Facultad de Ingeniería
Geológica, Minera y
Metalúrgica
CURSO: MECANICA DEL CUERPO RIGIDO
Ing. Wilmer Gómez, MSc.
Lima, 23 de marzo de 2015
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CALENDARIO DE ACTIVIDADES
PF = (EP + PP (6/8) + 2*EF)/4
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COMPETENCIAS
Aptitud Actitud
Destrezas Control emocional
Técnicas Respeto, puntualidad
Honestidad
Responsabilidad
Mente (lectura)
Persona
Cuerpo EspirituAristoteles, procrastinación, resiliencia
Lo mas difícil es buscar o encontrar la simplicidad
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CREATIVIDAD E INNOVACION
• Oportunidad de aprendizaje:
• Perder el miedo.
• Tener curiosidad.
• Observar y pensar
• Autoestima aumenta con:
• Saber.
• Aprender.
• Habito de hacer las cosas es NO PENSAR.
• No criticar antes de entender.
• Lo que funciona hoy, no resultará mañana.
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1RA. SEMANA
Equilibrio de fuerzas:
Fuerzas en el plano y el espacio;
resultante de fuerzas y pares; sistemas de
fuerzas equivalentes; reducción general
de fuerzas; equilibrio de una partícula.
Seminario
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OBJETIVOS
• Formar y enseñar a los alumnos la mecánica del
cuerpo rígido, de tal manera que adquieran destrezas
para su aplicabilidad en empresas industriales o como
futuros empresarios.
Bibliografía • Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, décima edición,
Russel C. Hibbeler, editorial pearson-prentice hall
• Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, séptima edición,
Beer - Johnston, editorial Mgraw Hill
• Estática, J.L. Meriam
• Física, Volumen I, Mecánica, Marcelo Alonso y Edward Finn
• Paginas de internet
• http://www.filecrop.com/libros-meriam-estatica.html
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La mecánica es la parte de la física que se encara
del estudio de los movimientos de los cuerpos.
CINÉTICA
ESTÁTICA
DINÁMICA
CINEMÁTICA
MECANICA
LA CINEMÁTICA estudia el movimiento, independientemente de las
causas que lo producen.
LA DINÁMICA, se ocupa de explicar las causas que los producen. La
dinámica se divide en: estática y cinética.
•La estática estudia los cuerpos de equilibrio o reposo.
•La cinética estudia los cambios del movimiento ocasionados por una
o más fuerzas que no están en equilibrio.
MECANICA Y SUS DIVISIONES
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La Mecánica es la rama de la física que trata de la respuesta de los
cuerpos a la acción de las fuerzas.
El estudio de la Mecánica se divide en:
Mecánica de cuerpos rígidos:
• Estática. Cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas.
• Dinámica
• Cinemática. Movimiento de cuerpos sin considerar sus causas.
• Cinética. Cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas
Mecánica de cuerpos deformables:
Rama de la Mecánica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas
interiores y de las deformaciones en estructuras y componentes de
maquinaria cuando están sometidos a sistemas de fuerzas.
Mecánica de fluidos:
Rama de la Mecánica que se ocupa de los líquidos y gases en
reposo o en movimiento. Fluidos compresibles y fluidos
incompresibles (Hidráulica).
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA
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Magnitudes fundamentales:
Espacio: región geométrica donde ocurren los sucesos físicos
de interés en la mecánica.
Tiempo: intervalo que transcurre entre dos sucesos.
Masa: o materia es toda sustancia que ocupe espacio.
Fuerza: acción de un cuerpo sobre otro por contacto directo o a
distancia. Su efecto exterior es la aceleración del cuerpo o el
desarrollo de fuerzas resistentes en él.
Consideraciones de interés:
• Un punto material tiene masa pero no tiene forma ni
tamaño. En consecuencia en la solución de un problema no
intervendrá el concepto de rotación.
• Un cuerpo rígido se puede representar como un conjunto
de puntos materiales. La forma y tamaño del cuerpo se
mantiene constante en el tiempo y condiciones de carga.
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Leyes de Newton (del movimiento): rigen el
movimiento de un punto material:
• Inercia
• F = m . A
• Acción y reacción
Ley de Gravitación de Newton
Donde G = 6,673.10-11 m3/(kg.s2)
Masa y peso.
W = G.mt.m/rt2 = m.g
g=9,807 m/s
221
r
mmGF
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Para la resolución de problemas seguir los siguientes pasos:
1. Leer el problema atentamente.
2. Identificar el resultado requerido y principios necesarios.
3. Dibujar los diagramas de cuerpo libre y tabular la data.
4. Aplicar los principios y ecuaciones.
5. Dar respuesta adecuada y unidades apropiadas.
6. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable.
Hipótesis o aproximaciones frecuentemente utilizadas:
• Reducir el estudio del cuerpo sometido a esfuerzos a un
punto material.
• Tratar a la mayoría de los cuerpos como si fuesen rígidos.
• Despreciar los pesos de miembros en comparación con
cargas aplicadas.
• Considerar una fuerza distribuida, que actúe sobre un área
pequeña, como una fuerza concentrada en un punto.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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Fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro debido al contacto
físico o efecto gravitatorio, eléctrico, magnético.
