Despacho Optimo de la Generación
Flujo de Carga: Estimamos valores razonables de Pgen de las barras PV adicionalmente Pgen de la barra Slack es calculada por:
Despacho Optimo: Pgen de las barras PV e incluso de la slack se calculan tal que el costo total de la generación sea mínimo.
Función objetivo
Flujo de carga
Despacho
Min. costo
gn
iLDi PPP
1
maxmin PPP i
Costos de la generación.Límites min. y max.
ng , . . . . . 1,i i genPL
D
P
P
Datos de la red
slack slack *
gengen PP
no
FIN
ng , . . . . . 1,i i *
genP
si
slack) la va (no
i *
1-ng , . . . . . 1,igenP
Despacho Optimoo (más general)
Flujo de Carga Optimo
n
jjiijijjislack YVVP
1
)(cos||||||
Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad
El problema es minimizar la función costo:
) , . . . ,,( 21 nxxxf
Sujeta a restricciones de igualdad
k , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 ixxxg ni
Tales problemas pueden resolverse por el método de los multiplicadores de Lagrange. Se crea unafunción aumentada introduciendo un vector de k elementos :
k
iii gfL
1
Los valores de nxxx , . . . ,, 21 que minimizan f sujeto a la igualdad g son los que resuelven las siguientes ecuaciones:
0
01
ii
k
i i
ii
ii
gL
x
g
x
f
x
L
Ejemplo 7.1:
Hallar el mínimo de la función: 22),( yxyxf (cuadrado de la distancia del origen hasta x,y).
Sujeto a la restricción: 25)6()8(),( 22 yxyxg
25)6()8( 2222 yxyxL
Formamos la función de Lagrange:
025)6()8(
12)1(2 o 0)122(2
16)1(2 o 0)162(2
22
yxL
yyyy
L
xxxx
L
i
Las ecuaciones a resolver son:
En muchos problemas la solución directa no es posible por lo que las ecuaciones arriba sonresueltas iterativamente.
De las dos primeras ecuaciones, encontramos x e y:
1
8
x
1
86
y
Sustituyendo en la tercera ecuación resulta en:
0751
200
)1(
100)(
2
2
f
La que puede ser resuelta por Newton-Raphson:
)()()1(
)(
)()( )(
kkk
k
kk
y
ddf
f
CORREGIR
323 )1(
200
)1(
200
)1(
200)(
d
df
Empezando con un valor estimado de , un nuevo valor es encontrado. El proceso se repite en la dirección del gradiente decreciente hasta que f() es menor que un especificado. Este métodoes conocido como el método del gradiente.Para la función arriba el gradiente es:
Utilizar la función ‘te6ej1’ para resolver la ecuación de f(), luego calcular x e y.Hallar el mínimo o el máximo dependerá de la dirección del gradiente, ¿Para que rango deestimación inicial de hallaremos un mínimo y para cual un máximo?
Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad y restricciones de desigualdad
El problema es ahora minimizar la función costo:
) , . . . ,,( 21 nxxxf
Sujeta a restricciones de igualdad
k , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 ixxxg ni
Se trata de formular una extensión de los multiplicadores de Langrange a los efectos de incluirlas restricciones, este método generalizado se le conoce como condiciones necesarias de optimalidad deKuhn-Tucker. En la expresión abajo se incluye entonces un vector j de m elementos indeterminadosa los efectos de considerar las m restricciones de desigualdad:
m
jjj
k
iii ugfL
11
Y a restricciones de desigualdad
m , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 jxxxu nj
Siendo las condiciones necesarias las siguientes:
Ejemplo:
Hallar el mínimo de la función: 22),( yxyxf (cuadrado de la distancia del origen hasta x,y)
Sujeto a la restricción: 25)6()8(),( 22 yxyxg
Y a la desigualdad: 5)( xxu
m , . . . . 1,j para 0 & 0
m , . . . . 1,j para 0
k , . . . . 1,i para 0
n , . . . . 1,i para 0
iji
ji
ii
i
u
uL
gL
x
L
Si el problema no está planteado de la misma forma los signos de los multiplicadores podríasser diferentes:
)5(25)6()8( 2222 xyxyxL
Planteando
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
0 & 0)5(
05
025)6()8(
0)122(2
0)162(2
22
x
xL
yxL
yyy
L
uxxx
L
Si
5x o 05
025)6()8(
1
6 o 0)122(2
0)162(2
22
x
yxL
yyyy
L
uxxx
L
Las ecuaciones a resolver son:
Tenemos que:
3
222
1
72)(
01661
6 o 025)6()8()(
d
df
yxfL
Resolviendo por Newton-Raphson:
5
2
5.0
x
y
0 Sabemos que de la resolución de las tres primera ecuaciones que x=4 e y=3
Lo que viola la condición de desigualdad de la cuarta ecuación, por lo tanto de la quintaecuación se debe cumplir que: 05 x
COSTO OPERATIVO DE LAS CENTRALES TERMICAS
En todos los casos prácticos el costo del generador i puede ser representado como:
2 iiiii PPC
Una característica importante es la derivada del costo respecto a la potencia activa, lo que seconoce como costo incremental:
$/h
iiii
i PP
C
2
Pi MW
i
$/MWh
Pi MW
ng
1i
2i
ng
1ii11 C . . . . iiiingt PPCCCC
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange:
Y planteando las respectivas ecuaciones :
Despacho óptimo de las unidades de generación sin considerar pérdidas ni límites de generación.
C1
P1
C2
P2
Cng
Png
PD
Nuestra función objetivo es entonces:
Sujeta a la restricción:
ng
1iiPDP
)(1
ng
iiDt PPCL
0
0
L
P
L
i
La primera condición resulta en :
0)10(
i
t
P
C
Pero como :
i
i
i
t
ngt
dP
dC
P
C
CCCC
entonces
. . . . 11
La condición para el despacho óptimo:
1
:sgeneradore los todos Para
2 o
, ng, . . . . i
PdP
dCiii
i
i
todos los generadorestengan el mismo costoincremental
La segunda condición:
ng
1iiPDP
Método analítico de resolución:
i
iiP
2
Por un lado tenemos
Para cada generador (i=1,...,ng) se las conoce como ecuaciones de coordinación.
Tenemos que determinar el valor de , de la segunda condición:
ng
1i i
i
2
-
DP
De donde:
ng
i i
i
ng
i i
iDP
1
1
21
2
Ejemplo:
El costo total de tres plantas térmicas en $/h está dada por:
2333
2222
2111
009.08.5200
006.05.5400
004.03.5500
PPC
PPC
PPC
Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total PD es 800MW. Sin considerar pérdidas nilímites en la generación, encontrar el despacho óptimo y el costo total en $/h.
$/MWh 5.888.263
05.1443800
018.01
012.01
008.01
018.08.5
012.05.5
008.03.5
800
Sustituyendo en las ecuaciones de coordinación:
MW 400)004.0(2
3.55.81
P
MW 250)006.0(2
5.55.82
P
MW 150)009.0(2
8.55.83
P
El costo total es entonces:
$/h 5.6682)150(009.0)150(8.5200)250(006.0)250(5.5400)400(004.0)400(3.5500 222 tC
Interpretación gráfica:
P, MW
$/MWh
8.5
150 250 400
3.5004.02 11
1 PdP
dC
5.5006.02 12
2 PdP
dC
8.5009.02 13
3 PdP
dC
Ejemplo incluyendo límites en la generación:
El costo total de tres plantas térmicas en $/h está dada por:
225100
350150
450200
3
2
1
P
P
P
Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total PD es 975 MW. Los límites de generación son:
Sin considerar pérdidas, encontrar el despacho óptimo.
