma quiere ver si existe algún tipo de correlación entre las notas de teoría y práctica. Obtiene que la recta de regresión de y sobre x es 4x – 3y = 0 y la de x sobre y es 3x – 2y = 1. a) Calcular el coeficiente de correlación y decir si las variables están o no correlacionadas. b) Calcular la media de las notas de teoría y práctica. Solución: x = Nota en teoría, y = Nota en práctica a)
La recta de regresión de y sobre x : 4x – 3y = 0 y = 3x4 myx = 4/3
La recta de regresión de x sobre y : 3x – 2y = 1 x = 3
1y2 mxy = 2/3
Tema 9 – Distribuciones bidimensional – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato 14
El coeficiente de correlación r = 94,098
32.
34m.m xyyx 1
Como el coeficiente de correlación es cercano a 1, hay correlación fuerte y positiva, por tanto si un alumno saca buena nota en teoría también la saca en práctica. b) Para calcular la media de las notas de teoría y práctica, resolvemos el sistema de las dos rectas de
regresión: 4y,3x1y2x30y3x4
Por tanto la nota media en teoría es de 3 y la nota media en práctica es de un 4. EJERCICIO 31 : Un jugador de baloncesto juega una media de 22,5 minutos por partido, con una desviación típica de 5 minutos, obteniendo una media de 17,5 puntos, con una desviación típica de 6,5 puntos. El coeficiente de correlación entre minutos jugados y puntos conseguidos es 0,7. Estimar el número de puntos conseguidos si jugara en un partido 18 minutos. Solución: Sea x = Tiempo(en minutos), y = Puntos conseguidos Los datos: x = 22,5’ x = 5’ y = 17,5 ptos y = 6,5 ptos, r = 0,7 Como queremos hallar el número de puntos conseguidos, calcularemos la recta de regresión de Y sobre X:
)xx(yy2x
xy
Conocemos todo menos xy : r = yx
xy
.
75,225,6.5.7,0..r yxxy
Sustituyendo en la recta de regresión de Y sobre X: ptos405,13y)5,2218(5
75,225,17y2
Marcará, aproximadamente: 13,4 ptos EJERCICIO 32 : Se ha hecho un test a 100 atletas sobre sus marcas en 100 metros y 400 metros. Se ha obtenido que la marca media en 100 metros es de 12,2 segundos con una desviación típica de 0,5 segundos, mientras que la marca media en 400 metros es de 61,3 segundos con una desviación típica de 1 segundo. Si el coeficiente de correlación lineal entre ambas pruebas es de 0,9, a) ¿Podemos asegurar que los corredores que son mejores en 100 metros lo son también en 400
metros? (Justifica tu respuesta) b) ¿Qué marca en 400 metros puede esperarse de un atleta que corre los 100 metros en 11
segundos? Solución: a) Si porque como r = 0,9 > 0, la correlación es positiva, aunque no sea demasiado buena. b) Sea x = Marca en 100 m (en segundos), y = Marca en 400 m (en segundos) Los datos: x = 12,2´´ x = 0,5´´ y = 61,3´´ y = 1´´, r = 0,9 Como queremos hallar la marca en 400 m, calcularemos la recta de regresión de Y sobre X:
)xx(yy2x
xy
Conocemos todo menos xy : r = yx
xy
.
45,01.5,0.9,0..r yxxy
Sustituyendo en la recta de regresión de Y sobre X: ´14,59y)2,1211(5,045,03,61y
2
Su marca aproximada en 400 metros será de 59,14´´.
1
ACTIVIDADES DE PROBABILIDAD
5) Extraemos una carta de una baraja española. Halla las siguientes probabilidades: a) Que sea un rey o un as. b) Que sea un rey o una copa. c) Que sea un rey y una copa. 6) Se elige al azar uno de los 50 primeros números naturales. a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea cuadrado perfecto. b) Sabiendo que el número elegido es múltiplo de 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea cuadrado perfecto? 7) En la prensa aparece esta noticia: " En la ciudad, el 55% de sus habitantes es mayor de 30 años, el 45% está casado y el 60% está casado o es mayor de 30 años". Calcula la probabilidad de estos sucesos: a) Ser mayor de 30 años y estar casado. b) No estar casado.
10) En una clase hay 18 chicos y 20 chicas, de los que 31 de los chicos y la mitad de
las chicas tienen el pelo negro. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno al azar sea chico o tenga el pelo negro? b) Si el alumno elegido tiene el pelo negro, ¿cuál es la probabilidad de que no sea chico? 11) En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al azar, halla la probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños. b) Seleccionar 2 niños y una niña. c) Seleccionar, al menos, un niño.
2
12) En un IES, hay organizadas actividades extraescolares de carácter deportivo. De los alumnos de 2º de Bachillerato, participan en esas actividades 14 chicas y 22 chicos. En ese curso hay un total de 51 chicos y 44 chicas. Si se escoge un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea chico y no participe en dichas actividades. b) Participe en las actividades sabiendo que es chica. c) Sea chica, sabiendo que participa. 13) En una bombonera hay 20 bombones rellenos de fresa y 35 rellenos de avellana. Si se extraen dos bombones, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo sabor? 15) Al Congreso europeo asisten 60 hombres y 50 mujeres. El 50% de los hombres son del partido A y el resto del partido B; en cambio, el 60% de las mujeres son del partido B, el resto son del partido A. Eligiendo una persona al azar que asiste al Congreso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea del partido A? 18) A una ciudad española se la suele visitar bien por autocar bien por tren. La probabilidad de elegir el autocar es 0,55 y la de elegir el tren, 0,45. Los autocares llegan puntuales en un 85% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de no llegar puntual a la ciudad?
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