Francisco A. Sandoval
Análisis Estadístico y
Probabilístico
2013 fralbe
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AGENDA
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Agenda
CAP. 4: Funciones de Variables Aleatorias
• Función de Variable Aleatoria Real – Funciones Constantes
– Funciones Biunívocas o difernciables
– Funciones Genéricas
• Funciones de Variables Aleatorias Reales – Funciones Constantes
– Funciones Biunívocas y Diferenciables
– Funciones Genéricas
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Objetivos
• Caracterización probabilística de las funciones
de variables aleatorias.
• Análisis de la FDP y fdp para las funciones de
v.a.
• Estudio de los casos: funciones constantes y
funciones biunívocas y diferenciables.
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FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL
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Función de Variable Aleatoria Real
• Recordando, una v.a. real se define: 𝑥: Ω ⟼ ℝ 𝜔 ⟼ 𝑥 𝜔
• Considere una función real 𝑔, definida sobre los reales, o sea:
𝑔: ℝ ⟼ ℝ
𝑥 𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔
• se analiza la función compuesta 𝑦 = 𝑔 o 𝑥, real con dominio en Ω asociada al mapa:
𝑦: Ω ⟼ ℝ
𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔 fra
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Función de Variable Aleatoria Real
• Significa que para todo 𝜔 ∈ Ω, se tiene un
valor real 𝑦 𝜔 = 𝑔(𝑥(𝜔)).
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Función de Variable Aleatoria Real
• Se concluye: si la función del conjunto 𝑦
obedece las condiciones de la Definición de
v.a.r., ella también será una v.a.
• Interesa determinar la fdp 𝑝𝑦(𝑌), asociada a la
v.a. 𝑦, en términos de 𝑔 y 𝑝𝑥(𝑋).
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Determinación de fdp 𝑝𝑦(𝑌)
• Se considera inicialmente que
𝑝𝑦 𝑌 = 𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 = 𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
∞
−∞
• Observe, que dado el valor de la v.a. 𝑥, por ejemplo 𝑥 = 𝑿, la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥) es una v.a. discreta que asume un único valor igual a 𝑔(𝑋). Esto permite expresar la fpd condicional del integrado como una función impulso, o sea
𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝑔 𝑋 − 𝑌)
es válida para todo 𝑋 ∈ ℝ y para toda 𝑌 ∈ ℝ. fralbe
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Determinación de fdp 𝑝𝑦(𝑌)
• Para valores de 𝑌 tales que 𝑌 ≠ 𝑔(𝑋) se tiene
que esta fdp condicional es nula.
Substituyendo las ec. anteriores:
𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
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FUNCIONES CONSTANTES
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Funciones Constantes
Se considera que la función 𝑔(𝑥) asume un único
valor 𝐺 para cualquier valor de 𝑥 en su
contradominio, o sea,
𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝐺
Por cuanto, la fdp condicional es
𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝐺 − 𝑌)
Y se reduce a:
𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝐺 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
= 𝛿(𝑌 − 𝐺) fralbe
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FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y DIFERENCIABLES
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Funciones Biunívocas y diferenciables
Se considera el caso particular en que 𝑔(𝑥) es biunívoca y diferenciable. Para determinar 𝑝𝑦 𝑌 se realiza cambio de variables
𝑍 = 𝑔(𝑋) Como 𝑔 es biunívoca y diferenciable, se tiene
𝑋 = 𝑔−1 𝑍 = (𝑍)
con 𝑔−1() representando la función inversa de 𝑔(), y
𝑑𝑋 = ′(𝑍) 𝑑𝑍
donde
′ 𝑍 =𝑑
𝑑𝑍(𝑍) fra
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Funciones Biunívocas y diferenciables
entonces, con el cambio de variables, 𝑝𝑦(𝑌) se escribe
𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑍 ′ 𝑍 𝑑𝑍𝐶𝑔
donde 𝐶𝑔 representa el contradominio de la función 𝑔.
Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual
𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑓 𝑍 𝑑𝑍 = 𝑓 𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝑎, 𝑏
0 ; 𝑌 ∉ 𝑎, 𝑏
𝑏
𝑎
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Funciones Biunívocas y diferenciables
Se obtiene:
𝑝𝑦 𝑌 = 𝑝𝑥 𝑌 ′𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔
observando que
′ 𝑌 =1
𝑔′ 𝑌
se obtiene, finalmente
𝑝𝑦 𝑌 =
𝑝𝑥 𝑋
𝑔′ 𝑋 𝑋=ℎ 𝑌 =𝑔−1(𝑌)
; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔
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Funciones Biunívocas y diferenciables
Considerando la definición 1:
𝑝𝑦 𝑌 =𝑝𝑥 𝑋
𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌
𝕝𝐶𝑔(𝑌)
Definición 1: Función indicadora de un conjunto A Sea 𝐴 ⊂ Γ un subconjunto de elementos 𝛼, 𝛼 ∈ Γ. La función Indicadora 𝕝𝐴(𝛼) del conjunto 𝐴 es
𝕝𝐴 𝛼 = 1 ; 𝛼 ∈ 𝐴 0 ; 𝛼 ∉ 𝐴
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Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable
Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdp de 𝑦 puede ser directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominio de 𝑔 es el conjunto de los números reales.
𝑝𝑦 𝑌 =
1
2𝜋exp −
𝑋2
2
2
𝑋=
𝑌
2
= 1
2 2𝜋exp −
𝑌2
8 ; 𝑌 ∈ ℝ
Considérese una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1. Sea 𝑦 una v.a. definida a través de la función
𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
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Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión en los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que analíticamente la característica de tensión-corriente se escribe:
𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 ; 𝑥 < 0
𝑥 ; 𝑥 ≥ 0
determinar 𝑝𝑦(𝑌).
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Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable
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FUNCIONES GENÉRICAS
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Funciones Genéricas
• Funciones genéricas, seccionalmente continuas y diferenciables.
• El dominio 𝑔 es particionado en intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑁, tales que, en cada intervalo, 𝑔( ) sea constante o biunívoca y diferenciable.
• La función g(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 ,… , 𝑔𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en los intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑁 y con contradominio representados respectivamente por 𝐶𝑔1
, 𝐶𝑔2, … , 𝐶𝑔𝑁
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Funciones Genéricas
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Funciones Genéricas
• La función densidad de probabilidad de la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥), considerando las particiones 𝐼1, 𝐼2 , … , 𝐼𝑁 del dominio de 𝑔(𝑥), es dada por
𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝑹
= 𝛿 𝑔𝑖 𝑋 − 𝑌 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝐼𝑖
𝐴𝑖(𝑌)
𝑁
𝑖=0
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Funciones Genéricas
• La parte de 𝑝𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones 𝑔𝑖(𝑥) constantes (y iguales a 𝐺𝑖) son dadas por
𝐴𝑖 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼𝑖)𝐼𝑖
• La parte de 𝑝𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones
𝑔𝑖(𝑥) biunívocas y diferenciables, son dadas por
𝐴𝑖 𝑌 =𝑝𝑥 𝑋
𝑔𝑖′ 𝑋
𝑋=𝑔𝑖−1 𝑌
𝕝𝐶𝑔𝑖𝑌
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Funciones Genéricas
• Finalmente
𝑝𝑦 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥
𝑖∈𝒞
∈ 𝐼𝑖) + 𝑝𝑥 𝑋
𝑔𝑖′ 𝑋
𝑋=𝑔𝑖
−1 𝑌
𝕝𝐶𝑔𝑖𝑌
𝑖∈ℬ
donde
𝒞 = *conjunto de índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es constante
en 𝐼𝑖+ ℬ = *conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es biunívoca
y diferenciable en 𝐼𝑖+
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Ejemplo 3: Funciones Genéricas
Considere un limitador de tensión, cuya característica es presentada en la Figura. El valor 𝑥 representa la tensión de entrada del limitador y 𝑦 el valor de tensión en su salida. Si la tensión de entrada del limitador es una v.a. con fdp 𝑝𝑥(𝑋), determinar la fdp de la v.a. resultante 𝑦 en la salida del limitador.
