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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemticas
4 semanas
Junio 2012 1
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes explorarn la secuenciacin y las relaciones recurrentes para investigar
razones de cambio y patrones. Clasificarn y construirn sucesiones mientras desarrollan trminos
generales y mtodos de clculo, adems de investigar el comportamiento a largo plazo de una relacin
de recurrencia.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrn de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre la sucesin y las relaciones de recurrencia para comprender y solucionar problemas por medio
de la aplicacin del razonamiento inductivo.
Estndares de contenido y expectativas
Sucesiones
A.CA.10.9.1 Investiga la razn de cambio encontrada en sucesiones y la utiliza para clasificar las
sucesiones como aritmtica, geomtricas o ninguna.
A.RE.10.9.2 Desarrolla el trmino general para las sucesiones aritmticas o geomtricas y desarrolla
mtodos para calcular la suma de los trminos para una sucesin aritmtica finita o sucesin
geomtrica y la suma de una serie geomtrica infinita.
Patrones
A.PR.10.10.1 Desarrolla relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmtico o
geomtrico.
A.PR.10.1.2 Genera o construye sucesiones a partir de modelos de patrones en relaciones de
recurrencia, en matemticas y en otras disciplinas.A.PR.10.1.3 Investiga el comportamiento a largo plazo la conducta de una relacin de recurrencia, con
o sin tecnologa.
Ideas grandes/Comprensin duradera:
Los patrones dan orden al mundo y nosayudan a darle sentido.
Las razones de cambio y los patrones seinvestigan usando sucesiones y relaciones de
recurrencia.
Las sucesiones se desarrollan en trminosgenerales.
Las relaciones de recurrencia son ecuacionesque definen una sucesin.
Preguntas esenciales:
Por qu son tiles los patrones? Por qu investigar razones de cambio? Cmo se usan los patrones para desarrollar
trminos generales?
Cmo se desarrollan relaciones derecurrencia para situaciones de crecimiento
aritmtico o geomtrico?
Contenido (Los estudiantes comprendern...)
Mtodos de calcular la suma de los trminosde una sucesin aritmtica finita y la suma de
una serie geomtrica infinita
Destrezas (Los estudiantes podrn...)
Investigar la razn de cambio encontrada ensucesiones y utilizarla para clasificar las
sucesiones como aritmtica, geomtrica o
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El concepto de comportamiento asintticoVocabulario de contenido
aritmtico, clasificar, convergencia,divergencia, finito, geomtrico, infinito,
notacin sigma (), patrn, relaciones de
recurrencia, sucesin, serie, tasa de cambio,
trmino general
ninguna.
Desarrollar el trmino general para lassucesiones aritmticas o geomtricas y
desarrollar mtodos para calcular la suma de
los trminos para una sucesin aritmtica
finita y sucesin geomtrica y la suma de una
serie geomtrica infinita.
Desarrollar relaciones de recurrencia parasituaciones de crecimiento aritmtico o
geomtrico.
Generar o construir sucesiones en base amodelos de patrones de relaciones de
recurrencia, tanto en matemticas como enotras disciplinas.
Investigar el comportamiento a largo plazouna relacin de recurrencia, con o sin
tecnologa.
Etapa 2 Evidencia de avalo
Tareas de desempeo
Un milln de dlares1
Los estudiantes demostrarn su comprensin de
las sucesiones aritmticas y geomtricas y de lasseries al describir varias formas de ahorrar un
milln de dlares en una cuenta bancaria.
1. Indcales a los estudiantes que su objetivoser ahorrar un milln de dlares en una
cuenta bancaria.
2. Solicita a los estudiantes que respondan a lassiguientes preguntas:
a. Cmo podras lograrlo en cinco aos si tumtodo de ahorro fuese una sucesin
geomtrica? Una serie geomtrica? Una
sucesin aritmtica? Una serie
aritmtica?b. Describe en lenguaje sencillo cmo cada
uno de estos modelos podra funcionar
como un plan de ahorros.
c. Cul se parece ms al mtodo que lagente realmente usara?