$/MWh 16.9
018.01
012.01
008.01
018.08.5
012.05.5
008.03.5
975
2333
2222
2111
009.08.5200
006.05.5400
004.03.5500
PPC
PPC
PPC
MW 483)004.0(2
3.516.91
P
MW 305)006.0(2
5.516.92
P
MW 187)009.0(2
8.516.93
P
P1 viola el ímite de Pmax, por lo que la “pego” al tope de 450MW y redespacho las otras dos
$/MWh 4.9
018.01
012.01
018.08.5
012.05.5
525
MW 325)006.0(2
5.54.92
P
MW 200)009.0(2
8.54.93
P
P, MW
$/MWh
9.16
187 305 483
3.5004.02 11
1 PdP
dC5.5006.02 12
2 PdP
dC
8.5009.02 13
3 PdP
dC
450
8.9
325
9.4
200
$/h 8228)187(009.0)187(8.5200)305(006.0)305(5.5400)483(004.0)483(3.5500 222 tC
El costo total sin considerar las restricción de P3:
Con la restricción:
$/h 8236)200(009.0)200(8.5200)325(006.0)325(5.5400)450(004.0)450(3.5500 222 tC
Despacho Económico Optimo Incluyendo Restricciones en la Generación y Pérdidas
Como ya hemos visto, en todoos los casos prácticos el costo del generador i puede ser representado como:
2 iiiii PPC
Por lo tanto, la función aminimizar(función objetivo) es:
ng
iiiii
ng
iit PPCC
1
2
1
Sujeta a la restricción de igualdad:
LD
ng
ii PPP
1
Y a las desigualdades:
ng , . . . . ,1 )()( iPPP maxiimini
ng
iminiimini
ng
imaxiimaxi
ng
iiLDt PPPPPPPCL
1)()(
1)()(
1
Usando los multiplicadores de Lagrange y los terminos adicionales para incluir las desigualdades:
Queda entendido que:)()(
)()(
cuando 0
y cuando 0
maxiimaxi
miniimini
PP
PP
o sea, si las restricciones de desiguladad no son violadas los correpondientes terminos no existen.
Una práctica común para incluir el efecto de las pérdidas de la transmisión es expresar laspérdidas totales de la transmisión como una función cuadrática de las potencias de las unidadesgeneradoras, cuya forma más general es:
001
01 1
BPBPBPP i
ng
ii
ng
ij
ng
jijiL
Se la conoce como la fórmula de Kron, y los coeficientes B son llamados coeficientes de pérdidas ocoeficientes-B, más adelante se presenta la obtención de los mismos.
Los valores de ng., . . . . 1,i iP que minimizan L son los que anulan las derivadas parciales:
0
0
0
0
)()(
)()(
miniimini
maxiimaxi
i
PPL
PPL
L
P
L
La primera condición, y resolviendo el problema sin considerar en primera instancia las restrccionesde desigualdad: resulta en:
010
i
L
i
t
P
P
P
C
como:
i
i
i
tngt dP
dC
P
CCCCC
entonces . . . . 11
la condición resulta en:
ng, . . . . . . 1,i
i
L
i
i
P
P
dP
dC
Incremental de perdidas de transmisión
Incremental del costo de generación
“Se activan” cuando alguna o algunas restricciones sonvioladas en uno o varios generadores:
Es común reordenarla como:
ng, . . . . . . 1,i 1
1
i
i
i
L dP
dC
PP
Factor de penalidad del generador i
o ng, . . . . . . 1,i i
ii dP
dCL
ij
ng
jij
i
L BPBP
P0
1
2
El incremental de las pérdidas de transmisión vale:
Además sabemos que:
iiii
i PdP
dC 2
Sustituyendo respectivamente en la expresión arriba
ij
ng
jijiii BPBP 0
1
22
iij
ng
ijj
ijiiii
i BPBPBP 0
1
12
1)(
Reordenando los término de la siguinete forma:
Extendiendo la ecuación arriba a todas las plantas resulta en el siguiente sistemalinear de ecuaciones representado en su forma matricial:
ngng
ng
ngngng
ngng
ng
ng
B
B
B
P
P
P
BBB
BBB
BBB
0
202
101
1
1
21
2222
21
112111
1
.
