1
1. INTRODUCCIÓN
La seguridad de brindar mejor calidad en los productos y servicios
constituye una de las principales preocupaciones de las empresas no
importando el ramo al que pertenezcan. No obstante, aunque se ha presentado
una evolución considerable en las técnicas de mejoramiento de la calidad tal
como el diseño experimental, la complejidad de los sistemas reales en muchas
ocasiones no ha sido considerada con la importancia adecuada.
Particular énfasis se debe dar a la relación entre la experimentación, el
tiempo y los costos que ésto origina. Es decir, al momento de llevar a cabo un
diseño experimental es común dejarlo sin terminar por no ver resultados
inmediatos o deseados. Dentro del contexto de esta relación, se ha demostrado
que un diseño experimental bien planeado permite inducir cambios en uno o
más factores para establecer las condiciones de operación que producen los
mejores efectos en la respuesta.
Por otro lado, una alternativa al uso de la experimentación real es el uso
de la experimentación simulada como lo explican Law y Kelton (1991), una de
las mayores ventajas de usar la simulación es adquirir conocimientos relativos
a la predicción del futuro. La simulación es, esencialmente, una técnica que
enseña a construir el modelo de una situación real aunada a la realización de
experimentos con el modelo. Por tanto, el desarrollo de esta investigación
involucra el estudio de casos por medio de la simulación de un paquete de
procesos con el propósito de comparar las metodologías de Taguchi y de
Superficie de Respuesta como herramientas para alcanzar la optimización de
procesos industriales.
2
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En este capítulo se plantea y define el problema, así como los objetivos,
justificación, se formulan las hipótesis del proyecto y se plantean las preguntas
de investigación.
2.1 Definición del Problema
Al momento de seleccionar herramientas estadísticas para mejorar los
procesos industriales siempre se elige la opción que por experiencia haya
funcionado, también aquella que tenga las mejores recomendaciones de
nuestros superiores o en la mayoría de los casos las herramientas más
novedosas para estar a la par de nuestros competidores. La falta de estudios
en el comportamiento de los procesos y el usar las herramientas inadecuadas
son características que repercuten en la variabilidad de los procesos.
De acuerdo a la literatura revisada sigue existiendo la discrepancia
suficiente acerca de que la metodología Taguchi sea confiable. Muchos
analistas incluso han afirmado que la metodología ha quedado obsoleta con el
paso de los años. Actualmente, la metodología Taguchi sigue siendo
fuertemente criticada debido a ciertas restricciones que se le atribuyen. Por otro
lado el éxito respalda a la metodología, ya que al paso de años ha sido aplicada
en algunas áreas industriales como son la del plástico y la automotriz.
Considerando estos antecedentes, el presente trabajo trata de enfocarse
a casos donde se analizan los métodos del Dr. Taguchi y la metodología de
Superficie de Respuesta (MSR) con el fin de visualizar las deficiencias, ventajas
3
y aplicación de cada una de las metodologías. Para dicho desarrollo se empleó
el simulador de procesos Logicon® y se aplicaron las dos metodologías
respectivamente a cuatro de los procesos que se pueden simular con el
paquete Logicon®. El número de factores va de dos a cuatro factores con dos
niveles y se buscaron los niveles de los factores que proporcionaran una mejor
respuesta.
2.2 Preguntas de Investigación
1. ¿Cuál de las dos metodologías da la mejor solución al buscar los niveles
de los factores que optimizan el proceso?
2. ¿Cuál de las dos metodologías usa menos corridas experimentales?
3. ¿Cuál metodología es la más sencilla de aplicar?
2.3 Hipótesis
A continuación se presentan las hipótesis que se plantearon para el
experimento, en donde se evaluarán los efectos de las dos metodologías que
se involucraron en la experimentación. Las hipótesis son las siguientes:
1. La MSR nos dará una mejor solución para buscar los niveles de los
factores que optimizan la respuesta que la metodología Taguchi.
2. La MSR utiliza menos corridas experimentales que la Metodología
Taguchi.
3. La Metodología Taguchi es más fácil de aplicar que la MSR.
4
2.4 Objetivos
El objetivo principal de este proyecto es proponer el uso de las
metodologías de Taguchi y de Superficie de Respuesta con las que se pretende
mover la región experimental cerca del punto óptimo. Para alcanzar este
objetivo es necesario utilizar herramientas tales como, arreglos ortogonales,
gráficas lineales, análisis de varianza y análisis de regresión con los que se
pretende alcanzar los siguientes objetivos específicos:
Identificar los factores que son significativos y encontrar sus niveles
óptimos.
Identificar los factores que no son significativos
Desarrollar modelos dentro de una región relativamente pequeña
alrededor del punto óptimo.
Determinar los ajustes óptimos para los parámetros de los procesos que
maximicen o minimicen la función objetivo.
2.5 Justificación
Actualmente las empresas buscan afanosamente la mejora continua,
para poder enfrentarse a la competencia mundial sin temor a ser desplazadas.
Uno de los aspectos que siempre buscan mejorar son los procesos de
producción haciéndolos más baratos y eficaces. Para ello se utilizan todo tipo
de herramientas estadísticas y tecnológicas que estén a su alcance. El
propósito de este trabajo es proponer el uso dos herramientas estadísticas
experimentales: la metodología Taguchi y la de Superficie de Respuesta,
aplicadas a un estudio de casos simulados. Es importante recalcar, que los
métodos de diseño experimental que se usaron en esta investigación tienen
5
aplicaciones en diversas disciplinas y son utilizados para mejorar el desempeño
y confiabilidad de los productos. Así también como mejorar los costos de
producción, en tiempos más cortos para el diseño y desarrollo del producto. En
general, para obtener los beneficios de la experimentación es necesario llevar a
cabo varias pruebas experimentales que pueden resultar costosas o difíciles de
experimentar en una situación real. Es por ello, que en esta investigación
algunas situaciones han sido simuladas con el propósito de probarse los
efectos de una decisión en un modelo de simulación antes de que la decisión
se lleve a cabo en la realidad. Es decir, el uso del paquete Logicon® ayudó a
predecir la conducta de los diversos casos. A su vez, los resultados de ambas
metodologías nos muestra los beneficios que se pueden llegar a obtener con el
uso de la metodología de Superficie de Respuesta al disminuir las corridas
experimentales y alcanzar los niveles óptimos de operación. Por otro lado, la
metodología Taguchi es una herramienta simple ya que se puede aplicar sin
necesidad de tener conocimientos previos en el área estadística.
6
3. REVISIÓN DE LITERATURA
En este capítulo se describen las fases de la metodología Taguchi y de
Superficie de Respuesta, el concepto y diferencias de ambas corrientes del
diseño de experimentos, así como sus ventajas, métodos y aplicaciones.
3.1 El Movimiento de la Calidad
El patrón a seguir en las empresas de clase mundial para asegurar la
calidad de sus productos y procesos ha sido hasta hoy en día el uso de
pruebas e inspección constante. La confianza hacia los métodos de calidad fue
introducida por destacados líderes en Japón entre los años 40 y 50. Mientras
ésto pasaba, Estados Unidos hacia esfuerzos paralelos a Japón por mejorar
sus productos. Según Ishikawa (1985) citado por Osborne y Armacost (1996),
“la calidad debe ser construida en cada diseño en cada proceso”.
El ingrediente principal en el ciclo de vida de un producto siempre
dependerá de la optimización de las características de calidad en el momento
en que se desarrolla el producto. Para lograr la calidad de un producto tenemos
que identificar cuales serán las características que nos llevaran a alcanzar
dicha calidad. Hay muchas técnicas que conducen a mejoras significativas de
dichas características pero este trabajo se enfocara a dos técnicas que
conducen a la optimización: la metodología Taguchi y la metodología de
Superficie de Respuesta.
7
3.2 Metodología Taguchi
Los fundamentos del diseño de experimentos fueron desarrollados por Sir
R.A. Fisher en los años veinte, treinta años antes de que la Ingeniería de
Calidad fuera desarrollada por el Dr Taguchi. El diseño experimental se define
como el método para diseñar eficientemente experimentos y analizar los
resultados (Wu y Wu 1996). Es decir, el diseño de experimentos es una técnica
estadística que permite identificar factores que afectan el comportamiento de un
proceso y obtener mejoras a través del análisis detallado de los datos. Por
estas razones, la metodología Taguchi se derivó del diseño experimental
clásico porque entendía la importancia del mismo.
Ealey (1988) describe que Genichi Taguchi nació en Tokamichi Japón en
1924; se graduó del Colegio Tecnológico de Kyruo en Ingeniería textil, fue
nombrado ministro de salud pública y de los años 1948 a 1950 colaboró como
Ministro de Educación. Para 1950, después de la segunda guerra mundial, el
sistema de telefonía japonés era malo y disfuncional. El Dr. Taguchi se dedicó a
mejorarlo y la mayor parte de su investigación incluía el uso de una nueva
técnica de DOE mejorada y previamente probada. En esa época en la que la
mayoría de las compañías americanas pensaba que el concepto de calidad
correspondía sólo a producción, la metodología Taguchi se aplicó a dos áreas
principales:
1. Fuera de línea: Aplicada al desarrollo e investigación del producto
2. En línea: Aplicada durante la producción
Por otro lado, Pérez (1989), explica que el trabajo de Taguchi tuvo un
impacto significativo que aumentó el interés en el uso de experimentos
diseñados. Con la elaboración del diseño robusto Taguchi propuso hacer
procesos insensibles a los factores ambientales o difíciles de controlar.
Además de proponer diseños factoriales fraccionados y el uso de arreglos
8
ortogonales. La controversia generada de la metodología del Dr. Taguchi
surgió porque en el Occidente la metodología solamente era defendida por los
empresarios que habían obtenido beneficios con el método.
Para 1980 se hizo una revisión y los resultados indicaron que existían
problemas sustanciales con su estrategia experimental y con sus métodos para
el análisis de datos. De esta controversia surgieron algunos resultados
positivos. Por ejemplo, se generalizó el uso del diseño de experimentos en
industrias de piezas discretas y se creó el interés por el uso eficaz del diseño
de experimentos.
3.2.1 Beneficios del Método de Taguchi en la Industria
Taguchi introdujo su metodología con un gran número de conceptos
estadísticos y una excelente filosofía para el control de calidad en las industrias
manufactureras entre otras. Un ejemplo es la compañía de motores Ford, los
ingenieros fueron entrenados con la metodología Taguchi y utilizaron los
principios adquiridos para resolver los problemas de calidad con magníficos
resultados. De la misma manera Roy (1990), menciona que compañías como
Toyota, Nipon Denso, Xerox y Fuji Film aprendieron de las lecciones del Dr.
Taguchi y adoptaron sus principios. Por otro lado, según algunos autores como
Antony et al (2001), los métodos de Taguchi siguen funcionando de manera
exitosa como lo muestra la tabla 3.1.
Tal como dice Kolarik (1995), citado por Antony et al. (2001) esta filosofía es
más relevante en términos de que se busca trabajar de acuerdo a los objetivos
de desempeño del producto y proceso, mejorando radicalmente la actitud de
los empleados.
9
Tabla 3.1 Beneficios de la Metodología Taguchi en la Industria
Industria Plástico Automotriz Metal Electrónica y
Semiconductores
Tipo de proceso Moldeo Velocidad del
sensor para
sistema
antiderrame
Soldadura Cableado
Naturaleza del
problema
Alto
promedio de
rechazo del
producto
Excesiva
variabilidad
Baja
resistencia
del moldeo
Insatisfacción del
cliente
Escala del
experimento
8 corridas 8 corridas 16 corridas 16 corridas
Beneficios/Costos Reducción
sustancial de
rechazos con
ahorros de
$14,800
mensuales
Incremento de
estabilidad y
capacidad del
proceso(Cpk) y
ahorros de
$148,000
mensuales
Capacidad
del proceso
y ahorros de
$29,600
mensuales
La resistencia de los
cables incremento
30%, reducción
sustancial de
rechazos y ahorro de
$44,400 mensuales
3.3 Ingeniería de Calidad
No se puede hablar de la metodología Taguchi sin mencionar el término
Ingeniería de Calidad, ya que entre el conjunto de conocimientos contenidos en
los trabajos del Dr Taguchi se encuentra este término el cual podemos definir
de la siguiente forma:
Ingeniería de calidad es una serie de planteamientos para predecir y prevenir problemas al momento que un producto se vende y es usado por el cliente bajo diferentes condiciones ambientales durante el periodo de vida que es diseñado (Taguchi 1991).
10
Peace (1992), establece que en la ingeniería de calidad se consideran tres
etapas del diseño: diseño del sistema, diseño de parámetros y diseño de
tolerancias. El enfoque en la primera etapa del diseño de sistemas consiste en
determinar los niveles apropiados de los factores de diseño. El diseño de
sistemas es la etapa de innovación donde las ideas revolucionarias son
concebidas para la creación de nuevos productos. El diseño de parámetros
constituye la herramienta más sofisticada y poderosa que se ha desarrollado en
Japón para el diseño uniforme y robusto de productos a bajo costo. El diseño
de parámetros se utiliza para seleccionar la mejor combinación de niveles de
los factores de control, y para que los productos y procesos sean diseñados
con robustez ante las fuentes de variabilidad externa. Para entender mejor el
diseño de parámetros es necesario identificar los tipos de factores que existen:
1. Factores de control: el factor puede cambiar en el propio diseño del
sistema de factores y no afectará la variabilidad del proceso.
2. Factor de ruido: las fuentes de variabilidad externa o factores de ruido
son aquellos que afectan la función del producto. La causa de la
variación se denomina ruido.
3. Factor señal: es el factor que se utiliza para cambiar la salida
El diseño de tolerancias determina los rangos permitidos por el proceso de
producción. Es, por lo tanto, la aplicación del diseño de experimentos para
hacer cambios sistemáticos en las tolerancias con el fin de determinar que
factores son los que más contribuyen a la variación de la variable de respuesta.
En el análisis se encuentran los casos donde el grado de las tolerancias debe
restringirse y en que casos debe ampliarse.
11
3.3.1 Control de Calidad en Línea
Peace (1992), afirma que la metodología Taguchi se aplica a dos áreas
principales: fuera de línea y en línea. El control de calidad en línea envuelve
tanto a los ciclos de producción como al producto.
