06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 1
DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS
Docente: Segundo Lizardo Gallardo Zamora
Trujillo-2015
FSICA AVANZADA
CINEMTICA - 1
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CINEMTICA-1
DESCRIPCIN VECTORIAL DEL MOVIMIENTO
El movimiento de una partcula sobre una determinada trayectoria,
con respecto de un sistema de referencia, se define mediante los
vectores posicin, velocidad y aceleracin instantneos.
Posicin. Si un mvil se mueve entre los puntos A y B sobre curva
general C ubicada en el sistema de referencia (X,Y,Z), podemos
definir su posicin instantnea en cada punto mediante un vector
posicin que es funcin del tiempo. Esto significa que:
1C 2
El vector posicin del punto A en
el instante t1 es
(t)= x1(t) + y1(t) + z1(t) (1)
A B
X
Y
Z
Figura 1
El vector posicin del punto B en
el instante t2 es
(t)= x2(t) + y2(t) + z2(t) (2)
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CINEMTICA-1
El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil entre A y B
es el vector
donde:
(x2 x1) = x, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje X.
(t) = (x2 x1) + (y2 y1) + (z2 z1) (4)
El extremo final de este vector describe, en el tiempo t = t2- t1, una
lnea entre los puntos A y B de la curva a la cual se denomina
trayectoria.
Usando las Ecs.(1) y (2) en (3) obtenemos:
(t) = - (3)
(y2 y1) = y, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje Y.
(z2 z1) = z, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje z.
(t) = x + y + z (5)Por lo tanto:
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CINEMTICA-1
Velocidad media o promedio.
Es el vector definido como el cociente del vector desplazamiento
entre el tiempo t transcurrido.
1C 2
A B
X
Y
Z
Figura 2
t
m = (6)
Esta relacin nos indica que el
vector velocidad media m esparalelo al vector desplazamiento
y, por lo tanto, secante a latrayectoria entre los puntos A y B,
como se muestra en la Fig.2.
Usando la Ec.(5) en la Ec.(6) tenemos
(7)x
t m = + +
y
t
z
tdonde:
= Vmx, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje X.
x
t
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Velocidad instantnea. Es el vector velocidad en un instante o punto
determinado de la trayectoria del mvil.
La velocidad instantnea en un
punto de la trayectoria, tal como A,
se determina haciendo el intervalo
de tiempo t tan pequeo como seaposible, de modo que el punto B se
aproxime cada vez ms al punto A,
tal como lo indican los puntos B,
B, de la Fig.3.
A
B
Figura 3
m
B
m
B m
Las unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, Km/h , Mill/h.
= Vmy, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Y.
y
t
= Vmz, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Z.
z
t
Por lo tanto (8) m = Vmz + Vmz + Vmz
CINEMTICA-1
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En este proceso, de acercar el punto B al punto A en intervalos de
tiempo cada vez ms pequeos, el vector desplazamiento , que essecante a la curva, cambia continuamente de magnitud y direccin, y
de igual manera lo hace la velocidad promedio m.
En el lmite, cuando B est muy cerca de A, el vector velocidad
instantnea ser un vector tangente a la trayectoria en el punto A.
En el lenguaje matemtico este proceso equivale a calcular el valor
lmite de la velocidad promedio cuando t tiende a cero.
= d
d t(10)
(9) = lim m = lim t
t 0 t 0
Este lmite, por definicin, es la derivada del desplazamiento
respecto al tiempo
Esta expresin indica que la velocidad instantnea es un vector que tiene la misma
direccin que el cambio instantneo de posicin y como la posicin cambia en la
direccin en la cual la secante se aproxima a la tangente en un punto, entonces, la
velocidad instantnea siempre ser tangente a la curva en cada punto.
CINEMTICA-1
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CINEMTICA-1
Usando la Ec. (7) en la Ec.(9) tenemos:
(11)x
t = lim + lim + lim
y
t
z
tt 0 t 0 t 0
Como los vectores unitarios son constantes, cada sumando,
por definicin, es una derivada.
Donde:
(12)dx
d t = + +
dy
d t
dz
d t
dx
d t= x ,es el mdulo de la componente de la velocidad
instantnea paralela al eje Xdy
d t= y ,es el mdulo de la componente de la velocidad
instantnea paralela al eje Y
dz
d t= z ,es el mdulo de la componente de la velocidad
instantnea paralela al eje Z
Por lo tanto: (13) = x + y + z
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CINEMTICA-1
V = Vx2 + Vy
2 + Vz2 (14)De mdulo:
El vector velocidad instantnea de la Ec. 13 se muestra en el grfico
de la Fig. 4 en el punto A de la curva, con sus respectivas
componentes en el sistema (X,Y,Z).
Figura 4
A
X
Y
Z
y
z
En el movimiento curvilneo la velo-
cidad, en general, cambia tanto en
direccin como en magnitud.
x
El cambio de direccin se debeal hecho de que la velocidad
instantnea es tangente a la tra-
yectoria en cada punto.
El cambio de magnitud de lavelocidad instantnea es porque
su valor aumenta o disminuye.
Estos cambios de velocidad relacionados con el tiempo determinan
dos tipos de aceleraciones en el mvil, que veremos ms adelante.
A
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CINEMTICA-1
Aceleracin media o promedio. Es el vector definido como el cocien-
te del vector cambio de velocidad entre el tiempo t transcurri-do.
t m = (15)
Para definir el vector cambio de velocidad , consideremos en la Fig. 5, la velocidad del mvil cuando pasa por A en el instantes t1 y luego la velocidad cuando pasa por B en el instante t2.