.
1
1
2
1
.
.
..
...
...
..
O en su forma abreviada: DPE .
En la práctica se resuelve: P=E \ D
De la segunda condición: LD
ng
ii PPP
1
Siendo: ).(2
2)1( 0
iii
ijjijii
i B
PBB
P
Sustituyedo, nos queda: LD
ng
i iii
ijjijii
PPB
PBB
1
0
).(2
2)1(
o: LD PPf )(
La resolvemos por Newton-Raphson, siendo entonces (0) la estimación inicial y (0) lapequeña desviación de la solución correcta tenemos:
LD PPf )( )0()0(
Expandiendo en series de Taylor hasta el término de primer orden:
)0()0()0(
)0( )()( LD PP
d
dff
o:
)0(
)0(
)0(
)0()0(
)
)(
ddP
P
ddf
P
i
finaemente: )0()0()1(
Y se repite el proceso hasta que: )(kP Es menor que un dado valor de precisión especificado.
ng
i iii
ijjijiiiiiing
i
i
B
PBBBP
12)0(
)0(0
1
)0(
).(2
2)1(
ng
iiLD PPP
1
)0()0(
00)0(
10
1
)0(
1
)0()0( BPBPBPP i
ng
ii
ng
ij
ng
jijiL
A partir de la segunda iteración los valores de P de las distintas unidades generadores se obtienendel sistema de ecuaciones lineares que resuelve la primera condición: P=E \ D
Una vez que converge se verifica si alguna máquina viola alguno de sus límites de generación, siesto es así, la o las unidades correspondientes pasan a generar un valor igual al límite que correspondiente, y se vuelve a entrar en el algoritmo de Newton-Raphson, siendo entonces los valoresde generación de estas máquinas parámetros dados y ya no incognitas.
Funciones matalb desarrolladas:
despacho.m - función principal donde se implementa el algoritmo presentado.
op2dat.m - función del estilo de red2.mat, desde donde se lee un archivo ascii con los datos de ls costos de las máquinas y sus límites operativos y se guardan en variables a ser usadas por las demás funciones.
costogen.m - cálculo del costo total de la generación.
costoB.m - se calcula los coeficientes B d la fórmula de Kron para el cálculo de las pérdidas en un sustema de transmisión..
daledes.m - rutina para corrida “facil” de la aplicación y realiza el procesos iterarativo flujo de carga despacho óptimo.
function[]=daledes(archivo,archivo2)
[N,pN,Barras]=red2mat(archivo);[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);global SbZbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus);[costo,mwlimites]=opt2dat(archivo2,N,pN,Barras);lambda=7;Pgg=Pg(pN(2,1):pN(3,1));[costototal]=costogen(Pgg,costo)[Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);while dpslack>0.001, [mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(Nopt,pN); [B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus); [Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);endtabbar[costototal]=costogen(Pgg,costo)save ejemplo5b.dat Nopt lambda PL Pgg -append
Si interesa salvar las variables hay que cambiar a mano el nombre del archivo
Ejemplo
Dado la red abajo, con los valores estimados de despacho de potencia reactiva, determinar el despacho óptimo.