La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene dos efectos:
Uno exterior que tiende a cambiar su movimiento y otro interior
a deformarlo. Suposición: si no se deforma el cuerpo es rígido
Si un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo no origina ningún
efecto exterior, el cuerpo está equilibrado. Si el sistema no está
equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo experimenta un
cambio en su movimiento.
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el
mismo efecto en un cuerpo.
La resultante de un sistema de fuerzas, obtenida por
composición de fuerzas, es el sistema equivalente.
El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas en otro
equivalente se llama descomposición. Componente de una
fuerza es una o más fuerzas en las que puede descomponerse.
INTRODUCCION
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LAS FUERZA Y SUS CARACTERÍSTICAS
1. Módulo (Intensidad de
la fuerza, unidad: N o
kN)
2. Dirección y sentido
(orientación del
segmento)
3. Punto de aplicación
(punto de contacto
entre dos cuerpos)
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Recta soporte o línea de acción: recta que
pasa por el punto de aplicación y tiene la
dirección de la fuerza.
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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan descritas por
un número. (Ej. masa, densidad, área, longitud, volumen, energía,
tiempo, temperatura, etc.)
Las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección y sentido y
obedecen la regla del paralelogramo. (Ej. fuerza, momento,
desplazamiento, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de
movimiento, etc.). Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:
1. Libres. su recta no pasa por un punto definido en el espacio. Ej.
Vector ,
2. Deslizantes. su recta pasa por un punto definido en el espacio.
El punto de aplicación de este vector puede ser cualquiera de
su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un peso arrastrado.
3. Fijos. Tiene punto de aplicación definido.
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PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre
un cuerpo rígido es el mismo para todos los puntos de
aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.
Así podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes.
En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y
deformación) puede verse muy influido si varía el punto de
aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.
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1. FUERZAS DE CONTACTO.
Se generan mediante el
contacto físico directo entre
dos cuerpos
2. FUERZAS MASICAS
se crean por acción a
distancia. Ejm. la fuerza
gravitacional, eléctrica y
magnética.
FUERZAS SOBRE LA CUAL ACTUAN
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1. FUERZAS
CONCENTRADAS .
Aquellas que se consideran
aplicada en un punto
2. FUERZAS DISTRIBUIDAS
Aquellas que se consideran
aplicadas en una línea, un área
o un volumen
FUERZAS DE ACUERDO A SU
APLICACION
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Un sistema de fuerzas constituido por dos o más fuerzas:
1. Monodimensional. (colineal, con recta soporte común)
2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas paralelas)
3. Tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente cuando
las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto
común.
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DIAGRAMAS DE SÓLIDO LIBRE
Es el cuerpo de interés separado de los demás cuerpos que
interactúan sobre él y en el cual figuran las fuerzas aplicadas
exteriormente a dicho cuerpo.
Etapas en el trazado de un diagrama de sólido libre:
1. Decidir qué cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de
cuerpos hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del
contorno exterior del cuerpo seleccionado.
2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas,
aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante
vectores en sus posiciones correctas.
3. Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se
puede suponer y una vez finalizados los cálculos, se
concluye su sentido.
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RESULTANTE DE DOS FUERZAS
CONCURRENTES
Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actúan sobre un cuerpo
se pueden sustituir por una fuerza Resultante R, que producirá
sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos originales. La suma
se realiza de dos formas:
Gráficamente: Suma vectorial aplicando la regla del
paralelogramo o regla del triángulo
Matemáticamente: Ecuación vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1
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Los métodos gráficos exigen un dibujo preciso a escala si se
quieren obtener resultados óptimos.
En la práctica se obtienen resultados numéricos utilizando
métodos trigonométricos basados en los teoremas del seno
y del coseno junto con el esquema del sistema de fuerzas.
En el triángulo de la figura siguiente el teorema del seno se
expresa así:
sen
c
sen
b
sen
a
y el teorema del coseno se expresa así:
cos2222 abbac
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RESULTANTE DE TRES O MÁS FUERZAS
CONCURRENTES
El método de la regla del paralelogramo o del triángulo se puede
extender a los casos de tres o más fuerzas concurrentes.
En definitiva, se construyen polígonos de fuerzas dando igual
el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:
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DESCOMPOSICIÓN DE UNA
FUERZA EN COMPONENTES
Así como podemos sumar dos o más fuerzas
para obtener una resultante, una fuerza se
puede sustituir por un sistema de dos o más
fuerzas (componentes de la original).
El proceso de descomposición no da un
conjunto único de componentes vectoriales.
En la resolución de muchos problemas
prácticos no es corriente utilizar componentes
oblicuas de una fuerza pero si es habitual el
empleo de componentes ortogonales
(rectangulares).
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COMPONENTES RECTANGULARES DE
UNA FUERZA
En el caso bidimensional el proceso de
obtención de componentes rectangulares es
muy sencillo ya que se origina un triángulo
rectángulo, y solo hay que aplicar Pitágoras.
En forma vectorial podemos escribir:
F = Fx + Fy = Fx i +Fy j
Donde:
cos.FFx senFFy .