Las técnicas que sirven para monitorear la producción proveen al
experimentador los problemas potenciales para hacer las acciones correctivas
pertinentes. También, se obtiene retroalimentación para analizar posibles
variaciones. Los resultados deberán ser comparados con objetivos deseados,
se debe tener en cuenta de que el control de calidad en línea incluye
mantenimiento preventivo, dispositivos de calibración e inspección.
3.3.2 Control de Calidad Fuera de Línea
El propósito principal del control de calidad fuera de línea es optimizar el
diseño del producto y del proceso para soportar los resultados obtenidos en el
control de calidad en línea. La experimentación involucra dos funciones
específicas:
1.-Identificar la variación y 2.- determinar el diseño del proceso y optimización.
3.3.3 Características de Calidad
Es muy importante que el equipo de calidad defina cuales serán los
objetivos que se pretenden alcanzar. Al momento de seleccionar la
característica de calidad apropiada se debe de tener en cuenta si esta
característica es clara y medible. Entre las características de calidad hay cinco
principales:
Atributos clasificados. La respuesta es clasificada en categorías y éstas
presentan un orden de preferencia.
12
Características dinámicas. El objetivo es el control eficiente de la
intensidad de la variable de respuesta a través de un factor señal.
Nominal es mejor. Es el tipo de parámetro donde existe un punto
objetivo o valor nominal que conseguir sus objetivos consisten en
minimizar la variabilidad en torno a la media.
Menor es mejor. Las respuestas de salida del tipo menor es mejor
aparecen cuando lo deseable es minimizar el resultado, y el valor
objetivo es cero.
Mayor es mejor. Las respuestas de salida del tipo mayor es mejor
aparecen cuando se desea maximizar el resultado, y el valor objetivo es
infinito
Antes de terminar la fase de planeación de cualquier experimento, es
necesario identificar las variables y niveles involucrados en el estudio; después
de esto es necesario seleccionar el arreglo ortogonal que servirá para hacer la
corrida experimental.
3.3.4 Arreglos Ortogonales
Al diseñar el experimento el concepto de ortogonalidad frecuentemente
da lugar a confusión, es importante mencionar que ortogonal significa separable
según Peace (1992). En un arreglo ortogonal esto es importante porque
significa que una columna es separable la una de la otra. Cambiando el nivel de
un factor no hay efecto en el nivel de otro factor. El seleccionar el arreglo
ortogonal se lleva a cabo mediante los grados de libertad; estos se determinan
a partir del número de factores, número de niveles de cada factor y las
interacciones que se desea investigar (Taguchi y Konishi 1991 ). Una definición
general de grados de libertad es el número de comparaciones que necesitan
ser hechas entre el factor o niveles de interacción para determinar que nivel es
mejor. Los grados de libertad se establecen considerando los estimadores que
13
se ven involucrados. Una ventaja de la ortogonalidad es que los arreglos
ortogonales ayudan a reducir el costo de la experimentación. El autor, Pérez
(1989) da un ejemplo simple: un experimento de 15 factores a dos niveles cada
uno, se puede hacer sólo con 16 combinaciones en lugar de 32,768. En
algunas industrias no se requieren tantos factores, sin embargo hay ahorros
significativos. Los arreglos ortogonales han sido utilizados durante muchos
años, pero la aplicación del Dr. Taguchi tiene un enfoque diferente, ya que su
objetivo principal es la optimización de diseño de procesos de productos para
una mínima susceptibilidad al ruido.
3.3.5 Factores, Niveles e Interacciones
Peace (1992), describe que un parámetro consiste en la asignación de
un factor y su nivel. Un factor es una variable experimental controlable que se
piensa influye sobre la respuesta, es una variable experimental que está siendo
investigada para determinar su efecto sobre una respuesta. Un factor se
considera controlable por el experimentador. Un nivel es el valor específico de
un factor, puede ser cuantitativo o cualitativo. Para evitar experimentos muy
grandes el Dr.Taguchi recomienda trabajar con tres factores cuando mucho.
En las interacciones, el impacto de un factor sobre una característica de calidad
cambia dependiendo el nivel del otro factor. Si ésto sucede se dice que los
factores interactúan entre si.
3.3.6 Gráficas Lineales
El paso que sigue al seleccionar el arreglo ortogonal, consiste en
elaborar la gráfica lineal que más le convenga al experimentador. Es decir, la
gráfica lineal que permita acomodar los factores de interés sin ser perjudicial
respecto a cambios y costos.
14
Las gráficas lineales se conectan mediante puntos. Cada punto
representa un factor, la conexión representa una interacción. Como se observa
en la figura 3.1. Lo que se puede mencionar respecto a los arreglos ortogonales
y la gráficas lineales es que con estas herramientas se puede facilitar el diseño
de factoriales fraccionarios, reduciendo así costos de experimentación.
1 3 2
Fig 3.1 Gráficas Lineales para el Arreglo L4(23)
3.4 Metodología de Superficie de Respuesta
Un catalizador importante en la era industrial de principios de los ’30 fue
el desarrollo de la metodología de Superficie de Respuesta por parte de Box y
Wilson (1951). Estos autores explotaron dos características importantes en
aquel tiempo:
1) La variable de respuesta puede observarse casi de inmediato,
2) El experimentador puede obtener información de las corridas que le servirá
para hacer la planeación de su próximo experimento.
Estas dos características son llamadas por Box como inmediatéz y
secuencialidad. Figueroa (2003) define, la metodología de Superficie de
Respuesta como un conjunto de técnicas utilizadas en el estudio de la relación
entre una o más respuestas y un conjunto de factores o variables
independientes donde el objetivo es optimizar la respuesta. Dicha metodología
se realiza mediante la aproximación a la región de interés y se realiza de forma
iteractiva utilizando diseños cada vez más complejos que dependen de la
15
información que se obtiene en cada etapa. La metodología de Superficie de
Respuesta, permite al investigador inspeccionar una respuesta, que se puede
mostrar como una superficie en forma de red. Ejemplo de ésto puede ser
estudiar cómo los valores de temperatura y presión afectan la tasa de una
reacción química y tratar de encontrar los valores que optimicen esta
respuesta, la figura 3.2 muestra de forma gráfica la relación entre la cantidad
de producto (y) en un proceso químico y las dos variables independientes
tiempo de reacción ( 1 ) y temperatura ( 2 ).
Ésto es, se trata de encontrar los valores óptimos para las variables
independientes que maximizan, minimizan o cumplen ciertas restricciones en
la variable respuesta. Una técnica utilizada para ayudar a visualizar la forma
que puede tener una superficie de respuesta tridimensional consiste en
representar la gráfica de contornos de la superficie, en la que se trazan las
denominadas líneas de contorno, que son curvas correspondientes a los
valores constantes de la respuesta sobre el plano X1X
2. Un ejemplo de gráfica
de contornos se muestra en la figura 3.3.
1
y
20
0
40
60
Temperatura-10 -1
1Tiempo
Surface Plot of y vs x2; x1
Fig. 3.2 Superficie de Respuesta
16
En este ejemplo, dado que hay dos factores de influencia, la Superficie
de Respuesta se visualiza en un espacio tridimensional en el que la tercera
dimensión representa el volumen de producción esperada de la sustancia
química sobre el plano bidimensional definido por las combinaciones de los
niveles de los dos factores. Es claro que las superficies de respuesta y las
gráficas de contornos pueden tener, aparte de un máximo, representaciones
de un mínimo, o una silla de montar. Para generar la gráfica de contornos
correspondiente se secciona la superficie de respuesta usando planos paralelos
al x1x
2 en ciertos valores de respuesta considerados.
x1
x2
60
50
40
30
20
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Contour Plot of y vs x2; x1
Fig. 3.3 Gráfica de Contornos
3.4.1 Modelos de Superficie de Respuesta
Kuehl (2003), recomienda seleccionar los factores que se usarán en el
experimento y subsecuentemente transformar las variables naturales a
codificadas donde éstas tendrán una media cero y una varianza constante, ya
que éstas facilitan considerablemente los cálculos que deben llevarse a cabo
para obtener el modelo de aproximación e incrementan el ajuste en la
estimación de los coeficientes. La siguiente es la forma más común de
codificar:
17
2/)(
2
)(
supinf
supinf
ii
iii
ixx
xxx
x
ki .....,2,1
donde:
sup
ix Es el nivel más alto del factor i
inf
ix Es el nivel más bajo del factor i
Por tanto, una vez que se trabaje con las variables codificadas, las
conclusiones que se obtengan se pueden convertir a las variables reales. En la
fase inicial del estudio de una superficie de respuesta se trata de identificar la
región de respuesta óptima y para ello se utilizan experimentos factoriales
completos o fraccionarios, con el fin de estimar las respuestas medias para un
modelo lineal o de primer orden.
La representación matemática de los modelos de MSR puede ser de
diversas maneras: un modelo de primer orden lineal con o sin interacciones, y
un modelo cuadrático o de segundo orden. Aplicar el modelo de primer órden
se usa cuando el experimentador está interesado en aproximar la superficie de
respuesta sobre una región relativamente pequeña donde hay poca curvatura
en la gráfica de la función, es decir cuando no se tiene suficiente información
acerca de la forma que presenta la Superficie de Respuesta, el primer intento
de ajuste se hace, generalmente, aproximando a través de un modelo de primer
órden. Pero cuando la curvatura de la Superficie de Respuesta es tan fuerte el
modelo de primer órden no es adecuado. En estas situaciones se requiere de
un modelo de segundo órden (Myers y Montgomery 1995). El modelo lineal de
primer órden con interacción para el caso de dos factores x1 y x2 se representa
de la siguiente manera, donde las s' son coeficientes:
211222110)( xxxxyE
18
Mientras que el modelo cuadrático o de segundo órden se representa mediante
la siguiente expresión:
2112
2
222
2
11122110)( xxxxxxyE
El modelo de segundo orden es ampliamente usado en MSR en
comparación al de primer órden porque se tienen las siguientes ventajas:
1. Flexibilidad. El modelo de segundo órden puede tomar un sin fin de
formas que se aproximaran mas a la respuesta verdadera.
2. Es fácil estimar los parámetros. Para estimar se usa el método de
mínimos cuadrados.
3. Existe suficiente evidencia. Actualmente hay suficiente experiencia
práctica que indica que los modelos de segundo sirven para resolver
problemas de superficie de respuesta.
3.5 Ascenso Más Pronunciado
En ocasiones las condiciones iniciales están muy alejadas del óptimo.
Kuehl (2003), define el ascenso más pronunciado como un procedimiento
desarrollado para llevar la región experimental de la respuesta variable en una
dirección de cambio máximo hacia el óptimo. Una pregunta frecuente para el
experimentador es ¿hasta cuándo se dejará de conducir experimentos? a lo
que Montgomery (2006) deja claro que cuando se deja de observar un
incremento en la respuesta se debe proseguir a ajustar un nuevo modelo de
primer orden y el procedimiento continuará hasta que llegue a la vecindad del
óptimo, la falta de ajuste indicara que existe una curvatura grande en la
vecindad del óptimo. Cuando el experimentador esté cerca del óptimo deberá
incorporar un modelo de segundo órden.
19
Una vez que el modelo de segundo órden es ajustado se localiza el lugar
en el que la pendiente de la superficie ajustada es cero, es decir las
coordenadas del punto estacionario, que es el punto que proporciona el valor
óptimo de la variable respuesta y, si se detecta que éste se encuentra dentro de
los límites de la región experimental se determina si es máximo, mínimo o
punto de silla. Si, por el contrario, el punto estacionario no se halla dentro de la
región experimental, se deberá realizar una nueva experimentación en la
dirección en la que éste se encuentra o revisar si el modelo que se ajustó es el
adecuado.
3.6 Diseños Centrales Compuestos
Box y Wilson (1951) propusieron los diseños centrales compuestos (DCC),
para estimar las ecuaciones de la superficie de respuesta cuadrática. Los DCC
se usan para aprovechar la experimentación secuencial, es decir:
1. Parte factorial: un diseño factorial completo o fraccional, en el que los
niveles están codificados en la forma habitual como ±1.
2. Parte axial: combinaciones adicionales a lo largo de los ejes coordinados
de los niveles de factor codificados. Sus coordenadas son
),....,0,0,0(),.....,0,...,0,,0(),0,....,0,0,( . Los puntos axiales
contribuyen a la estimación de los términos cuadráticos.
3. Puntos centrales: Además de que contribuyen a la estimación de los
términos cuadráticos proporcionan una estimación del error puro. Se
agregan n réplicas al centro del diseño en las coordenadas )0,....,0,0,0( .
20
3.7 Localización del Punto Estacionario
Una vez obtenida la aproximación cuadrática de la respuesta, se ha de
analizar si la región en que se ha aproximado contiene las condiciones óptimas
de la respuesta. Para ello, las estimaciones de las coordenadas del punto
estacionario en la superficie de respuesta proporcionarán una definición más
específica de la superficie de respuesta. Por estos motivos, explica Kuehl
(2003), se deberán utilizar las coordenadas del punto estacionario que
optimizan la respuesta predicha para describir la forma de la superficie a través
de las gráficas de contornos y de superficie de respuesta en la región
experimental. Ya que estas coordenadas, se refieren al punto que proporciona
dicho valor óptimo de la variable respuesta y, si éste se encuentra dentro de
los límites de la región experimental, se prosigue a determinar su naturaleza
geométrica. Es decir, si es una respuesta máxima, mínima o punto de silla.
Para determinar las coordenadas del punto estacionario representamos la
ecuación descrita por Myers y Montgomery (1995) en notación matricial:
kx
x
x
X2
1
kb
b
b
b2
1
kk
k
k
bsimétrica
bb
bbb
B
2
22
ˆ 222
11211
Es decir, b es un vector de los coeficientes de regresión de primer orden
y
B es una matriz simétrica, donde los elementos de la diagonal son los
coeficientes cuadráticos y los elementos fuera de la diagonal son la mitad de
los coeficientes de los términos de las interacciones.
