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DISEO DE LOSAS ARMADAS EN DOS
DIRECCIONES CON EL METODO DIRECTO
INTRODUCCION:
Las losas armadas en dos direcciones son losas
que transmiten las cargas aplicadas a travs de
fexin en dos sentidos. Este comportamiento
se observa en losas en las cuales la relacin
entre su mayor y menor dimensin es menor
que 2 . A lo largo del tiempo, los mtodos de
diseo de este tipo de estructuras an ido
variando . en un inicio . el desconocimiento del
comportamiento real de este tipo de
estructuras llevo a la creacin de patentes
para su diseo y construccin , antes de entrar
en servicio , las losas eran sometidas a
pruebas y el proyectista daba una garant!a por
un periodo determinado de tiempo . losprocedimientos de diseo empleados
consideraban erradamente, que parte de la
carga aplicada sobre losas generaba es"uer#os
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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en una direccin y el resto tenia un e"ecto
similar a la otra . es decir , la carga se repart!a
en las direcciones principales.
TIPOS DE LOSAS ARMADAS EN DOS
DIRECCIONES
En un inicio . las losas armadas en dos direcciones
se apoyaban sobre vigas en sus cuatro lados dando
lugar a los sistemas de vigas y losas , como el
mostrado en las /guras siguientes . con"orme se "ue
conociendo me0or el comportamiento de estas
estrucuturas se "ue prescindiendo de las vigas y se
desarrollaron losas planas ,fat plate o fat slab
1losas planas , este tipo es e/ciente y econmicocuando actua ba0o cargas de gravedad , sin envargo ,
su poca rigide# lateral lo ace inconveniente en
regiones de alta sismicidad . el enco"rado de losas
planas es mas econmica que el de sistema de
vigas y losas . adem-s , son erigidas en menos
tiempo y permiten aprovecar me0or el espacio
vertical de las edi/caciones . el tendido de tuber!as
es mas sencillo por la ausencia de vigas en el
teco . por ello, en #onas de ba0a sismicidad , las
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 2
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losas planas son muy utili#adas . son econmicas
para luces mayores de 3m.
En ocaciones , las losas planas presentan problemasde pun#onamiento alrededor de las columnas . no es
posible una adecuada trans"erencia de las cargas
aplicadas sobre la losa acia la columna . en estas
situaciones es posible incrementar el espesor de la
losa sobre el apoyo para aumentar la seccin de
concreto que resiste el corte . este ensancamiento
se denomina abaco o panel . tambin se suele acer
uso de capiteles en las /guras se muestran una losa
plana provista de paneles apoyadas en columnas
con capiteles. Este sistema es conveniente para
luces de 345m . sometidos a cargas mayores a6778g9m2.
Al igual que las losas nervadas es una direccin ,
tambin existen losas nervadas en dos direcciones
como las mostradas . sobre las columnas . la losa es
macisas para evitar el pun#onamiento . estaestructura permite reducir la carga muerta que
sostiene y cubrir luces mayores . su uso es
inconveniente en tramos de :.6 a 2m . el vacio
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;
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de0ado por la reduccin de la seccin de la losa
puede quedar abierto o ser rellenadas por ladrillos.
PROCEDIMIENTOS DE ANALISIS Y DISEO
SEGUN LA NORMA E - 060
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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*e acuerdo a la &orma &acional E4737 el an-lisis de
una losa armada en dos direcciones se puede reali#ar
mediante cualquier procedimiento que satis"aga las
condiciones de equilibrio y compatibilidad si se
demuestra que cumple con los requisitos de
resistencia requerida 1ampli/cacin de carga y
reduccin de capacidad y las condiciones de servicio
relativas a defexiones y agrietamiento.
ara losas armadas en dos direcciones que tienen
paos rectangulares cuadrados, con sin vigas de
apoyo, considerando cargas uni"ormemente
repartidas, se pueden utili#ar los siguientes mtodos
aproximados =
- Mtodo de lo Coe!"#e$te%-1 >olo se puede
usar para losas apoyadas en todos sus bordes .