22
yx FFF x
y
F
Farctan
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En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede
descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente
ortogonales.
F = Fx + Fy + Fz = Fx i +Fy j + Fz k =
F = F cosx i +F cosy j +F cosz k
222
zyx FFFF
x2cos + y
2cos+ z2cos = 1
Los cosenos directores deben cumplir la
relación:
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Si un ángulo es mayor
que 90º, su coseno es
negativo, lo que indica
que el sentido de la
componente es opuesto
al sentido positivo del eje
de coordenadas
correspondiente.
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RESULTANTES POR COMPONENTES
RECTANGULARES
Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j
En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias
concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares
de todas las fuerzas, tenemos:
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Y según la regla del paralelogramo:
R = Rx + Ry = Rx i + Ry j
El módulo de R se calcula aplicando Pitágoras:
22
yx RRR
Además, el ángulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:
x
y
xR
Rarctan ó
R
Rx
x arccos ó R
Ryarcsenx
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En el caso general de tres o más fuerzas concurrentes en el
espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:
Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j
Fz = F1z + F2z + F3z + …+ Fnz = (F1z + F2z + F3z + …+ Fnz) k = Rz k
Rx =
Ry =
Rz =
R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k
El módulo de R se calcula así: 222
zyx RRRR
R
Rx
x arccosR
Ry
y arccosR
Rzz arccos
Los ángulos que forma R con los
semiejes de coordenadas positivos son:
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PROB - SOL
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PROB - SOL
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PROBLEMAS
¿Cuál es la resultante en
cada caso?
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PROBLEMAS
Calcular la fuerza vectorial
en el eje x´y´ Mostrar la fuerza en forma
vectorial
Calcular la fuerza A, si el
sistema esta en equilibrio
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Dos cables se amarran juntos en C y se cargan
como se muestra en la figura. Determine la
tensión en : a) en cable AC y b) el cable BC.
PROB - SOL
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DCL BTAT
600
BA 87,36
16
12
A
Atag
6,43
21
20
B
Btag
B
AAB
AABB
AABB
TT
TT
Fx
senTsenT
Fy
cos
cos
0coscos
0
0600
0
(1)
(2)
SOLUCION
lbT
lbT
B
A
18,487)6.43cos(
)87,36cos(441
44136,1
600
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Los tirantes de cable AB y AD sostienen al poste AC. Se
sabe que la tensión es de 500 N en AB y 160 N en AD,
ahora determine gráficamente la magnitud y la dirección
de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en
A usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del
triángulo.
PROB - SOL
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Calculamos: α = 51.3°, β = 59°
Calculamos: R = 575 N, α = 67°
SOLUCION
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Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan al
techo como se muestra. Determínese el peso W del
recipiente sabiendo que la tensión en el cable AD es 4.3 kN
PROB - SOL
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A(0,0,0) B(-450,600,0) C(0,600,-320) D(500,600,360)
)360,600,500(
)320,600,0(
)0,600,450(
AD
AC
AB
860
680
750
AD
AC
AB
kji
kj
ji
AD
AC
AB
42.07.058.0
47.088.0
8.06.0
0f
0)()42.07.058.0()47.088.0()8.06.0(
0
0
WjTkjiTkjTji
WTTT
WTTT
ADACAB
WADADACACABAB
ADACAB
SOLUCION
kNW
kNT
kNT
AC
AB
71.9
84.3
16.4
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2DA. SEMANA
Equilibrio en el plano y en el espacio.
Equilibrio en el espacio; diagrama de
cuerpo libre; tipos de reacciones y
ligaduras y reacciones estáticas; grados
de hiperestaticidad: general, exterior e
interior; equilibrio en el plano.
1ra práctica calificada
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Las condiciones necesarias para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio, en forma sencilla debe cumplir
lo siguiente:
Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0
Mx = 0; My = 0; Mz = 0
Donde el termino F representa las fuerzas aplicadas
sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z, de un
sistema coordenado ortogonal. Análogamente, el
termino M esta referido a los momentos que se ejercen
en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.
EQUILIBRIO EN EL PLANO Y ESPACIO
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44
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN EN EL ESPACIO
Por cada grado de libertad restringido aparecerá una reacción. tipos de ligaduras más
comunes son:
• Empotramiento: Restringe todos los grados de libertad
Tres desplazamientos (u, v, w )
Tres giros (Fx, Fy, Fz)
Punto en el espacio
( 6 grados de libertad)
6 Reacciones 3 Fuerzas
3 Momentos
• Articulación: Restringe los tres desplazamientos 3 Reacciones 3 Fuerzas
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45
Por cada grado de libertad restringido aparecerá una reacción. tipos de ligaduras
más comunes son:
Dos desplazamientos (u, v )
Un giro (Fz)
Punto en el Plano
( 3 grados de libertad)
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN EN EL PLANO
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Articulación intermedia. No se trata de una ligadura con el entorno sino de un elemento de unión
entre dos partes del sólido elástico. Permite el giro entre las dos partes del sólido.
