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Dic-05 2004-06 Jorge A. Cruz Emeric 1
Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.
I N EL 4 3 0 1 I N EL 4 3 0 1 I N EL 4 3 0 1 Teora de
Comunicaciones
Teora de
Comunicaciones0011 0010 1010 1101 0001 0100 10110011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
888 Teorema del muestreo y latransformada discreta deFourier
Teorema del muestreo y laTeorema del muestreo y latransformada discreta detransformada discreta deFourierFourier
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Agenda para hoyAgenda para hoy
Evaluar las condiciones necesarias para:
convertir una seal analgica a una seal digital(tiempo discreto) consistente de un conjunto de
muestras.
tomando las muestras, reconstruir la seal
analgica original.
Teorema del muestreo define estascondiciones.
Transformada de Fourier discreta
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Muestreo de seMuestreo de sealesales
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Muestreo de seales
Proceso fundamental en la conversin de sealesanalgicas (tiempo continuo, amplitud continua) a seales
digitales (tiempo discreto, amplitud discreta)
x(t)
MuestreadorMuestreadorCuantifi-
cador
Cuantifi-
cador CodificadorCodificador
xd(n)xn(nT)
Seal
analgica
Seal
analgica Seal con amplitud
continua, tiempo discreto
Seal con amplitud
continua, tiempo discretoSeal digitalSeal digital
Seal con amplituddiscreta, tiempo discreto
Seal con amplitud
discreta, tiempo discreto
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Asuntos crticos
Cun bienxd(n)representa la informacin
contenida enx(t)? Es posible reconstruir a
x(t) a partir de su
representacin digitalxd(n)?
Cules son losrequisitos para podercumplir con lo anterior?
x
(t)
t0
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Interpolacin
Proceso fundamental en la conversin de seales
digitalizadas de regreso a su forma analgica
x(nT) x (t)?
MuestrasMuestrasSeal
analgica
original
Seal
analgica
original
x(nT)
t0
x (t)
t0
InterpoladorInterpolador
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Teorema del muestreoTeorema del muestreo
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Teorema del muestreo de Nyquist
Una sealx(t) puede ser representadapor una cadena (sequence) demuestras instantneas {x(nT)}
si se cumplen las siguientescondiciones:
x(t) es seal pasa bajaX(f) = 0 para todof>B Hz
Las muestras {x(nT)} se toman a una
razn de 1/Tmuestras por segundodonde T >1/(2B).
Si se cumple lo anterior,x(t) se puederecuperar a partir de {x(nT)} pasando
a esta ltima por un filtro pasa bajaideal con ancho de bandaB.
|X(f)|
f0 B-B
x (t)
t0
{x(nT)}{x(nT)}
T
LPFLPF Kx(t)
x(nT)x(t)1/T
constanteconstante
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Demostracin
La seal muestreada instantneamente puede escribirsecomo:
==
n
nTtnTxtx )()()(
que podemos reescribir como
=
=n
nTttxtx )()()(
Su transformada de Fourier es:
=
=n
nTttxfX )()()(
x (t)
t0
(t-nT)
t0x
(t)
t0
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Demostracin
=
=
n T
nfX
TfX 1)(
que podemos reescribir como
Utilizando el teorema de multiplicacin:
=
=nnTttxfX )()()(
=
=nnTtfX )()(
=
=n T
nf
TfXfX
1)()(
Luego de evaluar la convolucin queda
=
=
n T
nffX
T)(
1
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Demostracin
( )
=
=n
ss nffXffX )(
Ahora podemos reescribir aXd(f) como
Como Tes la separacin entre muestras en eltiempo, definafs como la frecuencia demuestreo (sampling frequency) T
fs1
=
El espectro deXd(f) es similar a esto
|X
(f)|
f0 fs 2fs
|X(f)|
f0
B
B-B
fs-B f
s+B
2fs-B 2f
s+B
... ...
