1.2- MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN (ADM)
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El Método de Descomposición de Adomian fue inventado por el físico norteamericano G. Adomian (1923-1996) en 1984, pero ha sido bajo el impulso del profesor Y. Cherrault cuando el método ha encontrado su soporte matemático. En particular, Yves Cherrault y Karim Abbaoui han podido probar la convergencia bajo hipótesis razonables y dar formulas simples de los polinomios de Adomian.Numerosas modelizaciones de problemas físicos o biológicos desembocan en ecuaciones funcionales no lineales de diversos tipos: diferenciales ordinarias, diferenciales en derivadas parciales, integrales, integro-diferenciales…Linealización y discretización son las técnicas más utilizadas para su solución, aunque se corre el riesgo de que la solución se aleje de la solución del problema a resolver. El método no cambia la naturaleza del problema, en particular no efectúa ninguna linealización ni discretización. Está basado en la búsqueda de una solución en forma de serie y en la descomposición del operador lineal en serie en los que los términos se calculan de forma recurrente utilizando unos polinomios llamados los polinomios de Adomian.
Bajo ciertas condiciones de convergencia, la suma de la serie dará la solución exacta, pero en general la serie se truncará para dar una buena aproximación. El error de truncamiento puede ser estimado la mayoría de las veces.
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ANÁLISIS DEL MÉTODOANÁLISIS DEL MÉTODOConsideremos la ecuación diferencial no lineal
donde F representa una combinación lineal de operadores lineales y no
Lineales, esto es,
donde L representa el operador lineal (generalmente L es la derivada de
orden superior ,fácilmente invertible), R es un operador lineal de orden
menor que L, N es un operador no lineal y g es el término fuente.
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En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie
donde los un son calculados recursivamente.
Resolviendo esta ecuación para , ya que L es invertible, podemos escribir:
Si L, por ejemplo, es un operador derivada de segundo orden, L es una integral doble indefinida, resolviendo para u en la ecuación (1) obtenemos:
donde A y B son constantes de integración que pueden ser halladas con las condiciones iniciales o con las condiciones de frontera.
El término R es el resto del operador lineal L, el término N es una función no lineal de u, con la siguiente descomposición
Aquí los An son llamados los polinomios de Adomian, pueden ser generados de muchas formas (*). Se usa la formula de recurrencia:
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Finalmente la solución puede ser escrita
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El método no acude a la linealización o al supuesto de no linealidad débil, la solución generada es en general mas realista que aquellos que simplificaron el modelo del problema físico.
Ejemplos
Ejemplo_1 Considerar el PVI:
Se tiene:
La ecuación da:
Tenemos que
Curso Maestría en Matemáticas AplicadasEcuaciones diferenciales ordinarias no lineales
Continuando esta iteración se llega
Ejemplo_2 Considerar la ecuación integral (anexo)
Tenemos que
Supongamos que
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Luego tenemos que
Así para cualquier
Por tanto
Verificar que sinx es la solución exacta de
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Ejemplo_3 Considerar la ecuación integral de Volterra
Tenemos que
Notar que u2 no puede ser evaluada directamente. Por tanto, el método sólo puede da soluciones aproximadas. Para más información (Chama)
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Donde N(t) es el número de células en el tiempo t, con la condición inicial que en t0 se tienen No células, es la tasa neta de crecimiento o decaimiento de la población (es la tasa de nacimiento, la tasa de muerte y Nc es la población más grande que el medio soporta (capacidad de carga).
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Definamos el operador
Podemos escribir (1) como:
Ejemplo_4 Considerar la ecuación de Pearl-Verhulst
De aquí que
Escribiendo , donde los An son una clase especial de polinomios así:
Descompongamos N(t) en sus componentes los cuales están determinados tomando en este caso. Si hay un término no homogéneo esté deberá estar incluido en . Podemos ahora identificar
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Así, cuando los An han sido evaluados, todas las Nn quedan completamente determinados en términos de la componentes precedentes, así que podemos tener
los cálculos de los An son:
Así
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Consecuentemente, ya que )0(0 NN
Etc…Claramente todos los términos son fácilmente calculables.
Biological Systems Interations. G. Adomian, G. E. Adomian, R.E. Bellman
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Aplicando el operador inverso:
Usando descomposición en series de un y la representación de
Sugerencia **
Método de Adomian modificado: acelera la convergencia
Ejemplo_5 Ecuación diferencial de Riccati
anexo
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Las primeras componentes da
La solución exacta es .