• Reacciones proporcionales a los
desplazamientos
Ligaduras Reales. En la realidad, la mayor parte de las ligaduras no restringen totalmente los
desplazamientos y/o giros en un punto. Este tipo de ligaduras se estudian asimilándolas a muelles
lineales (impiden parcialmente los desplazamientos) o muelles a torsión (impiden parcialmente los
giros).
• Cada articulación nos proporciona una ecuación de
equilibrio adicional, ya que el momento en ese punto
es nulo al estar permitido el giro.
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN
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Las reacciones son fuerzas externas que se calculan aplicando equilibrio estático. Sea R el número
de reacciones (igual al número de grados de libertad impedidos) y sea E el número de ecuaciones de
equilibrio disponibles. En un sistema de barras sin contornos cerrados:
Si R = E Sistema ISOSTÁTICO
Si R < E Sistema HIPOESTÁTICO Mecanismo
El número de ecuaciones es suficiente
para el cálculo de las reacciones
SISTEMA HIPOESTATICO E ISOSTATICO
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Si R > E Sistema HIPERESTÁTICO El número de ecuaciones no es suficiente.
GH = R-E GRADO DE
HIPERESTATICIDAD
Hay que añadir tantas ecuaciones de
compatibilidad de deformaciones como GH
tenga el sistema
SISTEMA HIPERESTATICO: GRADO DE HIPERESTATICIDAD
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DSL
Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga
de la figura.
PROB - SOL
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DSL
Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga de la
figura. Despreciar el peso de la viga.
PROB - SOL
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DSL´s
Un cilindro se apoya sobre una superficie lisa
formada por un plano inclinado y una armadura
de dos barras. Dibujar el diagrama de sólido
libre para el cilindro, para la armadura de dos
barras y para el pasador en C.
PROB - SOL
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- 52 -
DSL´s
Dibujar el diagrama de sólido
libre para la polea, para el poste
AB y la viga CD.
PROB - SOL
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DSL
Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra curva
soportada por una rótula en A, un cable flexible en B
y una articulación de pasador en C. Despréciese el
peso de la barra.
PROB - SOL
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Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas
Ejemplo: barra de conexión de peso despreciable
(figura). Las fuerzas que sobre la barra ejercen los
pasadores lisos situados en A y B se pueden
descomponer en componentes según el eje de la barra
y perpendicular a él. Aplicado ecuaciones de equilibrio:
Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si
la barra está en equilibrio, por tanto:
Así pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio
exige que las fuerzas sean de igual módulo y recta
soporte, pero opuestas. La forma del miembro no
influye en este sencillo requisito. Los pesos de los
miembros deben ser despreciables.
yyyyy
xxxxx
BABAF
BABAF
00
000 yy BA
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Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas
El equilibrio de un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas
constituye también una situación especial.
Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas las
rectas soportes de éstas deben ser concurrentes (pasar por
un punto común).
Si no fuera así, la fuerza no concurrente ejercería un momento
respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas.
Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El
punto de concurso es el infinito.
DSL de AB
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DSL
Una armadura conectada mediante pasadores está
cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.
El cuerpo W tiene una masa de 100 kg. Determinar las
componentes de las reacciones en los apoyos A y B.
PROB - SOL
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DSL
Una viga está cargada y apoyada en la forma que
se indica en la figura. Determinar las
componentes de las reacciones en los apoyos A
y B.
PROBLEMA
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DSL
Una viga está cargada y apoyada en la forma que se indica en
la figura. Determinar las componentes de las reacciones en
los apoyos A y B.
PROBLEMA
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DSL
Un entramado conectado mediante pasadores está cargado
y apoyado según se indica en la figura. Determinar las
reacciones en los apoyos A y B.
PROBLEMA
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DSL´s
Un entramado de dos barras conectado por pasadores
está cargado y apoyado según se indica en la figura.
Determinar las reacciones en los apoyos A y B.
PROBLEMA
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DSL
Una barra que pesa 1250 N está soportada por un poste y
un cable según se indica en la figura. Se suponen lisas
todas las superficies. Determinar la tensión del cable y las
fuerzas que se ejercen sobre la barra en las superficies
de contacto.
PROBLEMA
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DSL´s
PROBLEMA
Un cilindro de masa 50 kg se apoya sobre un
plano inclinado y un entramado de dos barras
articulado por pasador. Suponiendo lisas
todas las superficies, determinar:
a) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen
las superficies de contacto.
b) Las reacciones en los apoyos A y C del
entramado de dos barras.
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La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas se
determina descomponiendo cada fuerza del sistema en una
fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de
coordenadas) y un par.
El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :
• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con
módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del
sistema original.
• Un sistema de pares no coplanarios.
Equilibrio en tres dimensiones
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DSL
Una placa que pesa 2,5 kN está soportada por un árbol AB y
un cable C. En A hay un cojinete de bolas y en B un cojinete
de empuje. Los cojinetes están alineados adecuadamente
de forma que solo trasmiten fuerzas. Determinar las
reacciones en los cojinetes A y B y la tensión en el cable C
cuando se apliquen a la placa las tres fuerzas indicadas.