Figura 5
A(t1)
X
Y
Z
B(t2)
m
Entonces el cambio de veloci-
dad del mvil es el vector
Figura 6
= 2 - (16)
que grficamente est defini-
do en el tringulo de la Fig. 6.
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CINEMTICA-1
Segn la Fig. 6 y la definicin de la Ec.15, el vector aceleracin
media m es paralelo al cambio de velocidad el mismo queapunta en el sentido de concavidad de la curva como se ve en la
Fig.5. Por lo tanto, al dibujar m en la curva AB, debe estar dirigidaen el sentido de concavidad de la curva como se ve en la Fig.5.
Ahora usando la Ec. 13 definimos las velocidades en cada punto y
luego los restamos 2 = V2x + V2y + V2z
donde: (V2x V1x ) = Vx , es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje X.
(V2y V1y) = Vy , es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje Y.
(V2z V1z ) = Vza, es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje Z.
- 1 = - V1x - V1y - V1z
= x + y + z Por lo tanto: (18)
2 - 1 = (V2x-V1x ) + (V2y-V1y ) + (V2z-V1z ) (17)
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CINEMTICA-1
Reemplazando la Ec. 18 en la Ec.15, tendremos el vector
aceleracin media en funcin de sus componentes
m = + + x t
y t
z t
(19)
Cada sumando de esta expresin es la componente de la acelera-
cin media sobre cada uno de los ejes (X,Y,Z). Por lo tanto:
m = mx + my + mz (20)
Aceleracin Instantnea. Es el vector aceleracin en un instante o
punto determinado de la trayectoria del mvil.
Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
Matemticamente esta aceleracin se define como:
= lim m = lim t
t 0 t 0(21)
= d
d t(22)
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CINEMTICA-1
Segn esta expresin el vector aceleracin instantnea es un vector
en direccin del cambio instantneo en la velocidad. Como la velo-
cidad cambia en la direccin en la cual la trayectoria se curva, la ace-
leracin instantnea estar siempre apuntando hacia la concavidad
de la curva.
Usando la Ec. (19) en la Ec.(21) tenemos:
= lim + lim + lim Vx t
t 0
Vx t
t 0
Vx t
t 0
En esta expresin, el lmite de cada sumando es una derivada, ya
que los vectores unitarios son constantes.
dVxd t = + +
dVyd t
dVzd t
(23)
dVxd t
= x , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje X.
Donde:
dVyd t
= y , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje Y.
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CINEMTICA-1
Por lo tanto:(24) = x + y + z
En la Fig. 7 se muestra el vector aceleracin instantnea en el punto
A de la curva y sus respectivas componentes en el sistema (X,Y,Z).
Figura 7
X
Y
Z
A
= x 2 + x 2 + x 2 (25)
Segn la Fig.7, el mdulo de la
aceleracin es:
Ahora, si en la definicin de la acele-
racin instantnea (Ec.22) usamos la
definicin de la velocidad instant-
nea (Ec.10) se tiene
= = ( )d
d td
d t
d d t
dVzd t
= z , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje Z
A
x y z
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CINEMTICA-1
Segn la matemtica esto es la segunda derivada de la posi-
cin respecto al tiempo dos veces.
= d2
d t2
y si usamos: (t) = x(t) + y(t) + z(t)
Obtenemos: d2x
d t2 = + + (26)
d2y
d t2d2z
d t2
Esta expresin define cada una de las componentes de la acelera-
cin instantnea como la segunda derivada de las componentes de
la posicin, en cada eje, con respecto al tiempo dos veces.
= x , es el mdulo de la componente X de la aceleracin instantnea.d2x
d t2
= y , es el mdulo de la componente Y de la aceleracin instantnea.d2y
d t2
= z , es el mdulo de la componente Z de la aceleracin instantnea.d2z
d t2
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CINEMTICA-1
En general, en el movimiento curvilneo el vector velocidad instant-
nea y el vector aceleracin instantnea forman entre s diferen-tes ngulos en cada punto a lo largo de la trayectoria como se mues-
tra en la Fig.8. 1
P1 1
P2
P3
P4 P5
2 2
3 4
5 3
4
5
Figura 8
Componentes tangencial y normal de la aceleracin.
Para simplificar el anlisis consideremos el movimiento de una
partcula a lo largo de la curva plana C en el sistema (X,Y). Los
resultados que obtengamos de este anlisis son vlidos para el
movimiento a lo largo de cualquier curva.
En la Fig.9 que sigue, dibujamos los vectores velocidad yaceleracin instantneas en un punto A de la curva.
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CINEMTICA-1
Si por el punto A de la curva trazamos un eje perpendicular a la tan-
gente formamos un sistema local de coordenadas : Tangencial-
Normal (N,T) que acompaa al mvil en su recorrido por la curva.
A
C
Figura 9
T
Una componente tangencial T que estdirigida a lo largo de la tangente a la curva
que sigue el mvil. Esta aceleracin se
debe al cambio de magnitud de la
velocidad tangencial en el tiempo.
Una componente normal N dirigida hacia el centro decurvatura de la trayectoria, siguiendo el radio de curvatura
correspondiente. Esta aceleracin se debe al cambio de
direccin de la velocidad tangencial en el tiempo.
En este sistema local de coordenadas (N,T) el
vector aceleracin instantnea se puededescomponer en dos componentes que
tienen un significado bien definido.
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CINEMTICA-1
Sobre estos nuevos ejes consideremos los vectores unitarios T paralelo a la tangente y N paralelo a la normal.