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Demostracin
Si ahora se pasa la seal por un filtro pasa baja conB 2B
Existencia de filtros ideales.
fcfc
Propiedad del filtroPropiedad del filtro
Propiedad delmuestreador
Propiedad delmuestreador
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Interpolacin en el tiempo
Aunque lareconstruccin se
demostr en eldominio de frecuencia,tambin es posibledemostrarla en eldominio del tiempo.
LPFLPF y(t)
x(t)
h(t) )2(sinc2)( BtBth
( )
=
=n
nTthnTxty )()(
=
=n
nTtnTxtx )()()(
=
=n
nTtBnTxBty )](2sinc[)(2)(
=
Esto se conoce como lafuncin de interpolacin
Esto se conoce como la
funcin de interpolacin
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Impacto del submuestreoImpacto del submuestreo
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Impacto del submuestreo
Qu ocurre si la frecuencia de muestreo es muy baja?
No cumple con fs> 2B
|X
(f)|
f0
BBfs-Bfs-B
fs 2fs
La seal a la salida del filtro incluye ax(t) y a otroscomponentes de frecuencia dex(t) ubicados a frecuenciasincorrectas.
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Fenmeno de alias o solape
Aliasing -- hacerse llamar por otronombre
Causa: ocurre cuandofs est por debajo de
la frecuencia de Nyquist (2B).
Manifestacin:
componentes de frecuencia porencima defs/2 se hacen pasar porcomponentes de frecuencia pordebajo defs/2.
Crea una nueva modalidad dedistorsin. versin reconstruida contiene
frecuencias que no estuvieronpresentes en la seal reconstruida.
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Ejemplo 1: Efecto de submuestreoEjemplo 1: Efecto de submuestreo
Suponga que la frecuencia de muestreo es 10 KHz y que la seal x(t)consiste de dos sinusoides, uno a 2 KHz y el otro a 6KHz
|X(f)|
f(KHz)0
144
fsdebi ser >12 KHzfsdebi ser >12 KHz
2 6
|X
(f)|
f(KHz)fs 2fs
10 20
12 16 22 262 6
4 244
8 18
El espectro de la seal muestreada es:
6
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Ejemplo 1: Efecto de submuestreoEjemplo 1: Efecto de submuestreo
Ahora suponga que desea recuperar el mensaje original pasando ax(t)por un filtro pasa bajo que corta a 6 KHz
La salida es:|X
(f)|
f(KHz)fs 2fs2 6
4
AliasAlias
14
4
0
|X
(f)|
f(KHz)
fs 2fs10 20
12 16 22 262 64
24
4
8 18
La salida tiene tres componentesde frecuencia (2, 4 y 6 KHz), la
entrada solamente dos (2 y 6KHz).
La salida tiene tres componentes
de frecuencia (2, 4 y 6 KHz), la
entrada solamente dos (2 y 6KHz).
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Comentario
El submuestreo provocaque un componente con
frecuencia alta se hagapasar por otro con unafrecuencia menor.
Note que una vez ocurre,no existe forma deerradicarlo.
Otra forma de verlo es que
las muestras describenmejor a un sinusoide defrecuencia menor.
t
Alias
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Impacto de filtros prImpacto de filtros prcticoscticos
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La seal a la salida del filtro pasa bajos incluye acomponentes de frecuencia mayor.
El efecto es similar al de alias excepto que ahora
frecuencias altas se hacen pasar como mayores y quedanen orden invertido. NO llame ALIAS a esto
Impacto de filtros prcticos
Sifs= 2B
BB
|X
(f)|
f0 fs 2fs
H(f)H(f)
Banda de
transicin del filtro
Banda detransicin del filtro
fs=2Bfs=2B
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Impacto de filtros prcticos
Si hace quefs> 2B
|X
(f)|
f0 fsBB fs-B
fs-B2fs
La seal a la salida del filtro pasa bajo ya NO incluye acomponentes de frecuencia mayor.
Esto obliga a muestrear a frecuencias mayores a las
requeridas por Nyquist. Sobremuestreo (over sampling)
H(f)H(f)
Banda de
transicin del filtro
Banda detransicin del filtro
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Ejemplos prcticos
Conociendo que los filtros ideales no existen, ensituaciones prcticas se hace sobre muestreo.