Para obtener el punto estacionario, las derivadas parciales se igualan a cero:
21
0ˆ2ˆ
XBb
xy
Al igualar a cero esta derivada, se puede obtener skss xxx ,,2,1 ,...., , que es llamado
punto estacionario. El punto estacionario es la solución de la ecuación
resultante, es decir:
2
1
bBXs
Para encontrar la respuesta estimada en el punto estacionario se
sustituyen las skss xxx ,,2,1 ,...., en la ecuación de la respuesta estimada
y .
3.7.1 Análisis Canónico para Determinar la Naturaleza del Punto
Estacionario
La forma canónica de una ecuación cuadrática es útil para visualizar la
superficie. Según Myers y Montgomery (1995), la naturaleza del punto
estacionario es determinada a partir de los signos de los eigenvalores ( i )de la
matriz B̂ . Es decir, el signo de todos los i , señalan el tipo de superficie de
respuesta que se estimó. Así, cuando todos los eigenvalores i son negativos la
superficie es máxima, si los eigenvalores i son positivos la superficie es
mínima. Y si tienen signos mixtos, la superficie es mínimax o con forma de
silla.
22
4. MÉTODOS
En general, la presente investigación se llevó a cabo con el apoyo de la
metodología Taguchi y la de Superficie de Respuesta. Para ello se empleó el
simulador de procesos Logicon® y se aplicaron las dos metodologías
respectivamente a cuatro de los procesos que se pueden simular con el
paquete Logicon®. Los procesos simulados fueron:
1. Proceso de producción de una reacción química
2. Análisis de sangre
3. Impresora de Alta Velocidad
4. Soldadura de punto
Este capítulo comprende dos partes importantes: la metodología Taguchi
y la metodología de Superficie de Respuesta. La metodología Taguchi es usada
para la determinación de los factores que afectan a una característica particular
de calidad en cada uno de los casos seleccionados, y para la selección de los
niveles óptimos de tales factores. La segunda parte consiste en la aplicación de
la metodología de Superficie de Respuesta, necesaria para la estimación de la
relación existente entre la respuesta y los factores de diseño en la región de las
condiciones óptimas. Para ello se usaron la trayectoria de máxima pendiente en
ascenso y diseños centrales compuestos (DCC). Cabe destacar que ambas
metodologías se desarrollan bajo el supuesto de normalidad. Para la
consecución de tales objetivos, en este capítulo se presenta la aplicación de
las técnicas anteriormente citadas.
23
El simulador de procesos Logicon® se empleó para realizar las corridas
experimentales, y el paquete estadístico Minitab y Math-Cad para llevar a
cabo la optimización de cada uno de los casos.
4.1 Diseño y Análisis del Rendimiento de una Reacción Química
Montgomery y Runger (1996), describen un artículo publicado por
Rubber Age en 1961, en el que el rendimiento de determinado proceso químico
se puede medir en términos de la cantidad de material residual eliminado
durante la reacción. Resultando así una medida de la pureza del producto final,
y que ésta depende de la temperatura y el tiempo de reacción, entre otros
factores. El proceso opera actualmente en un rango de porcentaje de pureza
entre el 55% y el 75%. En este primer caso, Logicon® presenta un experimento
similar al descrito por Montgomery y Runger sobre la fabricación de un producto
para relacionar la producción de una reacción química con la temperatura y el
tiempo de reacción.
La respuesta de salida al igual que en el proceso real son las
condiciones de operación que maximizan el rendimiento del proceso en función
del volumen de las cantidades medidas en (seg/ C ) de la temperatura y tiempo
de reacción que utiliza. Por lo tanto, se seleccionó la característica de calidad lo
mayor es lo mejor de la metodología Taguchi, con dos factores de control y se
realizaron 4 corridas experimentales con ocho réplicas de acuerdo al arreglo
ortogonal )2( 3
4L . La tabla 4.1 muestra los factores del análisis.
Tabla 4.1 Factores y Niveles para el Caso 1
Factores Descripción Nivel I (Bajo) Nivel II (Alto)
A Tiempo de reacción 200 250
B Temperatura de reacción 425 475
24
4.1.1 Aplicación de la Metodología Taguchi para el Caso 1
El uso del diseño de parámetros del método Taguchi para optimizar el
proceso de producción de la reacción química incluyó los siguientes pasos:
1. Se identificó el objetivo del experimento.
2. Se identificó la característica de calidad.
3. Se identificaron los factores que podrían influir en la característica de
calidad, sus niveles y las posibles interacciones.
4. Se seleccionó el arreglo ortogonal apropiado y se asignaron los
factores y sus niveles al arreglo ortogonal, además de conducir los
experimentos basados en el orden del arreglo ortogonal.
5. Se analizaron los resultados experimentales usando el análisis de
medias y el análisis de varianza (ANOVA) para ver que factores eran
estadísticamente significantes y para encontrar los niveles óptimos de
los factores.
6. Finalmente, se realizó la verificación de diseño óptimo del proceso a
través de las corridas de confirmación.
Las siguientes secciones describen como cada uno de estos pasos relevantes
fueron aplicados en el presente estudio experimental.
4.1.1.1 Resultados de las Corridas Experimentales del Proceso de Rendimiento de una Reacción Química
Se realizaron 4 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por
cada corrida. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L4, se muestran en la
tabla 4.2. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es el
rendimiento del proceso ya que se necesita saber las condiciones de operación
que maximizan el rendimiento del proceso.
25
4.1.1.2 Análisis de Medias
Para calcular el efecto para cada factor, se calculó primero la respuesta
promedio para cada corrida experimental, esto se observa en la tabla 4.3.
Luego, se estimó el efecto principal de cada factor.
Tabla 4.2. Corridas Experimentales para el Proceso de Rendimiento de una Reacción Química
Basándose en la respuesta promedio calculada para cada nivel de cada
factor, se analizaron las diferencias, como se aprecia en la tabla 4.4, en la cual
se ve claramente los efectos de los factores. Para estimar la media de cada
nivel de cada factor, se promediaron las medias de las corridas experimentales
donde se usó el nivel correspondiente. Por ejemplo, las medias de los dos
niveles del factor A (tiempo de reacción), se calcularon de la siguiente manera:
388.262/)271.43505.9(1
A
399.492/)662.66136.32(2
A
Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo mayor
respuesta fueron los siguientes: A2 (Tiempo de reacción en su mayor nivel) y B2
(Temperatura de reacción en su mayor nivel) para la característica de calidad lo
mayor es lo mejor como muestra la figura. 4.1
No de Exp A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
1 1 1 10.54 9.32 9.42 9.97 9.47 10.46 7.95 8.91
2 1 2 44.3 43.11 43.19 43.71 43.22 44.23 41.71 42.7
3 2 1 33.1 32.04 32.05 32.53 32.05 33.2 30.51 31.61
4 2 2 67.62 66.59 66.58 67.04 66.55 67.73 65.03 66.16
26
Tabla 4.3. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Proceso de Rendimiento de una Reacción Química
Tabla 4.4 Respuesta de los Efectos Principales
Nivel Factor A Factor B
1 26.388 20.593
2 49.399 54.966
Diferencias 23.011 34.373
Me
an
of
Me
an
s
21
60
50
40
30
20
21
A B
Main Effects Plot (data means) for Means
Fig. 4.1 Gráfica de Respuesta de las Medias para Caso 1
No de
Exp
A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio
1 1 1 10.54 9.32 9.42 9.97 9.47 10.46 7.95 8.91 9.505
2 1 2 44.3 43.11 43.19 43.71 43.22 44.23 41.71 42.7 43.271
3 2 1 33.1 32.04 32.05 32.53 32.05 33.2 30.51 31.61 32.136
4 2 2 67.62 66.59 66.58 67.04 66.55 67.73 65.03 66.16 66.662
Promedio
Total
37.89
27
4.1.1.3 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal
Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.5, se obtuvo el
valor F crítico de 4.18. Con el estadístico F se probaron las hipótesis nula y
alternativa siguientes:
:0H El factor correspondiente no tiene un efecto significante
:1H El factor correspondiente sí tiene un efecto significante
Es decir, si el estadístico F es mayor que el valor critico Fc se rechaza la
hipótesis nula. Dado que el estadístico F, tanto de A como de B, resultó mayor
que el Fc, se rechaza 0H . Como se puede observar en la tabla 4.5, tanto el
tiempo de reacción como la temperatura tienen una influencia considerable en
el experimento.
Tabla 4.5 Análisis de ANOVA para el Proceso de Rendimiento de la Reacción Química
Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F
A 4236.14 1 4236.14 5729.9
B 9327.73 1 9327.73 12616.9
Error 21.44 29 .7393
4.1.1.4 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos
Con el objeto de confirmar que los resultados pueden reproducirse, se
generó una estimación de la respuesta promedio utilizando los niveles de los
factores seleccionados. Ésto se comparó con los resultados del experimento
28
confirmatorio. En todos los casos se hicieron estimaciones para la media del
proceso ya que los factores eran de control, cabe señalar que para este estudio
sólo se consideran los factores significantes. Ésto se hace debido a que el error
experimental se confunde dentro de cada uno de los promedios tendiendo a dar
una sobreestimación. En base al análisis que se hizo, los niveles seleccionados
para el caso 1 son: A2, B2. El promedio total ( )
T es 37.89, con lo cual la
estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es:
)()( 22
TBTAT
TBA 22
89.3797.5440.49
48.66
4.1.1.5 Corrida Confirmatoria
La corrida confirmatoria para el caso de la producción de la sustancia química
se obtuvo simulando tres réplicas con los niveles de los factores seleccionados
y se obtuvo un promedio de 67.15 lo cual es muy aproximado al valor estimado
de 48.66
.
4.1.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para la Reacción Química
Buscando obtener una mejor solución que la que se obtuvo con la
metodología Taguchi, se aplicó la MSR para optimizar el proceso de producción
de una reacción química. El procedimiento de la metodología de superficie de
respuesta que se siguió fue el siguiente:
29
1. Se identificaron los factores significantes de la variable de
respuesta a ser optimizada. Además, se realizó un diseño
experimental con puntos centrales y la experimentación
comenzó con un modelo de primer orden.
2. Los datos fueron analizados usando el análisis de regresión.
3. Se uso el método del ascenso/descenso más pronunciado
para moverse secuencialmente por la trayectoria de ascenso
rápido, o sea, en la dirección del máximo incremento de la
respuesta.
4. El diseño fue aumentado a un modelo de segundo órden y se
uso un diseño central compuesto (DCC).
5. Se obtuvo la superficie de respuesta y la gráfica de contornos,
para mostrar de forma grafica el problema a tratar, así mismo
los factores óptimos fueron identificados.
6. Se realizó el análisis de varianza para ver que modelo se
ajustaba mejor a los datos, y el análisis canónico para realizar
un estudio geométrico de la relación existente entre la
respuesta y los factores en la región óptima.
Las siguientes secciones describen a más detalle como cada uno de
estos pasos de MSR fueron aplicados en el presente estudio
experimental.
4.1.2.1 Ajustando el Modelo de Regresión
En el método del ascenso más pronunciado, el primer modelo lineal se
ajustó usando un diseño experimental factorial 22 donde los factores usados
fueron la temperatura a 425 y 475 C (-1 y +1 en valores codificados) y el
tiempo a 200 y 250 segundos. Se realizaron cinco réplicas en el centro de la
30
zona experimental a una temperatura de 450 C y con un tiempo de 225
segundos para proporcionar una estimación de la varianza del error
experimental y ver si el modelo lineal era el adecuado. Este diseño factorial 22
aumentado con cinco puntos centrales se muestra en la tabla 4.7 Para realizar
el análisis se transformaron las variables naturales a variables codificadas. La
relación entre las variables naturales y las variables codificadas
correspondientes se encuentra en la tabla 4.6.
Tabla 4.6 Niveles de los Factores Codificados y Naturales
Tabla 4.7 Datos del Proceso para Ajustar el Modelo de Primer Orden
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
Tiempo
( 1 )
Temperatura
( 2 ) 1x 2x Rendimiento
( y )
200 425 -1 -1 10.54
200 475 -1 1 43.11
250 425 1 -1 32.05
250 475 1 1 67.04
225 450 0 0 37.86
225 450 0 0 36.14
225 450 0 0 36.72
225 450 0 0 38.94
225 450 0 0 39.26
La tabla 4.7 muestra las combinaciones de los tratamientos, los factores
codificados y el porcentaje de rendimiento de la reacción química obtenido con
el simulador Logicon®. Se asumió en un inicio que las condiciones óptimas no
-1 0 1
Tiempo (seg) 200 225 250
Temperatura (oC) 425 450 475
31
tenían por qué estar próximas y que, por lo tanto, la superficie de respuesta se
podría aproximar mediante un modelo de primer órden. Usando Minitab para
analizar la respuesta de este diseño experimental, se obtienen los resultados
mostrados en la figura 4.2. Es decir, del reporte de resultados de Minitab se
observa que el modelo ajustado de primer orden es 21 36.1189.1696.37ˆ xxy .
Las pruebas de hipótesis individuales sobre los coeficientes de regresión
tiene un valor p = 0. Ésto significa que tanto la temperatura como el tiempo
tienen efecto sobre el porcentaje de rendimiento. Con respecto a la prueba de
falta de ajuste (lack of fit), se observa un valor p = 0.423. Esto significa que no
se puede rechazar la hipótesis de que el modelo lineal tiene un buen ajuste.
Además, se observa que no hay curvatura con un valor p de .671. Las gráficas
de contornos y de superficie de respuesta para la ecuación de respuesta lineal
estimada de la figura 4.3 y 4.4 muestran que los valores de los contornos para
el porcentaje de rendimiento ascienden conforme aumentan los niveles de
tiempo y temperatura.