V1=1.060°
|V2|=1.045
|V3|=1.03
30 MW
40 MW
1
2
3 4
520 MW10 MVar
20 MW15 MVar
50 MW30 MVar
60 MW40 MVar
0.08+j0.24
0.02+j0.06
0.04+j0.12
0.06+j0.180.06+j0.18
0.08+j0.24
0.01+j0.03
% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050
% DATOS PARA DESPACHO OPTIMO DE LA GENERACION% archivo: ejemplo5b % % BARRA C1 C2 C3 Pmin PmaxSlack 200 7.0 0.008 10 85Gen_1 180 6.3 0.009 10 80Gen_2 140 6.8 0.007 10 70
Coeficientes de la funcióncosto de la generación y límitesoperativos de los generadores
» daledes('ejemplo5b.m','ejemplo5b_opt.m')Flujo de carga no optimo Máximo error en la potencia = 0.058002 No. de Iteraciones = 4
Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -3.248 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -4.406 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -1.782 20.0 10.0 40.0 39.4 0.0 Gen_2 1.030 -2.664 20.0 15.0 30.0 23.3 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 83.0 7.3 0.0 Total 150.0 95.0 153.0 70.0 0.0
costototal =
1.6332e+003
Flujo de carga optimo Máximo error en la potencia = 0.0593484 No. de Iteraciones = 4
Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -1.199 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -2.717 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -0.270 20.0 10.0 69.8 28.3 0.0 Gen_2 1.030 -0.481 20.0 15.0 59.1 13.2 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 23.2 25.9 0.0 Total 150.0 95.0 152.1 67.3 0.0
costototal =
1.5973e+003
Método de Kron para obtenerlas perdidas del sistema en función de la potencia activa del parque generador:
[3]
:tenemos para oresolviend ,
:que sabemos Además
[2]
:sistema del totales perdidas las da barras las todas en potencias las de sumatoria La
[1]
:por dada es barra la en inyectada total potencia La
1
*
1
*
*
busbusbusbusbus
busbusbusbus
busT
bus
n
iiiLL
iiiii
IZIYV
VVYI
IVIVjQP
IVjQPS
i
Matriz impedancia
.impedancia matriz la de elementos los de imaginaria e real partes las y Siendo
[10] )(2
1
[9] )(2
1
:sigue como imaginario e real scomponente sus en
separadasser pueden perdidas las entonces real, es [8] de paréntesis del dentro cantidad La
[8] )(2
1
:como reescritaser puede [7] , es esto simétrica, es impedancia matriz la Como
[7]
:indexada notación usando expresadaser puede [6] expresión La
[6]
:valen totales perdidas las entonces , tanto lopor simétrica es
[5]
][
:[2] en [3] doSustituyen
1 1
**
1 1
**
1 1
**
1 1
*
*
*
*
ijij
n
i
n
jijjiijL
n
i
n
jijjiijL
n
i
n
jijjiijLL
jiij
n
i
n
jjijiLL
busbusTbusLL
busT
busbus
busbusTT
bus
busT
busbusLL
XR
IIIIXQ
IIIIRP
IIIIZjQP
ZZ
IZIjQP
IZIjQP
ZZZ
IZI
IIZjQP
[19] V
:tenemos cero, valiendo
corrientes demas las todas con n, barra la de saliente corriente la como definida es Si
[18] donde ,
V
:tenemos [17], en [14] doSustituyen
[17] V
:generación de corriente y carga de corriente de terminos en reescritaser puede [16] carga, con
barras de número definido ya el es y Sl),(PV generación de barras de numero el es Si
[16] . . . . V
:en resulta [3] ecuación la de línea última la oexpandiend slack, la es barra que Suponiendo
[15]
[14] , . . . . ,2,1
:total corriente la
de compleja constante fracción una comoexpresar puede se barra cada en corriente La
. entonces slack
yPV como PQ, barras tantoser pueden estas carga, con barras de total número el es Donde
[13] . . . . . . . . . . . . .
:carga de corrientes las todas de total suma la definimos generada, potencia
la de función en sistema del perdidas las para general formula unaobtener de forma De
[12]
:matricial forma la en O
[11]
:como expresadasser pueden real potencia de perdidas las , siendo ,Nuevamente
0n
0
11
11n
11n
2211n
21
*
1 1
*
IZ
I
ZlTTIIZ
ZlIIZ
IZIZ
nng
IZIZIZ
n
I
Il
nkIlI
SlPVPQn
n
IIII
IRIP
IRIP
RR
nn
n
knkkDgi
ng
ini
n
knkkDgi
ng
ini
Lk
n
knkgi
ng
ini
nnnnn
D
Lkk
DkLk
DLnLL
busijTbusL
n
i
n
jjijiL
jiij
[23] WW . . . WW
:tenemos sumatoria la oexpandiend y , WDefiniendo
[22]
:escribir podemos , Siendo
[21]
:tenemos [14], en doSustituyen
[20] 11
:tenemos para oresolviend y [18] en [19] doSustituyen
0nng2211
i
01
01
011
IlIlIlIlIIT
Z
IZT
lIZ
T
lII
III
IZT
lIZ
T
lI
I
IZT
IZT
I
I
kgnkgkgkgKK
ni
nnk
gi
ng
ini
kgKK
LKgKK
nnk
gi
ng
ini
kLK
D
ngi
ng
iniD
D
[25] ]][[][
:abreviada forma En
[24]
1
1
1
1
.....