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Ecuaciones diferenciales parciales no lineales
Dif. de mayor orden en x
Dif. de mayor orden en y
Suponer Lx es el de menor entre los dos
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Haciendo como antes…….
Las componentes de Un se tienen en forma recursiva
Conociendo los An
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Linealización exacta:
No lineal lineal
Directamente ADM
Sea donde
Observación Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas
Resolviendo para
sumando
definiendo
Sustituyendo obtenemos:
Con esto todas las componentes quedan determinadas.
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Ejemplo 6_ Considerar el problema de valor en la frontera
Un operador para (1) sería
donde por tanto
Aplicando a ambos lados de (2)
donde
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El método de Adomian, descompone la solución en una serie infinita decomponentes
y el término no lineal por una serie infinita de polinomios
Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en (3) da
El método de descomposición identifica la componente cero con todosLos términos que se presentan de las condiciones de frontera y la integración del término no homogéneo.
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Por consiguiente, el método de descomposición admite el uso dela relación de recurrencia
Los polinomios de Adomian que representan el término no lineal estándefinidos por
Usando (7) y (8), hallamos
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Sustituyendo los resultados de (9) en (4) da la solución en forma de serie con f(y) aún sin determinar. Usando la condición de frontera u(x,0)=1(x) en la solución en seriesobtenida e igualando los coeficientes en potencias de x para así determinar esto nos dará una expresión en series de Maclaurin para f(x).Una vez establecida f(x), la solución en serie se sigue inmediatamente.
Resultados numéricos
Aplicando a ambos lados de (1*) da
donde
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Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en ambos lados de (2*) da
Esto da la relación de recurrencia
Las primeras componentes de están dadas por
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Esto da
para terminar falta determinar f(y).
Usando la condición en la frontera en la ecuación anterior da
Igualando los coeficientes en potencias de x en ambos lados
La expansión de Maclaurin de f(y) es dada por
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D aquí que en (6*) lleva a la solución exacta
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Ejemplo 7_ (Ecuación cúbica de Schrödinger no lineal)
En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie
donde los un son calculados recursivamente.
Aplicando ADM
(Operador lineal , operador no lineal )
Operador inverso
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Ecuación diferencial parcial no lineal dispersiva. Describe la evolución espacio-temporal del campo complejo .
El término no lineal N(u) se descompone en una serie infinita de polinomios de la forma
Donde los An son los polinomios de Adomian, que al sustituir en (3) da
De acuerdo a Adomian u0(x,t) es identificado con el dato inicial f(x) y la siguiente formula de recurrencia se propone
donde los polinomios de Adomian vienen dados por
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O bien, escribiendo el término no lineal en la forma
Así por ejemplo, si
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Suponiendo que se tenga lo siguiente
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Sumando ahora estas componentes produce
con . Puede verse que esta es la solución exacta, cuando se compara con otros métodos analíticos.(*)
Ejemplo: (**)
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Ejercicios_2
Donde
Solución: ?
Ejercicios_3
Donde
Solución:
Ejercicios_1
Donde
Solución:
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Ejercicios_5
Donde
Solución:
Ejercicios_3
Donde
Ejercicios_4
Donde
Solución:
Solución:
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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales
Sea el sistema de EDP no lineal:
Escribiendo de otra forma:
Descomponemos las soluciones en series
Y los términos no lineales
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Donde los polinomios de Adomian vienen dado por:
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Ejemplo 8_ ( Sistema de manakov) Sistema acoplados de ecuaciones diferenciales no lineales de Schrödinger)
Aplicando ADM
Donde denota el operador lineal. Usando el operador inverso a ambas ecuaciones se tiene:
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En el ADM se supone que la solución u y v puedan ser expandidas como una serie
donde los un y vn son calculados recursivamente.
Operador inverso
Donde:
Operadores no lineales
Los términos no lineales N1(u,v) y N2(u,v) se descompone serie infinita de polinomios de la forma
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donde Akm son los polinomios de Adomian dados por:
De aquí , se obtiene lo siguiente:
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ANEXO_1
Ecuación integral lineal de Fredholm
1ª clase
2ª clase
Ecuación integral lineal de Volterra
1ª clase
2ª clase
Ecuación de Volterra a PVI:
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Método de descomposición de Adomian
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Ver
Método de descomposición mejorado
Ejercicio: Aplicarlo a
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Para más información :
A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.
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Pag.14
Partial Differential Equations_Method and Applications . Abdul-Majid WazwazA First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.
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