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 37,96 0,4122 92,09 0,000
x1 33,78 16,89 0,6184 27,31 0,000
x2 22,72 11,36 0,6184 18,37 0,000
S = 1,23673 R-Sq = 99,45% R-Sq(adj) = 99,27%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 2 1657,29 1657,29 828,643 541,78 0,000
Residual Error 6 9,18 9,18 1,529
Curvature 1 0,36 0,36 0,357 0,20 0,671
Lack of Fit 1 1,46 1,46 1,464 0,80 0,423
Pure Error 4 7,36 7,36 1,839
Total 8 1666,46
Fig. 4.2 .Resultados para el Proceso de la Reacción Química
32
Lo que significa que si se eleva la temperatura o se aumenta el tiempo,
se produce un incremento significativo en el rendimiento del proceso. En la
figura 4.3, se muestra la flecha perpendicular a las líneas de contorno de la
superficie ajustada, ésta apunta hacia arriba y hacia la derecha, lo que indica
que los valores más altos de la respuesta se espera que se consigan
aumentando los valores de x1
y x2
por encima de 1. Ésta acción correspondería
a aumentar la temperatura por encima de 450º C y el tiempo de reacción por
encima de 225 segundos. Ésto último llevó a la segunda etapa en el proceso
secuencial de experimentación, que es determinar qué estrategia seguir que
permita movernos en la dirección que indicaba la flecha de la figura 4.3. Para
ello se recurrió al método de máxima pendiente en ascenso.
x1
x2
60
50
40
30
20
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Contour Plot of y vs x2; x1
Fig. 4.3. Gráfica de Contornos para Caso1
Fig. 4.4 Gráfica de Superficie de Respuesta para Caso1
1
y
20
0
40
x2
60
-10 -1
1x1
Surface Plot of y vs x2; x1
33
4.1.2.2 Trayectoria de la Mayor Pendiente Hacia una Respuesta Óptima
Con base a la ecuación lineal que se estimó, la trayectoria de mayor
pendiente, perpendicular a las curvas de igual respuesta traslada en 16.89
unidades en x1 y 11.36 unidades en x2. En la tabla 4.8 se muestran, los niveles
de temperatura y tiempo a partir del centro del diseño
(Tiempo,Temperatura)=(225,450). El objetivo es moverse a lo largo de la
trayectoria de mayor pendiente hasta que se observe una respuesta máxima.
Por lo tanto, la trayectoria del ascenso más pronunciado pasa por el punto
)0,0( 21 xx y tiene una pendiente 67.89.16
36.11 .
Los cambios en las variables del diseño se eligieron en 1 unidad en x1 y
de .67 en x2. Por tanto, se calcularon puntos sobre esta trayectoria. Luego, se
observaron los rendimientos en los mismos simulados con Logicon® hasta que
se notó un decremento en la respuesta. Para convertir los tamaños de los
pasos codificados 11 x y 67.2 x a las unidades naturales de tiempo y
temperatura, se usó la siguiente relación:
Cx
segx
75.16)25(67.)25(
25)25(1)25(
22
11
Tabla 4.8 Experimento del Ascenso Más Pronunciado
1x 2x
1 2 y
Origen 0 0 225 450 37,95
1 .67 25 16,75
Origen + 1 .67 250 467 63,56
Origen + 2 2 1.34 276 484 78,94
Origen + 3 3 2.01 300 500 77,28
Conforme se avanza por la trayectoria de mayor pendiente, el aumento
en la respuesta es menor hasta que se observa una disminución real en ella, lo
que indicó que la región de respuesta máxima está en la proximidad de esas
34
condiciones de temperatura y tiempo. En este punto del proceso se diseñó un
nuevo experimento para estimar una nueva ecuación polinomial lineal que
aproxime la superficie de respuesta. En el tercer paso se observa un
decremento en rendimiento del proceso. Por lo que, se ajustó un modelo de
primer órden en el punto (276,484), como muestra la tabla 4.9.
Las nuevas variables codificadas son:
24
27611
x 10
48422
x
El segundo modelo de primer orden obtenido del análisis de Minitab
mostrado en la figura 4.5 es 21 517.10243.3391.77ˆ xxy . Estos resultados
mostraron un valor p de .004 de curvatura y un valor p de .646 en falta de
ajuste. Lo que significa que, aunque hay un buen ajuste, también existe
evidencia de curvatura. Esto es evidencia de cercanía de la región óptima.
Tabla 4.9 Datos para el Segundo Modelo de Primer Orden
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
1 2 1x 2x y
252 474 -1 -1 68,41
252 494 -1 1 61,34
300 474 1 -1 88,86
300 494 1 1 82,96
276 484 0 0 78,78
276 484 0 0 80,55
276 484 0 0 77,34
276 484 0 0 78,73
276 484 0 0 79,55
Una vez que se detectó la cercanía de la región óptima, y debido a que se
estaba cerca de los límites de la región de operación que se pueden simular, se
35
pasó a la utilización de un modelo de segundo orden. La tabla 4.10 muestra las
variables codificadas, las variables naturales, el diseño central compuesto y la
respuesta que se simuló en Logicon® para ajustar el modelo cuadrático. La
codificación de las variables naturales tiempo )( 1 y temperatura )( 2 se realizó
con las siguientes expresiones:
24
27611
x 10
48422
x
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 77,391 0,8014 96,57 0,000
x1 -6,485 -3,243 1,2021 -2,70 0,036
x2 21,035 10,517 1,2021 8,75 0,000
S = 2,40429 R-Sq = 93,32% R-Sq(adj) = 91,09%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 2 484,526 484,526 242,263 41,91 0,000
Residual Error 6 34,684 34,684 5,781
Curvature 1 28,760 28,760 28,760 24,28 0,004
Lack of Fit 1 0,342 0,342 0,342 0,25 0,646
Pure Error 4 5,581 5,581 1,395
Total 8 519,210
Fig. 4.5 Resultados Obtenidos con Minitab para el Segundo Modelo de Primer Orden para el Caso 1
Después de usar Minitab, el modelo ajustado de segundo orden con las
variables de diseño codificadas es:
21
2
2
2
121 2925.061.29575.07561.32843.399.78ˆ xxxxxxy
36
En las figuras 4.6, es notoria la curvatura existente en la gráfica de superficie de
respuesta. En la gráfica de contornos se observa que el punto que maximiza el
rendimiento está en la parte superior derecha de la región experimental. Para
encontrar este punto óptimo, se procedió a utilizar el paquete matemático Math-
Cad.
4.1.3 Análisis de la Superficie de Respuesta con Math-Cad para el Caso 1
Mediante la generación de gráficas de contornos y de superficie de
respuesta para el análisis de MSR, se usó el software Math-Cad con el fin de
caracterizar la forma de la superficie y localizar el óptimo con mayor precisión.
A partir del modelo ya ajustado de segundo orden:
21
2
2
2
121 2925.061.29575.07561.32843.399.78ˆ xxxxxxy
el siguiente paso consistió, entonces, en determinar las coordenadas del punto
estacionario.
Fig. 4.6 Gráficas de Contornos y de Superficie de Respuesta para el
Caso 1
x1
x2
80
75
70
65
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Contour Plot of y vs x2; x1
1
y
65
0
70
75
x2
80
-1 -101x1
Surface Plot of y vs x2; x1
37
Tabla 4.10 Datos para el Modelo de Segundo Órden
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
1 2 1x 2x y
252 474 -1 -1 68,41
252 494 -1 1 61,34
300 474 1 -1 88,86
300 494 1 1 82,96
242 484 -1.414 0 63,23
310 484 1.414 0 90,98
276 470 0 -1.414 78,05
276 498 0 1.414 69,55
276 484 0 0 78,78
276 484 0 0 80,55
276 484 0 0 77,34
276 484 0 0 78,73
276 484 0 0 79,55
4.1.3.1 Localización del Punto Estacionario
Montgomery (2006), señala que el punto estacionario sirve para
encontrar los niveles de x1 y x2 que optimizan la respuesta predicha. Es posible
obtener una solución matemática para la localización del punto estacionario.
Este punto estacionario se calcula con la expresión ya explicada en la sección
3.7 del marco teórico. El punto estacionario es la solución de la ecuación:
2
1bBxs
De acuerdo a la sección 3.7, b es un vector de los coeficientes de
regresión de primer orden y B es una matriz simétrica, donde los elementos de
la diagonal son los coeficientes cuadráticos y los elementos fuera de la diagonal
son la mitad de los coeficientes de las interacciones. Es decir:
38
B.9575
.14625
.14625
2.61
b3.2843
3.7561
B
1 1.053
0.059
0.059
0.386
Xs .5 B1
b Xs1.841
0.823
B.9575
.14625
.14625
2.61
b3.2843
3.7561
B
1 1.053
0.059
0.059
0.386
Xs .5 B1
b Xs1.841
0.823
Con lo cual, el punto estacionario se obtuvo de la siguiente manera:
823.0
841.1
2
1
2
1 bB
x
xx
s
s
s
Es decir, las coordenadas del punto estacionario de la respuesta máxima son
841.11, sx y 823.02, sx . En forma natural, el punto estacionario es:
24
276841.1 1
10
484823.0 2
de donde se obtuvo C3201 y 4922 segundos de tiempo de reacción. La
respuesta estimada en el punto estacionario se encontró al sustituir 841.11, sx
y 823.02, sx en el modelo ajustado:
)823.0)(841.1(2925.0
)823.0(61.2)841.1(9575.0)823.0(7561.3)841.1(2843.399.78ˆ 22
y
Por tanto, la respuesta estimada en el punto estacionario es 6.83
sy .
4.1.3.2 Caracterización de la Superficie de Respuesta
Una vez que se encontró el punto estacionario, fue necesario
caracterizar la superficie de respuesta en la vecindad más inmediata. Es decir,
se necesitaba determinar si el punto estacionario era un punto de respuesta
máximo, punto de respuesta mínimo o un punto de silla. La forma más directa
39
de hacer esto es examinando la gráfica de contornos del modelo ajustado. Sin
embargo, un análisis canónico es más preciso que un análisis visual. Para
obtener la forma canónica, Math-Cad calcula los eigenvalores i con la función
eigenvals de la siguiente manera:
Signos
negativos,
POR LO
TANTO Xs
es un punto
maximo
e eigenvals B( ) e0.945
2.623
Debido a que las i tienen signos negativos, sx es un punto máximo.
4.1.3.3 Corridas de Confirmación
La tabla 4.11, muestra el resultado de las corridas de confirmación
realizadas en el punto óptimo obtenido. La media de estas 16 corridas fue
72.88
y , que fue mejor a la respuesta predicha 6.83
y .Por lo que se
recomiendan los niveles obtenidos ya que éstos satisfacen las condiciones
óptimas. Además, al inicio de la descripción del caso se mencionó que el
proceso actualmente opera en un rango de porcentaje de pureza entre el 55% y
el 75%, lo que señala que hay un mejoramiento en el porcentaje de
rendimiento con ambas metodologías (con la metodología Taguchi se obtuvo
un rendimiento máximo de 67.15%).
4.2 Diseño de un Análisis de Sangre
Conocer la composición del cuerpo humano resulta de gran utilidad a la
hora del diagnóstico de las diferentes enfermedades, para ello es necesario
hacer un análisis de sangre. En el análisis de sangre simulado por Logicon®, la
sangre se trata eliminando glóbulos rojos y queda el plasma. La relación entre
las concentraciones de los anticuerpos y reactivo son medidos en (ml). Este
40
caso tiene como respuesta la separación de mezclas y tiene como objetivo
maximizar la sensibilidad del método.
Tabla 4.11. Corridas Confirmatorias Para los Factores Obtenidos con la Respuesta Estimada
Tiempo Temperatura Rendimiento Tiempo Temperatura Rendimiento
320 492 90,24 320 492 88,64
320 492 88,15 320 492 88,76
320 492 88,21 320 492 89,58
320 492 88,57 320 492 89,41
320 492 88,13 320 492 90,77
320 492 89,87 320 492 88,1
320 492 86,78 320 492 90,16
320 492 88 320 492 89,7
320 492 88,43 320 492 89,07
320 492 88,56 320 492 88,54
320 492 87,91 320 492 87,85
320 492 88,39 320 492 88,64
320 492 89 320 492 87,83
320 492 89,6 320 492 89,38
320 492 87,93 320 492 88,33
320 492 88,16 320 492 88,39
72.88
y
Se seleccionó la característica de calidad lo mayor es lo mejor de la
metodología Taguchi, usando el arreglo ortogonal )2( 3
4L con dos factores de
control: cantidad de anticuerpos y cantidad de reactivo. La tabla 4.12 muestra
los factores del análisis y sus niveles seleccionados.
Tabla 4.12 Factores y Niveles para el Caso 2
Factores Descripción Nivel I (Bajo) Nivel II (Alto)
A Anticuerpo 23 27
B Reactivo 33 37
41
4.2.1 Aplicación de la Metodología Taguchi para el Caso 2
El uso del diseño de parámetros del método Taguchi para optimizar el
proceso de análisis de sangre incluyó los pasos descritos en el caso 1. Además
de que se realizaron 4 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por
cada corrida. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L4, se muestran en la
tabla 4.13. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la
separación ya que se necesita saber las condiciones de operación que
maximizan la sensibilidad del proceso.
Tabla 4.13.Corridas Experimentales para el Análisis de Sangre
4.2.1.1 Análisis de Medias
Para calcular el efecto para cada factor, se calculó primero la respuesta
promedio para cada corrida experimental, esto se observa en la tabla 4.14.
Luego, se estimó el efecto principal de cada factor. Basándose en la respuesta
promedio calculada para cada nivel de cada factor, se analizaron las
diferencias, como se aprecia en la tabla 4.15, en la cual se ve claramente los
efectos de los niveles. Para estimar la media de cada nivel de cada factor, se
promediaron las medias de las corridas experimentales donde se usó el nivel
correspondiente.