PROBLEMA
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DSL
Un poste y un soporte sostienen una
polea. Un cable que pasa sobre la
polea transmite una carga de 2500 N
en la forma indicada. Determinar la
reacción en el apoyo A del poste.
PROBLEMA
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DSL
Las masas de las cajas que descansan sobre la
plataforma son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.
La masa de la plataforma es de 500 kg. Determinar las
tensiones de los tres cables A, B y C que la soportan.
PROBLEMA
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DSL
El tablero de la figura tiene una masa de 25 kg y lo
mantienen en posición horizontal dos goznes y una barra.
Los goznes están alineados adecuadamente de forma que
solo ejercen reacciones de fuerza sobre el tablero.
Supóngase que el gozne en B resiste toda fuerza dirigida
según el eje de los pasadores de los goznes. Determinar
las reacciones en los apoyos A, B y D.
PROBLEMA
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Una torre de transmisión se sostiene por tres alambres los cuáles están
anclados mediante pernos en B, C y D. a) Si la tensión en el alambre AD es de
315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el
perno en D. b) Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine las
componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B. c) Si la
tensión en el alambre AC es de 425 lb, determine las componentes de la fuerza
ejercida por el alambre sobre el perno en C. Ver figura.
PROB - SOL
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Metalúrgica
Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:
dx = 74 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft
______________________
d = √(74 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2
d = 126 ft
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = 74 ft/126 ft = 0.5873; Θx = cos-1 0.5873 = 54°. Fx = F cos Θx. Fx = 315 lb x 0.5873 = Fx = 185 lb. Cos Θy = 100 ft/126 ft = 0.7936; Θy = cos-1 0.7936 = 37.4°. Fy = F cos Θy. Fy = 315 lb x 0.7936 = 245 lb. Cos Θz = - 20 ft/126 ft = - 0.1587. Θz = cos-1 - 0.1587 = . Fz = F cos Θz. Fz = 315 lb x – 0.1587 = -50 lb.
SOLUCION a)
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Geológica, Minera y
Metalúrgica
Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = - 25 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft
______________________
d = √(-25 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2
d = 105 ft
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d; Cos Θx = -25 ft/105 ft = - 0.2380.
Θx = cos-1 - 0.2380 = 103.7°; Fx = F cos Θx. Fx = 525 lb x - 0.2380 =
Fx = - 125 lb.
Cos Θy = 100 ft/105 ft = 0.9523; Θy = cos-1 0.9523 = 17.7°.
Fy = F cos Θy. Fy = 525 lb x 0.9523 = 500 lb.
Cos Θz = - 20 ft/105 ft = - 0.1904; Θz = cos-1 - 0.1904 = .
Fz = F cos Θz. Fz = 525 lb x – 0.1904 = -100 lb.
SOLUCION b)
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Geológica, Minera y
Metalúrgica
Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dx = - 18 ft, dy = 100 ft, dz = 60 ft
______________________
d = √(-18 ft)2 + (100 ft)2 + (60 ft)2
d = 118 ft
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d
Cos Θx = -18 ft/118 ft = - 0.1525; Θx = cos-1 - 0.1525 = 98.7°.
Fx = F cos Θx. Fx = 425 lb x - 0.1525 = Fx = - 64.8 lb.
Cos Θy = 100 ft/118 ft = 0.8474; Θy = cos-1 0.8474 = 17.7°.
Fy = F cos Θy. Fy = 425 lb x 0.8474 = 360 lb; Cos Θz = 60 ft/118 ft = 0.5084
Θz = cos-1 - 0.5084 = Fz = F cos Θz. Fz = 425 lb x 0.5084 = 216 lb.
SOLUCION c)
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3RA. SEMANA
Fuerzas distribuidas.
Fuerzas distribuidas a lo largo de una
línea y de una superficie.
Seminario
Facultad de Ingeniería
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Se emplean tres cables para amarrar al globo mostrado en la
figura de abajo. Se sabe que la tensión en el cable AC es de
444 N, suponiendo que el globo está en equilibrio, determine el
valor de las tensiones de los cables AB y AD.
PROB - SOL
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Para hallar las componentes de la cuerda AC, primero hallamos la distancia total de acuerdo a las distancias dadas en la figura:
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dx = - 4.2 m, dy = 5.6 m, dz = 2.4 m
______________________
d = √(-4.2 m)2 + (5.6 m)2 + (2.4 m)2
d = 7.4 m
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d
Cos Θx = - 4.2 m /7.4 m = - 0.5675; Θx = cos-1 - 0.5675 = 124.6°.
Fx = F cos Θx. Fx = 444 N x - 0.5675 = Fx = - 252 N.
Cos Θy = 5.6 m /7.4 m = 0.7567; Θy = cos-1 0.7567 = 40.8°.
Fy = F cos Θy. Fy = 444 N x 0.7567 = 225.7 N.
Cos Θz = 2.4 m /7.4 m = 0.3243; Θz = cos-1 0.3243 = 71°.
Fz = F cos Θz. Fz = 444 N x 0.3243 = 144 N.