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz4
1. Cul sera una frmula del trmino n de lasucesin B mostrada a continuacin?B = 10, 12, 14, 16,
a) b) c) d)
2. Cul es la frmula del trmino n de lasucesin54, 18, 6,?
a) ()
b) (
)
c) ()
d) ()
1Fuente: www.curriculumframer.com
4Fuente:http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm7/31/2019 10.8 Patrones, Sucesiones y Series
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3. Utiliza la rbrica para evaluar el trabajo de losestudiantes (ver anejo: Organizador - Rbricade tarea de desempeo).
Planes de inversin2
Los estudiantes demostrarn su conocimiento de
las sucesiones recursivas diseando un plan de
inversin.
Tarea:
1. Busca y escribe los cinco primeros trminos(aos) de la sucesin representando la
inversin que hace un joven de 21 aos de
$2,000 a un 5.5 % anual.
2. Escribe la forma recursiva de esa sucesin.3. Decide de qu tipo de sucesin se trata y
escribe la forma explcita de la sucesin y
sala para hallar el valor de la inversin a los
55 aos de edad.
4. Compara la cantidad a los 55 del No. 3 con lainversin a los 21 aos de $2,000 compuesta
de forma continua a 5.5 % y describe el
clculo matemtico que hace variar las
cantidades. Muestra todo el proceso y explica
en tus propias palabras lo que hiciste y por
qu diste cada paso.Utiliza la rbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rbrica de
tarea de desempeo).
La maravillosa campaa de mercadeo viral3
Los estudiantes demostrarn su comprensin de
las sucesiones y las series al desarrollar una
campaa de mercadeo viral. El estudiante, como
consultor en mercadeo, ayudar a desarrollar
modelos de a cuntas personas se puede llegar,
considerando los efectos de los supuestos y
prediciendo resultados posibles en funcin de la
precisin de estos supuestos. El estudiante deber
adems explicar claramente las limitaciones de
este mtodo con el tiempo a medida que se va
agotando la reserva de clientes potenciales, y
3. Cul es el valor de
a) 1 b) 3c) 2 d) 0
Diario
a) Crea tu propia sucesin. Provee los primeroscuatro trminos y el noveno trmino. De qu
tipo de sucesin se trata? Cmo lo sabes?
b)
Compara las sucesiones aritmticas ygeomtricas. Da ejemplos:
c) Cul es el quinceavo trmino de la sucesin5, -10, 20, -40, 80,?
d) El maestro de Jonathan le pidi que expresarala suma
+
+
+
+
usando notacin sigma.
Jonathan ha propuesto cuatro respuestas
posibles. Cul de estas cuatro respuestas no
es correcta? Explica cmo lo sabes.
a)
b)
c)
d)
Boletos de entrada/salida
1. Compara las sucesiones aritmticas con lasseries.
2. Cul es la diferencia comn de esta sucesinaritmtica 5, 8, 11, 14?
3. Evala:
2Fuente:http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf
3Fuente: www.curriculumframer.com
http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf7/31/2019 10.8 Patrones, Sucesiones y Series
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cmo esto afecta la aplicabilidad del modelo.
Tarea:
El propietario de un parque de diversiones acaba
de leer un corto artculo sobre el mercadeo viral y
quiere intentarlo. Le emociona el poder detrs de
la idea de "si cada persona le cuenta a dos
personas, y esas personas le cuentan a dos ms..."
para hacer correr la voz sobre una nueva machina
que van a abrir.
Instrucciones:
1. Desarrolla los modelos para determinar acuntas personas se puede llegar con una
campaa de mercadeo viral.2. Identifica los efectos de los supuestos que
hagas y predice una gama de posibles
resultados en funcin de las opciones
provistas por estos supuestos.
3. Identifica el posible efecto que los errores entus supuestos podran tener en tus
predicciones.
4. Explica claramente las limitaciones de estemtodo con el tiempo a medida que se va
agotando la reserva de clientes potenciales, y
cmo esto afecta la aplicabilidad del modelo.5. Se te evaluar en funcin de cun exhaustiva
sea tu lista de planes, as como tu capacidad
para explicar el uso de supuestos y de
comunicar las limitaciones de tus predicciones
y cmo los supuestos incorrectos podran
afectarlas.