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Ejemplo 4: Funciones Genéricas
Se desea encontrar la fdp 𝑝𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 > 0), donde
𝑥 es una v.a. doble exponencial de parámetro 𝑏, o sea
𝑝𝑥 𝑋 =𝑏
2exp(−𝑏|𝑋|)
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ALEATORIAS
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Función de Varias Variables Aleatorias
• Cuando se dispone de 𝑛 v.a. es usual representarlas por un vector aleatorio 𝑛-dimensional.
• 𝑛 v.a. 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 pueden ser representadas por un vector 𝑛-dimensional 𝒙 definido como una función del conjunto que atribuye un vector 𝑛-dimensional 𝒙(𝜔) a cada punto de muestra 𝜔 del espacio de muestras Ω.
• 𝒙 define el mapa:
𝒙: Ω ⟼ ℝ𝑛
𝜔 ⟼ 𝒙(𝜔) fra
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Función de Varias Variables Aleatorias
• Considere una función vectorial 𝑚-dimensional 𝒈, definida sobre el ℝ𝑛, o sea
𝒈: ℝ𝑛 ⟼ ℝ𝑚
𝒙 𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔
• Interesa analizar la función vectorial 𝑚-dimensional compuesta 𝒚 = 𝒈 ∘ 𝒙, con dominio en Ω, asociada al mapa
𝒚: Ω ⟼ ℝ𝑚
𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔
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Función de Varias Variables Aleatorias
• La fdp 𝑝𝒚 𝒀 asociada al vector aleatorio 𝒚, en términos de 𝒈 y 𝑝𝑥 𝑋 , es dada por
𝑝𝒚 𝒀 = ∞
−∞
… ∞
−∞
𝑛 integrales
𝑝𝒙𝒚 𝑿, 𝒀 𝑑𝑿
= ∞
−∞
… ∞
−∞
𝑛 integrales
𝑝 𝒚 𝒙=𝑿 𝒀 𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿
• dado el vector aleatorio 𝒙, por ejemplo 𝒙 = 𝑿, el vector aleatorio 𝒚 = 𝒈(𝒙) es un vector aleatorio discreto que asume un único valor igual a 𝒈(𝑿).
𝑝𝒚|𝒙=𝑿 𝒀 = 𝛿(𝒈 𝑿 − 𝒀) fralbe
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Función de Varias Variables Aleatorias
• Sustituyendo
𝑝𝒚 𝒀 = ∞
−∞
… ∞
−∞
𝑛 integrales
𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿
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FUNCIONES CONSTANTES
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Funciones constantes
• Considere que la función 𝒈(𝒙) asume un único
valor 𝑮 para cualquier valor de 𝒙 en su
contradominio, o sea
𝒚 = 𝒈 𝒙 = 𝑮
• Consecuentemente
𝑝𝒚 𝒀 = 𝛿 𝑮 − 𝒀 ∞
−∞
… ∞
−∞
𝑛 integrales
𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿
= 𝛿 𝒀 − 𝑮 fralbe
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FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y DIFERENCIABLES
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Funciones Biunívocas y diferenciables
• Un caso particular que merece atención es el de la función 𝒈 biunívoca y diferenciable en cada argumento.
• Para determinar la integral, se realiza cambio de variables
𝒁 = 𝒈(𝑿) • como 𝒈 es biunívoca y diferenciable en cada
argumento, se tiene que
𝑿 = 𝒈−1 𝒁 = 𝒉 𝒁 =
1 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛
2 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛
⋮𝑚 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛
𝒈−1 representa la función inversa de 𝒈( ) fralbe
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Funciones Biunívocas y diferenciables
• resolviendo el sistema de ecuaciones 𝒚 = 𝒈(𝒙) para 𝒙
𝑑𝑿 = 𝐽𝒉(𝒁) 𝑑𝒁
donde 𝐽𝒉(𝒁) denota el jacobiano de la transformación 𝒉(𝒁).