TA
C
Figura 10
X
Y
Esto permite expresar la aceleracin en
la forma
= V T (27)
= = d
d t
d V Td t
(28)
Como el mdulo de la velocidad tangen-
cial V y el vector unitario T cambian conel tiempo, la derivada de la Ec. (28) es
= T + Vd V
d td Td t
(29)
N
Usando el vector unitario tangente pode-
mos expresar la velocidad tangencial en
la forma
Esta ecuacin se define mejor si consideremos que la porcin de
curva, en el punto A, es parte de una gran circunferencia cuyo
centro se encuentra ubicado en un punto muy lejano.
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CINEMTICA-1
1. La gran circunferencia de la Fig.
11 tiene su centro de curvatura
(C.C) en un punto muy lejano
con un radio de curvatura .
2. El vector unitario N normal ala curva en A est dirigido hacia
el centro de curvatura, como se
muestra en la Fig.11.
T
X
Y
A
C
Figura 11
N
Bajo estas consideraciones se
demuestra que:
d Td t
= NV
(30)
Introduciendo este resultado en la
Ec. (29) se tiene:
= T + Nd V
d t(31)
V2
Ver pag.104,105, Fsica, Vol.I, Mecnica, Alonso- Finn.
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CINEMTICA-1
Donde:d V
d t= aT , es el mdulo de la aceleracin tangencial, asociada con
el cambio de magnitud de la velocidad tangencial.
= aN , es el mdulo de la aceleracin normal, asociada con elcambio de direccin de la velocidad tangencial
V2
Por lo tanto, la magnitud de la aceleracin instantnea del mvil en
el punto A es
a = aT2 + aN
2 = (dV/dt)2 + (V2/ )2 (32)
Las ecuaciones obtenidas en este anlisis del movimiento curvilneo
son vlidas tanto para movimientos en un plano como para
movimientos en el espacio y su aplicacin se adapta al tipo de
trayectoria y velocidad que tenga el mvil. Veamos las siguientes
aplicaciones.
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CINEMTICA-1
APLICACIONES.
1.1.- Movimiento Rectilneo Unidimensional
Es el movimiento sobre una lnea recta, como por ejemplo el eje
horizontal unidimensional OX de la Fig.12.
1
t1 2 t2
El vector posicin del punto A en el instante t1 es
(t)= x1(t) (33)
El vector posicin del punto B en el instante t2 es
(t)= x2(t) (34)
El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil es
(t) = (35)
Consideremos el movimiento de una partcula desde el punto A que
est en el instante t1 hasta el punto B en el instante t2.
Figura 12
A B
O +X
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CINEMTICA-1
Si usamos las Ecs.(33) y (34) en la Ec.(35) se tiene que el desplaza-
miento sobre el eje X est definido por el vector
(t) = (x2 x1) = x (36)Velocidad media o promedio.
La velocidad media entre los puntos A y B de la Fig. 12 est definida
por
(37)x2 x1t2 t1
m = = x
t
Velocidad instantnea.
La velocidad instantnea en el punto A de la recta est definida
como el lmite de la velocidad promedio cuando el tiempo tiende a
cero x
t = lim m = lim
t 0 t 0
Este lmite es la derivada de x respecto al tiempo :
= d x
d t(38)
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CINEMTICA-1
Como en el movimiento rectilneo, la velocidad instantnea es para-
lela al desplazamiento, se puede omitir el vector unitario y entonces
el mdulo de la velocidad instantnea es
V =d x
d t(39)
Podemos integrarla para obtener el desplazamiento del mvil entre
la posicin inicial x1 en el instante t1 y la posicin final x2 en el
instante t2.
Si la velocidad es constante, se tiene un movimiento rectilneo
uniforme, cuyo desplazamiento esta dado por
=
(41)
x2 x1 = V (t2 t1) (42)
Que escribindola en su forma diferencial:
d x = V dt (40)
Las unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, km/h, mill/h
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CINEMTICA-1
Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t.
Por lo tanto, la Ec. (42) se puede escribir como
Si la velocidad NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo
variado, cuyo desplazamiento esta dado por
Para ejecutar esta integral debemos conocer la velocidad en
funcin del tiempo: V = f(t). En general la velocidad de un mvil es
funcin del tiempo.
x2 x1 = V t(43)
x2 - x1 = (45)
Si la posicin inicial del mvil est en el origen de coordenadas
entonces x1 = 0 y el desplazamiento ser simplemente
x = V t (44)
Para analizar el cambio de velocidad en el tiempo usemos el
grfico de la Fig.13, que sigue, donde el mvil en A tiene una velo-
cidad 1 en el instante t1 y en B una velocidad 2 en el instante t2 .
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CINEMTICA-1
La aceleracin media o promedio entre los puntos A y B de la
recta est definida como el vector
(46)V2 V1t2 t1
m = = V
t
Aceleracin media
1
t1 2 t2Figura 13
A B
O +X
1 2
Relacionando el cambio de velocidad del mvil con el tiempo
transcurrido en pasar del punto A al punto B podemos definir las
siguientes cantidades:
Aceleracin instantnea
La aceleracin instantnea en un punto, tal como A est, definida
como el lmite de la aceleracin media cuando el tiempo tiende a
cero
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 25
CINEMTICA-1
V
t = lim m = lim
t 0 t 0
Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo :
= d Vd t
(47)
Como en el movimiento rectilneo, la aceleracin instantnea es pa-
ralela al desplazamiento y se puede omitir el vector unitario de
forma tal que, el mdulo de la aceleracin es
a =d V
d t(48)
=
(50)
podemos integrarla para obtener el cambio de velocidad del mvil
entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2
Escribindola en forma diferencial:
d V = a dt (49)
Las unidades de la aceleracin son: m/s2, cm/s2, pie/s2.
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CINEMTICA-1
Si la aceleracin es constante, se tiene un movimiento rectilneo
uniformemente variado y la integracin nos da un cambio de velocidad
Si la aceleracin NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo
variado, cuya velocidad final esta dada por
V2 V1 = a (t2 t1) (51)
V2 = V1 + (55)
Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t.