SOLUCION
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Geológica, Minera y
Metalúrgica
Ahora sacamos la distancia total, para el cable AB, como puede verse en la figura, el perno B, está exactamente situado sobre el eje X, por lo cual solamente tiene componente en Y y en Z, los cuales son:
__________
d = √(dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dy = 5.6 m, dz = - 4.2 m
______________________
d = √(5.6 m)2 + (-4.2 )2
d = 7 m. Ahora se sacan los ángulos θy y θz para la cuerda AB:
Cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d ; Cos Θy = 5.6 m /7 m = 0.8
Θy = cos-1 0.8 = 36.8°; FyAB = AB cos Θx. FyAB = AB (0.8) =
Cos Θz= -4.2 m /7 m = -0.6 ; Θz = cos-1 - 0.6 = 126.8°.
FzAB = AB (-0.6)
SOLUCION
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Ahora sacamos la distancia total, para el cable AD, como puede verse en la figura, el perno D, está exactamente situado sobre el eje Z, por lo cual solamente tiene componente en X y en Y, los cuales son:
__________
d = √(dx2) + (dy2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:
dx = 3.3 m, dy = 5.6 m
______________________
d = √(3.3 m)2 + (5.6 m )2
d = 6.5 m. Ahora se sacan los ángulos θx y θy para la cuerda AD:
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d; Cos Θx = 3.3 m /6.5 m = 0.5076
Θx = cos-1 0.5076= 59.4°; FxAD = AD cos Θx. FxAD = AD (0.5076) =
Cos Θy= 5.6 m /6.5 m = 0.8615 ; Θy = cos-1 0.8615 = 30.5°.
FyAD = AD (0.8615); sumatoria de fuerzas: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0.
ΣFx = - 252 N + AD (0.5076) = 0; ΣFx = AD (0.5076) = 252 N.
Ahora despejamos AD: AD = 252/0.5076 N = 496.4 N.
Σ Fy = 225.7 N + AB (0.8) = 0; Σ Fy = AB (0.8) = - 225.7 N. despejando AB, tenemos: AB = 225.7/ 0.8 N = 282.12 N.
SOLUCION
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Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables
mostrados en la figura. Sabiendo que la tensión en el cable AB
es de 408 N, determine las componentes de la fuerza ejercida
sobre la placa en B.
PROB - SOL
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AB.
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = -13 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm
__________________________
d = √(-13 cm)2 + (48 cm)2 + (- 32 cm)2
d = 59.1 cm
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d
Cos Θx = -13 cm/59.1 cm = - 0.2199; Θx = cos-1 - 0.2199 = 102.7°.
Fx = F cos Θx. Fx = 408 N x - 0.2199 = Fx = - 89.7 N.
Cos Θy = 48 cm /59.1 cm = 0.8121; Θy = cos-1 0.8121= 35.7°.
Fy = F cos Θy. Fy = 408 N x 0.8121 = 331.3 N.
Cos Θz = - 32 cm/59.1 cm = - 0.5414; Θz = cos-1 - 0.5414 = 122.7°
Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.5414 = - 220.8 N.
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Una placa rectangular está sostenida por los 3
cables mostrados en la figura anterior .
Sabiendo que la tensión en el cable AD es de
429 N, determine las componentes de la fuerza
ejercida sobre la placa en D.
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AD.
_________________
d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)
De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm
__________________________
d = √(36 cm)2 + (48 cm)2 + (- 25 cm)2
d = 65 cm
Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d;
Cos Θx = 36 cm/65 cm = 0.5538.
Θx = cos-1 0.5538 = 56.3°; Fx = F cos Θx. Fx = 429 N x 0.5538=
Fx = 237.5 N.
Cos Θy = 48 cm /65 cm = 0.7384; Θy = cos-1 0.7384= 42.4°.
Fy = F cos Θy. Fy = 429 N x 0.7384 = 316.7 N; Cos Θz = - 25 cm/65 cm = - 0.3846.
Θz = cos-1 - 0.3846= 112.6°; Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.3846 = - 165 N.
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a) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j + (100
N) k, define el sentido y la dirección de una fuerza en
el espacio, hallar el ángulo que definen dicha fuerza
con respecto al eje “Y” si su magnitud es de 600 N.
Cos Θy = Fy/F; Cos Θy = 150 N/600 N = 0.25
Θy = cos-1 0.25 = 75.52º.
b) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100
N) k define el sentido y la dirección de una fuerza en el
espacio, hallar el ángulo que definen dicha fuerza con
respecto al eje “X” si su magnitud es de 600 N.
Cos Θx = Fx/F; Cos Θx = 300 N/600 N = 0.5
Θx = cos-1 0.5 = 60º.
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c) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100 N) k define el sentido y la dirección de una fuerza en el espacio. Hallar el ángulo que definen dicha fuerza con respecto al eje “Z”.
____________________
F= √Fx2 + Fy2 + Fz2
________________________
F = √(300 N)2 + (150 N)2 + (100)2
____________
F= √ 122500 N2 = 350 N
Cos Θz = Fz/F; Cos Θz = 100 N/350N = 0.2857
Θz = cos-1 0.2857= 73.40º.
d) Una fuerza F= (100 N) i + (200 N) j +(300) k define la tensión de una cuerda que sostiene un poste de madera. Calcular el ángulo que forma la fuerza con el eje Y.