- Mtodo D#&e"to%-1 >e puede usar para losas
apoyadas en los bordes y para losas apoyadas
solamente en las columnas .
METODO DIRECTO
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 6
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El )todo de *iseo *irecto es un procedimiento
aproximado para anali#ar sistemas de losas en dos
direcciones solicitados exclusivamente por cargas
gravitatorias. *ebido a que se trata de un
procedimiento aproximado, la aplicacin de este
mtodo se limita a los sistemas de losas que
satis"acen las limitaciones especi/cadas mas adelante
. Los sistemas de losas en dos direcciones que no
satis"acen estas limitaciones se deben anali#armediante procedimientos m-s exactos tal como el
)todo del rtico Equivalente especi/cado
$on la publicacin de A$+ ;?4?;, el )todo de *iseo
*irecto simpli/c enormemente el an-lisis de los
momentos de los sistemas de losas en dosdirecciones, ya que se eliminaron todos los c-lculos de
las rigideces para determinar los momentos de diseo
en un tramo extremo. Las expresiones para calcular la
distribucin en "uncin de la relacin de rigide# @ec
"ueron reempla#adas por una tabla de coe/cientes de
momento para distribuir los momentos totales en los
tramos /nales. %tro cambio introducido "ue que la
anterior ecuacin aproximada 1;4
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y una columna interior tambin se simpli/c,
eliminando el trmino de @ec. A partir de estos
cambios el )todo de *iseo *irecto se trans"orm en
un procedimiento de diseo verdaderamente directo,
uno que permite determinar todos los momentos de
diseo mediante la aplicacin de coe/cientes de
momento. Adem-s, se incorpor un nuevo art!culo
;.3.;.3, que contiene un requisito especial para el
corte debido a la trans"erencia de momento entre unalosa sin vigas y una columna de borde, y que se aplica
cuando se utili#an los coe/cientes de momento
aproximados.
Deniciones bsicas :
'% F&'$(' de Col)*$'.4 Es una "ran0a de diseo
con un anco a cada lado del e0e de la columna igual
a 7.26 L2 7.26 L, el que sea menor. Las "ran0as de
columna incluyen a la viga si estas existen.
+% F&'$(' #$te&*ed#'%- Es una "ran0a de diseo
limitada por 2 "ran0as de columnas.
L#*#t'"#o$e =
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina :
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a *eben tener como m!nimo ; paos continuos en
cada direccin.
b Los paos1 tableros deben ser rectangularescon una relacin largo a corto 1 e0e a e0e no mayor
de 2.
c Las luces 1claros de los paos sucesivos deben
ser parecidas no di/riendo en m-s de un tercio de la
lu# mayor.
d Las columnas deben estar alineadas,
permitindose como m-ximo un desalineamiento
del 7 del claro del pao desde cualquier e0e que
una los centros de columnas sucesivas.
e Las cargas ser-n solo de gravedad 1cargasverticales y ser-n uni"ormemente repartidas en
todos los paos.
" La sobrecarga o carga viva no exceder- ; veces la
carga muerta.
g ara un pao con vigas, la relacin de rigideces de
las vigas en las dos direcciones no ser- menor de 7.2
ni mayor de 6.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ?