Por lo tanto, la Ec. (52) se puede escribir como
V2 = V1 + a t(53)
Si el mvil parte del reposo entonces V1 = 0 y la velocidad final ser
simplementeV2 = a t (54)
De donde la velocidad final es
V2 = V1 + a (t2 t1) (52)
Para ejecutar esta integral debemos conocer la aceleracin en
funcin del tiempo: a = f(t).
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CINEMTICA-1
Como la Ec.(53) nos da la V(t), podemos usarla ahora en la Ec.(45) a
fin de ejecutar la integral
Si el mvil parte del reposo V1 = 0, entonces
( V1 + a t
)
x2 x1 =
x2 x1 = V1 + a
t
x2 x1 = V1 t + a t2 (57)
x2 - x1 = a t2 (58)
x2 - x1 = a t2 (59)
Si la posicin inicial est en el origen de coordenadas x1 = 0 se
tiene
x2 x1 = V1 (t2 t1) + a (t2 t1)2 (56)
Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto
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CINEMTICA-1
En la Ec.(26) hemos demostrado que la aceleracin se relaciona con
la posicin a travs de una segunda derivada. Por lo tanto, para un
movimiento rectilneo sobre el eje X, la componente X de la acelera-
cin se puede expresar como
d2x
d t2 = (60)
De mdulo: d2x
d t2a = (61)
Otra forma de relacionar la posicin y la velocidad se obtiene
multiplicando entre s las Ecs.(39) y (49).
d V = a d t
V =d x
d t
V d V = a d td x
d tSimplificando los diferenciales dt se tiene
V d V = a d x (62)
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CINEMTICA-1
Integrando desde la posicin inicial X1 donde la velocidad es V1 hasta
la posicin final X2 donde la velocidad es V2, obtenemos
= (63)
En el Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado la acelera-
cin es constante, por lo tanto, integracin anterior nos da
( V22 - V1
2 ) =
(64)
( V22 - V1
2 ) = ( ) (65)
2 = V22 V1
2(66)
Estas mismas ecuaciones se aplican al movimiento vertical
paralelo al eje (Y, -Y) a fin de analizar el movimiento de cada libre.
Para ejecutar la integral del lado derecho debemos conocer a(t).
( V22 - V1
2 ) = a
(64)
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CINEMTICA-1
Ejemplo 1. Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del
origen con una velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a ra-
zn de 10 m/s2. Calcular: a) la mxima distancia que se aleja la par-
tcula del origen hasta que se detiene, b) el tiempo que demora en
detenerse y c) Qu sucedera si la partcula mantuviera su decele-
racin despus de detenerse? Explique su respuesta en un grfico
simple. Datos. V1 = 5 m/s, como el movimiento es decelerado a = -10 m/s
2.
Solucin. a) En la Fig.14 se muestran los datos y la mxima distan-
cia xm que se aleja la partcula hasta que se detiene cuando su
velocidad final sea V2 = 0.x1 = 0 m
t
Figura 14
O +X 1 V2 = 0
-
Para calcular xm usamos valores en
2 = V22 V1
2
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CINEMTICA-1
c) Si la partcula mantuviera su aceleracin negativa, luego de de-
tenerse, retornara hacia el origen y continuara movindose enel sentido de eje OX.
2(-10)(xm -0) = 0 - 52
xm = 1,25 m
b) La partcula se detiene cuando su velocidad final es V2 = 0, por lo
tanto usando valores enV2 = V1 + a t
Se tiene: 0 = 5 + (-10) t t = 0,5 s
Ejemplo 2. El movimiento de una partcula que se mueve sobre el
eje (+X,-X) est descrito por la ecuacin x = 6 + 4t 9t2, donde x seexpresa en metros y t en segundos. En t = 0 y 4 s, calcular: a) la
posicin, b) la velocidad y c) la aceleracin. Dibuje en cada instante
los vectores posicin, velocidad y aceleracin sobre la trayectoria
e indique si la velocidad est aumentando o disminuyendo.
Datos. Ecuacin x = 6 + 4t 9t2 , t = 4 s
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CINEMTICA-1
Solucin. En t = 0.
x = 6 + 4(0) 9(0)2
En t = 0 V = 4 18(0)
x = 6 m
V = 4 m/s
En forma vectorial: = 6 m, que se muestra en la Fig.15
En forma vectorial: = 4 m/s, que se muestra en la Fig.16
a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacin
x = 6 + 4t 9t2
b) La ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la posicin.
V = = (6 + 4t 9t2)d x
d t
d
d t
V = 4 18 t
0
t = 0
Figura 15
+X-X
0
t = 0
Figura 16
+X-X
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CINEMTICA-1
c) La ecuacin de la aceleracin se obtiene derivando la velocidad.
En forma vectorial: = 18 m/s2, que se muestra en la Fig.17
a = = ( 4 18 t) = 18 m/s2d V
d t
d
d t
Este resultado indica que la aceleracin es constante y negativa
0
t = 0
Figura 17
+X-X
En t = 4 s (Queda como tarea para los estudiantes)
a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacin
0
Figura 18
Como en t = 0 la velocidad es opuesta a la aceleracin, su
mdulo disminuir para tiempos t > 0 s.
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 34
CINEMTICA-1
b) La velocidad en t = 4 se obtiene derivando la posicin.
0
Figura 19
c) La aceleracin en t = 4 s se obtiene derivando la velocidad.