F= √Fx2 + Fy2 + Fz2
________________________
F = √(100 N)2 + (200 N)2 + (300)2
____________
F= √ 140000 N2 = 374.16 N; Cos Θz = Fz/F; Cos Θz = 300 N/374.16 N = 0.8017; Θz = cos-1 0.8017= 56.69º.
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e) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j –(60 m) k define la dirección de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar la expresión vectorial de la fuerza.
____________
d= √dx2 + dy2 + dz2
________________________
d = √(40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2
____________
d= √ 5600 m2 = 74.83 m.
F = dx F + dy F + dz F
d d d
F = 40 m 1000 N +20 m 1000 N -
74.83 m 74.83 m
60 m 1000 N
74.83 m
F = (534.54 N) i + (267.27 N) j - (801.81 N) k.
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f) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j –(60 m) k define la dirección de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar el ángulo que forma con respecto al eje “Y”.
____________
d= √dx2 + dy2 + dz2
________________________
d = √(40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2
____________
d= √ 5600 m2 = 74.83 m.
Fy = 20 m (1000 N ) = 267.27 N
74.83 m
Cos Θy = Fy/F
Cos Θy = 267.27 N = 0.2672
1000 N
Θy = cos-1 0.2672 = 74.5º.
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Momentos y sus características
El momento de una fuerza respecto a un
punto o respecto a un eje es una medida de
la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor
del punto o del eje.
Ejemplo:
El momento de F respecto de O es una
medida de la fuerza a hacer girar el cuerpo
alrededor del eje AA.
La recta AA es perpendicular al plano que
contiene a la fuerza F y al punto O.
Punto O: Centro del momento.
d: Brazo del momento.
Recta AA: Eje del momento.
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El momento tiene módulo, dirección y sentido y se
suma de acuerdo con la regla de adición del
paralelogramo.
Magnitud vectorial
Módulo: Producto del módulo de la F por la
distancia d medida desde la recta soporte de la
fuerza al eje AA.
Sentido del momento:
Se indica mediante una flecha curva en torno al
punto.
Por definición:
• Rotación anti horaria: momento positivo
• Rotación horaria: momento negativo
dFMM OO .Unidades: N .
m
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- 87 -
PROBLEMA
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El momento M de la resultante R de un
sistema de fuerzas respecto a cualquier
eje o punto es igual a la suma vectorial de
los momentos de las distintas fuerzas del
sistema respecto a dicho eje o punto.
Los módulos de los momentos respecto al
punto O de la resultante R y de las
fuerzas A y B son:
Principio de los momentos, Teorema de Varignon
)cos(
)cos(
)cos(
hBBbM
hAAaM
hRRdM
B
A
R
En la figura se ve que:
Por lo que: coscoscos BAR
BAR MMM
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PROBLEMA
Para cada caso,
calcular el momento
respecto al punto O
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PROBLEMA
Calcular las reacciones en A y B
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Representación vectorial de un Momento
Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a
un punto O, será:
Donde r es el vector de posición de O a A de la recta
soporte de F. Así: MO = r x F = (r F sen ) e
: es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)
e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a
los vectores r y F.
(r . sen a) : distancia d del centro del momento O a la recta
soporte de F
MO = r x F
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En la figura apreciamos que la distancia d
es independiente de la posición de A
sobre la recta soporte:
332211 senrsenrsenr
Podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:
MO = r x F = (r F sen a) e = F d e = MO e
La dirección y sentido del vector unitario
e están determinados por la regla de la
mano derecha (los dedos de la mano
derecha se curvan de manera de llevar
el sentido positivo de r sobre el sentido
positivo de F y el pulgar señala el
sentido de MO
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Momento de una fuerza respecto a un punto
r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k
El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar
el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la
fuerza F (A) se puede expresar así:
MO = r x F
La ecuación vectorial de
cálculo del momento de
una fuerza respecto a un
punto:
Es aplicable tanto al caso
bidimensional como al
tridimensional.
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Consideremos 1º el momento MO respecto del origen de
coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:
F = Fx i + Fy j; r = rx i + ry j
MO = r x F =
i j k
rx ry 0
Fx Fy 0
= (rxFy – ryFx) k = Mz k
* MO es perpendicular al plano xy (según eje z)
* MO positivo (sentido antihorario)
* MO negativo (sentido horario)
Caso bidimensional
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El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza
F con orientación espacial se determinará así:
F = Fx i + Fy j + Fz k; r = rx i + ry j+ rz k
MO = r x F = =
i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
M= Mx i + My j + Mz k = MO e
= (ry Fz – rz Fy) i + (rz Fx – rx Fz) j + (rx Fy – ry Fx) k =
222
zyxO MMMM Donde:
e = i + j + k xcos ycos zcos
Caso tridimensional
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O
xx
M
Mcos
O
y
yM
Mcos
O
zz
M
Mcos
Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:
Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y
puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas
rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.
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El Teorema de Varignon no está limitado a dos fuerzas concurrentes sino
que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.
pero
por tanto
Entonces
Ecuación que indica que el momento de la resultante de un número
cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas
individuales.