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Mo*e$to et,t#"o tot'l '&' )$ '.o =
ara carga uni"orme, el momento de diseo total )o
para un tramo de la "ran0a de diseo se calcula
simplemente aplicando la expresin correspondiente a
momento est-tico=
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 5
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siendo /)la combinacin mayorada de carga
permanente y sobrecargas , Bu C ,2BdD,3B. La
lu# libre n 1en la direccin de an-lisis se de/ne de
manera directa si las columnas u otros elementos de
apoyo tienen seccin transversal rectangular. La lu#
libre comien#a en la cara del apoyo. )as adelante se
de/ne lo que es la cara del apoyo. na limitacin
requiere que la lu# libre no se tome menor que 36
de la lu# medida entre los centros de los apoyos . La
longitud 2 es simplemente la lu# 1entre centros
transversal a n. >in embargo, cuando se considera un
tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para
calcular )o se debe sustituir 2 por la distancia entre
el borde y el e0e del panel de losa considerado
2C1 bD c92
2C a D b92
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 7
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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DISTRIUCION DEL MOMENTO ESTATICO
TOTAL EN MOMENTO POSITIVO Y NEGATIVO
1*o*e$to lo$2#t)d#$'le3
El momento est-tico total de un tramo se divide en
momentos de diseo positivos y negativos como se
ilustra en la Figura.
En ella se ilustran los momentos en el tramo extremo
de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;
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1sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores
y sin viga de borde. ara otras condiciones el
momento est-tico total )o se distribuye
como se indica en la (abla 54.
Para paos interiores :
)omentos negativos = ) 14 C 7.36 )o )omentos positivos = ) 1D C 7.;6 )o
Para paos exteriores:
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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El "'o 4$o&*'l5 *, )'do e$ el Pe&7
e&, el de lo' "o$ 8#2', y por tanto =
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Los momentos calculados con la tabla 5. son
tambin los que actGan en caras de columnas como
se en las /guras anteriores. $uando los momentos
no son iguales , como suele suceder en la primera
columna interior , se debe disear con el momentos
mayor , o bien , distribuirlo el momento de
desequilibrio entre los miembros que concurren al
nudo de acuerdo con su rigide#.
$uando exista vigas de borde perpendiculares a la
direccin en que se ace el an-lisis , los momentos
torsionantes a dica vigas , lo cual debe ser
considerado en su diseo . cuando no existen dicas
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 3
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vigas, se debe considerar que una "ran0a de losa que
actua como viga de borde resiste el momento
torsionante correspondiente .
El reglamento del A$+ ;?472 especi/ca que el
momento que se trans/ere en este caso , debe ser
igual al momento resistente de la "ran0a de
columnas , como se muestra en la /gura siguiente.
na "raccin de este momento dado por la ecuacin =
f= 1
1+2
3
c1+dc2+d
*ebe trans"erirse por fexion entre la losa y lacolumna, considerando para estos e"ectos un anco
de losa igual al anco de la columna en direccin
perpendicular a la del momento, $2 , mas una ves y
medias el espesor de la losa ,.6, a cada lado del
pao de columnas . la "raccin restante del momento
debe ser trans"erida por excentricidad de la "uer#a
cortante.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina :
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DISTRIUCION DE LOS MOMENTOS A LO
ANC9O DE LA FRANA
;% Mo*e$to '&' l'
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- Mo*e$to Ne2't#8o I$teo& =
L=> L; 0%? ; =
L H L
:6 :6 :6
L29 L 57 :6
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L29 L
57 :6
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0.11
21 L
L
ara cuando
01
21 =LL
, no ay vigas, y por lo tanto toda
la "ran0a de columna ser- de losa.
ara valores de1
21L
L
mayores de cero y menores de
1vigas poco r!gidas se interpolar- entre el ?6 y el
7 para obtener el porcenta0e que toma la viga.
Adicional a estos momentos obtenidos para la viga
deber- considerarse los momentos actuantes debido a
cargas aplicadas directamente sobre ella.
DEFINICIBN DE Y T=
es la relacin de la rigide# a "lexin de la viga
entre la rigide# a fexin de la losa con un ancoigual a L2 1L2 es igual al promedio de 2 paos si
se tienen luces di"erentes.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 2
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sIE
bIE
sc
bc=
b C beam 1viga
s C >lab 1losa
&ormalmente EcbC EcsI por lo tantosI
bI=
>i se determina en la direccin L se denomina
y si se determina en la direccin L2 se denomina
2.
t es la relacin de la rigide# torsional de la viga
de borde 1perpendicular a L a la rigide#
fexin de un anco de losa igual a L2.
sIE
CE
sc
bc
t2
=
donde3
63.01
3yx
y
xC
=
ara la viga de borde cuya rigide# a torsin
comparamos.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 22
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ara e"ectos de calcular $ la viga se considera
como una viga (.