0
Figura 20
Como la velocidad y la aceleracin son
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 35
CINEMTICA-1
Ejemplo 3. Usando la ecuacin de movimiento de la partcula en el
Ejemplo 2, determinar: a) en qu instantes la partcula pas por el
origen de coordenadas y con qu velocidad y aceleracin se mova?
b) en que instante la partcula se detuvo y qu posicin y acelera-
cin tena? Dibujar los vectores posicin, velocidad y aceleracin de
la partcula en tal instante. c) Calcular la longitud de la trayectoria de
la partcula entre 0 t 4 s. Datos. Segn el Ejemplo 2, la posicin, velocidad y aceleracin de
la partcula estn determinadas por las ecuaciones:
x = 6 + 4t 9t2 m, V = 4 18 t m/s, a = 18 m/s2 = constante
Solucin. a) El instante en que la partcula pas por el origen de
coordenadas se obtiene cuando su posicin es x = 0.
0 = 6 + 4t 9t2
Resolviendo
Reordenando tenemos la ecuacin cuadrtica
9t2 4t 6 = 0
t =4 ( 4)2 4(9)( 6)
2(9)
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 36
CINEMTICA-1
De donde
La velocidad cuando pas por x = 0, se obtiene usando t = 1,07 s en
V = 4 18 t
V = 4 18(1,07)
En forma vectorial: = -15,26 m/s, que se muestra en la Fig.22
t = -0,62, esta raz NO seconsidera como vlida porque
no existe tiempo negativo
V = 15,26 m/s
t =4 15,23
18t= 1,07 s, esta raz es larespuesta por ser positiva.
Figura 21
+X-X x = 0
t = 1,07
Figura 22
+X-X x = 0
t = 1,07
t =4 - 15,23
18
t =4 + 15,23
18
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 37
CINEMTICA-1
La aceleracin en t = 1,07 s es a = 18 m/s2, porque es constante.
En forma vectorial: = 18 m/s2 , que se muestra en la Fig.23
Como en t = 1,07 s la velocidad tiene la misma direccin que la
aceleracin, su mdulo aumentar para tiempos t >1,07 s.
Figura 23
+X-X x = 0
t = 1,07 s
b) La partcula se detiene cuando el mdulo de su velocidad es V = 0.
Entonces resolviendo 0 = 4 18 tt = 0,22 s
x = 6 + 4(0,22) 9(0,22)2 x = 6,44 m
En forma vectorial: = 6,44 m, que se muestra en la Fig. 24
La posicin en t = 0,22 se obtiene usndolo en la ecuacin
x = 6 + 4t 9t2
V = 0
0t = 0,22
Figura 24+X-X
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 38
CINEMTICA-1
La aceleracin en el instante, t = 0,22 s, en que se detuvo la part-
cula es la misma, a = 18 m/s2, porque es constante.En forma vectorial: = 18 m/s2, que se muestra en la Fig.25
Figura 25
+X-X t = 0,22 s
V = 0
c) La longitud de la trayectoria que recorre la partcula entre0 t 4 s, se obtiene sumando el mdulo del desplazamiento
desde t = 0 hasta t1 = 0,22 s, donde se detiene la partcula,con el mdulo del desplazamiento desde t1 = 0, 22 s hastat2 = 4 s.
0
to
Figura 26
+X-X
t1
V = 0
t2
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 39
CINEMTICA-1
El desplazamientos entre la posicin = 6 , en t = 0 y la posicin = 6,44 , en t = 0,22 s, donde V = 0, es:
= ( - ) = (6,44 6)
= , m
De mdulo: x = 0,44 m
El desplazamientos entre la posicin = 6,44 , en t = 0,22 s y laposicin =-122 , en t = 4 s es:
= ( - ) = (-122 6,44)
= -, m
De mdulo: x = , m
Por lo tanto la distancia total recorrida por la partcula en 0 t 4 s,
es
x = 0,44 + ,
x = x + x
x = ,
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 40
CINEMTICA-1
Ejemplo 4. La velocidad de una partcula que se mueve sobre una
lnea recta est definida por V = 48 3t2, donde V se mide en m/s y t en s . Usando el clculo, hallar: a) una expresin para la posicin
en funcin del tiempo s en t1 = 0 s, X1 = 2 m, b) una expresin para la aceleracin en funcin del tiempo y c) su velocidad media
en el intervalo: 0 t 9 s.
Solucin.
a) La posicin se obtiene integrando la funcin velocidad
X = V (t) dt
X = ( 48 3 t2 ) dt = 48 dt 3 t2 dt
X = 48 dt 3 t2 dt = 48 (t) (3) + Ct 2+1
2+1X = 48 t t3 + C
Para calcular el valor de la constante de integracin C,
usamos las condiciones inciales ( c.i ): t1 = 0 s, x1 = 2 m,en la expresin obtenida.
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 41
CINEMTICA-1
2 = 48 (0) (0) 3 + C
C = 2 m
X = 48 t t 3 2 [m]Luego:
b) La aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidadd V
d ta = = (48 3 t2 )
d
d t
d
d ta = (48) 3 (t2 )
d
d t
a = 6 t m/s2
b) La velocidad media entre 0 t 15 s, se obtiene usando:
Vm =x2 x1t2 t1
X1 = 48(0) (0)3 2 X1 = 2 m
la posicin en t1 = 0 es:
Donde:
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 42
CINEMTICA-1
y la posicin en t1 = 9 s es:
X2 = 48(9) (9)3 2
Reemplazando valores en la frmula de la velocidad media se tiene
Vm = 290 ( 2)
9 0
Vm = 32 m/s
X2 = 290 m
Ejercicio CIN-01
1. Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del origen con una
velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a razn de 10 m/s2. Cal-
cular: a) la mxima distancia que se aleja la partcula del origen hasta
que se detiene, b) el tiempo que demora en detenerse y c) Qu
sucedera si la partcula mantuviera su deceleracin despus de
detenerse? Explique su respuesta en un grfico simple.