.....
I
I
I
I
.
.
I
I
:matricial forma en O
0
1
2
3
123
11112131
22122232
33132333
22122232
11112131
n
-1n
2-n
3-n
2
1
gbus
gn
ng
ng
ng
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
ICI
I
I
I
I
I
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
PQ
PV+Sl
PV+Sl 1
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
n
n
n
n
nnnnn
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
l
l
l
l
l
l
WWWWW
C
1
1
1
1
.....
.....
1000
0100
0010
0001
.....
.....
0000
0000
C1
01000
00100
00010
00001
C2
:matrices siguientes las de producto
el como [24] expresión la de matriz laobtener nalcomputacio vista de punto del econvenient Es
123
11112131
22122232
33132333
22122232
11112131
1
2
3
2
1
123
C=C1 * C2
PV+Sl+1
PV+Sl+1
PQ
PV+Sl
*
*
**
*
**
**
1
Donde
[28]
o
[27]
1
:es generada corriente la , barra la en compleja potencia la es Si
[26]
] [
:[12] en [25] de doSustituyen
i
gi
gi
i
giigi
gii
gi
gi
i
gigi
i
gigi
gi
gbusTT
g
gbusT
gL
bus
V
P
Qj
PI
PV
P
Qj
V
jQP
V
SI
iS
ICRCI
ICRICP
I
[36]
12/2/2/2/
2/
2/
2/
2/
]1 [P
:[33] en ][ doSustituyen
[35]
2/2/2/2/
2/
2/
2/
2/
][
:sigue como daparticiona es ][
[34] ][ Donde
[33] ][ P
:real parte su de
obtenidas son real potencia de perdidas las compleja, es arriba ecuación la de resultante matriz La
[32]
][P
:[26] en [31] de ][ doSustituyen
[31]
:abrviada forma en O
[30]
10000
0000
0000
0000
0000
:en resulta [28], de columnavector al Agregando
n
-1n
2-n
3-n
00,01,02,03,0
,0,1,2,3,
1,0,11,12,13,1
2,0,21,22,23,2
3,0,31,32,33,3
n -1n 2-n 3-n L
00,01,02,03,0
,0,1,2,3,
1,0,11,12,13,1
2,0,21,22,23,2
3,0,31,32,33,3
**
*L
***
***T L
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
g
g
g
g
nnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
gggg
nnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
busTT
gTg
gbusTTT
g
gbusT
g
g
gg
ng
ng
ng
ng
n
n
n
n
ng
ng
ng
ng
P
P
P
P
BBBBB
BBBBB
BBBBB
BBBBB
BBBBB
PPPP
H
BBBBB
BBBBB
BBBBB
BBBBB
BBBBB
H
H
CRCH
PHP
PCRCP
PCRCP
I
PI
P
P
P
P
II
I
I
I
I
I
[37] ] [
] [P
O
00
n ,0
-1n ,0
2-n ,0
3-n ,0
n -1n 2-n 3-n
n
-1n
2-n
3-n
,1,2,3,
,11,12,13,1
,21,22,23,2
,31,32,33,3
n -1n 2-n 3-n L
B
B
B
B
B
PPPP
P
P
P
P
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
PPPP
gggg
g
g
g
g
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
gggg
Los coeficientes B son en valores pu, cuando la potencia está expresada en MW, los coeficientes B valen:
Bij= Bij pu/Sb, Boi= Boi , B00= B00 pu*Sb
Donde Sb son los MVA Base
Función coefB:
Esta función calcula los coeficientes de perdidads B, dada una red con su respectivoflujo de carga.