A "o$t#$)'"#$ )$ e(e*lo de ",l")lo del
8'lo& ":
Jiga ;7 x 37 y losa C 6
*e/nido el anco de la viga ( e8'l)'*o $
dividiendo esta en dos rect-ngulos de lados x e y
siendo x K y.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 2;
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a
b
Se e"o2e el *'o& 8'lo& de C
ara el c-lculo de Lbse considera una 8#2' T con
un anco de/nido como= el anco que incluya una
porcin de losa a cada lado de la viga, igual a lo
descrito anteriormente.
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 2
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ara el c-lculo de +s se considera L2 como
anco y por tanto ser- =
3
212
1shLsI =
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 26
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PERALTES MINIMOS
El reglamento del A$+ ;?472 especi/ca que las losas
sin vigas interiores deben tener los peraltes totales
minimos sealados en la tabla 5.
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-bacos o con 7cm para losas con -bacos . en "orma
alternativa, los peraltes totales minimos serna por lo
menos iguales a los valores calculados con las
ecuaciones 543 y 54: , el que resulta mayor ,
aunque no necesitan ser mayores que el calculado
con la ecuacin d . los peraltes totales minimos de
losas con vigas deben calcularse con las ecuaciones
543 , 54:, c en la "orma explicada.
En estas ecuaciones , @m es el valor promedio del
par-metro @ en las vigas que limitan el tablero de
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losa en consideracin I y M es la relacin entre el claro
libre mayor y el claro libre menor
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 2?
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REGLAMENTO A USAR
MTODO DIRECTO
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina 25
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;7
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;;
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;
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$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;6
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EERCIO DE APLICACION
PROLEMA%
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;3
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SOLUCION:
P'o ;%- Re8##$ de l' l#*#t'"#o$e '&'
ode& )'& el *todo:
a >e cumple. Nay ; claros en una direccin y < en la
otra.
b 'elacin entre claro largo y claro corto
0.25.146 e ")*le.
c *i"erencia m-xima entre claros sucesivos=
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;:
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6 O < C m K 6 9 ; C .: m. >e ")*le.
d Las columnas est-n alineadas. >e ")*le.
e Las cargas son uni"ormemente repartidas. >e ")*le." C'&2' *)e&t'=
P 1losa C 2*H
379.1446
800
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44
3
100.8112
60258.1cmIb =
=
44
33
103.1012
14450
12cm
hbIs
=
==
9.73.10
0.81===
s
b
I
I
II V#2' de +o&de de 6 * de l'&2o:
443
107.6912
602555.1cmIb =
=
443
100.612
145.62.2cmIs =
=
6.110.6
7.69===
s
b
I
I
III V#2' #$teo&e de ? *% *%:
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina ;5
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443
103912
50255.1cmIb =
=
44
3
101.712
145.312cmIs =
=
5.51.7
39===
s
b
II
IV V#2' de +o&de de ?*% *%:
44
3
100.4512
502575.1cmIb =
=
443
101.712
145.312 cmIs =
=
5.51.7
0.39===
s
b
I
I
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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V Re)*e$ de 8'lo&e
ara el tablero +
En la direccin ori#ontal
( )
( ) 0.554.12.0;54.1
63.35.5
59.76.11
2
2
212
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En la direccin vertical
( )
( ) 0.565.02.0;65.0
59.76.11
63.35.5
2
2
2
12
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( )
( ) 0.549.02.0;49.0
59.76.11
63.33.3
2
2
212
221
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22.1460
560==
1.74
3.35.59.76.11=
+++=m
( ) ( ) 5.02526
56
=++
=s
Luego=
( )
( )
++
+=
22.1
115.015.01.722.1000,5000,36
4200071.0800560h
h = 8.0 cm. 1
( )( )5.0122.1000,5000,364200071.0800560
+++
=h
h = 13.6 cm. 1 2
( )000,36
4200071.0800560 +=h
C :.7 cm.
