1
3.1 ANÁLISIS VECTORIAL(31_CV_T_v14; 2005.w21.3; 1/2 C23 & 1/2 C24)
1. Introducción: vectores, bases y productos
objeto con dirección & magnitud que existe en el espacio
Si añadimos un sistema cartesiano de coordenadas con vectores base
i1, i
2, i
3{ } ⇔ i , j, k{ }
v = v1i1
+ v2i2
+ v3i3
= vxi + v
yj + v
zk
v = vgi1( ) i
1+ vgi
2( ) i2
+ vgi3( ) i
3⇐ base ON
v = vgi1i1
+ vgi2i2
+ vgi3i3
• producto escalar o interno
ugv = u v cosθ = u
1v
1+ u
2v
2+ u
3v
3← base ON
• producto vectorial
u ∧ v = u v senθe⊥ = (área) e⊥
u ∧ v =i1
i2
i3
u1
u2
u3
v1
v2
v3
u ∧ v = u2v
3− u
3v
2( ) i1
+ u3v
1− u
1v
3( ) i2
+ v1v
2− u
2v
1( ) i3
• Los productos son lineales
ug v + w( ) = ugv + ugw u ∧ v + w( ) = u ∧ v + u ∧ w
v
�
ˆ i 1
�
ˆ i 2�
ˆ i 3
v
v
uθ
v
u
e⊥ base ON
2
el producto escalar es conmutativo: ugv = vguel producto vectorial no lo es: u ∧ v = −v ∧ u ← determinante cambia de signo si
intercambiamos filas.
• Triple producto escalar
u ∧ vgw = u
2v
3− u
3v
2( ) w1
+ u3v
1− u
1v
3( ) w2
+ v1v
2− u
2v
1( ) w3
u ∧ vgw =w
1w
2w
3
u1
u2
u3
v1
v2
v3
= −u
1u
2u
3
w1
w2
w3
v1
v2
v3
= − w ∧ v( )gu =u
1u
2u
3
v1
v2
v3
w1
w2
w3
= v ∧ w( ) • u = ug v ∧ w( )
volumen = (área)
h( ) = u ∧ v( )gw
• Triple producto vectorial
u ∧ v ∧ w( ) = ugw( ) v − ugv( ) w
2. Ejemplos de producto interno & vectorial• energía cinética
T =
1
2mv2 dT
dt=
1
2m 2v
dv
dt
= mdv
dtv = Fv
en 2D:
T =
1
2m v
x2 + v
y2( ) dT
dt= mv
x
dvx
dt+ mv
y
dvy
dt= m
dvx
dtv
x+ m
dvy
dtv
y
Si F = F
xi + F
yj v = v
xi + v
yj
dT
dt= F
xv
x+ F
yv
y= Fgv
Si T =
1
2mv2 =
1
2mvgv
dT
dt=
1
2m
d
dtvgv( )
• Torca: t = r ∧ F• Fuerza de una partícula (carga q & vel v) en campo magnético: F = qv ∧ B
∧!Ä!•
e⊥
v
u
w h = w cosθ
2vg
dv
dt
3
3. Sistemas de coordenadas
Vector: Objeto con dirección & magnitud que existe en el espacio aunque noesté definido un sistema de coordenadas.
Si tenemos un sistema de coordenadas con base
g1, g
2, g
3{ } vg ⇔ v1,v2 ,v3{ } componente del vector v en base
g
1, g
2, g
3{ } v
g = v = vi gi
= v1g1
+ v2 g2
+ v3g3 (índice repetido ⇒ suma)
Tres notaciones:• directa: v• indicial: v
c
• mixta: v = vi gi
Cuatro bases:• base natural:
g
1, g
2, g
3{ } (vectores base tangente a coord.)
• base física natural
e1, e
2, e
3{ } (vectores adimensionales
ei
=g
i
gi
)
• base recíproca
g1, g 2 , g3{ } ∋ g i ggk
= δki (vectores ⊥ a coord.)