Telfono:Audio hasta 3.3 KHz
fs = 8 KHz, muestras codificadas como 8 bits.
CD-DA (Compact Disk - Digital Audio)Audio hasta 20 KHz
fs = 44.1 KHz, muestras codificadas como 16 bits.
DAT (Digital Audio Tape)Audio hasta 20 KHz
fs = 48 KHz, muestras codificadas como 16 bits.
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Muestreo prMuestreo prcticoctico
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Conversin analgico a digital
Generalmente asociamos muestreo con conversin deanalgico a digital (A/D).
Conversin A/D requiere pasos adicionales al muestreo.
x(t) Cuantifi-
cador
Cuantifi-
cador CodificadorCodificador
xd(n)x (nT)
Seal digitalSeal digital
MuestreadorMuestreador
fs
Seal
analgica
Seal
analgica Aproximar a
una amplitud
discreta
Aproximar a
una amplitud
discreta
Seal
analgica
muestreada
Seal
analgica
muestreada
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Aspectos prcticos del muestreo de
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26
Aspectos prcticos del muestreo de
seales analgicas
Los impulsos no existen.
Lo que podemos hacer es conmutar la seal a la razn que
dicte la frecuencia de muestreo. (Muestreo natural)
x(t) Cuantifi-
cador
Cuantifi-
cador CodificadorCodificador
xd(n)xn(nT)
Seal
analgica
conmutada
Seal
analgica
conmutada
Seal digitalSeal digital
MuestreadorMuestreador
fs
Seal
analgica
Seal
analgica
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Cul es la diferencia?
La forma de onda esdiferente.
La ecuacin quedescribe a lasmuestras esdiferente.
El filtro pasa bajostambin es diferente.
Este tema lo veremoscuando estudiemos
modulacin de pulsosms adelante en elcurso.
x
(t)
t
x
(t)
t0
muestra existe sobre unaventana de tiempo
muestra existe sobre una
ventana de tiempo
muestra existe solo en un
instante de tiempo
muestra existe solo en un
instante de tiempomuestreo impulsivomuestreo impulsivo
muestreo naturalmuestreo natural
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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InterpoladorInterpolador
Interpolacin se hace con filtros
Debe recordar que no existen filtros ideales. El proceso de reconstruccin no puede ser perfecto.
Siempre habr algo de error.
x(nT) x (t)
MuestrasMuestrasSeal
analgica
original
Seal
analgica
original
x
(t)
t0
x(t)
t0
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Desarrollo de la transformada deDesarrollo de la transformada de
Fourier discretaFourier discreta
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Motivacin
Si es posible hacer quex(t) est
representada adecuadamente porx(n)...
Se podr muestrear aX(f) y representarlo
adecuadamente por sus muestras?
De ser posible, esto significa que existeuna versin discreta de la transformada de
Fourier.
Provee una forma alterna de calcular aX(f) sinevaluar integrales o integrar numricamente.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Modelo conceptual
El proceso sera como se muestra abajo.
La aproximacin consiste en calcular los valores deX(f) de
manera muestreada, evaluada a intervalos uniformes defrecuencia.
x(t)MuestreadorMuestreador
Algoritmo
de DFT
Algoritmo
de DFT
Xk(n)xn(nT)
Seal
analgica
Seal
analgica Seal
analgica
muestreada
Seal
analgica
muestreada
DFTDFT
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Definicin de la Transformada de
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Definicin de la Transformada de
Fourier Discreta
Si {xn(n)} representa unconjunto deNmuestras
tomadas ax(t) espaciadascada Tsegundos
entonces definimos DFTcomo:
x(t)
t0 N-1
(N-1)T
n
{x(n)}
...
=
=1
0
/2)()(N
n
Nnkj
k enxkX
=
=1
0
/2)(1
)(N
k
Nnkj
kn ekXN
nx
La DFT inversa se define como:
1,...,2,1,0 = Nk
1,...,2,1,0 = Nn
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Espectro calculado bajo DFT
Note queXk(f) es elespectro de la seal
muestreada. Va a tener las mismascaractersticas deperiodicidad queencontramos previamente
bajo el teorema demuestreo.
x(t)
t0
{x(n)}
N-1
(N-1)T
n
...