• Considerando el cambio de variables,
… 𝐶𝑔
𝑛 integrales
𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑝𝒙 𝒉 𝒁 𝐽𝒉 𝒁 𝑑𝒁
donde 𝐶𝑔 representa el cotradominio de la función 𝒈. fralbe
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Funciones Biunívocas y diferenciables
• Considerando la propiedad de la función
impulso, según la cual, para 𝒁 𝑛 −dimensional
… 𝒟
𝑛 integrales
𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑓 𝒁 𝑑𝒁
= 𝑓 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝒟 0 ; 𝒀 ∉ 𝒟
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Funciones Biunívocas y diferenciables
• se obtiene
𝑝𝒚 𝒀 = 𝑝𝒙 𝒉 𝒀 𝐽𝒉𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝐶𝒈
0 ; 𝒀 ∉ 𝐶𝒈
• observando también
𝐽𝒉 𝒀 =1
𝐽𝒈(𝒉(𝒀))
• se obtiene
𝑝𝑦 (𝒀) =
𝑝𝒙 𝑿
𝐽𝒈 𝑿
𝑿=𝒉 𝒀 =𝒈−1 𝒀
; 𝒀 ∈ 𝐶𝒈
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝒈
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Funciones Biunívocas y diferenciables
𝑝𝑦 𝒀 =𝑝𝒙 𝑿
𝐽𝒈 𝑿
𝑿=𝒈−1 𝒀
𝕝𝐶𝑔(𝒀)
donde 𝕝𝐶𝑔(𝒀) representa una función indicadora
de 𝐶𝑔. 𝐽𝑔(𝑿) denota el Jacobiano de la
transformación 𝒈(𝑿).
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FUNCIONES GENÉRICAS
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Funciones Genéricas
• La función 𝒈(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝒈1 𝑥 ,𝒈2 𝑥 ,… , 𝒈𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en las regiones 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑁 y con contradominios representados respectivamente por 𝐶𝒈1
, 𝐶𝒈2, … , 𝐶𝒈𝑁
.
• La fdp de la v.a. 𝒚 = 𝒈(𝒙) es dada por
𝑝𝒚 𝒀 = … ∞
−∞
∞
−∞
𝑛 integrales
𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿
fra
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Funciones Genéricas
𝑝𝒚 𝒀
= … 𝑅𝑖
𝑛 integrales
𝛿 𝒈𝑖 𝑿 − 𝒀 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿
𝐴𝑖(𝒀)
𝑁
𝑖=1
Las porciones que corresponden a las funciones
𝒈𝑖(𝒙) constantes (y iguales a 𝑮𝑖) son dadas por fralbe
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Funciones Genéricas
𝐴𝑖 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 … 𝑅𝑖
𝑛 integrales
𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿
= 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖)
• Las porciones que corresponden las funciones
𝒈𝑖(𝒙) biunívocas y diferenciables serán dadas por
𝐴𝑖 𝒀 =𝑝𝑥 𝑿
𝐽𝒈𝑖𝑿
𝑿=𝒈𝑖
−1 𝒀
𝕝𝐶𝒈𝑖(𝒀)
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Funciones Genéricas
• Finalmente
𝑝𝒚 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖)
𝑖∈𝒞
+ 𝑝𝒙 𝑿
𝐽𝒈𝑖𝑿
𝑿=𝒈𝑖−1 𝒀
𝕝𝐶𝒈𝑖(𝒀)
𝑖∈ℬ
𝒞 = *conjunto de índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es constante en 𝑅𝑖+
ℬ = *conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es biunívoca y diferenciable en 𝑅𝑖+ fra
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REFERENCIAS
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Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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