No de
Exp
A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
1 1 1 365 365 365 365 365 365 365 365
2 1 2 411 411 411 411 411 411 411 411
3 2 1 407 407 407 407 407 407 407 407
4 2 2 454 454 454 454 454 454 454 454
42
Por ejemplo, las medias de los dos niveles del factor A (anticuerpos), se
calcularon de la siguiente manera:
3882/)411365(1
A
5.4302/)454407(2
A
5.42)3885.430( A
Tabla 4.14. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Análisis de Sangre
Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo mayor
respuesta fueron los siguientes: A2 (Anticuerpo en su mayor nivel) y B2
(Reactivo en su mayor nivel) para la característica de calidad lo mayor es lo
mejor como muestra la figura 4.7
Tabla 4.15 Respuesta de los Efectos Principales para Caso 2
Nivel Factor A Factor B
1 388 386
2 430.5 432.5
Diferencia 42.5 46.5
No de Exp A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Total
1 1 1 365 365 365 365 365 365 365 365 365
2 1 2 411 411 411 411 411 411 411 411 411
3 2 1 407 407 407 407 407 407 407 407 407
4 2 2 454 454 454 454 454 454 454 454 454
Promedio
Total
409.25
43
4.2.1.2 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal para el Caso 2
Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.16, se obtuvo el
valor F crítico de 4.18. Con el estadístico F se probaron las hipótesis nula y
alternativa siguientes:
:0H El factor correspondiente no tiene un efecto significante
:1H El factor correspondiente si tiene un efecto significante
Fig. 4.7 Gráfica de Respuesta de las Medias para el Caso 2
Es decir, si el estadístico F es mayor que el valor critico Fc se rechaza la
hipótesis nula. Dado que: Fc= 4.18 < A y B por lo tanto, se rechaza 0H . Como
podemos observar en la tabla 4.16, tanto el anticuerpo como el reactivo tienen
una influencia considerable en el experimento.
Me
an
of
Me
an
s
21
430
420
410
400
390
380
21
A B
Main Effects Plot (data means) for Means
44
Tabla 4.16 Análisis de ANOVA para el Caso 2 Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F
A 14,450 1 14,450 212500
B 17,298 1 17,298 254382
Error 2 29 .068
Total 31,750 31
4.2.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para el Caso 2
En base al análisis que se hizo, los niveles seleccionados para el caso 2
son: A2, B2. El promedio total ( )
T es 409.25, con lo cual la estimación de la
respuesta promedio en los niveles seleccionados es:
)()( 22
TBTAT
TBA 22
25.4095.4325.430
75.453
4.2.1.4 Corrida de Confirmación
La corrida confirmatoria para el caso de la análisis de sangre dio un resultado
de 454 en las replicas 1,2 y 3 respectivamente. Como este resultado es similar
que la media de proceso estimada 75.453
, se tiene una alta probabilidad de
reproducir resultados.
45
4.2.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para el Análisis de Sangre
Buscando obtener una mejor solución que la que se obtuvo con la
metodología Taguchi, al igual que en el primer caso se aplicó la MSR para
optimizar el proceso de análisis de sangre. El procedimiento de la metodología
de Superficie de Respuesta que se siguió fue el mismo que en el primer caso.
Las siguientes secciones describen en más detalle como cada uno de estos
pasos de MSR fueron aplicados en el presente estudio experimental.
4.2.2.1 Ajustando el Modelo de Regresión para el Caso 2
En el método del ascenso más pronunciado, el primer modelo lineal se
ajustó usando un diseño experimental factorial 22 donde los factores usados
fueron cantidad de anticuerpos a 20 y 30 (-1 y +1 en valores codificados) y
cantidad de reactivo a 30 y 40. Se realizaron cinco réplicas en el centro de la
zona experimental a 25 y con 35 para proporcionar una estimación de la
varianza del error experimental y ver si el modelo lineal era el adecuado. Este
diseño factorial 22 aumentado con cinco puntos centrales se muestra en la tabla
4.18 Para realizar el análisis se transformaron las variables naturales a
variables codificadas. La relación entre las variables naturales y las variables
codificadas correspondientes se encuentra en la tabla 4.17.
Tabla 4.17 Niveles de los Factores Codificados y Naturales para el Caso 2
-1 0 1
Anticuerpo 20 25 30
Reactivo 30 35 40
46
La tabla 4.18 muestra las combinaciones de los tratamientos, los factores
codificados y el porcentaje de rendimiento de la reacción química obtenido con
el simulador. Puesto que no se sabe si las condiciones óptimas de operación,
se encuentran cercanas o alejadas del verdadero óptimo. En tal circunstancia el
objetivo es moverse rápidamente a la vecindad del óptimo verdadero. En estas
condiciones se utilizó un modelo de primer orden. Usando Minitab para analizar
la respuesta de este diseño experimental, se obtienen los resultados mostrados
en la figura 4.8. Es decir, del reporte de resultados de Minitab se observa que
el modelo ajustado de primer orden es 21 2850.2644.416ˆ xxy .
Tabla 4.18 Datos del Análisis de Sangre para Ajustar el modelo de Primer Orden
Las pruebas de hipótesis individuales sobre los coeficientes de regresión
tienen un valor p = 0 para el término constante y un valor p de .04 para los
términos lineales x1 y x2. Esto significa que tanto el anticuerpo como el reactivo
tienen efecto sobre la separación. Con respecto a la prueba de falta de ajuste
(lack of fit), no se observa un valor p debido a que el simulador no generó error
aleatorio. Sin embargo, puesto que la curvatura es significativa se aplicó el
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
Anticuerpo( 1 ) ( 2 )Reactivo 1x 2x y
20 30 -1 -1 343
30 30 1 -1 395
20 40 -1 1 398
30 40 1 1 452
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
47
modelo central compuesto para obtener un modelo de segundo orden. Ya que
estamos cercanos al óptimo no hay necesidad de ajustar otro modelo lineal.
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 2 5945,00 5945,00 2972,50 6,55 0,031
Residual Error 6 2723,22 2723,22 453,87
Curvature 1 2722,22 2722,22 2722,22 13611,11 0,000
Lack of Fit 1 1,00 1,00 1,00
Pure Error 4 0,00 0,00 0,00
Total 8 8668,22
Fig. 4.8 Resultados Obtenidos con Minitab para el Caso 2
Debido a la curvatura presente en la superficie de respuesta se diseño
un DCC para ajustar el modelo. La tabla 4.19 muestra las variables codificadas,
las variables naturales, el diseño central compuesto y la respuesta que se
simuló en Logicon® para ajustar el modelo cuadrático. La codificación de las
variables naturales anticuerpo )( 1 y reactivo )( 2 se realizó con las siguientes
expresiones:
5
2511
x 5
3522
x
Después de usar Minitab, el modelo ajustado de segundo órden con las
variables de diseño codificadas es:
21
2
2
2
121 500.125.5625.29556.29685.26432ˆ xxxxxxy
48
Tabla 4.19 Datos para el Modelo de Segundo Orden del Caso 2
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
1 2 1x 2x y
20 30 -1 -1 343
30 30 1 -1 395
20 40 -1 1 398
30 40 1 1 452
18 35 -1.414 0 335
32 35 1.414 0 411
25 28 0 -1.414 378
25 42 0 1.414 466
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
25 35 0 0 432
En las figuras 4.9, es notoria la curvatura existente en la gráfica de
superficie de respuesta. En la gráfica de contornos se observa que el punto que
maximiza el rendimiento está en la parte superior derecha de la región
experimental. Para encontrar este punto óptimo, se procedió a utilizar el
paquete matemático Math-Cad.
Fig. 4.9 Gráficas de Contorno y de Superficie de Respuesta para el Caso 2
1
y
300
0
350
400
x2
450
-1 -101x1
Surface Plot of y vs x2; x1
x1
x2
450
425
400
375
375
350
325
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Contour Plot of y vs x2; x1
49
4.2.3 Análisis de la Superficie de Respuesta con Math-Cad para el Caso 2
Mediante la generación de gráficas de contornos y de superficie de
respuesta para el análisis de MSR, se usó el software Math-Cad con el fin de
caracterizar la forma de la superficie y localizar el óptimo con mayor precisión.
A partir del modelo ya ajustado de segundo orden:
21
2
2
2
121 500.125.5625.29556.29685.26432ˆ xxxxxxy
el siguiente paso consistió, entonces, en determinar las coordenadas del punto
estacionario.
4.2.3.1 Localización del Punto Estacionario para el Caso 2
Este punto estacionario se calcula con la expresión ya explicada en la
sección 3.7 del marco teórico. En este caso 2, las coordenadas del punto
estacionario de la respuesta máxima son 475.01, sx y 907.22, sx . En
términos de las variables naturales el punto estacionario es:
5
25475.0 1
5
35907.2 2
De donde se obtuvo 271 y 5.492 . La respuesta estimada en el
punto estacionario es 29.481
sy .
4.2.3.2 Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 2
El análisis canónico fue usado para caracterizar la superficie de
respuesta, por medio de la identificación de los eigenvalores i obtenidos con
50
Math-Cad. Los eigenvalores i con la función eigenvals se obtuvo de la
siguiente manera :
e eigenvals B( ) e29.628
5.122
Como los eigenvalores son negativos se concluye que se trata de un punto
estacionario máximo.
4.2.3.3 Corridas de Confirmación para el Caso 2
Como en el caso anterior las mediciones para las corridas de
confirmación se realizaron por triplicado. El resultado de las corridas de
confirmación realizadas en el punto óptimo obtenido fue 481
y , lo que resultó
muy cercano a la respuesta predicha de 481
y .29. Mientras que con la
metodología Taguchi se obtuvo un valor esperado de 453.75 . Estos resultados
se discutirán en el capítulo 5 con más detalle.
4.3 Diseño y Análisis de una Impresora
Box y Draper (1987), describen un experimento acerca de una impresora
de alta velocidad requerida para etiquetar medicamentos. Un caso similar es
presentado por Logicon®, los datos que presenta el simulador son una variación
del experimento original debido a que los datos que son presentados por
Logicon® están codificados. Cabe señalar que este diseño ha servido como
referencia a diferentes autores para ilustrar los resultados que se obtienen al
aplicar el método que proponen en la optimización de la media y la desviación
estándar.
51
Al igual que en el caso original, el propósito del experimento fue estudiar
los efectos de los factores que se muestran en la tabla 4.20, y la respuesta (y)
consiste en medir el espesor del chorro de tinta. Aquí se usará el mismo
ejemplo para aplicar la metodología Taguchi y la MSR ya que se considera que
los tres factores tienen efecto importante en la respuesta medida en la tinta. La
respuesta medida es del tipo lo nominal es lo mejor de la metodología Taguchi
con un valor objetivo de 500 puntos por pulgada (dpi), usando el arreglo
ortogonal )2( 3
4L con tres factores de control.
Tabla 4.20 Factores y Niveles para el Caso 3
Factores Descripción Nivel I (Bajo) Nivel II (Alto)
A Velocidad -.02 .02 B Presión -.02 .02 C Distancia -.05 .05
4.3.1 Aplicación de la Metodología Taguchi para el Caso 3
Se realizaron 4 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por
cada corrida. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L4, se muestran en la
tabla 4.21. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la
capacidad de impresión de la impresora ya que se necesita mantener el valor
de entintado promedio en 500 dpi.
4.3.1.1 Análisis de Medias para el Caso 3
Para calcular el efecto para cada factor, se calculó primero la respuesta
promedio para cada corrida experimental, esto se observa en la tabla 4.22.
52
También se analizaron las diferencias, como se aprecia en la tabla 4.23, en la
cual se ve claramente los efectos de los niveles.
Tabla 4.21.Corridas Experimentales para una Impresora de Alta Velocidad
Tabla 4.22. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Caso 3
Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo una
respuesta más cercana al valor nominal de 500 dpi fueron los siguientes: A2 ,B2
y C2 para la característica de calidad lo nominal es lo mejor como muestra
gráficamente la figura. 4.10.
Tabla 4.23 Respuesta de los Efectos Principales para Caso 3
Nivel Factor A Factor B Factor C
1 319.81 322.56 320.31
2 333.75 331 333.25
Diferencias 13.94 8.44 12.94
No de
Exp
A B C R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
1 1 1 1 276 343 295 275 316 335 328 305
2 1 2 2 293 369 314 292 338 360 352 326
3 2 1 2 299 374 320 298 344 365 357 331
4 2 2 1 296 368 316 295 339 359 352 327
No de Exp A B C R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio
1 1 1 1 276 343 295 275 316 335 328 305 309.125
2 1 2 2 293 369 314 292 338 360 352 326 330.5
3 2 1 2 299 374 320 298 344 365 357 331 336
4 2 2 1 296 368 316 295 339 359 352 327 331.5
Promedio Total 326.78
53
De la tabla 4.23 de respuesta de medias se observó que el factor A tiene
el efecto más grande con 13.94, éste es seguido por C con 12.94. El factor B
es el siguiente factor con 8.44 , estos tres factores se consideraron para llevar a
cabo la predicción de la respuesta en los niveles óptimos.
4.3.1.2 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal para el Caso 3
Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.24, se observa
que los factores A, B y C tuvieron un efecto no significativo en la respuesta, ya
que el estadístico F, resultó menor que el Fc. Por lo tanto no se rechazó 0H .
Tabla 4.24 Análisis de ANOVA para una Impresora de Alta Velocidad Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F
A 1554.03 1 1554.03 1.97
B 569.53 1 569.53 .723
C 1,339.03 1 1339.03 1.70
Error 22,052.879 28 787.60
Total 25,515.469 31
4.3.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para el Caso 3
Una vez que se realizó el análisis de varianza de la tabla 4.24, ocurrió
que ningún factor resultó significativo. Por tanto, la selección de los niveles
óptimos del proceso fueron seleccionados mediante la observación de las
gráficas de la respuesta de medias de la figura 4.10, el paso final fue predecir y
verificar el mejoramiento del desempeño del valor del entintado usando los
parámetros que se consideraron óptimos según las observaciones de las
gráficas. Los niveles seleccionados para el caso 3 son A2, B2, C2, con lo cual la
estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es 5.355
.
El resultado de las corridas confirmatorias para el caso de la impresora de alta
54
velocidad que se obtuvo fue de 356.1, lo cual es un valor muy aproximado al
valor estimado.
4.3.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para la
Impresora
El primer modelo lineal se ajustó usando un diseño experimental factorial
23 donde los factores y sus correspondientes niveles usados fueron la velocidad
a -.02 y .02 pulgadas/minuto, presión a -.02 y .02 unidades/minuto y la
distancia a -.05 y .05 pulgadas/minuto (en valores codificados). Se realizaron
cinco réplicas en el centro de la zona experimental (0,0,0) para proporcionar
una estimación de la varianza del error experimental y ver si el modelo lineal
era el adecuado.