>e toma el mayor valor entre 1 y 1 2 y por lo tanto elvalor supuesto de < cm, es adecuado.
% MOMENTO ESTATICO TOTAL:
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA- QUISPE LEDESMAFREDY
$alculo de Pu=
W(cargamuerta)=451 kg
m 2
W(cargaviva)=900 kg
m2
PuC.
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Mo=Wuxl2x ln
2
8 =
1.98x6x 3.62
8 =19.25 tm
% MOMENTOS LONGITUDINALES:
E(e A D:
)4214C7.3)oC7.3x27.;:C;.23t4m
)421DC7.6:)oC7.6:x27.;:C.3t4m
)2414C7.:)oC7.6:x27.;:C
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E(e ; ?:
)A4T14C7.3)oC7.3x3.;:C2.32t4m
)A4T1DC7.6:)oC7.6:x3.;:C5.;;t4m
)T4A14C7.:)oC7.6:x3.;:C.
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44
3
1030.2112
4040cmIcol =
=
44
.sup 10071.0300
1030.21
=
== LI
Kcol
44
.inf. 10053.0400
1030.21=
==
L
IKcol
En el e0e A, columna =
c=
0.071+0.0536+69.7600
=0.98
min(para a=0.5,l 2
l1=0.44,=11.6)=0
c>min ,luego no esnecesario aumentar los momentos positivos .
Esto sucede en todos los casos para los valores de
y del2
l1del ejemplo
En el e0e 2, columna T=
c= 0.071+0.053
45.6+13.7500 +
45.6+13.7400
=0.46
min(para a=0.5,l 2
l1=0.33,=3.3)=0.032
$%&$'E(% A')A*% ++ -gina
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c>min
6% DISTRIUCION DE MOMENTOS LONGITUDINALES
A LO ANC9O DE LAS FRANAS:
C'l")lo del '&,*et&o t :
$onstante de torsin $ para las vigas de borde del e0e A=
ara la condicin 1a
C=(10.63x 2560 )x25
3x 60
3 +(10.63x1446 )x
143x46
3
$C23.
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ara la condicin 1a
C=(10.63x 2550 )x253x 60
3 +(10.63x1436 )x14
3x36
3
$C27.;x7
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$C6.;x7
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ION tot'l1
2
L
L
1
21
L
Lt
'(e
t'+l'
e$
F&'$(
'
Col%
' e$
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1D ; 6 ?);42
14
22.:
7
7.:
6
6.52 ?2.6 ?.:; 6.
52
2.? ;.5:
Fran0as de los e0es y 6.
SECCI
ON
M
tot
'l
t
Po&"e$t
'(e
t'+l'
M
Lo'
e$
F&'$('
Col%
M
V#2
'
M
Lo'
e$
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&'l
)AT 14 6.7 .2 ;.53 ??.
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)421D 2.
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)421D ;.
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.106.532005.112259.0' 522 cmKgRfdbR
c ===
.3466.4
71.0225cmS =
=
Asmin C 7.77;; x 26 x6: C
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b.4 Jiga del e0e T=
Wu=1980
(6+1
2 x 2.5
+
6+2
2 x2.0
)=33165 kg
u=33165
2 =16582kg
c=0.53x200x 25x57=10944.61kg
s=
u
c=8563.63 kg
s=2x0.71x4200x 57
8563.63 =39.7>
d
2=28.5
sar estribos &ro ; V2?cm.
CROQUIS DE ARMADO:
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Lo' e$
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