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 43
CINEMTICA-1
2. La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta estdefinida por la relacin X = t3 - 5t2 - 12 t + 30, donde X se expre-sa
en metros y t en segundos. Determinar: a) el instante en que la
velocidad es cero, b) la posicin y aceleracin de la partcula en tal
instante y d) la distancia que viaja la partcula desde t = 3 [s] hasta t
= 6 [s].
3. La rapidez de una bala mientras viaja por el can de un rifle haciala abertura est dada por: V = -5,00x107 t2 + 3,00x105 t, donde V est
en m/s y t en s. Si la aceleracin de la bala es cero justo cuando sale
del can, determinar: a) la aceleracin y la posicin de la bala en
funcin del tiempo cuando est en el can, b) el intervalo de
tiempo durante el que la bala acelera, c) la rapidez con la que sale la
bala del can y d) la longitud del can del rifle.
1.2.- Movimiento de Cada Libre
Es un MRUV (unidimensional) en direccin vertical paralela al eje
(-Y,+Y), con una aceleracin = - g debido a la fuerza gravitato-ria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que la rodean.
06/06/2015 01:32 p.m. 44
Ignorando la resistencia del aire y considerando solamente peque-
os desplazamientos sobre la superficie terrestre (comparados con
el radio de la Tierra, RT = 5000 km), todos los cuerpos caen con ace-
leracin constante de mdulo: g = 9,81 m/ s2 = 32,2 pie/ s2 .
Segundo L. Gallardo Zamora
1
-
y1
t1 = 0
y2
Posicin y
velocidad
finales
Posicin y
velocidad
inciales
t
2 < 1
Figura 27. Posicin, desplazamiento, velocidad
y aceleracin en el movimiento de cada libre
Y
Superficie terrestre
X
(y2 y1 )2. Para que un cuerpo se mue-
va hacia arriba es necesario
darle una velocidad inicial 1 en tal direccin.
1. El movimiento es paralelo
al eje (Y, -Y); con acelera-cin = -g
Propiedades.
3. El desplazamiento del cuer-
po entre los instantes t1 = 0
y t2 = t es:
y = (y2 y1 )
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 45Segundo L. Gallardo Zamora
3. Un cuerpo lanzado hacia arriba asciende hasta que su velocidadfinal sea cero (V2 = 0), al alcanzar su altura mxima Ym. Desdeesta posicin, el cuerpo retorna en cada libre, siempre bajo laaccin de la misma aceleracin (- ).
Figura 28. Posicin y Velocidad de un cuerpo
lanzado hacia arriba cuando alcance la altura
mxima.
1
tV2 = 0
y1
t1 = 0
y2 = Ym
Posicin y
velocidad final
en la altura
mxima4. El tiempo t que demora el cuerpo
en ascender hasta la altura m-
xima es igual al tiempo que de-
mora en retornar al punto de lan-
zamiento. Por lo tanto, el tiempo
total, de ida y vuelta, es t = 2 t,al cual se denomina tiempo de
vuelo.
Y
X
Superficie terrestre
-
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 46Segundo L. Gallardo Zamora
1
Y
Superficie terrestre
X
-
Figura 29 Posicin y sentido de la
velocidad en dos instantes diferentes
en el movimiento de un cuerpo
lanzado verticalmente hacia Arriba.
y1
ti = 0
y2
t
- 2
V = 0
Ym
2t
5. En cualquier punto de la tra-yectoria, el mdulo de lavelocidad de ascenso (+ )es igual al mdulo de lavelocidad de descenso (- ).
6. Las velocidades (+ 2) y (- 2)son opuestas en la misma po-
sicin y2 pero se dan en dife-
rentes instantes. En el instan-
te t el mvil pasa de subida yen el instante t el mvil pasade bajada, retornando des-
pus de alcanzar su altura
mxima.
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 47Segundo L. Gallardo Zamora
7. En ausencia de aire, los cuerpos de
diferente peso, que caen desde la
misma altura y con la misma
velocidad inicial, recorren tal altura
en el mismo tiempo y alcanzan la
misma velocidad final. Esto signi-
fica que la velocidad de cada libre
es independiente del peso del
cuerpo, como se ilustra con los
cuerpos de la Fig.30.
Y
Superficie terrestre
X
-
ti = 0
y1
2
m1
m2
V1 = 0
y2 = 0
Figura 30. La velocidad de cada
libre en el vaco no depende del
peso de los cuerpos
t
8. Esta propiedad ya fue demostrada
en agosto de 1971 por el astronauta
norteamericano David Scott, durante
la misin del Apolo 15 en la Luna.
Puede verse en Youtube.https://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 48
Ecuaciones del Movimiento de Cada Libre.
Segundo L. Gallardo Zamora
y1
t1 = 0
2
t2
X
Y
Superficie terrestre
Como el movimiento de cada libre es un MRUV en direccin del eje(Y,-Y) con aceleracin constante = -g, entonces su velocidadinstantnea est definida por
y2
Figura 31
1
= d y
d t(67)
De mdulo = d y
d t(68)
Podemos integrarla para obtener el despla-
zamiento del mvil entre la posicin inicial y1en el instante t1 y la posicin final y2 en el
instante t2.
Escribindola en su forma diferencial:
d y = V dt (69)
=
(70)
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 49
CINEMTICA
Al ejecutar la Integral solamente se puede obtener
Integrndola podemos obtener el cambio de velocidad del mvil
entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2
Que, sin los vectores unitarios, su forma diferencial es
Pero en este movimiento la aceleracin es constante y su valor es:
= - g . Por lo tanto:
= d Vd t
(72)
-g = d Vd t
(73)
Porque en el lado derecho de la igualdad no conocemos como
vara la velocidad con el tiempo V(t). Para lograr esta relacin
usamos la definicin de aceleracin instantnea.