Utiliza la rbrica La maravillosa campaa de
mercadeo viral para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.8 Tarea de desempeo
- La maravillosa campaa de mercadeo viral).
Etapa 3 Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
Sucesiones aritmticas
Aritmtica? Y qu tal un total?: En esta actividad, los estudiantes se centrarn en sucesionesaritmticas y desarrollarn patrones para hallar el trmino nmero n, as como la suma de n
trminos en una sucesin aritmtica (ver anejo: 10. 8 Actividad de aprendizaje Aritmtica? Y
qu tal un total?).
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Dnde en el mundo?: Despus de repasar unos cuantos ejercicios en que se usen sucesiones yseries para hacer modelos de procesos reales, a los estudiantes se les retar a que hagan una lluviade ideas, en parejas o en grupos, para hacer una lista de diez ejemplos del mundo real de
sucesiones y series que sean parte de su vida diaria. De esa lista, debern escoger tres para
elaborarlas, justificando que son aritmticas, usando las frmulas que han aprendido, ilustrando
los resultados de forma grfica y considerando las limitaciones del patrn. (ver anejo: 10.8
Actividad de aprendizaje - Dnde en el mundo)
Cul es la sucesin?: A los estudiantes se les dar un nmero y se les dir que se trata de untrmino especfico de una sucesin. Cul podra ser esa sucesin? Es nica la respuesta? Para
hacerlo ms difcil an, se les dar un nmero y se les dir que se trata de la suma de un cierto
nmero de trminos de una sucesin y se les harn las mismas preguntas (ver anejo: 10.8 Plan de
aprendizaje - Cul es la sucesin).
Sucesiones geomtricas
La "familia Cuarteto": La familia Cuarteto tiene una extraa tradicin, comenzando por Horacio yWilhelmina Cuarteto a principios de los 1800. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y
declararon que cada descendiente deba hacer lo mismo. Cada hijo, nieto, biznieto, y as
sucesivamente, ha cooperado: cada uno se ha casado y ha tenido cuatro hijos. Estima cuntos
descendientes tienen al da de hoy, as como el nmero total de personas que hay en el rbol
genealgico (sin incluir cnyuges). (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La familia Cuarteto.)
Sucesiones
Y al dcimo da: Dales a los estudiantes cinco escenarios de la vida real con sucesiones, entre ellasejemplos de sucesiones aritmticas y geomtricas. Solicita que enumeren lo que ocurrira en los
primeros diez das. A continuacin, haz que por cada escenario desarrollen una regla general parael trmino n de la sucesin. Ejemplos (a), (b), (c) y (e) son bastante sencillos, pero el ejemplos (d)
no lo es (ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - Y al dcimo da). Pregntales a los estudiantes
cules sucesiones son similares y cules son diferentes. Introduce y contrasta los trminos de la
sucesin geomtrica y la sucesin aritmtica.
La sucesin de nunca acabar: Usando una herramienta tecnolgica, como la TI-83, que tiene lacapacidad de realizar la misma operacin repetidas veces en las respuestas sucesivas, los
estudiantes investigarn lo que sucede a medida que dejamos que las sucesiones y series
continen indefinidamente. En estas circunstancias, tendern a desaparecer los trminos? Es
posible que una serie infinita tenga una suma finita? (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La
serie sin fin.)
Ni geomtrico ni aritmtico
5
: Los estudiantes considerarn algunos ejemplos de sucesiones que nosean ni aritmticas ni geomtricas, y determinarn los trminos subsiguientes. Intentarn escribir
reglas generales para el trmino n. Dales a los estudiantes un pequeo conjunto de ejercicios
mixtos y solicita que generen los prximos cuatro trminos de cada uno. Incluye en el conjunto
mixto un par de ejercicios aritmticos y geomtricos, pero tambin incluye otros como i) ejercicios
que impliquen combinaciones de operaciones como: 3, 6, 7, 14, 15, 30,... (multiplicar por dos,
luego sumar 1); ii) sucesiones recursivas como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (sucesin Fibonacci), y iii) otras
5Fuente: www.curriculumframer.com
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sucesiones interesantes de los ejercicios de tu libro de texto. Solicita a los estudiantes que las
dividan en sucesiones que ya hayan estudiado, y en las que no se correspondan con estascategoras.
