8/18/2019 20 Generación de Números Aleatorios y Prubas de Aleatoriedad
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Simulación de Sistemas – Semestre 2008-1
Simulación de SistemasGeneración de Números y Variables Aleatorias
Tomado de In ! "duardo#arba$al %!
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Agenda
Generación de números y variables aleatorias1! Generación de Números Aleatorios2! &ruebas de aleatoriedad!'! Variables aleatorias discretas( )ernoulli* )inomial* &oisson!+! Variables aleatorias continuos( ", onencial* Trian ular*
Normal* #.i #uadrado* /eibull!! &ruebas de bondad de a$uste( olmo oro - Smirno y #.i
cuadrado 3 χ 24
%ecturas( Ross, Cap. 3, 4 y 5)an5s* #a ! 8 y 6%a7* #a !
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Son la .erramienta ara enerar e entos de ti orobabil9stico* se em lean en modelos :ue tienen ariablesestoc;sticas! "n estos modelos em learemos númerosaleatorios uni
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1! Tienen una distrib'ción 'ni-orme con ar;metros aB 0y b B1 !
Generación de Números AleatoriosCaracter sticas de los NúmerosAleatorios
/'nción dedensidad0
media0
istrib'ción2ni-orme
varian a0
2! "stad9sticamente inde endientes'! Su eriodo o ciclo de ida debe ser lar o
"ntonces como @i es uni
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+! >eben ser enerados a tra Ds de un mDtodo r; ido
Generación de Números AleatoriosCaracter sticas de los NúmerosAleatorios
! >eben ser enerados a tra Ds de un mDtodo :ue no
re:uiera muc.o uso de memoria ni almacenamiento!
;ara c'mplir con estas caracter sticas el es
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Generación de Números Aleatorios#rrores posibles en la generación de losNúmeros Aleatorios
%os números enerados no est(n 'ni-ormementedistrib'idos !%os números enerados son discretos en lu ar decontinuos!
%a media de los números enerados es m'y alta o ba=a !%a varian a de los números enerados es m'y alta oba=a.%os números enerados e+>iben variación c clica 3autocorrelación entre los números* números sucesi os muc.om;s altos o ba$os :ue el adyacente* arios números sobrela media se uidos de otros ba$o la media4!
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;rovisión#+terna
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación
Caracter sticas"s un mDtodo de eneración r(pido !
#s posible determinar una secuenciade números enerada anteriormente!>e ende de una
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Generación/ sica
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación
Caracter sticas"s un mDtodo de eneración lento !?mposible re roducir una sec'encia de números eneradaanteriormente!&odr9an roducir números realmente aleatorios
Se eneran números aleatorios em leando al úninstrumento
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Generación @atem(tica
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación
Se em lean al oritmos matem;ticos ara crear relacionesde recurrencia en la secuencia de números enerados
Caracter sticas"s un mDtodo de eneración r(pido !
#s posible determinar una secuencia denúmeros enerada anteriormente!
&roduce números seudo aleatorios
@e isaremos al unos acontinuación
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@ todo del @edio C'adrado @id :
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@ todo del @edio C'adrado @id :
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@ todo del @edio C'adrado @id :
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@ todo del @edio ;rod'cto @id ;rod'ct @et>od6
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#n general entonces0Se multi lican los números i81 y iJ y se e,traen los 5 d9 itosmedios ara
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@ todo del @edio ;rod'cto @id ;rod'ct @et>od6
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#=emplo0
:emill
a
;aso10
Tienen + d9 itos! &or tanto 5 B +
;aso!0 Tiene 8 d9 itos! &or tanto cum le la
condición de tener 25 d9 itos* no esnecesario a re ar ceros a laiE:uierda
;aso30
@e itiendo nue amente los asos se enerar9an lossi uientes números seudo aleatorios
:emilla
adicional63750 = X 3721'0 = X
8395.073839526 2102
=⇒= R
X
X X
75721323
1
0'0
X
X X =
7213.075721323 10'0
1
=⇒= R
X
X X
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@ todo del @edio ;rod'cto @id ;rod'ct @et>od6
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
Caracter sticas
)astante similar al mDtodo del edio #uadradoDtodo con pobres propiedades estad sticas.