Me
an
of
Me
an
s
21
335
330
325
320
21
21
335
330
325
320
A B
C
Main Effects Plot (data means) for Means
Fig. 4.10 Gráfica de Respuesta de las Medias para Caso 3
55
Este diseño factorial 23 aumentado con cinco puntos centrales se
muestra en la tabla 4.26. Para realizar el análisis, el simulador proporciona las
variables codificadas. La relación entre las variables codificadas y las variables
que se usaron en el experimento se encuentra en la tabla 4.25.
Tabla 4.25 Niveles de los Factores Codificados
y Naturales del Caso 3
La tabla 4.26 muestra los factores codificados, la respuesta obtenida con
el simulador Logicon® y la diferencia entre el valor nominal y la respuesta. Cabe
aclarar que la columna agregada tiene como fin el minimizar la diferencia al
aplicar el método del descenso más pronunciado. Minimizar el valor absoluto de
la diferencia con respecto al valor nominal es una alternativa para encontrar el
óptimo ya que al disminuir la diferencia nos estaremos acercando al valor
nominal.
Puesto que estamos en los comienzos de la experimentación, se asumió
un modelo de primer orden. Usando Minitab para analizar la respuesta de este
diseño experimental, se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 4.11.
El modelo ajustado de primer orden es 321 25.19700.915.161ˆ xxxy .
Con respecto a la curvatura se observó un valor p de .086 lo cual indicó no ser
significativa y en la prueba de falta de ajuste se observó un valor p de .463, por
lo que el modelo lineal tiene buen ajuste. En este caso la metodología del
descenso más pronunciado se volvió necesaria ya que se trató de minimizar la
diferencia con respecto al valor objetivo de 500 en la respuesta.
-1 0 1
Velocidad -.02 0 .02
Presión -.02 0 .02
Distancia -.05 0 .05
56
4.3.2.1 Trayectoria del Ascenso Más Pronunciado Hacia una Respuesta Óptima
Debido a que se trató de minimizar el valor objetivo se eligió nuevamente
el método del descenso más pronunciado. Por consiguiente, con base a la
ecuación lineal que se estimó 321 25.197915.161ˆ xxxy , se eligió la
variable que tenia el mayor valor absoluto 25.19 unidades en x3. El tamaño
del paso fue de .10 en valor natural. En la tabla 4.27 se muestran, los niveles
de velocidad, presión y distancia a partir del centro del diseño (velocidad,
presión, distancia)=(0,0,0). A su vez, se observó un incremento en el tercer
paso.
Tabla 4.26 Datos del Proceso para Ajustar el Modelo de Primer Orden del
Caso 3
Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta
1 2 3 X1 x2 x3 y 500y
-.02 -.02 -.05 -1 -1 -1 281 219
.02 -.02 -.05 1 -1 -1 357 143
-.02 .02 -.05 -1 1 -1 304 196
.02 .02 -.05 1 1 -1 290 210
-.02 -.02 .05 -1 -1 1 335 165
.02 -.02 .05 1 -1 1 364 136
-.02 .02 .05 -1 1 1 353 147
.02 .02 .05 1 1 1 334 166
0 0 0 0 0 0 372 128
0 0 0 0 0 0 385 115
0 0 0 0 0 0 359 141
0 0 0 0 0 0 356 144
0 0 0 0 0 0 315 185
57
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 161,15 8,594 18,75 0,000
x1 -18,00 -9,00 10,955 -0,82 0,433
x2 14,00 7,00 10,955 0,64 0,539
x3 -38,50 -19,25 10,955 -1,76 0,113
S = 30,9860 R-Sq = 31,67% R-Sq(adj) = 8,89%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 3 4005 4005 1334,8 1,39 0,308
Residual Error 9 8641 8641 960,1
Curvature 1 2797 2797 2797,0 3,83 0,086
Lack of Fit 4 3067 3067 766,7 1,10 0,463
Pure Error 4 2777 2777 694,3
Total 12 12646
Fig. 4.11 Resultados Obtenidos con Minitab para el Caso 3
Por lo que, se ajustó un nuevo modelo de primer órden en el punto
(.04, -.04,.20), como muestra la tabla 4.28. El segundo modelo de primer orden
obtenido del análisis de Minitab mostrado en la figura 4.12 es
321 25.2181015.131ˆ xxxy . Estos resultados mostraron un valor p de .089
indicando que no hay curvatura. Por lo que se continuó hacia abajo por la
trayectoria del máximo descenso.
Después de aplicar el método del descenso en tres ocasiones, se
consideró que estábamos suficientemente cerca del óptimo como para usar
finalmente el modelo de segundo orden para buscar el punto óptimo. Además,
en estos tres modelos lineales, el valor p para la prueba de hipótesis de
curvatura se mantuvo por debajo de 10%, lo cual indica que existe suficiente
curvatura para usar el modelo de segundo orden
58
Tabla 4.27 Experimento del Ascenso Más Pronunciado
para el Caso 3
1x
2x
3x
1
2
3
y
500y
Origen 0 0 0 0 0 0 291 209
.935 -.7272 2
Origen + .935 -.7272 2 .02 -.02 .10 302 198
Origen +2 1.87 -1.4544 4 .04 -.04 .20 398 102
Origen + 3 2.805 -2.1816 6 .06 -.06 .30 348 152
Origen +4 3.74 -2.9088 8 .08 -.06 .40 332 168
Tabla 4.28 Datos del Proceso para Ajustar el Segundo Modelo de Primer
Orden del Caso 3
Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta
1 2 3 X1 x2 x3 Y 500y
.02 -.06 .15 -1 -1 -1 302 198
.06 -.06 .15 1 -1 -1 391 109
.02 -.02 .15 -1 1 -1 330 170
.06 -.02 .15 1 1 -1 313 187
.02 -.06 .25 -1 -1 1 364 136
.06 -.06 .25 1 -1 1 396 104
.02 -.02 .25 -1 1 1 385 115
.06 -.02 .25 1 1 1 361 139
.04 -.04 .20 0 0 0 408 92
.04 -.04 .20 0 0 0 423 77
.04 -.04 .20 0 0 0 393 107
.04 -.04 .20 0 0 0 389 111
.04 -.04 .20 0 0 0 340 160
59
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 131,15 10,14 12,93 0,000
x1 -20,00 -10,00 12,93 -0,77 0,459
x2 16,00 8,00 12,93 0,62 0,551
x3 -42,50 -21,25 12,93 -1,64 0,135
S = 36,5653 R-Sq = 29,04% R-Sq(adj) = 5,39%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 3 4925 4925 1641,5 1,23 0,355
Residual Error 9 12033 12033 1337,0
Curvature 1 3845 3845 3845,0 3,76 0,089
Lack of Fit 4 4267 4267 1066,7 1,09 0,468
Pure Error 4 3921 3921 980,3
Total 12 16958
Fig 4.12 Resultados Obtenidos para el Caso 3
En la tercera repetición del método del descenso más pronunciado, la
diferencia más pequeña con respecto al valor nominal se obtuvo en el punto
(.12,-.12,.60). Por lo que a partir de este punto se aplicó un modelo de segundo
orden. Los experimentos a realizar por medio del diseño central compuesto
tomando el nuevo punto central en (.12,-.12,.60) y agregando puntos axiales en
1.682 se muestra en la tabla 4.29.
Del modelo de regresión cuadrático se obtuvieron con Minitab las
gráficas de contorno y de superficie de respuesta de la figura 4.13 donde el
valor de x3 se fijó en el valor central de 0. También, se puede observar que el
punto estacionario es un punto de silla. Para comprobarlo, se usó el paquete
Math-Cad, ya que además se requería encontrar las coordenadas del punto
óptimo.
60
Fig 4.13 Graficas de Contornos y de Superficie de Respuesta para el Caso 3
Tabla 4.29 Modelo Cuadrático para el Caso 3
1 2 3 x1 x2 x3 y 500y
.10 -.14 .55 -1 -1 -1 336 164
.14 -.14 .55 1 -1 -1 458 42
.10 -.10 .55 -1 1 -1 373 127
.14 -.10 .55 1 1 -1 348 152
.10 -.14 .65 -1 -1 1 415 85
.14 -.14 .65 1 -1 1 458 42
.10 -.10 .65 -1 1 1 443 57
.14 -.10 .65 1 1 1 409 91
.08 -.12 .60 -1,68179 0 0 469 31
.16 -.12 .60 1,68179 0 0 510 10
.12 -.16 .60 0 -1,68179 0 393 107
.12 -.08 .60 0 1,68179 0 487 13
.12 -.12 .50 0 0 -1,68179 426 74
.12 -.12 .70 0 0 1,68179 402 98
.12 -.12 .60 0 0 0 479 21
.12 -.12 .60 0 0 0 500 0
.12 -.12 .60 0 0 0 457 43
.12 -.12 .60 0 0 0 452 48
.12 -.12 .60 0 0 0 384 116
x1
x2
160
120
80
80
40
40
0
1,51,00,50,0-0,5-1,0-1,5
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
Hold Values
x3 0
Contour Plot of y vs x2; x1
10
y
0
50
100
x2
150
-2 -1-1 0 -21x1
Hold Values
x3 0
Surface Plot of y vs x2; x1
61
4.3.3. Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 3
Para el caso de la impresora a color, las coordenadas del punto estacionario de
la respuesta son 026.1, sx , 478.22, sx y 101.33, sx . Como en los casos
anteriores el análisis canónico fue usado para caracterizar la superficie de
respuesta, por medio de la identificación de los eigenvalores obtenidos con
Math-Cad. Los eigenvalores i con la función eigenvals se obtuvieron de la
siguiente manera:
)(: Beigenvals
476.10
821.23
038.22
De acuerdo a estos eigenvalores i , el punto estacionario es un punto
de silla. Esto significa que no se encuentra un punto óptimo máximo ni mínimo.
Mediante el paquete Math-Cad se optimizó numéricamente con la función
minimize restringiendo la búsqueda del punto mínimo a la región experimental y
a valores mayores o iguales a cero de la diferencia, dado que la respuesta es la
diferencia con respecto al valor nominal. Se definieron los valores iniciales de
las variables, de la siguiente manera:
0:1 x 0:2 x 0:3 x
Se restringieron las variables a la región de experimentación y la
diferencia a valores mayores que cero, mediante:
Given
62
682.11 x 682.12 x 682.12 x 682.12 x 682.13 x 682.13 x
0),( 321 xxxf
Después, se usó la función Minimize para encontrar los niveles óptimos
de las variables, que minimizan respuesta:
),,,(:min 321 xxxfMinimize
055.0
761.0
682.1
:min
Una vez encontrados los niveles óptimos, Math-Cad evalúo la función en los
puntos encontrados para obtener la respuesta mínima:
00004306.)min,min,(min 210 f
En forma codificada, las coordenadas de los puntos óptimos son, 682.11 x ,
761.2 x , 055.3 x . Por tanto, la diferencia estimada en el punto óptimo
obtenido fue prácticamente cero ( 000043.0
sy ) . En forma natural, las
coordenadas de los puntos óptimos son, 16.1 , 14.2 , 6.3 .
4.3.3.1 Corridas Confirmatorias para el Caso 3
En la tabla 4.30 se muestra el resultado de las corridas de confirmación
realizadas en el punto óptimo obtenido. La media en estas 32 corridas de la
63
diferencia con respecto al valor nominal de 500 fue 420
y , que quedó algo
lejos de la respuesta predicha 9.499
y ya que se trataba de minimizar la
respuesta. Mientras que el valor estimado de la respuesta original con la
metodología Taguchi fue de 356, la media real obtenida con la metodología de
superficie de respuesta fue de 420. Es importante resaltar que el simulador
Logicon® en este caso generó los valores de la respuesta con un error aleatorio
relativamente grande.
Así mismo, las dos metodologías no llegaron muy cerca del valor objetivo
de 500 dpi, aun así es evidente que la metodología de Superficie de Respuesta
superó por mucho a la metodología Taguchi. Vale la pena señalar que los datos
experimentales reportados en el caso de la impresora a color en cada corrida el
valor objetivo está lejos de 500 dpi y los que se observaron próximos, la
desviación estándar es grande. Esta situación provocó a su vez un varianza
grande para el proceso de 2,375.10, en la práctica se tendría que profundizar
en el estudio de esa varianza para tratar de identificar el factor que pueda estar
afectando.
4.4 Diseño y Análisis del Proceso de Soldadura de Punto
La soldadura de resistencia o también conocida como soldadura de
punto es comúnmente usada en la manufactura de partes médicas. En la
soldadura de punto las dos piezas de metal que van a unirse son presionadas
por los electrodos de la máquina soldadora de manera que hagan un buen
contacto eléctrico. El término de resistencia viene de la propiedad eléctrica de
la resistencia del metal a ser soldado la que causa el calor que se generará
cuando la corriente fluye a través de él. Este caso usa una respuesta que esta
relacionada con la resistencia a la ruptura y tiene un valor nominal de 50 libras
por pulgada cuadrada (psi).
64
Tabla 4.30. Corridas Confirmatorias Para los Factores Obtenidos con la Respuesta Estimada del Caso 3
Numero de
Corrida
Velocidad Presión Distancia Respuesta Nominal-y
1 0,16 -0,14 0,6 351 149
2 0,16 -0,14 0,6 470 30
3 0,16 -0,14 0,6 385 115
4 0,16 -0,14 0,6 350 150
5 0,16 -0,14 0,6 423 77
6 0,16 -0,14 0,6 456 44
7 0,16 -0,14 0,6 444 56
8 0,16 -0,14 0,6 403 97
9 0,16 -0,14 0,6 485 15
10 0,16 -0,14 0,6 506 6
11 0,16 -0,14 0,6 463 37
12 0,16 -0,14 0,6 458 42
13 0,16 -0,14 0,6 390 110
14 0,16 -0,14 0,6 383 117
15 0,16 -0,14 0,6 447 53
16 0,16 -0,14 0,6 393 107
21 0,16 -0,14 0,6 445 55
22 0,16 -0,14 0,6 399 101
23 0,16 -0,14 0,6 495 5
24 0,16 -0,14 0,6 370 130
30 0,16 -0,14 0,6 341 159
31 0,16 -0,14 0,6 431 69
32 0,16 -0,14 0,6 432 68
El propósito del experimento fue estudiar los efectos de los factores del
proceso de soldadura de punto que se muestran en la tabla 4.31. En este caso
se aplicó la metodología Taguchi y la MSR ya que se considera que los
factores podrían tener un efecto importante en la respuesta. Se aplicó un
diseño de Superficie de Respuesta con 4 factores y 3 puntos centrales y se
seleccionó la característica de calidad lo nominal es lo mejor de la metodología
Taguchi con un valor nominal de 50 psi, usando el arreglo ortogonal )2( 7
8L con
cuatro factores de control.