RrM O
nFFFR ...21
nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121
nRO MMMMM ...21
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Momento de una fuerza respecto a un eje
El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en
mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.
El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:
1º Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.
2º Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M
perpendicular a este: MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en
Donde:
enx, eny y enz son las
componentes
cartesianas (cosenos
directores) del vector
unitario en.
MOB = (r x F). en= enx eny enz
rx ry rz
Fx Fy Fz
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Pares
Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de
sentidos opuestos forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas
es nula en cualquier dirección, por lo que un par tenderá
solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado.
El momento de un par es la suma de
los momentos de las dos fuerzas que
constituyen el par.
dFM A 2 dFM B 1
FFF 21 FdMM BA
El módulo del momento de un par
respecto a un punto de su plano es
igual al módulo de una de las fuerzas
por la distancia que las separa.
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La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto
cualquiera O es:
y como: 2211 FrFrMO 12 FF
11211211 /)()( FrFrrFrFrM
BAO
edFesenFrFrMBA
BAO 111 .../
/
r A/B vector posición y e vector
unitario (regla mano derecha).
Por la ecuación anterior, el
momento de un par no depende de
la situación de O por lo que el
momento de un par es un vector
libre.
Pares
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Las características de un par, que rigen su
efecto exterior sobre los cuerpos rígidos, son:
• El módulo del momento del par
• El sentido del par (sentido de rotación)
• La dirección o pendiente del plano del par
(definida por la normal al plano n)
Se pueden efectuar diversas
transformaciones del par sin que varíen sus
efectos exteriores sobre un cuerpo:
• Un par puede trasladarse a una posición
paralela en su plano o a cualquier plano
paralelo.
• Un par puede hacerse girar en su plano.
• El módulo de las dos fuerzas del par y las
distancia que las separa se pueden variar
mientras se mantenga constante el producto
F.d
Pares
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Un número cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente
para dar un par resultante.
Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para
dar un par resultante único. Como el momento de un par es un vector libre
colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas,
descomponemos cada par según sus componentes rectangulares y sumamos las
componentes correspondientes.
eCkCjCiCCCCC zyxzyx
222
zyx CCCC kjie zyx coscoscos
C
C
C
C
C
C
z
z
y
y
x
x
arccos
arccos
arccos
Pares
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Descomposición de una fuerza en una fuerza - par
En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una
fuerza paralela y un par (figura).
Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se
pueden combinar dando una fuerza única en el plano en
cuestión. Así, el único efecto exterior de combinar un par con
una fuerza es desplazar a una posición paralela la recta soporte
de la fuerza.
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Sistemas de fuerzas coplanarias
Su resultante puede determinarse mediante las
componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier
pareja conveniente de direcciones perpendiculares.
eRjRiRRRR yxyx
R
F
R
F
jie
FFR
FR
FR
y
y
x
x
yx
yx
yy
xx
cos
cos
coscos
22
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La situación de la recta soporte de la resultante respecto a un punto
arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:
OnnR MdFdFdFdFRd ...332211
Luego: R
Md
O
R
Sentido de dR : (horario o antihorario) según OM
La situación de la recta soporte de la resultante respecto a O se
puede especificar también determinando la intersección de la
recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.
y
O
RR
Mx
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas
coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.
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Sistemas de fuerzas no coplanarias
Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la
fuerza resultante tiene por módulo su suma algebraica y la recta
soporte de la resultante se determina mediante el principio de los
momentos:
nnO
n
FrFrFrRrM
kFkRFFFR
...
...
2211
21
La intersección con el plano xy de
la recta soporte de la fuerza
resultante se localiza así:
R
My
R
Mx
MyFyFyFRy
MxFxFxFRx
x
R
y
R
xnnR
ynnR
;
...
...
2211
2211
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- 108 -
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Sistemas de fuerzas cualesquiera
La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera
(figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del
sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado
(O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)
El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :
• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con
módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema
original.
• Un sistema de pares no coplanarios.
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Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los
dos sistemas se pueden descomponer en componentes
según los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)
La resultante del sistema de fuerzas concurrentes
es un fuerza R que pasa por el origen y la
resultante del sistema de pares no coplanarios es
un par C.
Casos particulares:
• R = 0
• C = 0
• R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera
puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.
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Casos especiales:
Par C perpendicular a la fuerza resultante R
El sistema será equivalente a una fuerza única R cuya recta
soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una
dirección y sentido que haga que el momento de R respecto a O
sea igual al momento de C.
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Par C oblicuo a la fuerza resultante R
El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y
otra perpendicular a la fuerza resultante R.
La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella
CI, se pueden combinar.
demás, se puede trasladar la componente paralela CII del par
hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante
R. La combinación del par CII con la fuerza resultante R recibe el
nombre de torsor.
Casos especiales:
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La acción del torsor puede describirse como un empuje (o
tracción) más una torsión en torno a un eje paralelo al empuje
(o tracción).
•Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido,
el torsor es positivo (hoja anterior).
• Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos
opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).
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PROBLEMA
Para cada caso, calcular el
momento respecto al punto O
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PROBLEMAS
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PROB - SOL
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