• base física recíproca
e1, e2 , e3{ } (vectores adimensionales
ei ≡g i
g i)
Cuatro tipos de componentes:
v = vi g
i= v i( )e
i= v
ig i = v
i( )ei
• vi - componentes contravariantes
• vi( ) - componentes físicos contravariantes
• vi - componentes covariantes
• v
i( ) - componentes físicos covariantes
Si las coordenadas son OG, las dos bases físicas coinciden en una sola base.
4. Resumen de coordenadas
v
�
ˆ g 1�
ˆ g 2θ3
θ1
θ2
�
ˆ g 3
no haysuma
componentes con dimensiones físicas
i.e. velocidad = L
T( )
�
ˆ g 1�
ˆ g 2θ 3
θ 1
θ 2
�
ˆ g 3
x2
x1
x3
�
ˆ i 1
�
ˆ i 2�
ˆ i 3r
Tx (x → θ ) : θ i = θ i x1,x2 ,x3( )Tx (θ → x) : xi = xi θ1,θ 2 ,θ 3( )Tx 2-D:
xα = xα θ1,θ 2( ) α = 1,2
x3 ≡ θ 3
4
∂r
∂θ k= g
k=
∂r
∂xm
∂xm
∂θ k⇒ g
k=
∂xm
∂θ kim
ek
=g
k
gk
g k ggj
= δjk ek =
g k
g kTMF = g
ij( ) = glgg
j( )coordenadas OG:
g
kgg
j= δ
ij ; se define h
k≡ g
k
ek≡ ek (coinciden bases físicas);
TMF = gij( ) =
h12 0 0
0 h22 0
0 0 h32
g k gg
k= 1 = ek g k ge
kg
k= 1 = g k g
k
g k =1
gk
=1
hk
⇒ ek = hk
g k
ek =g k
g k= h
kg k = e
k=
gk
hk
⇒ g k =g
k
hk2
∴ ek
= ek =g
k
hk
v = vk gk
= vkg k = v(k )e
k= v
(k )ek ⇒
vk =v
k
hk2
=v(k )
hk
=v
(k )
hk
vk
= hkv
(k )
Ejemplo: coordenadas Cilíndricas
θ1,θ 2 ,θ 3{ } ⇔ r,θ , z{ } son coordenadas OG 2-D
θ1 = r = x1( ) + x2( )2= x2 + y2
θ 2 = θ = tan−1 x2
x1= tan−1 y
xθ 3 = z = x3 = z
x1 = x = θ1 cosθ 2 = r cosθ
x2 = y = θ1senθ 2 = rsenθ x3 = z = θ 3 = z
g
1=
∂xm
∂θ1lm
=∂xm
∂rim
=∂x1
∂ri1
+∂x2
∂ri2
+∂x3
∂ri3
g
1= cosθ i + senθ j; h
1= g
1= cos2 θ + sen2θ = 1
g
2= −rsenθ i + r cosθ j; h
2= g
2= r 2sen2θ + r 2 cos2 θ = r
g
3=
∂xm
∂θ 3im
=∂xm
∂zim
= i3
= k g3
= 1
5
∴ h
1= 1 h
2= r h
3= 1
g 1 =
g1
h12
= g1
g 2 =g
2
h22
= −senθ
ri +
cosθr
j
g3 =
g3
h32
= g3
= k
e
r= e
1= e1 =
g1
h1
= g1
eθ = e2
= e2 =g
2
re
z=
g3
1= k
Componentes físicos: v
r,vθ ,v
z
v(1) ≡ v
(1)≡ v
rv(2) ≡ v
(2)≡ vθ v(3) ≡ v
(3)≡ v
z
v1 =v
r
1v
1= 1v
r
v2 =vθ
rv
2= rvθ
v(2) = v(2)
= vθ
v3 = v3
= vz
v1 = v
1= v(1) = v
(1)≡ v
r v3 = v
3= v(3) = v
(3)= v
z
TMF = gij( ) =
1 0 0
0 r 2 0
0 0 1
TMF −1 = gij( ) =
1 0 0
01
r 20
0 0 1
5. CamposAsí como r(t) describe la posición de una partícula en el espacio, si tenemos un númeroinfinito de partículas, una en cada punto del espacio, tenemos un campo.
