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Distribucin de Poisson
Ing. Julio Carreto
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Ing. Julio Carreto 2
Para entender la Distribucin de Poisson,
vamos analizar un ejemplo detenidamente.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 3
Supongamos que se tiene una tabla rectangular de
madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un
recubrimiento sobre cuya superficie se presentanaleatoriamente pequeos defectos.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 4
!stos defectos podr"an ser por ejemplo part"culas
muy pequeas de pigmento que no fueron bien
molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular laprobabilidad de que aparezcan estos defectos.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 5
La Distribucin de Poisson
Defectos
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Ing. Julio Carreto 6
Podr"amos subdividir la superficie en zonas
rectangulares mas pequeas y de igual tamao#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 7
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 8
$%ora tenemos la superficie dividida en &
zonas rectangulares de igual tamao.
'bservamos que en algunas zonas aparece undefecto superficial y en otras no.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 9
(amos a %acer las siguientes suposiciones#
1) !n cada zona slo puede aparecer 1 defecto.
*) Si la probabilidad de que aparezca un defecto
en todo el +rea esp, la probabilidad de que
aparezca un defecto en una zona esp&.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 1
!ntonces, utilizando la Distribucin -inomial
podemos calcular la probabilidad de que en
nuestra superficie aparezcan , 1, *, /, & defectos#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 11
!l promedio de defectos en la superficie total
ser+#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 12
Pero sabemos que en realidad en cada zona
podr"an aparecer m+s de 1 defecto. !sto %aceine0acto nuestro c+lculo.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 13
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 14
Podr"amos %acer el c+lculo m+s e0acto si
subdividimos las zonas#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 15
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 16
Dividimos cada zona en & y a%ora tenemos 1
zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una
zona es#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 17
Podemos entonces calcular la probabilidad de
tener , 1, *, /, ...., 1 defectos en el +rea total#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 19
$3n as" podr"an aparecer m+s defectos por zona#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 2
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 21
Si dividimos nuevamente cada zona en &
tendr"amos & zonas y a%ora la probabilidad de
tener 1 defecto en una zona ser"a#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 22
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 23
La Distribucin de Poisson
La probabilidad de tener , 1, *, /, ....., &
defectos en la superficie total ser"a#
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Ing. Julio Carreto 24
2 nuevamente el promedio de defectos en la
superficie resulta#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 25
Lo que estamos %aciendo es ir aumentando nal
mismo tiempo que disminuye pen igual
proporcin. Por lo tanto el promedio dedefectos en la superficie total n.pse mantiene
constante.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 26
4omo vimos, al suponer que en cada subzona
slo puede %aber 1 defecto o ning3n defecto
estamos cometiendo un error. !ste error se %ace
cada vez menor, porque a medida quesubdividimos el area total se %ace menos
probable que en una subzona aparezca mas de un
defecto.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 27
Si continuamos subdividiendo el +rea
indefinidamente, la frmula binomial nos dar+
la probabilidad de obtener , 1, *, /, ... n
defectos, con ntendiendo a infinito.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 28
!n el l"mite, la frmula binomial tiende a la
frmula de Poisson#
0 variable aleatoria
par+metro de la Dist. de Poisson
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 29
!l producto de nporp, en el l"mite, es igual al
par+metro de la distribucin#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 3
El nmero de defectosxen lasuperfcie total es una variable
aleatoria discretaque puede tomarvalores 0, 1, 2, 3, 4, ... y cuyadistribucin de probabilidades se
conoce como Distribucin dePoisson.
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Ing. Julio Carreto 31
La Distribucin de Poisson
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
0.00
0.03
0.05
0.08
0.10
0.13
0.15
0.18
0.20
Distribucin de Poisson
x
P(x)
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Ing. Julio Carreto 32
Se puede observar que la curva de la funcin de
Poisson es asim5trica, como la binomial. !l
promedio de esta variable aleatoria es igual alpar+metro de la distribucin#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 33
2 la varianza tambi5n es igual al par+metro de la
distribucin#
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 34
Por lo tanto, la desviacin standard es#
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Ing. Julio Carreto 35
La distribucin de Poisson tiene una propiedadcuyas consecuencias son muy importantes para
el 4ontrol !stad"stico de Procesos.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 36
Supongamos que se tienen mvariables aleatorias
de Poisson#
La Distribucin de Poisson
(ariable Par+metro
01
1
0*
*
0/
/
...
0m
m
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Ing. Julio Carreto 37
Si wes una combinacin lineal de tales
variables#
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Ing. Julio Carreto 38
!ntonces wes una variable aleatoria de Poisson
con par+metro#
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Ing. Julio Carreto 39
!sto es muy importante porque podemos
imaginar el producto fabricado por un proceso
67na licuadora, una computadora, un televisor,etc.) como una superficie en la que se pueden
producir m3ltiples defectos, y donde el n3mero
de cada tipo de defecto es una variable aleatoria
de Poisson.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 4
!ntonces, la propiedad mencionada nos permite
tratar la suma de todos los tipos de defectos como
una variable aleatoria de Poisson. !sto se utiliza
para el control del 83mero de Defectos en un
producto 69r+ficos 4).
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Ing. Julio Carreto 41
Supongamos a%ora que tenemos un gran lote de
artefactos, por ejemplo licuadoras. :omamos una
muestra de m; < unidades y medimos el n3mero
total de defectos en las < unidades.
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 42
Si obtuvimos 01, 0*, 0/, ... 0mdefectos en cada
unidad, el n3mero total de defectos ser+#
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Ing. Julio Carreto 43
!l n3mero promedio de defectos por unidad
ser+#
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Ing. Julio Carreto 44
yes una variable aleatoria discretaque puede
tomar valores , 1m, *m, /m, ..., etc. =4u+l es
la varianza de y>
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Ing. Julio Carreto 45
La Distribucin de Poisson
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Ing. Julio Carreto 46
La varianza de 0ies cualquiera que sea el
subindice i, porque todas las 0itienen la misma
distribucin#
La Distribucin de Poisson
i ib i d i
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Ing. Julio Carreto 47
Por lo tanto#
La Distribucin de Poisson
i ib i d i
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Ing. Julio Carreto 48
!ste es un importante resultado que se utilizar+
para calcular la varianza en los 9raficos 7.
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Fin de la
seccin
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