65
Tabla 4.31 Factores y Niveles para el Caso 4
Factores Descripción Nivel (Bajo) Nivel II (Alto)
A Presión -.3 .3
B Pulso -.3 .3
C Electrodo 1 -.3 .3
D Electrodo 2 -.3 .3
4.4.1 Aplicación de la Metodología Taguchi para el Caso 4
Se realizaron 8 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por
cada corrida. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la
resistencia al corte o ruptura y se necesita mantener el valor nominal de la
respuesta en 50 psi.
4.4.1.1 Análisis de Medias para el Caso 4
Para calcular el efecto para cada factor se analizaron las diferencias,
como se aprecia en la tabla 4.32, en la cual se ve claramente los efectos de los
niveles. Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo una
respuesta más cercana al valor nominal fueron los siguientes: A1 ,B1 , C2 y
D2.Para la característica de calidad lo nominal es lo mejor como muestra
gráficamente la figura. 4.14. De la tabla 4.32, de la respuesta de medias se
observó que el factor B tiene el efecto más grande con 11.96, este es seguido
por D con 8.72. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L8 así como la
respuesta promedio para cada corrida experimental se muestran en la tabla
4.33.
Tabla 4.32 Respuesta de los Efectos Principales para el Caso 4
Nivel Factor A Factor B Factor C Factor D
1 27.93 33.69 27.55 23.35
2 27.49 21.73 27.88 32.07
Diferencias .44 11.96 0.33 8.72
66
Tabla 4.33.Corridas Experimentales y Respuesta Promedio para Proceso de Soldadura de Punto No. A B C D R R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio
1 1 1 1 1 38,60 26,66 28,77 33,28 29,95 34,72 19,93 24,66 29.57
2 1 1 2 2 49,30 35,87 38,24 43,32 39,57 44,93 28,29 33,61 39.14
3 1 2 1 2 34,90 21,70 24,02 29,02 25,33 30,61 14,25 19,48 24.91
4 1 2 2 1 25,60 15,71 17,45 21,19 18,43 22,38 10,13 14,05 18.11
5 2 1 1 2 49,82 34,22 36,97 42,87 38,51 44,74 25,41 31,59 38.01
6 2 1 2 1 37,77 24,91 27,18 32,04 28,45 33,59 17,65 22,75 28.04
7 2 2 1 1 25,21 15,27 17,02 20,78 18,01 21,97 9,66 13,60 17.69
8 2 2 2 2 36,08 23,04 25,34 30,27 26,63 31,84 15,68 20,85 26.21
4.4.1.2 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal para el Caso 4
Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.34, se observa
que los factores A, y C tuvieron un efecto no significativo en la respuesta, ya
que el estadístico F, resultó menor que el Fc. Por lo tanto, no se rechazó 0H .
Me
an
of
Me
an
s
21
35
30
25
20
21
21
35
30
25
20
21
A B
C D
Main Effects Plot (data means) for Means
Fig. 4.14 Gráfica de Respuesta de las Medias para Caso 4
67
Tabla 4.34 Análisis de ANOVA para el Proceso de Soldadura de Punto
Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F
A 3.163 1 3.163 .0828
B 2,288.06 1 2,288.06 59.961
C 1.758 1 1.758 .0460
D 1,215.65 1 1,215.65 31.857
Error 2,251.429 59 38.159
Total 5760.06 63
4.4.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para
el Caso 4
Como se mencionó anteriormente los resultados de la tabla 4.34,
muestran el análisis de varianza (ANOVA). El estadístico F fue usado para
probar las hipótesis análogas a los casos anteriores. El nivel de significancia
fue del 5%. Los resultados mostraron que los factores de pulso (B), y electrodo
2 (D) tienen un efecto estadísticamente significativo en la resistencia al corte,
pero la presión y el electrodo 1 no tienen significancia. La determinación de la
condición óptima nos llevo a encontrar los parámetros óptimos que nos dieran
el mejor desempeño basados en los datos obtenidos de las gráficas de medias
y el ANOVA.
Una vez identificados los factores significantes, éstos se usaron para
calcular la predicción de la respuesta promedio en los niveles óptimos. La
estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es 05.38
.
El resultado de las corridas confirmatorias para el caso del proceso de
soldadura de punto resultó 40.61 lo cual es un valor muy aproximado al valor
estimado. Sin embargo, estos resultados se encuentran alejados del valor
nominal.
68
4.4.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para el
Proceso de Soldadura de Punto
Para aplicar el método del descenso más pronunciado, inicialmente se
adoptó un diseño experimental factorial, en el cual las variables independientes
son: presión (x1), pulso (x2), electrodo 1(x3) y electrodo 2 (x4) con dos niveles y
tres corridas centrales. La relación entre las variables codificadas
correspondientes es:
3.
0Pr1
esionx
3.
02
Pulsox
3.
013
ELx
3.
024
ELx
Es importante recalcar que aunque los diseños elaborados con la
metodología Taguchi ayudaron a identificar los factores que afectaban a la
respuesta, se decidió aplicar un modelo lineal con todos los factores con el fin
de no descartar ninguna variable. La tabla 4.35 muestra los factores
codificados, la respuesta obtenida con el simulador Logicon® y la diferencia
entre el valor nominal y la respuesta.
Los resultados coincidieron con los obtenidos con la metodología
Taguchi ya que en el presente modelo lineal la respuesta se vio influida
significativamente tanto por el pulso como por el electrodo 2. Sin embargo, los
factores x1 y x3 no resultaron ser significativos. Observándose un valor p mayor
a .10 como se muestra en la figura 4.15. De la figura 4.15 también se pudo
observar que el modelo tiene buen ajuste y no hubo indicios de curvatura, a su
vez el R- cuadrado es del 80.91% lo que mostró que es necesario aplicar el
método del descenso más pronunciado con el fin de acercarnos a la región
optima. Debido que los factores A y C no resultaron significativos se decidió
trabajar con las variables de mayor influencia sobre la respuesta y se obtuvo
nuevamente un modelo lineal con el diseño experimental que se muestra en la
tabla 4.36.
69
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 20,435 1,032 19,81 0,000
x1 -0,986 -0,493 1,124 -0,44 0,668
x2 15,446 7,723 1,124 6,87 0,000
x3 1,886 0,943 1,124 0,84 0,416
x4 -7,541 -3,771 1,124 -3,35 0,005
S = 4,49741 R-Sq = 80,91% R-Sq(adj) = 75,45%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 4 1199,95 1199,95 299,99 14,83 0,000
Residual Error 14 283,17 283,17 20,23
Curvature 1 50,77 50,77 50,77 2,84 0,116
Lack of Fit 11 188,87 188,87 17,17 0,79 0,680
Pure Error 2 43,53 43,53 21,76
Total 18 1483,13
Fig. 4.15 Resultados Obtenidos con Minitab para el Caso 4
Del reporte de resultados de Minitab de la figura 4.16 se observa que el
modelo ajustado de primer orden es: 42 278.2308.6877.20ˆ xxy . Los
resultados obtenidos en el presente estudio evidenciaron en el ANOVA que el
modelo lineal tenía buen ajuste y falta de curvatura. En el análisis de la
varianza se pudo observar que el R-cuadrado es 43.43%.
4.4.2.1 Trayectoria de la Mayor Pendiente Hacia una Respuesta Óptima Para el Caso 4
En la tabla 4.37 se muestran, los niveles de pulso y electrodo 2 a partir
del centro del diseño. Se notó inmediatamente un incremento en la respuesta
en el segundo paso. Utilizando el mismo procedimiento se ajustó nuevamente
un modelo lineal en el punto (-.3, .10) y una vez más se llevó a cabo el
descenso de máxima pendiente que se muestra en la tabla 4.38. Se consideró
que se encontraba suficientemente cerca del óptimo ya que la respuesta está
70
muy próxima al valor nominal de 50. En base a la cercanía del óptimo se
procedió a realizar un modelo de segundo orden.
Tabla 4.35 Datos para el Modelo de Primer Orden del Caso 4
Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta
1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Y 50y
-.3 -.3 -.3 -.3 -1 -1 -1 -1 11,11 38,89
.3 -.3 -.3 -.3 1 -1 -1 -1 24,49 25,51
-.3 .3 -.3 -.3 -1 1 -1 -1 30,01 19,99
.3 .3 -.3 -.3 1 1 -1 -1 26,06 23,94
-.3 -.3 .3 -.3 -1 -1 1 -1 19,9 30,1
.3 -.3 .3 -.3 1 -1 1 -1 15,68 34,32
-.3 .3 .3 -.3 -1 1 1 -1 38,01 11,99
.3 .3 .3 -.3 1 1 1 -1 34,05 15,95
-.3 -.3 -.3 .3 -1 -1 -1 1 10,11 39,89
.3 -.3 -.3 .3 1 -1 -1 1 8,52 41,48
-.3 .3 -.3 .3 -1 1 -1 1 25,35 24,65
.3 .3 -.3 .3 1 1 -1 1 25,95 24,05
-.3 -.3 .3 .3 -1 -1 1 1 11,91 38,09
.3 -.3 .3 .3 1 -1 1 1 5,64 44,36
-.3 .3 .3 .3 -1 1 1 1 26,69 23,31
.3 .3 .3 .3 1 1 1 1 24,81 25,19
0 0 0 0 0 0 0 0 21,82 28,18
0 0 0 0 0 0 0 0 15,42 34,58
0 0 0 0 0 0 0 0 12,74 37,26
71
Tabla 4.36 Datos para el Modelo de Primer Orden para los Factores Significativos
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 20,877 2,893 7,22 0,002
x2 12,615 6,308 3,827 1,65 0,175
x4 -4,555 -2,278 3,827 -0,60 0,584
S = 7,65414 R-Sq = 43,43% R-Sq(adj) = 15,14%
Analysis of Variance for y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Main Effects 2 179,89 179,89 89,94 1,54 0,320
Residual Error 4 234,34 234,34 58,59
Curvature 1 21,70 21,70 21,70 0,31 0,619
Lack of Fit 1 67,32 67,32 67,32 0,93 0,437
Pure Error 2 145,33 145,33 72,66
Total 6 414,23
Fig. 4.16 Resultados Obtenidos para los Factores Significativos del Caso 4
Variables
Naturales
Variables
Codificadas
Respuesta
2 4 2x 4x y 50y
-.3 -.3 -1 -1 38,78 11,22
.3 -3 1 -1 17,96 32,04
-.3 .3 -1 1 35,13 14,87
.3 .3 1 1 30,72 19,28
0 0 0 0 29,07 20,93
0 0 0 0 34,45 15,55
0 0 0 0 17,75 32,25
72
Tabla 4.37 Experimento del Ascenso Más Pronunciado para el Caso 4
2x 4x
2 4 y 50y
Origen 0 0 0 0 38.83 11.17
-1 .3611
Origen + -1 .3611 -.3 .10 44.28 5.72
Origen + 2 -2 .7222 -.6 .20 34.85 15.15
Origen + 3 -3 1.08 -.9 .30 40.68 9.32
La tabla 4.39 muestra las respuestas obtenidas con el diseño central
compuesto, donde se incluyen los puntos factoriales, centrales y los puntos
axiales. El modelo ajustado de segundo orden para los factores B y D es el
siguiente:
42
2
4
2
242 185.4186.4026.1820.3323.3627.13ˆ xxxxxxy
Tabla 4.38 Segundo Descenso Más Pronunciado para el Caso 4
2x 4x
2 4 Y 50y
Origen 0 0 -.3 .10 44.28 5.72
-1 .5530
Origen + -1 .5530 -.6 .3 49.35 .65
Origen + 2 -2 1.106 -.9 .4 40.03 9.97
4.4.3 Análisis de la Superficie de Respuesta con Math-Cad para el Caso 4
.
En este caso 4, las coordenadas del punto estacionario de la respuesta
mínima para los factores sugeridos por la metodología Taguchi son:
545.
048.,DBXs
73
Tabla 4.39 Datos para el Modelo de Segundo Orden del Caso 4
2 4 2x 4x y 50y
-.9 0 -1 -1 45,31 4,69
-.3 0 1 -1 29,3 20,7
-.9 .6 -1 1 44,66 5,34
-.3 .6 1 1 44,35 5,65
-1 .3 -1,41421 0 42,22 7,78
-.2 .3 1,41421 0 41,09 8,91
-.6 -.10 0 -1,41421 24,3 25,7
-.6 .7 0 1,41421 38,42 11,58
-.6 .3 0 0 43,25 6,75
-.6 .3 0 0 44,31 5,69
-.6 .3 0 0 37,77 12,23
Por tanto, la respuesta estimada de la diferencia en el punto estacionario es
105.7,
DBsy , y la respuesta estimada en el punto estacionario es de 42.895.
4.4.3.1 Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 4
Los eigenvalores mostraron que el punto estacionario es un punto de
silla ya que dichos valores fueron de diferentes signos. Debido a esto se realizó
seguidamente la optimización con métodos numéricos, restringiendo la
búsqueda a la región experimental mediante el paquete Math-Cad. Este
análisis permitió estimar la respuesta óptima y los niveles de los factores
considerados para lograr esa respuesta. Después de usar la función Minimize
los niveles óptimos de las variables, que minimizan respuesta son:
153.0
414.1:min
74
Una vez encontrados los niveles óptimos, Math-Cad evalúo la función en los
puntos encontrados para obtener la respuesta mínima:
881.2)min,min,(min 210 f
En forma natural, las coordenadas de los puntos óptimos son, 12 ,
3.4 y la respuesta estimada es de 47.119.