Cul es mi regla?6: Crea una lista de sucesiones y series a partir de ejercicios y discusiones en clasey problemas de asignacin. Incluye ejemplos aritmticos, geomtricos recursivos y ejemplos
cualesquiera que no se adecuen a los otros patrones. Solicita a los estudiantes que analicen los
ejemplos en parejas y grupos pequeos. Por cada ejemplo, debern generar los prximos trminos,
identificar el tipo y explicar cmo llegaron a su conclusin. No se debe tan solo poner nfasis en la
identificacin correcta, sino tambin en comunicar el proceso de razonamiento que los llev a su
decisin.
Ejemplos para planes de la leccin
Patrones, sucesiones y series7: Los estudiantes recibirn instrucciones directas de sucesiones yseries aritmticas. Debern reunir sus experiencias de Y al dcimo da y Aritmtica?Y qu tal
un total? para determinar reglas generales para identificar sucesiones aritmticas, hallar trminos
especficos en la sucesin, calcular la suma de los primeros trminos n y representar sumas usando
notacin sigma. Adems, compararn y contrastarn los trminos de una sucesin aritmtica con
una relacin lineal.
Instrucciones:
1. Solicita a los estudiantes que se refieran a las dos actividades anteriores y que trabajen enpares y grupos pequeos para resumir todo lo que han aprendido sobre las sucesiones
aritmticas. Date la vuelta por el saln y anota las contribuciones en la pizarra. Asegrate de
que se incluyan todas las siguientes en el resumen: (a) cmo identificar una sucesin
aritmtica, (b) cmo hallar un trmino especfico de una sucesin aritmtica y (c) cmo hallar
la suma de los primeros trminos n de una sucesin aritmtica.2. Trabaja a partir de las observaciones y representaciones de los estudiantes para producir las
formas estndares de las frmulas para hallar trmino especficos y sumas de sucesiones
aritmticas. Usa la notacin de suma para describir la suma de los primeros trminos n de una
sucesin.
3. Todava en grupos, dales a los estudiantes un ejemplo (primer trmino = 2, diferenciascomunes = 1.5). Solicita que hallen los primeros cinco trminos y creen una representacin
grfica.
4. Una vez terminen esta parte, pregntales cuntos de ellos conectaron los puntos para formaruna lnea. Aunque es de naturaleza lineal, cmo difiere esto de las relaciones lineales que han
estudiado en el pasado? Esta es una muy buena oportunidad para discutir los nmeros
discretos y los continuos, y los tipos de datos del mundo real que se prestan para cada uno.5. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando frmulas que hayan desarrolladousando ejercicios del libro.
Sucesiones y series geomtricas8: Los estudiantes recibirn instrucciones directas de sucesiones yseries aritmticas. Utilizarn las experiencias de La familia Cuarteto y la Sucesin de nunca
6Fuente:www.curriculumframer.com
7Ibdem.
8Ibdem.
http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/7/31/2019 10.8 Patrones, Sucesiones y Series
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acabar para motivarlos a hallar la frmula general del trmino n, la suma de n trminos y la suma
de una serie infinita. Elaborarn pautas generales para determinar si una serie converge o no. Losestudiantes utilizarn la notacin sigma cuando corresponda.
Instrucciones:
1. Utilizar las actividades anteriores para motivarlos a que elaboren sus propias frmulasgenerales. Dales un ejemplo sencillo (primer trmino = 5, r =2). Solicita que enumeren los
primeros cuatro trminos y escriban todo el proceso.
2. Utiliza ese proceso para escribir una frmula general para el trmino n. Deben poder hacerlopor su cuenta con la ayuda de algunas preguntas gua, de ser necesario.
3. Desarrolla la frmula de la suma de una serie geomtrica finita. La prueba de esto no es muylarga, pero no es razonable esperar que los estudiantes descubran la frmula por su cuenta. Sin
embargo, vale la pena tomarse el tiempo de compartirlo con ellos y asegurarse de que
entiendan que se trata del resultado lgico de propiedades previamente aceptadas que ya hanaprendido, y que resulta chvere ver cmo se eliminan todos los trminos excepto el primero y
el ltimo.