%a Hsemilla debe ser esco ida cuidadosamente!;roblema0 Si en al ún momento se obtiene unnúmero de H5 d9 itos* los cuales eneran al serele ados al cuadrado* un número donde los H5d9 itos medios son cero* la secuencia de números
se degenera !
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F cnica de m'ltiplicación por 'na ConstanteConstant @'ltiplier @et>od6
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#n general entonces0Se multiplica cada númeroXi por la constanteC y se extraen los k dígitos medios paraformarXi+1
1! "sco er dos números iniciales0 una semilla o con D d9 ito yuna constante C!
2! Se m'ltiplican dic.os números y se e,traen los 5 d9 itos mediosde la multi licación! %os cuales
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#=emplo0
:emill
a
;aso10
%a semilla tiene + d9 itos! &or tanto 5B +
;aso!0 Tiene 8 d9 itos! &or tanto cum le la
condición de tener 25 d9 itos* no esnecesario a re ar ceros a laiE:uierda
;aso30
@e itiendo nue amente los asos se enerar9an lossi uientes números seudo aleatorios
Constant
e
F cnica de m'ltiplicación por 'na ConstanteConstant @'ltiplier @et>od6
63750 = X 3721=C
8395.073839526 212
=⇒= R
X
CX
7213.075721323 101
=⇒= R
X
CX
757213231
0
X
CX =
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
Caracter sticas
)astante similar al mDtodo del edio #uadradoDtodo con pobres propiedades estad sticas.
%a Hsemilla debe ser esco ida cuidadosamente!;roblema0 Si en al ún momento se obtiene unnúmero de H5 d9 itos* los cuales eneran al serele ados al cuadrado* un número donde los H5d9 itos medios son cero* la secuencia de números
se degenera!
F cnica de m'ltiplicación por 'na ConstanteConstant @'ltiplier @et>od6
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Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6
Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
HI:#R"AC?JN0mod es la 0, m > a, m > c, m > Z 0;ara obtener los aleatorios R i se divide K i entre m
1,.......,2,1,0,mod)(1
−=+=+
mimca Z Z ii
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
Caracter sticas
"s el enerador m(s 'tili ado !&roduce una sec'encia periódica o c9clica denúmeros aleatorios!Se deben enerar secuencias de er9odo com leto!Se deben de escoger las constantes a, c y m *de modo :ue generen sec'encias de per odo
completo !
Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#=emplo 10 mód'lo m &m'ltiplicador a 5incremento c %semilla Zo 4
;ar(metros0Generamos entonces aleatorios em leandoel G#%(
Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6 GeneradorC 0 Z i+1 5 Z i + 7 ) mod 8
n 35 Z i + 7 ) Z i+1 B 3 5 Z i + 7 ) mod 8
R i
1 K+L !% 2 mod 8 3 '?8 $.3%5
!
3
4
5
)
K'L !! 22 mod 8 ) ?8 $.%5$
K L 3% ' mod 8 5 ?8 $.)%5
K L 3! '2 mod 8 $ 0?8 $
K0L % mod 8 % ?8 $.&%5
K L 4! +2 mod 8 ! 2?8 $.!5$
% K2L 1% 1 mod 8 1 1?8 $.1!5
& K1L 1! 12 mod 8 4 +?8 $.5$$
L K+L !% 2 mod 8 3 '?8 $.3%5
"ste G#% ermite enerar 8 númerosaleatorios antes de re etir el rimero! Su
eriodo es 8 y es i ual al módulo m B 8* se lellama enerador de eriodo com leto
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
#=emplo !0 mód'lo m 1$m'ltiplicador a %incremento c %semilla Zo %
;ar(metros0Generamos entonces aleatorios em leandoel G#%(
Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6GeneradorC 0 Z i+1 7 Z i + 7 ) mod 10
n 35 Z i + 7 ) Z i+1 B 3 5 Z i + 7 ) mod 8 Ri
1 K L 5) mod 10 ) ?10 $.)$
!