Argumentos de entrada:• Matriz pN puntera de la matriz N.• Resultado del flujo de carga:.• Matriz Zbus, inversa de Ybus
Argumentos de salída:• Coeficientes de perdidas B.• Perdidas totales en MW.
function[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)
global Sb;V=mv.*exp(j*deg2rad(an)); % Tensión compleja.Il=-1/Sb*(Pd-j*Qd)./conj(V); % Corrientes de carga en todas las barras.ID= sum(Il); % Sumatoria de las corrientes (ec. [13]).l=Il/ID; % Fracción de la corriente total (vector ec. [15]).sl=pN(3,1); % Ubicación de la barra slack.T=Zbus(sl,:)*l; % Cálculo de T (ec.[18]).nB=sl; % Número total de Barras.fPQ=pN(1,2); % Número de barras PQ.iPV=pN(2,1); % Ubicación inicio de las barras PV.ng=nB-fPQ; % Número total de barras de generación (Slack+PV).W(1:ng) = Zbus(sl,iPV:sl)/T; % Cálculo de w (arriba ec. [23], definiendo ...).C1gg=eye(ng,ng); % Sub matrices que se concatenan para armar C1.C1g=[zeros(fPQ, ng);C1gg];C1=[C1g,l]; % C1C2gD=[C1gg;-W]; % Sub matrices que se concatenan para armar C2.C2D=zeros(ng,1);CnD=[C2D;-W(ng)];C2=[C2gD,CnD]; % C2C=C1*C2; % Cal=(1-j*((Qg(iPV:sl)+Qsh(iPV:sl))./Pg(iPV:sl)))./conj(V(iPV:sl)); % Elementosal=al.'; % para armar la matriz alpha (ec. [28]).alp=[al, -V(sl)/Zbus(sl,sl)]; % Útimo elemento de la diagonal de la matriz alpha.alpha=diag(alp); % Obtención de la matriz alpha (segun ec. [30]).H = real(alpha*conj(C)'*real(Zbus)*conj(C)*conj(alpha)); % Cálculo de H (ec. [34]).B=H(1:ng,1:ng); % Partición de la matriz H conforme ecuación [36].B0=2*H(ng+1,1:ng);B00=H(ng+1,ng+1);PL = Pg(iPV:sl)'*(B/Sb)*Pg(iPV:sl)+B0*Pg(iPV:sl)+B00*Sb; % Perdidas totales (ec.[36]) % convirtiendo los valores pu de los coeficiente B.
1
Comentarios:
1 -
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
n
n
n
n
nnnnn
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
WlWlWlWlWl
l
l
l
l
l
l
WWWWW
1
1
1
1
.....
.....
1000
0100
0010
0001
.....
.....
0000
0000
C1
01000
00100
00010
00001
C2
123
11112131
22122232
33132333
22122232
11112131
1
2
3
2
1
123C1g
C1gg
C2gD C2D
CnD
Ejemplo
Dado la red abajo, calcular los coficientes B y las perdidas totales de la red.
V1=1.060°
|V2|=1.045
|V3|=1.03
30 MW
40 MW
1
2
3 4
520 MW10 MVar
20 MW15 MVar
50 MW30 MVar
60 MW40 MVar
0.08+j0.24
0.02+j0.06
0.04+j0.12
0.06+j0.180.06+j0.18
0.08+j0.24
0.01+j0.03
% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050
clear[N,pN]=red2mat('ejemplo5b.m');[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);Zbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)
B =
0.0228 0.0017 0.0093 0.0017 0.0179 0.0028 0.0093 0.0028 0.0218
B0 =
0.0031 0.0015 0.0003
B00 =
3.0523e-004
PL =
3.0525
Las perdidas totales de la red son de 3.0525 MW