(71)(y2 y1 ) =
(74)d V = -g dt
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 50
CINEMTICA
=
(75)
V2 V1 = - g (t2 t1) (76)
V2 = V1 g (t2 t1) (77)
Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t,
entonces, la Ec. (77) se puede escribir como
V2 = V1 - g t (78)
Ahora, con la Ec.(78) ya tenemos V(t) y podemos integrar la Ec.(71)
Integrando el lado derecho
y2 y1 = V1 (t2 t1) g (t2 t1)2 (79)
(V1 g t ) (y2 y1 ) =
y2 y1 = V1 t a t2 (80)
Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 51
CINEMTICA
Siguiendo un proceso similar al usado para obtener la Ec.(66) se de-
duce que en el movimiento de cada libre
2 = V12 V2
2 (81)
Como vemos las ecuaciones del MRUV vertical son similares a las
del MRUV horizontal y se obtienen con slo cambiar a por g, y Xpor y.
Ejemplo 5. Un estudiante parado sobre una plataforma lanza una
pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 17,5 m/s.
Al momento del lanzamiento la pelota esta a 4 m sobre el suelo.
Calcular: a) la velocidad y posicin de la pelota en el instante t =
1,5 s; b) la mxima altura de ascenso, c) la velocidad y posicin de
la pelota en el instante t = 3,5 s y d) la velocidad de impacto de la
pelota en el suelo y el tiempo que demora desde que fue lanzada.
Datos: Ubicamos el sistema de referencia (X,Y) como en la Fig. 19
que sigue y anotamos los datos conocidos:
V1 = 17,5 m/s, y1 = 4 m en t1 = 0
06/06/2015 01:32 p.m. 52
Solucin:
Segundo L. Gallardo Zamora
Y
X
a) La velocidad en el instante t = 1,5 s se
obtiene usando datos en la ecuacin:
1
2
y2
y1
t1 = 0
t2 = t = 1,5 s V2 = V1 g t
Como la velocidad es positiva
deducimos que la pelota todava est
ascendiendo.
V2 = 17,5 ( 9,81)(1,5)
= 2,79 m/s
Superficie terrestre
Figura 32
La posicin en el instante t2 = t = 1.5 s
se obtiene usando datos en la ecua-
ciny2 y1 = V1 t g t
2
Usando valores:
y2 4 = (17,5)(1,5) (9,81)(1,5)2
y2 = 19,21 m
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 53
b) La mxima altura de ascenso se alcanza cuando V2 = 0. Por lo
tanto, usando datos en la ecuacin
Segundo L. Gallardo Zamora
Ym = 19,61 m
2 g ( y2 y1 ) = V12 V2
2
2 (9.81)( Ym 4 ) = (17.5)2 (0)2
y haciendo y2 = Ym se tiene:
c) La velocidad en t = 3,5 s; se obtie-
ne usando datos en la ecuacin:
V2 = 16,84 m/s
El signo negativo de la velocidad
nos indica que en t = 3,5 s, la pelota
esta descendiendo, luego de alcan-
zar la altura mxima.
V2 = V1 g t
V2 = 17,5 ( 9,81)(3,5)Esto es:
Y
X
2
1 y2
y1
t1 = 0
t2 = t = 3.5 s
V = 0
Ym
Superficie terrestre
Figura 33
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 54
La posicin en t = 3,5 s se obtiene usando valores en la ecuacin:
Segundo L. Gallardo Zamora
y2 4 = (17,5)(3,5) (9,81)(3,5)2
y2 y1 = V1 t g t2
d) Queda como ejercicio para el alumno.
Ejemplo 6. Dos piedras A y B se dejan caer libremente desde la
misma altura al borde de un acantilado de 60 m de altura. Si la piedra
B se deja caer 1,6 s despus de la piedra A, qu distancia habr
cado la piedra B para que la separacin entre ambas sea de 36 m?
ya
yb
h
X
Y
Suelo
Figura 30
y
Figura 34
y2 = 5,16 m
Datos.
Las dos piedras se dejan caer desde lamisma altura y1 = 60 m y con velocidad
inicial V1 = 0 (parten del reposo).
La piedra B se deja caer 1,6 s despusde la piedra A.
La separacin entre ambas piedras sery = (ybya) = 36 m, cuando la piedra Bhaya cado una distancia h.
(t1 = 0, V1 = 0)
y1
A B
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 55
Solucin. Para calcular la distancia h = (y1 yb) que habr cado la
piedra B, fijamos en la Fig.21 el sistema (X,Y) en el suelo y calcula-
mos la posicin de cada piedra usando la condicin de separacin (yb- ya) = 36 m entre ellas.
Segundo L. Gallardo Zamora
(ya -60) = - g t2 (a)
Como la piedra B es soltada 1,6 s despus que la piedra A, entonces el tiempo que demora en caer es tb = (t -1,6). En este tiempo, su po-
sicin se puede obtener con
Si t es el tiempo que demora en caer la piedra A, su posicin en tal
instante es
(ya 60) = g t2
(yb 60) = g (t-1,6)2
(yb ya ) = g [(t-1,6)2 - t2 ]
Restando la Ec.(a) de la Ec.(b) se tiene:
(yb -60) = - g (t-1,6)2 (b)
(yb ya ) = 1,6 g t 1,28 g (c)
Desarrollando el cuadrado del binomio y simplificando obtenemos:
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 56Segundo L. Gallardo Zamora
Usando este tiempo en la Ec.(b) obtenemos la posicin de la pie-
dra B.