3
4
5
K L 4L +6 mod 10 L 6?10 $.L$
K6L %$ 0 mod 10 $ 0?10 $
K0L % mod 10 % ?10 $.%$
K L 5) mod 10 ) ?10 $.)$
"ste G#% ermite enerar + númerosaleatorios antes de re etir el rimero! Su
eriodo es + y es ?/#R#NF# al módulo m B10* or tanto no es de eriodo com leto
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
Feorema de M'll y obell para GC
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
HI:#R"AC?JN0"l Generador #on ruencial ulti licati o es en realidad un casoes ec9=co del Generador #on ruencial %ineal cuando el incremento3 c 4 es i ual a cero! ;odemos observar
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Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica
Feoremas para eterminación de par(metros de 'n GC
Sea( , iL1 B 3a , i L c 4 mod 2 n
Feorema0 Generador con mód'lo ig'al a 'na potenciade !
;or e=emplo0
n B 8 m B 2 n B 2 8 B !5)
c im ar c B
;
5 B 2 a 1L+5 B 1 L +324 B L
Zi+1 9 Zi + 7 ) mod 256
Mn enerador donde c B $, n B 1 * si c es im ar y el
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%as ruebas de aleatoriedad son ruebas dise adas araase urar :ue se cum lan las ro iedades de 'ni-ormidade independencia deseadas! Al unas son(
;r'ebas de AleatoriedadFipos de ;r'ebas
;r'eba de corridas o rac>as runs test 60Se utiliEa ara determinar la resencia anormal de ru os de númerosascendentes* descendentes* or encima del romedio* o or deba$o del
romedio!;r'eba de -rec'encia0Msa el mDtodo de olmo oro -Smirno o el mDtodo #.i-cuadrado aracom arar una distribución uni
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",isten dos(
;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas
;r'eba de corridas ARR?IA OAIAPH;r'eba de corridas ARR?IA O #IAPH # A@# ?A
Se eri=ca la aleatoriedad de los números* com robando :ue el
número de corridas sea una ariable aleatoria distribuidanormalmente! &ara eso se em lea una rueba de .i ótesis delti o(
2ni-ormidadO0 ( @i P M 30*14
O1 ( @i Q M 30*14
?ndependenciaO0 ( @i P inde endiente
O1 ( @i Q inde endiente
&ara ambas ruebas se debe es eci=car un ni el de si ni=canciaQ [email protected] .i ótesis nula dado :ue es erdadera – 0!01 o 0!0 4
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Número de corridas
;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas
#orrida( sucesión de e entos similares recedidos yse uidos or un e ento di
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e nición
;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y Aba=o
"sta rueba com rueba si el número total de corridas en lasecuencia de números aleatorios uede ser consideradacomo t9 ica o no!;rocedimient
o01! Se enera una secuencia de números seudoaleatorios!2! Si a un número le si ue otro mayor se le asi na un HL * si
el si uiente es menor se le asi na un H- !'! Se calcula a B número de corridas* cuya lon itud est; dada
or el número de si nos i uales :ue contiene4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y la
varianza están dadas por:
3
12 −=
N µ
9029162 −
= N
σ
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6. Se calcula la longitud de corrida “ a ”, como la cantidad de grupos designos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N !" , “ a ” sepuede apro#imar mediante una distri$uci%n normal . "l estad9sticode rueba ser;(
;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y Aba=o
;rocedimiento0
σ
µ −=
a Z 0
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e nición
;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y eba=o de lamedia
&sta prue$a nos permite veri'icar (ue los datos sigan una distri$uci%nuni'orme alrededor de la media te%rica de ".), de 'orma aleatoria
;rocedimiento01! Se enera una secuencia de números seudoaleatorios!
2! Si un número est; or encima de la media se le asi na unHL * si est; or deba$o se le asi na un H- !
!. Se calcula n * y n +, donde n 1 es el número de o$servaciones porencima de la media y n 2 el número de o$servaciones por debajo dela media
4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y lavarianza están dadas por:
)1(
)2(22
21212
−
−=
N
N
N
nnnnσ
212 21 +=
N
nn µ
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6. Se calcula la longitud de corrida “ b ”, como la cantidad de grupos designos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N !" , “ b ” sepuede apro#imar mediante una distri$uci%n normal . "l estad9sticode rueba ser;(
! Si SK$S B K18 7! entonces no e+iste evidencia s' cientepara decir
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