4. Reflexiona sobre la actividad anterior y solicita a los estudiantes que identifiquen qu tipo deserie geomtrica infinita podra tener una suma finita. Un buensimo ejemplo que los
estudiantes pueden asimilar es el que implica la razn 1/2 sobre una interpretacin basada en
la distancia recorrida.
5. Solicita a un estudiante que se pare a 10 pies de la parte de enfrente del saln y que recorra lamitad del camino hasta la pizarra; anota que recorri 5 pies. Repite el proceso un par de veces
con el voluntario, y a continuacin enumera unos cuantos trminos adicionales de la sucesin.
A medida que sigues aadiendo a la sucesin, anota los totales de la distancia total recorrida.
6. Discute esto en trminos de lmites: Llegar a alcanzar la pared el estudiante? A qu seaproxima la cantidad recorrida, pero nunca alcanza? A qu se aproxima la cantidad total
recorrida, pero nunca alcanza? Una vez se haya establecido la suma de una serie geomtrica
finita, solicita a los estudiantes que la amolden a una serie geomtrica infinita. Por cul
trmino deben sustituir el ltimo?
7. Esto debe llevar a una discusin de la convergencia y la divergencia, y de cundo la suma existey cundo no (cuando la suma no tiene lmite). Dedica un tiempo a usar la notacin de suma
para rotular las sumas que vayas encontrando. Mientras que las frmulas no utilizan esta
notacin, las suman que vas encontrando pueden expresarse de esta forma.
8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas frmulas con ejercicios dellibro.
Sucesiones - Definiciones recursivas9: Los estudiantes recibirn instrucciones directas para definirtrminos en una sucesin relacionndolos con trminos anteriores. Una vez lo intenten consucesiones aritmticas y geomtricas, podrn utilizar esta tcnica en la prctica para sucesiones
que no sean ni geomtricas ni aritmticas, y que se describan mejor en trminos recursivos.
Instrucciones:
1. Usa la actividad de aprendizaje Ni geomtrico ni aritmtico para introducir el hecho de queno todas las sucesiones son o aritmticas o geomtricas, y que algunas no se prestan a
descripciones matemticas simples.
9Fuente: www.curriculumframer.com
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Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
2. Desarrolla las reglas para hallar el trmino n de cada una de las sucesiones, y seala aquellasen que la definicin sea recursiva. Pregntales a los estudiantes si las sucesiones geomtricasse pueden definir de forma recursiva. Discute el hecho de que algunas sucesiones solo pueden
describirse en trminos recursivos, y que no tienen frmulas sencillas para calcular la suma de
trminos n.
3. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la expresin de sucesiones con definicionesrecursivas, as como generar trminos de sucesiones, dada una definicin recursiva. Un
problema geomtrico bastante conocido y que es un reto divertido conlleva cortar un
bizcocho. Cul es el nmero mximo de trozos que puedes obtener con 4 pedazos? (Los
pedazos no tienen que ser de forma o tamao semejante.) Solicita a los estudiantes que
intenten hacer este problema con un diagrama, y luego describe el total despus de cortar
cada pedazo con una definicin recursiva. (El truco est en asegurarse de que cada pedazo se
cruce con un pedazo ya cortado.) Esto resulta ms difcil con un diagrama en el caso de mspedazos, pero los estudiantes pueden sacar la regla general y hallar el nmero de pedazos para
nmeros de pedazos mayores.
Recursos adicionales
www.profjserrano.wordpress.com http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Preclculo: Funciones y grficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan SnchezConexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros estn dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, stos apuntan a
los principios fundamentales de matemticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepcin.
Estos libros son una excelente introduccin a las unidades de estudio.
Ms all de la coincidencia de Martin Plimmer El matemtico del reyde Juan Carlos Arce The Man Who Counted: A Collection ofMathematical Adventures de Malba Tahan Math Curse de Jo Scieszka y Lane Smith
http://www.profjserrano.wordpress.com/http://www.profjserrano.wordpress.com/http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://www.profjserrano.wordpress.com/Top Related