36 = 1,6 g t 1,28 g
t = 3,09 sResolviendo se tiene
(yb-60) = - g (3,09-1.6)2
Por lo tanto, la distancia recorrida por B es:
h = (y1 yb) = (60- 49,11) = 10,89 m
yb = 49,11 m
Ejemplo 7. Un hombre parado dentro de la canasta de un globo ae-
rosttico, que asciende con una rapidez de 20,0 [m/s], sostiene un
paquete en las manos. En el instante que est a 180 [m] del suelo
lanza el paquete hacia abajo con una rapidez de 1,5 [m/s]. Calcular:
a) la altura mxima que asciende el paquete, respecto al suelo, b) la
velocidad y el tiempo que demora el paquete en ubicarse a 190 m
sobre el suelo, c) la velocidad y el tiempo que demora el paquete
en impactar el suelo.
pero (yb ya) = 36 m, entonces
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 57
Datos. En la Fig.35 mostramos la rapidez del globo respecto al suelo
es VG = 20,0 m/s, la posicin y1 = 180 m del paquete al momento de
ser lanzado y la rapidez del paquete respecto al globo es Vp = 1,5
m/s.
Segundo L. Gallardo Zamora
Solucin.
Primero debemos calcular la velocidad ini-
cial del paquete respecto al suelo.
1 = VG Vp = (VG Vp )
Cuyo mdulo es:
V1 = 20,0 1,5 = 18,5 m/s p
G
X
Y
p
1 G
1
Suelo
Figura 35
Esta es la velocidad inicial que usare-
mos en la solucin del problema. y1
a) El paquete alcanza la altura mxima cuan-
do su velocidad final V2 = 0, y su valor se
obtiene usando datos en
2 (9.81) ( Ym -180 ) = (18,52 0)
2 g ( y2 y1 ) = V12 V2
2
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 58
Obteniendo: Ym = 197,44 m, como se muestra en la Fig.36.
Segundo L. Gallardo Zamora
b1) La velocidad del paquete
en la nueva posicin y2 = 190
m, que se muestra en la Fig.
24, se obtiene usando valores
en:2 g ( y2 y1 ) = V1
2 V22
2(9,81)(190180) = (18,5)2 V22
V2 = 146,05 = 12,09 m/s
V2 = 0
1
Y
y1
VG
X
V2 = + 12,09 m/s, cuando el
paquete pasa de subida ha-
cia la altura mxima Ym.
V2 = - 12,09 m/s, cuando pa-
sa de retorno desde Ym.
Suelo
Figura 36
y2
- 2
2
Figura 37
Donde podemos considerar
que
Suelo
Ym
V = 0
Ym
1
Y
VG
X y1
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 59
b2) El instante en que el bloque alcanza la altura y2 = 190 m, sobre el
suelo se calcula usando datos en la ecuacin:
Segundo L. Gallardo Zamora
y2 y1 = V1 t g t 2
190 180 = 18,5 t (9,81) t 2
9,81 t 2 37 t + 20 = 0
t = ( 37) (37)2 4(9,81)(20)
2(9,81)
Reordenando obtenemos la ecuacin
cuadrtica
Cuya solucin se obtiene con la frmula:
V = 0
1
Y
y1
VG
X
y2
2 , t
- 2 , t
Suelo
Figura 34
t = 37 24,17
19,62
t = = 0,65 s 37 24,17
19,62
t = = 3,12 s 37 + 24,17
19,62Figura 38
Ym
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. 60Segundo L. Gallardo Zamora
Los dos races indican que el paquete pasa por la misma
posicin y2 en dos instantes. En t = 0,65 s, pasa cuando est
ascendiendo hacia la altura mxima y en t= 3,12 s pasa
cuando esta bajando o retornando de la altura mxima.
Ejercicio CIN-02
1. Un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza una velo-
cidad de 18 [m/s] cuando est a mitad de su altura mxima. Calcular:
a) la mxima altura que asciende, b) la velocidad con que fue lanzado,
c) el tiempo que tardar en ubicarse a 16 [m] arriba del punto de lanza-
miento y d) el tiempo de vuelo. (Rpta: a) 33,03 m; b) 25,46 m/s; c) 0,73
s al subir y 4,46 s al bajar y d) 5,19 s)
2. Una maceta cae desde la azotea de un edificio de apartamentos. Una
persona de un apartamento inferior que tiene un cronmetro, observa
que la maceta tarda 0,2 s en pasar a travs de una ventana que tiene
4,0 m de altura. A qu altura sobre el borde superior de la ventana
est la azotea? (Rpta: 22,43 m)
CINEMTICA-1
06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 61
3. Un hombre con un paquete en las manos viaja parado dentro de la
canasta de un globo aerosttico que desciende con una velocidad de
5 [m/s]. Cuando el globo est a una altura de 190 [m] sobre la
superficie terrestre, el hombre lanza el paquete hacia arriba con una
velocidad de 15 [m/s]. Calcular el tiempo que demora el paquete en
ubicarse a 194 [m] de altura respecto a la superficie terrestre. Usar g =
9,81 m/s2 y explique su respuesta. (Rpta: 0,55 al subir y 1,49 s al bajar )
4. En el instante t = 0, se deja caer una piedra desde un acantilado sobre
un lago; 1,6 s despus, se lanza otra piedra hacia abajo desde el
mismo punto con una velocidad inicial de 32 m/s. Si ambas piedras
chocan en el agua al mismo tiempo, cul es la altura del acantilado?(Rpta: 27,55 m)
Continua en Cinemtica 2
CINEMTICA-1
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