4.4.3.2 Corridas de Confirmación para el Caso 4
El resultado de las corridas de confirmación realizadas en los puntos
óptimos obtenidos con la MSR fue de 43.38. Mientras que el valor estimado
con la metodología Taguchi fue de 38.05. Nuevamente es necesario resaltar
que el simulador Logicon® en este caso generó los valores de la respuesta con
un error aleatorio relativamente grande. Por lo tanto, las dos metodologías no
llegaron cerca del valor objetivo de 50, aun así es evidente que la metodología
de Superficie de Respuesta ayudo la metodología Taguchi.
75
5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Después de una serie de experimentos, se logró llegar a los resultados
obtenidos de la formulación adecuada de los casos de la sustancia química,
análisis de sangre, impresora de alta velocidad y soldadura de punto utilizando
inicialmente la metodología Taguchi (MT) y posteriormente la de Superficie de
Respuesta (MSR). En general, en esta sección se presenta el análisis y
discusión de las técnicas de diseño experimental, las variables independientes
en las condiciones óptimas finales dadas por cada técnica aplicada y las
variables dependientes generando las respuestas óptimas para cada caso por
medio de cada técnica experimental.
5.1 Resultados en Ambas Metodologías
Tanto los métodos de Taguchi como la metodología de Superficie de
Respuesta sirven para optimizar procesos que en algunos casos tienen
entradas controlables y salidas medibles. Ambas metodologías manejan
múltiples entradas que afectan a una salida en particular. Su diferencia
fundamental radica en la forma en que cada método comprende el proceso.
Mientras que la metodología Taguchi se interesa en encontrar la combinación
óptima de factores, con la metodología de Superficie de Respuesta se trabaja
con un enfoque de exploración de la región experimental, incremento del
diseño, usando el modelo que mejor se ajuste y se maneja el filtrado de
variables de interés. Es por ello, que después de haber obtenido los parámetros
de optimización requeridos, se demuestra la efectividad de los enfoques
propuestos.
76
5.1.1 Caso 1. Rendimiento de un Proceso Químico
Los resultados obtenidos con la metodología Taguchi evidenciaron en el
análisis de la varianza que, tanto el tiempo como la temperatura; influyeron
significativamente en el proceso, observándose un pequeño incremento en el
porcentaje de pureza de la reacción. Después de una serie de ensayos con la
metodología de superficie de respuesta, se logró obtener la formulación de la
reacción química para maximizar el rendimiento o pureza de la reacción.
Las condiciones de tiempo y temperatura más adecuadas que se
obtuvieron con MT y MSR, fueron definidos con los valores de las variables
dependientes que se presentan en la tabla 5.1. Al presentarse los resultados
obtenidos, se puede observar que la diferencia entre los métodos respecto al
número de corridas es relativamente baja con un 9.375%. Si bien es cierto que
MT usó menos corridas experimentales con MSR se observar una diferencia
significativa del 32% en cuanto a la respuesta óptima. Este porcentaje
representa la diferencia que hay entre las metodologías respecto al alcance del
óptimo.
Tabla 5.1. Resultados para el Caso 1
5.1.2 Caso 2. Análisis de Sangre
La tabla 5.2 muestra los resultados óptimos obtenidos para factores de
control, los niveles, el porcentaje de la diferencia de la respuesta óptima, y el
porcentaje de la diferencia del número de corridas para el caso del análisis de
Técnica
Número Total de Corridas
Experimentales
Diferencia en el
Número de Corridas
Punto Óptimo
y Óptima
Diferencia
de la Respuesta
Óptima 1x 2x
MT 32 9.375%
250 475 67.15 32.122% MSR 35 320 492 88.72
77
sangre. De acuerdo con los resultados obtenidos, la diferencia de la respuesta
óptima de 5.947% no representa un porcentaje alto pero no se puede decir lo
mismo en cuanto a el porcentaje del número de corridas siendo éste de 45.4%
a favor de MSR. Si se observan los resultados de forma individual ambos
métodos maximizan la respuesta pero MSR lo hace reduciendo el número de
corridas.
Tabla 5.2 Resultados para el Caso 2
5.1.3 Caso 3. Impresora de Alta Velocidad
Mediante la experimentación realizada en el presente trabajo, el
modelado de este caso fue restringido por un valor nominal. En la tabla 5.3 se
observa la reducción del número de experimentos que se obtuvo con la
metodología Taguchi. Dicha reducción facilitó la exploración de factores y
contribuyó en un ahorro de tiempo sustancial.
Por otro lado en MSR, es interesante observar que aunque se
emplearon diseños centrales compuestos para reducir el número de ensayos a
realizar, el número de puntos factoriales crece conforme aumenta el número de
factores que en este caso aumentó al doble en comparación de los casos
anteriores. Sin embargo, aun así los efectos cuadráticos fueron medidos con
mayor eficiencia. Por ejemplo, la ecuación cuadrática que representa la
capacidad de entintado a color en función de la velocidad, presión y distancia,
presentó un coeficiente de determinación R2=66.36. En cuanto al valor óptimo
Técnica
Número Total de Corridas
Experimentales
Diferencia en el
Número de Corridas
Punto Óptimo
y Óptima
Diferencia
de la Respuesta
Óptima 1x 2x
MT 32 45.4%
27 37 454 5.947% MSR 22 27 49.5 481
78
de la respuesta hay una diferencia considerable del 40.42% y al observar los
resultados individuales MSR está prácticamente en el valor nominal con 499.9
mientras que MT se aleja con 356.
Tabla 5.3 Resultados para el Caso 3
5.1.4 Caso 4. Soldadura de Punto
Para el análisis e interpretación de resultados del caso 4 se observa en
la tabla 5.4 el porcentaje del óptimo, el cual resultó ser de 16.02%. Esta
diferencia es baja pero significativa para el logro de nuestro objetivo que es
alcanzar el valor nominal de 50. Una vez más, se puede observar que MSR se
acercó más al valor nominal que MT. Respecto al porcentaje de la diferencia en
el número de corridas fue de 100%, lo que indica que la diferencia es alta entre
las metodologías. Considerando que MT dobló en el número de corridas a
MSR.
5.2 Resultados Generales
De manera general se puede asegurar que ambas metodologías
permiten optimizar y formular procesos. Sin embargo, con los resultados
obtenidos de las comparaciones se demostró que MSR supera por mucho a
MT en cuanto a la disminución del número de corridas y en cuanto a alcanzar el
Técnica
Número Total de Corridas
Experimentales
Diferencia en el
Número de Corridas
Punto Óptimo
Y Óptima
Diferencia de la
Respuesta Óptima 1x 2x 3x
MT 32 118%
.02 .02 .05 356 40.42% MSR 70 .16 -.14 .6 499.9
79
óptimo con mayor precisión como se observa en la tabla 5.5. Sin embargo,
cabe aclarar que en la metodología Taguchi se usaron ocho réplicas lo que la
puso en desventaja en el número de corridas. Generalmente en la práctica,
cuando se trabaja con la metodología Taguchi se usan pocas réplicas y no se
tiene esta desventaja. Aun así, resultó que una de las mayores ventajas de la
metodología Taguchi es que ésta es más simple en cuestión de aprendizaje.
Tabla 5.4 Resultados para el Caso 4
Tabla 5.5 Resultados Generales por Caso y Metodología
Técnica
Número Total de
Corridas
Experimentales
Diferencia en
el Número de
Corridas
Punto Óptimo
y
Óptima
Diferencia
de la
Respuesta
Óptima 1x 2x 3x 4x
MT 32
9.375%
250 475 67.15
32.122% MSR 35 320 492 88.72
MT 32
45.4%
27 37 454
5.947% MSR 22 27 49.5 481
MT 32
118%
.02 .02 .05 356
40.42% MSR 70 .16 -.14 .6 499.9
MT 64
100%
-.3 .3 40.61
16.02%
MSR 32 -1 .3
47.119
Técnica
Número Total
de Corridas Experimentales
Diferencia en el
Número de Corridas
Punto Óptimo
y Óptima
Diferencia
de la Respuesta
Óptima
2x 4x
MT 64 100%
-.3 .3 40.61 16.02% MSR 32 -1 .3 47.119
80
5.3 Verificación de las Hipótesis
Una vez que se obtuvieron los resultados de los casos fue necesario revisar
las suposiciones que se plantearon al inicio del estudio las cuales señalaban lo
siguiente:
1. La MSR nos dará una mejor solución para buscar los niveles de los
factores que optimizan la respuesta que la metodología Taguchi. Esta
hipótesis es cierta ya que en todos los casos la MSR dio mejor solución
al obtener los factores que optimizan la respuesta de los procesos.
2. La MSR utiliza menos corridas experimentales que la Metodología
Taguchi. Esta hipótesis es cierta ya que una vez que se está cerca de la
región del óptimo el número de corridas se reduce.
3. La Metodología Taguchi es más fácil de aplicar que la MSR. Esta
hipótesis es cierta ya que para términos prácticos la metodología
Taguchi es más fácil de aplicar que la metodología de Superficie de
Respuesta.
Cabe aclarar que las hipótesis que se plantearon en este estudio son
descriptivas ya que la forma de probar este tipo de hipótesis se obtuvo
mediante la observación directa de los resultados obtenidos en el presente
estudio.
81
6. CONCLUSIONES
Diversos autores han explicado que tanto la metodología Taguchi como
MSR han demostrado ser técnicas utilizadas en los diferentes campos de la
investigación. En el presente trabajo se demuestra que para los casos
estudiados MSR es mejor para predecir las variables de respuestas. Este
argumento es además sostenido por Osborne y Armacost (1996), quienes
afirman que ambas metodologías son adecuadas para predecir las variables de
respuesta. Además, se tiene la ventaja que el número de corridas necesarias
durante la experimentación fue más pequeño en MSR debido a que se ha
demostrado que una vez que se a localizado la región óptima de
experimentación el número de corridas se reduce.
Sin embargo, la metodología Taguchi, resultó útil ya que se identificaron
de una manera acertada los factores que tenían mayor influencia en la
respuesta, además de acercarse a los puntos óptimos. En casos tan simples
como los propuestos para el análisis de la reacción química y el análisis de
sangre, los diseños factoriales de Taguchi son iguales de eficientes que los
DCC de la metodología de superficie de respuesta para estimar los efectos
lineales. De acuerdo con los resultados obtenidos se puede establecer, que con
los DCC es más eficiente estimar los efectos cuadráticos. Además de que con
la metodología de superficie de respuesta se obtuvo un mejor valor en la
respuesta del rendimiento de la sustancia química, la separación del plasma
para el análisis de sangre, el espesor del chorro de tinta en el caso de la
impresora a color y la resistencia a la ruptura. Es interesante analizar que al
momento de realizar el caso de la impresora por el método de Superficie de
Respuesta, se notó un leve crecimiento en el número de corridas
experimentales. Así mismo, el crecimiento de los factores hubiera sido mayor
82
en el caso de soldadura de punto si los cuatro factores hubieran resultado
significativos. A diferencia de la Metodología de Superficie de Respuesta, la
Metodología Taguchi permitió en el caso de la impresora reducir las corridas
experimentales.
Al usar el software Logicon® para simular los cuatro procesos de esta
investigación, se supuso que no se tenía un conocimiento práctico y profundo
de los procesos. En consecuencia, al aplicar la Metodología Taguchi, los
niveles de los factores se seleccionaron alrededor del centro de la región de
operabilidad de dichos factores. Mientras que al aplicar la MSR se tuvo la
ventaja de que con el método del ascenso más pronunciado se pudo explorar la
región de operabilidad y avanzar secuencialmente en la dirección del óptimo y
encontrar una mejor solución que al aplicar la Metodología Taguchi.
83
7. REFERENCIAS
Antony J. et al. (2001). Process Optimisation using Taguchi Methods of Experimental Design. University Press. Vol 50,
No. 2, 51-57. Box, G.E.P. y Draper, N.R. (1987). Empirical Model Building and
Response Surfaces. John Wiley and Sons. New York Box G. E. P. y Wilson K. B. (1951). On the Experimental
Attainment of Optimum Conditions, Journal of the Royal Statistical Society. B, 13, 1-45.
Ealey L.A. (1988). Quality by Design:Taguchi Methods and U.S. industry. Second Edition. Irwin Profesional Publishing. USA
Figueroa P.G. (2003). Optimización de una Superficie de
Respuesta Utilizando JMP IN, Mosaicos Matemáticos. Dic. No. 11,1-7.
Ishikawa K. (1985). What is Total Qualitv Control?, Prentice-Hall.
USA. en Osborne D. M. y Armacost R. L.(1996). Review of Techniques for Optimizing Multiple Characteristics in Product Development. Elsevier Science . Vol 31, No 1/2.107-110.
Kolarik, W.J. (1995). Creating Quality: Concepts, Systems, Strategies and Tools, McGraw-Hill,Maidenhead. en Antony J. et al. (2001). Process Optimisation using Taguchi Methods of Experimental Design. University Press. Vol 50, No. 2, 51-57.
Kuehl R.O. (2003). Diseños de Experimentos. Segunda Edición.
Thomson Learning. México. Law A.M y Kelton W.D. (1991). Simulation Modeling and
Analysis.Third Edition, McGraw-Hill, USA.
84
Montgomery D.C. y Runger G.C. (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. McGraw-Hill. México, D.F.
Montgomery D. C. (2006). Diseño y Análisis de Experimentos.
Segunda Edición. Limusa Wiley, México. Myers R. H. y Montgomery D. C. (1995). Response Surface
Metodology, Process and Product Optimization Using Designed Experiments. Wiley Series in Probability and Statistics. USA.
Peace S.G. (1992). Taguchi Methods, A Hands-on Approach.
Third Printing. Addison-Wesley Publishing Company. Massachusetts, USA.
Pérez J.M. (1989). Evaluación del Rendimiento y Calidad del Algodonero Sometido al Efecto de Ocho Factores en el Valle de Juárez, Chih, Utilizando un Arreglo Ortogonal L16. Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Industrial del ITCJ.
Roy R. K. (1990). Design of Experiments Using The Taguchi
Approach. Wiley & Sons, USA. Taguchi G. y Konishi . (1991). Quality Engineering Series,
Japanese Standars Association. American Supplier Institute Press.
Wu Y. y Wu A. (1996). Diseño Robusto Utilizando los Métodos
Taguchi. Díaz de Santos. Madrid.
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