=
=1
0
/2)()(N
n
Nnkj
k enxkX
|X
(k)|
fk0 fsB fs-B fs+B
...
(N-1)/NT(N-1)/NT1/NT1/NTEspectro tiene simetra para
la mitad de las muestras
Espectro tiene simetra para
la mitad de las muestras
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F t d
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Fuentes de error
Observe que a menos que{x(n)} contenga la totalidad
de las muestras, el cmputode la DFT se est haciendocon informacin incompletasobrex(t).
Entonces en el mejor de loscasos
NT
kfk
fXkX=
)()(
Pero esto no es prctico habra que observar la
totalidad de la existencia dela seal
significa procesar unacantidad infinita de datos
Acepte que es unaaproximacin y entienda
las consecuencias delerror.
Qu se puede hacer?
El error se reduce siN
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F i
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Frecuencias
La DFT solo puedeproducirle frecuencias
menores de 1/(2NT) Esto es consistente con el
Teorema de Nyquist.
Tambin debe notar que lasfrecuencias que aparecensolo pueden ser mltiplos de1/NT.
Six(t) contiene componentesde frecuencia concentradosentre las muestras deX(k),DFT no los puede mostrar.
Ejemplo: Tome una seal peridica y
tmele muestras que nocoincidan con un nmero
entero del periodo. Va a notar que una o ms
las frecuencias no aparecenen la DFT ya que nocoinciden con las muestras.
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E DFT
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Error en DFT
Note que el error en el espectro est en tratar de inferir quela DFT es idntica a la FT.
Esto es, asumir queXk(k) =X(f) cuandof=k/NT La DFT y la DFT-1 forman una pareja de transformadas
Esto es, xn(n)Xk(k) sin error.
El problema surge de quexn(n) =x(nT)(n/N)
donde (n/N) representa la ventana de tiempo (intervalo detiempo) sobre el cual se capturaron las muestras.
As que en realidadXk(k) =X(k/NT)*{(n/N)}
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FFT DFT
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FFT y DFT
FFT (Fast Fourier Transform) representa a un conjunto dealgoritmos que se han desarrollado para evaluar de
manera rpida y eficiente a
=
=1
0
/2)()(N
n
Nnkj
k enxkX
=
=1
0
/2)(1)(N
k
Nnkj
kn ekXN
nx
1,...,2,1,0 = Nk
1,...,2,1,0 = Nn
Paquetes matemticos como MATLAB incluyen laimplantacin de algoritmos para FFT por lo que usted nodebe tener que calcular la DFT por la ecuacin que ladefine.
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MATLAB FFT
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MATLAB FFT
Para calcular la FFT
utilizando MATLAB se
utiliza la instruccin:Y = fft(X)
donde
X: Nmuestras de{x(n)}
Y: Nmuestras de {Xk(k)}.
Note que la separacinentre muestras de
frecuencia es 1/NT.
0
{x(n)}
N-1
(N-1)T
n
...
|X
(k)|
f
k0 fsB fs-B fs+B...
(N-1)/NT(N-1)/NT
1/NT1/NT
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MATLAB y FFT
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MATLAB y FFT
Si necesita obtener otrasfrecuencias que no seanmltiplos de 1/NTentoncesdebe alargar la cadena paraefectos de FFT.
Esto es equivalente a rellenar
con ceros.Para hacer esto con MATLABdebe usar la instruccin
Y = fft(X,M)dondeMes el nuevo largo parala cadena dex(n)
Para buscar la DFTinversa utilice lainstruccin:
Y = fft(X)Y = fft(X,M)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ej l d d FFT
Ejemplo de uso de FFT
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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT
En este ejemplo se analizar una cadena de datos
que est mezclada con ruido. El objetivo es
determinar si es posible reconocer qu seal es laque est inmersa en el ruido.