• Campo escalar φ(x,y,z): para cada punto φ (un escalar) toma un valor dado• Campo vectorial w(x,y,z): para cada punto tenemos definido un vector• Campo tensorial σ(x,y,z): para cada punto tenemos definido un tensor
6. Leyes de transformación para componentesSi φ es un escalar φ(x1,x2 ,x3) = φ(θ1,θ 2 ,θ 3) ⇒ Ley de transformación de escalares
Si w es un vector w(x1,x2 ,x3) = w(θ1,θ 2 ,θ 3)
Si σ es un vector σ (x1,x2 ,x3) = σ (θ1,θ 2 ,θ 3)
Recordemos que g
i=
∂xk
∂θ iik donde gi
está asociado al sistema θi
ik está asociado al sistema xk
6
∴ g
i(θ ) =
∂xk
∂θ ig
k(x)
Podemos “despejar” gk(x) si multiplicamos por
∂θ i
∂xm
⇒ ∂θ i
∂xmg
i(θ ) =
∂θ i
∂xm
∂xk
∂θ ig
k(x) = δ
mk g
k(x) = g
m(x)
↑ ↑inversa de la matriz del jacobiano & matriz del jacobiano
∴ g
i(θ ) =
∂xk
∂θ ig
k(x) g
m(x) =
∂θ i
∂xmg
i(θ )
w(θ ) = wi (θ )g
i(θ ) = w(x) = wm(x)g
m(x) = wm(x)
∂θ i
∂xmg
i(θ ) ⇒ wi (θ ) − wm(x)
∂θ i
∂xm
g
i(θ ) = 0
∴ wi (θ ) =
∂θ i
∂xlwl (x) Ley de transformación contravariante
Para los componentes covariantes
w
i(θ ) =
∂xm
∂θ iw
m(x)
Para tensores:
σ ij (θ ) =
∂θ i
∂xa
∂θ j
∂xbσ ab(x) contravariante-contravariante
σ
ji (θ ) =
∂θ i
∂xa
∂xb
∂θ jσ a
b(x) contravariante-covariante
σ
ij (θ ) =
∂xa
∂θ i
∂θ j
∂xbσ
ab(x) covariante-contravariante
σ
ij(θ ) =
∂xa
∂θ i
∂xb
∂θ jσ
ab(x) covariante-covariante
Para subir y bajar índices (en un sistema de coordenadas dado)
σij = gikσ
kj
σ
ij= g
ikσ
jk = g
ikg
jeσ ke
g
ij( ) = TMF gij( ) = TMF −1
7
Ejemplo: coordenadas Cilíndricas
θ1,θ 2 ,θ 3{ } ⇔ r,θ , z{ } son coordenadas OG 2-D
w
i(θ ) =
∂xm
∂θ iw
m(x)
w
i(r,θ , z) =
∂xm
∂θ iw
m(x, y, z)
Primer componente:
h
1
1w
r≡ w
1(r,θ , z) =
∂x
∂rw
1(x, y, z) +
∂y
∂rw
2(x, y, z) +
∂z
∂r
0
w3(x, y, z)
w
r=
∂x
∂r(1w
x) +
∂y
∂r(1w
y) = w
xcosθ + w
ysenθ
Segundo componente:
h
2
rwθ = w
2(r,θ , z) =
∂x
∂θ(1w
x) +
∂y
∂θ(1w
y) = −rsenθ w
x+ r cosθ w
y
wθ =
1
r−w
xrsenθ + w
yr cosθ( ) ⇒ wθ = −w
xsenθ + w
ycosθ
Tercer componente:
wz≡ w
z
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