La seal consiste de dos sinusoides (50 y120 Hz)
muestreados a 1 KHz El ruido es una cadena de nmeros generados al azar con
amplitud mxima de 2.
Este ejemplo est basado en otro mostrado en el
manual del estudiante de MATLAB.
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Ej l d d FFT
Ejemplo de uso de FFT
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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT
Solucin:
Primero debe generar la seal descrita
% Genere el vector de los valores de tiempot = 0: 0. 001: 0. 6
% Genere la seal
x = si n( 2*pi *50*t ) +si n( 2*pi *120*t ) ;% Aada el ruido a la sealy = x + 2*r andn( si ze( t ) ) ;
% Dibuje la grfica para ver como se vepl ot ( 1000*t ( 1: 50) , y( 1: 50) ) t i t l e( ' Si gnalCor r upt ed wi t h Zer o- Mean Random Noi se' )xl abel ( ' t i me ( mi l l i seconds) ' )
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Ej l d d FFT
Ejemplo de uso de FFT
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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT
La grfica de la seal con ruido resultante es:
Estdifcil
precisar que hay
algo mas queruido
Estdifcil
precisar que hay
algo mas que
ruido
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Ejemplo de so de FFT
Ejemplo de uso de FFT
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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT
% Ahora buscamos la FFT con 512 puntos
Y = f f t ( y, 512) ;
% El espectro de potencia esPyy = Y. * conj ( Y) / 512;
% Dibuje la grfica solo para la mitad de los puntos
% ya que el resto es redundante
% Genere la escala de frecuencias
f = 1000*( 0: 256) / 512;
pl ot ( f , Pyy( 1: 257) ) t i t l e( ' Fr equency cont ent of y' ) xl abel ( ' f r equency ( Hz) ' )
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Ejemplo de uso de FFT
Ejemplo de uso de FFT
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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT
La grfica del espectro es
Se puede
deber al
ruido o aerrores de
ventana
Se puede
deber al
ruido o a
errores de
ventana
Se pueden
ver las dos
frecuencias
originales
Se pueden
ver las dos
frecuenciasoriginales
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Importante
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Importante
DFT sirve para estimarla transformada de
Fourier continua Requiere que usted entienda las condiciones
sobre las cuales se calcula.
FT ve toda la seal. DFT solo puede ver unsegmento de la onda.
FFT no es otra transformada. FFT es un algoritmo para evaluar la DFT.
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Uso de DFT en este curso
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Uso de DFT en este curso
DFT es un caso especial de la transformada deFourier por lo que la primera retiene todas las
propiedades de la segunda. Utilizaremos la DFT como una forma rpida de
estimar numricamente el espectro de una seal.
En INEL 5307 Procesamiento Digital de Sealesse estudia en detalle el proceso de evaluacin dela DFT y FFT junto con tcnicas para reducir elerror de la aproximacin aX(f).
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Al completar estaAl completar esta leccileccinn
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Al completar estaAl completar esta leccileccinn
Usted debe ser capaz de:
Entender los requisitos que permiten el
muestreo de una seal y su reconstruccina partir de las muestras.
Entender las consecuencias del sub
muestreo de las seales. Reconocer los requisitos del filtro pasabajos en la reconstruccin de la sealoriginal.
Entender la utilidad y las limitaciones de latransformada de Fourier discreta (DFT).
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Para obtener mPara obtener ms informacis informacinn
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Para obtener mPara obtener ms informacis informacinn
Secciones 2.8 y 2.10 de Ziemer y Tranter
Pgina del curso:http://www.ece.uprm.edu/~jace
http://webct.uprm.edu
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http://www.ece.uprm.edu/~jacehttp://webct.uprm.edu/http://webct.uprm.edu/http://www.ece.uprm.edu/~jace7/23/2019 8_teorema Del Muestreo y La Transformada Discreta de Fourier
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2004-06 Derechos reservadosJorge A. Cruz Emeric
Universidad de Puerto Rico
Departamento de Ingeniera Elctrica y Computadoras
Mayagez, Puerto Rico 00681-9042
Prohibida la reproduccin sin el consentimiento del autor.
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